第3章 不等式（思维导图+知识清单+五大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以思维导图+知识清单+易错点总结构建不等式专项体系，融合作差作商法、配凑法等实用方法，通过问题链深化知识逻辑，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的基本性质|4知识点+典例1|作差法、作商法比较大小；不等式性质应用|从不等关系概念到性质推导，建立比较大小的逻辑体系| |基本不等式|2知识点+典例3|直接法、配凑法、常数代换法、消元法求最值|由重要不等式推导基本不等式，形成“一正二定三相等”的应用逻辑| |一元二次不等式|4知识点+典例4|含参/不含参不等式解法；三个“二次”关系应用|从函数零点切入，构建方程、函数、不等式的关联逻辑| |五大易错点|5易错点+5典例|特殊值验证法、整体法；分类讨论思想|针对性质应用、最值条件等易错点，强化推理严谨性|

第3章 不等式（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 3.1 不等式的基本性质 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 3.2 基本不等式 【知识点1 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识点2 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 【知识点1 从函数观点看一元二次方程】 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 【知识点2 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点3 三个“二次”的关系】 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点4 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【易错点1 忽略不等式成立的条件】 易错点分析：不等式的计算在遇到乘法或除法运算时，如果忽略不等式成立的条件是比较容易出错的，因此我们需要熟记一些不等式的性质. 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【典例1】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·广东·期末）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·广东·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围】 易错点分析：在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围.为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【注】：解题思路：一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 【典例2】（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【易错点3 忽略基本不等式成立的条件】 易错点分析：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 【典例3】（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【易错点4 忽略方程、不等式的二次项系数为0】 易错点分析：求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论，同时要注意三个二次的关系的运用. 【典例4】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练4.2】（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）若关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（2026高一上·全国·专题练习）求关于的不等式的解集. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【易错点5 分式不等式等价转化不当】 易错点分析：求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式，此时要注意：转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【典例5】（25-26高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【跟踪训练5.3】（2026高一上·上海·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）不等式的解集是__________. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式（思维导图+知识清单+五大易错点总结） 【苏教版】 3.1 不等式的基本性质 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 3.2 基本不等式 【知识点1 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识点2 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 【知识点1 从函数观点看一元二次方程】 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 【知识点2 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点3 三个“二次”的关系】 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点4 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【易错点1 忽略不等式成立的条件】 易错点分析：不等式的计算在遇到乘法或除法运算时，如果忽略不等式成立的条件是比较容易出错的，因此我们需要熟记一些不等式的性质. 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【典例1】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，且得出，根据不等式性质得出. 【解答过程】由题可知， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，可化为， 因为，所以， 又因为，所以 所以C正确； 对于D，设，则，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，利用作差法可判断C的正误，根据反例可判断D的正误. 【解答过程】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·广东·期末）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质，即可判断选项. 【解答过程】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·广东·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】对于ABC：根据不等式的性质分析判断即可；对于D：利用作差法比较大小. 【解答过程】对于选项A：若，，则，所以，故A错误； 对于选项B：因为，则， 即，所以，故B错误； 对于选项C：若，则，且， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 且，则，， 可得，即，故D错误． 故选：C． 【易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围】 易错点分析：在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围.为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【注】：解题思路：一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 【典例2】（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【解答过程】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【解答过程】由条件，又，故， 所以． 故选：B. 【跟踪训练2.2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，， 所以，即的取值范围是. 故选：A. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解题思路】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）(2)（3）由不等式的性质即可求解； 【解答过程】（1）， ， （2）， ， （3）由条件， ， 又 【易错点3 忽略基本不等式成立的条件】 易错点分析：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 【典例3】（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】，根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【解答过程】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 【答案】A 【解题思路】把变成，再根据均值不等式即可求出. 【解答过程】因为，所以， 又，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件得出，于是得出，结合基本不等式可求其最小值. 【解答过程】由可得，由于，，则，可得， 所以，故， 当且仅当时，即当时，此时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘构造基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由，则， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【易错点4 忽略方程、不等式的二次项系数为0】 易错点分析：求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论，同时要注意三个二次的关系的运用. 【典例4】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答过程】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【跟踪训练4.1】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【解答过程】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 【跟踪训练4.2】（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）若关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对参数的取值进行分类讨论，根据只有一个整数解建立不等关系解不等式即可求得结果. 【解答过程】依题意不等式等价为，即， 当时，不等式为，可得，有无数个整数解，显然不满足题意； 当时，由不等式只有一个整数解可知， 不等式的解为， 因此需满足，解得； 若，不等式解为或，有无数个整数解，不合题意； 综上可知，实数的取值范围. 故选：B. 【跟踪训练4.3】（2026高一上·全国·专题练习）求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【解题思路】分解因式后，根据与的大小结合一元二次不等式解法求解即可. 【解答过程】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，直接利用二次不等式的解法即可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）若，则由 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【易错点5 分式不等式等价转化不当】 易错点分析：求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式，此时要注意：转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【典例5】（25-26高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】解分式不等式即可. 【解答过程】由可得且， 解得或， 即不等式的解集为或. 故选：D. 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可. 【解答过程】由，得，即，也即. 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 故选：C. 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求得. 【解答过程】依题意，不等式等价于，即， 解得，或，所以原不等式的解集为或. 故选：C. 【跟踪训练5.3】（2026高一上·上海·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分式不等式的解法求解. 【解答过程】，即为，即， 解得， 故解集为. 故选：C. 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）不等式的解集是__________. 【答案】 【解题思路】先将分式不等式转化为整式不等式组，考虑分母不为零的条件，求解整式不等式后确定解集范围，再结合选项判断正确答案. 【解答过程】因为， 所以， 所以  即 故答案为： 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $