专题03 不等式 16个题型（高效培优期中专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题03 不等式 考点01 比较大小 考点02 判断所给不等式是否成立 考点03 不等式性质的应用 考点04 证明不等式 考点05 对基本不等式的理解 考点06 利用基本不等式求最值——配凑法 考点07 利用基本不等式求最值——常数代换法 考点08 利用基本不等式求最值——商式型 考点09 利用基本不等式求最值——消元法 考点10 利用基本不等式求最值——换元法 考点11 解含参的一元二次不等式 考点12 利用三个“二次”关系求参 考点13 不等式恒成立与有解问题 考点14 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 考点15 不等式与其他章节的融合 考点16 不等式新定义 考点01 比较大小 1．已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 2．（多选）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，，则，的大小关系是 . 5．已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”） 考点02 判断所给不等式是否成立 6．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 7．已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（　　） A． B． C． D． 8．若，，为非零实数，且，，则（　　） A． B． C． D． 9．（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（　　） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 10．（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（多选）下列命题是真命题的为（　　） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 考点03 不等式性质的应用 12．已知实数，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．已知，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．若，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 15．（多选）已知，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 16．已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 考点04 证明不等式 17．求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． 18．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 19．已知实数满足． (1)证明：； (2)证明：． 20．已知，，且，求证： (1)； (2)． 考点05 对基本不等式的理解 21．下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 22．下列不等式中等号可以取到的是（ ） A． B． C． D． 23．（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 24．（多选）下列各式中，最小值为2的是（　　） A． B． C． D． 25．（多选）下列命题中，真命题的是（　　） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 26．（多选）设，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.        B. C.     D. 考点06 利用基本不等式求最值——配凑法 27．已知  ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 28．当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 29．函数（）的最大值为（　　） A． B．3 C．1 D． 30．若，则的最大值为 ． 31．已知，且，则的最大值为 ． 考点07 利用基本不等式求最值——常数代换法 32．已知实数，且，则的最小值为（　　） A． B． C．8 D．12 33．已知正数a，b满足，则的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 34．已知正数，满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 35．若，则的最小值是（　　） A．1 B．4 C． D． 36．已知，，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 37．已知，，，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 38．（多选）（24-25高一上·广东东莞·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 39．若实数，则的最小值为 ． 考点08 利用基本不等式求最值——商式型 40．当时，函数的最小值为（　　） A． B． C． D．4 41．已知，则函数的最大值为（　　） A． B．7 C． D． 42．函数的最小值为 . 43．函数的值域是 ． 考点09 利用基本不等式求最值——消元法 44．已知且，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．6 45．负实数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 46．已知实数，，满足（），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 47．已知，且，则的最小值是 ． 48．已知，，且，则的最小值为 ． 考点10 利用基本不等式求最值——换元法 49．若，且，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 50．若实数 满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 51．设实数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 52．已知，，，且，则m的最小值为 . 53．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 54．已知实数、满足，则的最小值为 ． 考点11 解含参的一元二次不等式 55．设，不等式的解集为或，则（　　） A. B. C. D. 56．设集合，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 57．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（　　） A． B． C． D． 58．设集合，集合，若中含有一个整数，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 59．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 60．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 考点12 利用三个“二次”关系求参 61．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（　　） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 62．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 63．（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（　　） A． B． C． D． 64.（多选）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（　　） A． B． C． D． 65．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．的解集为 66．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（　　） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．关于不等式恒成立，则的最小值为 考点13 不等式恒成立与能成立问题 67．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 68．设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 69．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 70．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 71．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ； 72．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 72．已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. （1）求此二次函数的解析式； （2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 73．已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 考点14 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 74．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    75．两县城和相距，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与对城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为9. （1）若垃圾处理厂建在圆弧的中点处，求垃圾处理厂对城和城的总影响度； （2）求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值. 76．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 77．某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 考点15 不等式与其他章节的融合 78．已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 79．已知集合使不等式成立． （1）用区间形式表示集合M； （2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 80．已知函数． (1)若方程在上有解，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若，求函数在区间上的最大值． 考点16 不等式新定义 81．一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 82．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． （1）求，的值； （2）若，解不等式组． 83.某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 84．若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 考点01 比较大小 考点02 判断所给不等式是否成立 考点03 不等式性质的应用 考点04 证明不等式 考点05 对基本不等式的理解 考点06 利用基本不等式求最值——配凑法 考点07 利用基本不等式求最值——常数代换法 考点08 利用基本不等式求最值——商式型 考点09 利用基本不等式求最值——消元法 考点10 利用基本不等式求最值——换元法 考点11 解含参的一元二次不等式 考点12 利用三个“二次”关系求参 考点13 不等式恒成立与有解问题 考点14 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 考点15 不等式与其他章节的融合 考点16 不等式新定义 考点01 比较大小 1．已知，，则a，b的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】运用作差法计算比较即得. 【解析】因 所以 故选：B. 2．（多选）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用作差法判断即可。 【解析】对于A：因为，所以. 所以，所以.故A错误； 对于B、C： 因为，所以. 所以，所以.故B正确，C错误； 对于D：因为， 所以，所以.故       D正确. 故选：BD 3．已知，，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可。 【解析】对于A：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项A错误； 对于B：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项B错误； 对于C：， 因为，所以，，， 所以一定成立，即选项C正确； 对于D：， 因为，所以，，但的正负不确定， 所以不一定成立，即选项D错误. 故选：C. 4．若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【分析】直接利用作差法再因式分解得到，最后判定符号即可判断大小. 【解析】由,有，， 则，故, 故答案为：. 5．已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”） 【答案】≥ 【分析】利用作差比较法，分别计算它们的差，与0 比较，即可得到结论． 【解析】， 当且仅当，取等号． 故答案为：≥ 考点02 判断所给不等式是否成立 6．下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对于A，C利用不等式的性质判断即可；对于B，举反例判断；对于D，利用作差法判断 【解析】对于A，当，时，，，此时，故A错误； 对于B，当，时，，但是，故B错误； 对于C，当，时，，，所以，即，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，故D正确. 故选：D. 7．已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，不等式不成立，错误． 对于B，当时，满足，但，错误． 对于C，因为，而，所以，则，正确． 对于D，当时，满足，不等式不成立，错误． 故选：C 8．若，，为非零实数，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【解析】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 9．（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（　　） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【答案】ABD 【解析】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 10．（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以， 其与的大小关系与有关，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 11．（多选）下列命题是真命题的为（　　） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【解析】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 考点03 不等式性质的应用 12．已知实数，满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【解析】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 13．已知，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，再根据不等式性质即可求解. 【解析】设，所以解得 所以， 又，所以，则. 故选：B. 14．若，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，进一步根据不等式的性质即可求解. 【解析】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 15．（多选）已知，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由，，得，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：ACD 16．已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，则， 则， 又， 所以， 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 考点04 证明不等式 17．求证： (1)若，且，则； (2)若，且，同号，，则； (3)若，且，则． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】利用不等式的性质比较，即可得到结论． 【解析】(1)证明：因为，所以， 又，故， 即； (2)证明：因为，，所以 ， 因为，同号，所以 ，， 故，即 ，所以； (3)证明：因为，所以 ， 又，所以 ， 故. 18．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【解析】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 19．已知实数满足． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）直接利用即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【解析】（1）因为， 当时等号成立，则， 因为，所以; （2） 20．已知，，且，求证： (1)； (2)． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式先证，然后变形即可得证； （2）将已知变形为，然后利用基本不等式即可得证. 【解析】（1）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 又，∴． （2）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 故． 考点05 对基本不等式的理解 21．下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 【答案】C 【分析】根据基本不等式成立的条件可判断ABCD的正误. 【解析】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，∵，如时，，∴D错误； 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 22．下列不等式中等号可以取到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 23．（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【答案】AD 【分析】根据“一正，二定，三相等”即可作出判断. 【解析】对于A，由于，所以，当时等号成立正确； 对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确. 故选：AD 24．（多选）下列各式中，最小值为2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【解析】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 25．（多选）下列命题中，真命题的是（　　） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题. 【解析】对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，当时，，令, 在上单调递增， ， 则的最小值不是4，D选项错误； 故选：AB. 26．（多选）设，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.        B. C.     D. 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD 考点06 利用基本不等式求最值——配凑法 27．已知  ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 28．当时，函数的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】∵，∴，, ∴， 当且仅当，即时取等号． 故选：A 29．函数（）的最大值为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 30．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最大值． 【解析】因为，所以， 故，当且仅当， 即时取等号，所以的最大值为． 故答案为： 31．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：25. 考点07 利用基本不等式求最值——常数代换法 32．已知实数，且，则的最小值为（　　） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 33．已知正数a，b满足，则的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】将变形为，代入，再通过常数代换和基本不等式可得. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 34．已知正数，满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【解析】因为，，，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，故，则的最大值为. 故选：B. 35．若，则的最小值是（　　） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【解析】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D 36．已知，，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】，展开后利用基本不等式即可求解． 【解析】因为，，且， ∴ ，当且仅当，即，即时，等号成立． 故选：C 37．已知，，，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 38．（多选）（24-25高一上·广东东莞·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AB 【解析】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 39．若实数，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值. 【解析】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：2 考点08 利用基本不等式求最值——商式型 40．当时，函数的最小值为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：C 41．已知，则函数的最大值为（　　） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以，设，则， ， 当且仅当即相当于时取等号， 所以函数的最大值为是. 故选：A 42．函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【解析】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 43．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【解析】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 考点09 利用基本不等式求最值——消元法 44．已知且，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 【解析】已知，且， 由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 故选：B. 45．负实数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 46．已知实数，，满足（），则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 47．已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 故答案为： 48．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【解析】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：13 考点10 利用基本不等式求最值——换元法 49．若，且，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【解析】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 50．若实数 满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】法1由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 法2令，则， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 51．设实数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 52．已知，，，且，则m的最小值为 . 【答案】9 【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可. 【解析】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 故答案为：9 53．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 54．已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，得，，使用基本不等式求解即可 【解析】因为实数，满足，化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为： 考点11 解含参的一元二次不等式 55．设，不等式的解集为或，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理得出的关系，从而得出结果. 【解析】由题意可知是方程的两根， 则，∴ ∴ 故选：D 56．设集合，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A 57．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对不等式中的参量讨论分析即得。 【解析】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 58．设集合，集合，若中含有一个整数，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】求出中不等式的解集确定出，由与交集中恰有一个整数，得到且，解不等式即得解． 【解析】由解得或，故或， 因为的开口向上，对称轴为，， 根据对称性可知：要使中含有一个整数，则这个整数解为2， 所以且，即，解得：． 故选：A． 59．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 60．已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 考点12 利用三个“二次”关系求参 61．（多选）已知关于的不等式的解集为，则（　　） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知且和2是方程的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C. 【解析】关于的的不等式的解集为, 且和2是方程的两个根, ， 对，故A正确. 对可化为 ,解的, 不等式的解集为，故B错误. 对，1和2是方程的两个根, 且二次函数开口向上, 当时，，即，故C正确. 对D，不等式可化为, ,即，解得 不等式的的集为，故D正确. 故选：ACD 62．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（　　） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理进一步分析选项即得. 【解析】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ， 的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 63．（多选）若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】构造函数分析方程的根，建立不等式组求解 【解析】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合. 故选：BC 64.（多选）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】构造函数分析方程的根，建立不等式组求解 【解析】因为一元二次方程有两个实数根，， 且，令， 则由题意可得，即解得， 故选：ABC 65．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．的解集为 【答案】BC 【解析】由不等式的解集为，得 所以，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，所以， 则，解得，故解集为，故D错误. 故选：BC. 66．（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（　　） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．关于不等式恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以有，因此选项A正确， 因为，所以选项B正确； 由 或，因此选项C正确； 由， 可知代数式的正负性相同， 因此不等式的解集也是或， 于是有， 于是有， 因为，所以二次函数，随的增大而增大， 因此二次函数在时，没有最小值，因此选项D不正确， 故选：ABC 考点13 不等式恒成立与能成立问题 67．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B 68．设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以，所以. 故选：D. 69．对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或. 故选：A 70．已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【解析】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 71．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ； 【答案】 【解析】因为不等式在上恒成立， 令可得，解得， 若，则在上恒成立， 原不等式等价于在上恒成立， 因为二次函数的图像开口向上，对称性， 当，即时， 则在上恒成立，符合题意； 当，即时，则， 可知，符合题意； 综上所述：的取值集合为. 故答案为： 72．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可得范围. 【解析】由两个正实数x，y满足，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 72．已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. （1）求此二次函数的解析式； （2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得. （2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围. （3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可. 【解析】（1）由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. （2）由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. （3）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 73．已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【解析】（1）由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2）若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. （3）若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 考点14 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 74．某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】利用一元二次不等式得出结果。 【解析】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 75．两县城和相距，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与对城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为9. （1）若垃圾处理厂建在圆弧的中点处，求垃圾处理厂对城和城的总影响度； （2）求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值. 【答案】（1）0.065 （2）00625 【分析】（1）由题意得，由可得，从而得总影响度的解析式，即可求解； （2）可得，令，所以，利用基本不等式求解即可得出答案. 【解析】（1）点在以为直径的半圆上，所以， 由，可得， 由题意可得， 因为垃圾处理厂建在弧的中点处， 所以， 故所求总影响度为0.065． （2）由（1）知， 令，则， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，取得最小值， 此时， 故垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值为0.0625． 76．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为； （2）由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 77．某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元；(2)答案见解析 【分析】（1）利用一元二次不等式得出结果；（2）利用基本不等式得出结果。 【解析】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元. （2）依题意，当时，有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元. 考点15 不等式与其他章节的融合 78．已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最小值，即可求解；（2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵p为真命题，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. （2）若q为真，则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，即； ②若p假，q为真，则且，即. 综上，或. 79．已知集合使不等式成立． （1）用区间形式表示集合M； （2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用分离参数法，转化为有解问题，结合二次函数的性质可求出结果； （2）根据题意得到，分类讨论根之间的大小关系，从而得到取值范围. 【解析】（1）根据题意可得在上有解， 即在上有解，只需， 令， 由知， 所以，则， 故的取值集合 （3）因为是的必要条件， 所以，显然不为空集，即不为， 因为不等式的解集为N， 所以①当即时，，， 则，解得； ②当即时，，， 则，解得； 综上所述，a的取值范围是. 80．已知函数． (1)若方程在上有解，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【解析】（1）在上有解， 即在上有解， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围是． （2）因为， 所以即， 即， ①当，即或时，的解集为； ②当，即或时，的解集为； ③当，即或时，的解集为． 综上可得，或时原不等式的解集为 或时原不等式的解集为 或时原不等式的解集为． （3）由题意知，当时，， 在上单调递增， 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 且，令，解得或， 所以当时，， 当时，， 综上:. 考点16 不等式新定义 81．一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 82．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． （1）求，的值； （2）若，解不等式组． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【解析】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 综上，原不等式组的解集为. 83.某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据新定义可得，求解即可； （2）根据新定义可得，求解即可； （3）根据新定义可得，求解即可． 【解析】（1），， 知，当且仅当时，取到最小值 ； （2）由，， 知，当且仅当时，取到最小值6 ； （3）由，， 知； 当且仅当时，取到最小值. 84．若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 【答案】（1） （2）不是，理由见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）根据题意判断在上恒成立即可； （2）当时即可判断； （3）判断最小值，最大值都大于0即可. 【解析】（1）由及，得. 因为，所以. （2）不是“不等式”. 理由如下： （方法一）二次函数图象的对称轴为直线， 当时，二次函数取得最小值，且最小值为， 所以不是“不等式”. （方法二）由，得， 解得. 因为，所以对不恒成立， 所以不是“不等式”. （3）证明：由题意得， ①当时，，则，符合题意. ②当时，，研究二次函数的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线， 则当时，二次函数取得最小值，且最小值为，符合题意. ③当时，，由二次函数的图象可知， 当或时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，. 故是“不等式”. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $