第09讲 数阵（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第09讲 数阵 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解数阵图的基本概念和核心思想（重叠数），掌握辐射型、封闭型、复合型等常见数阵图的结构特征。 2.学会分析数阵图中的重叠数及其重叠次数，能运用“整体与部分”的关系，结合代数思想（设未知数）建立等式，求解幻和与关键数字。掌握数阵图问题的一般解题步骤和常用方法（尝试、排除、验证）。 3.能准确识别不同类型的数阵图，灵活运用解题策略解决各类数阵问题，包括辐射型、封闭型、复合型以及一些特殊类型的数阵图。能处理数字范围不限于连续自然数的情况，并能应对多个重叠数的复杂问题。 4.培养观察能力、逻辑推理能力、分析综合能力和创新思维，提升解决复杂问题的信心和耐心，体会数学的趣味性和严谨性。 知识梳理 知识点一、数阵图的基本概念与核心思想 1.定义： 数阵图是将一些数字按照一定的规则排列成特定形状（如直线、三角形、正方形、圆形等）的图形，通常要求图形中每条线（边、直径、对角线等）上的数字之和相等，或满足其他特定条件。 2.核心思想： （1）重叠数（关键数/重复数）： 数阵中，某些位置的数字会被多条线共同使用，这些数字称为重叠数。它们是解决数阵问题的关键。 （2）整体与部分： 从整体考虑数字的总和与各部分（每条线）数字和之间的关系，利用重叠数的重复计算来建立等式。 （3）代数思想： 通过设未知数（通常设重叠数为x），根据题目条件列出简易方程或关系式求解。 知识点二、常见数阵图类型与考点 1.辐射型数阵图 (发散型/星形) （1）特征： 有一个中心，数字从中心向四周辐射排列，形成若干条射线（直线）。 （2）考点： ①确定重叠数（中心数）：中心数是所有直线的公共数，重叠次数最多（等于直线条数）。 ②计算幻和（每条直线上的数字和）：利用 数字总和 + 中心数×(直线条数 - 1) = 幻和×直线条数。 ③根据幻和填出其他数字。 2.封闭型数阵图 （1）特征： 数字排列在封闭的多边形边上，如三角形、四边形、五边形等，每条边上的数字之和相等。 （2）考点： ①确定重叠数（顶点数）：多边形的每个顶点是两条边的公共数，重叠次数为2。 ②计算幻和：利用 数字总和 + 所有顶点数之和 = 幻和×边数。 ③根据幻和及已知条件确定顶点数或边上数。 ④分类讨论：当顶点数不唯一确定时，需要进行尝试和排除。 3.复合型数阵图 (综合型) （1）特征： 由两种或两种以上基本数阵组合而成，结构相对复杂，可能既有辐射型特征又有封闭型特征。 （2）考点： ①分解图形：将复杂图形分解为熟悉的基本图形。 ②识别多个重叠数：不同层次或不同方向的线条可能有各自的重叠数。 ③建立多元关系：可能需要设立多个未知数，列出多个关系式求解。 ④较强的逻辑推理和尝试能力。 知识点三、解题步骤与方法 1.观察图形，明确规则： 确定数阵类型，是辐射型、封闭型还是复合型，明确每条线上数字的个数，以及题目要求的相等关系（和、差、积等，以“和相等”最为常见）。 2.分析数字，寻找重叠： 找出数阵中的重叠数（重复计算的数字），分析其重叠次数。 3.设未知数，列关系式： （1）通常设重叠数为x。 （2）计算出所有要填入数阵的数字总和（S总）。 （3）计算出若不考虑重叠，所有线的数字总和（通常是：幻和×线的条数）。 （4）根据“所有线的数字总和 = S总 + 重叠数×(重叠次数 - 1) ”列出方程，求出幻和或重叠数。 4.计算与验证： 求出关键数字（重叠数、幻和）后，尝试填入其他数字，并进行验证，确保所有条件都满足。 5.分类讨论与排除： 当可能有多个解或多个重叠数候选时，需要进行分类讨论，并根据数字的特性（如是否重复、是否在给定范围内）进行排除。 例题讲解 一、辐射型数阵图 （发散型/星形） 【例题1】把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的里，使每条直线上的和都等于12。 【例题2】把1～7填入下图中，使每条线段上三个○内的数的和相等。    二、封闭型数阵图 【例题1】在○上填合适的数，使每条线上的三个数相加都等于10。    【例题2】将1～6这六个数填入图的六个〇中，使得大圆周上相邻的两个〇中的数之和都是质数。 三、复合型数阵图（综合型） 【例题1】把1~8八个数字分别填入图中圆圈内，要求左右两边两个环上五个数的和都等于21，其中数字“2”已经填好。 【例题2】将数字1、3、5、7、9、11、13填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。 【例题3】请将0、1、2、3、4、5六个数字填入图中的六块区域内，使得每一个圆圈与它相邻区域内的数之和都相等。 考点练习 一、辐射型数阵图（发散型/星形） 1．把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈填完整） 2．把1、4、7、10、13、16、19七个数填入中，使每条线上的三个数的和都相等。 3．将1～8填入如图的八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数。 4．把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的里，使每条线上三个数的和都相等。 5．把1-11填入图中，使每条线上三个数的和相等。 二、封闭型数阵图 1．在如图所示的〇内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若、、的和为18，则三个顶点上的三个数的和是( )。 2．将1～8这八个自然数分别填入如图中的八个〇内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。 3．把4~9填入下图中，使每条线上三个数的和相等，都是18。 4．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？ 5．把1~10这10个数填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等。 6．将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。 三、复合型数阵图（综合型） 1．将1～6填入如图的〇中，要求四条直线上的数字之和都等于10。 2．如图，将1～9填入圈内，使每个大圆上的三个数的和相等。 3．将1~9分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 。 4．将分别填入如图中，使五个正方形的四个顶点上的数的和相等。 5．下图中三个圆圈两两相交形成七个部分，4，6，8三个数已填好，在空着的四个部分分别填入3，5，7，9，使每个圆圈中四个数的和都是22。这三个圆公共的部分应填 。 6．将1～10填入图中的十个〇中，使得每个菱形的四个顶点数之和相等。问：这个和的最大值和最小值各是多少？请各给出一种填法。 7．将填入如图中的9个小圆圈内，使得每一个大圆及每条直线上三个数之和全部相等。 8．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求 A。    9．请将1、2、3、4、5、6、7、8八个数字填入右图中的八块区域内，使得每一个圆圈与它相邻的区域内的数之和都相等。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 数阵 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解数阵图的基本概念和核心思想（重叠数），掌握辐射型、封闭型、复合型等常见数阵图的结构特征。 2.学会分析数阵图中的重叠数及其重叠次数，能运用“整体与部分”的关系，结合代数思想（设未知数）建立等式，求解幻和与关键数字。掌握数阵图问题的一般解题步骤和常用方法（尝试、排除、验证）。 3.能准确识别不同类型的数阵图，灵活运用解题策略解决各类数阵问题，包括辐射型、封闭型、复合型以及一些特殊类型的数阵图。能处理数字范围不限于连续自然数的情况，并能应对多个重叠数的复杂问题。 4.培养观察能力、逻辑推理能力、分析综合能力和创新思维，提升解决复杂问题的信心和耐心，体会数学的趣味性和严谨性。 知识梳理 知识点一、数阵图的基本概念与核心思想 1.定义： 数阵图是将一些数字按照一定的规则排列成特定形状（如直线、三角形、正方形、圆形等）的图形，通常要求图形中每条线（边、直径、对角线等）上的数字之和相等，或满足其他特定条件。 2.核心思想： （1）重叠数（关键数/重复数）： 数阵中，某些位置的数字会被多条线共同使用，这些数字称为重叠数。它们是解决数阵问题的关键。 （2）整体与部分： 从整体考虑数字的总和与各部分（每条线）数字和之间的关系，利用重叠数的重复计算来建立等式。 （3）代数思想： 通过设未知数（通常设重叠数为x），根据题目条件列出简易方程或关系式求解。 知识点二、常见数阵图类型与考点 1.辐射型数阵图 (发散型/星形) （1）特征： 有一个中心，数字从中心向四周辐射排列，形成若干条射线（直线）。 （2）考点： ①确定重叠数（中心数）：中心数是所有直线的公共数，重叠次数最多（等于直线条数）。 ②计算幻和（每条直线上的数字和）：利用 数字总和 + 中心数×(直线条数 - 1) = 幻和×直线条数。 ③根据幻和填出其他数字。 2.封闭型数阵图 （1）特征： 数字排列在封闭的多边形边上，如三角形、四边形、五边形等，每条边上的数字之和相等。 （2）考点： ①确定重叠数（顶点数）：多边形的每个顶点是两条边的公共数，重叠次数为2。 ②计算幻和：利用 数字总和 + 所有顶点数之和 = 幻和×边数。 ③根据幻和及已知条件确定顶点数或边上数。 ④分类讨论：当顶点数不唯一确定时，需要进行尝试和排除。 3.复合型数阵图 (综合型) （1）特征： 由两种或两种以上基本数阵组合而成，结构相对复杂，可能既有辐射型特征又有封闭型特征。 （2）考点： ①分解图形：将复杂图形分解为熟悉的基本图形。 ②识别多个重叠数：不同层次或不同方向的线条可能有各自的重叠数。 ③建立多元关系：可能需要设立多个未知数，列出多个关系式求解。 ④较强的逻辑推理和尝试能力。 知识点三、解题步骤与方法 1.观察图形，明确规则： 确定数阵类型，是辐射型、封闭型还是复合型，明确每条线上数字的个数，以及题目要求的相等关系（和、差、积等，以“和相等”最为常见）。 2.分析数字，寻找重叠： 找出数阵中的重叠数（重复计算的数字），分析其重叠次数。 3.设未知数，列关系式： （1）通常设重叠数为x。 （2）计算出所有要填入数阵的数字总和（S总）。 （3）计算出若不考虑重叠，所有线的数字总和（通常是：幻和×线的条数）。 （4）根据“所有线的数字总和 = S总 + 重叠数×(重叠次数 - 1) ”列出方程，求出幻和或重叠数。 4.计算与验证： 求出关键数字（重叠数、幻和）后，尝试填入其他数字，并进行验证，确保所有条件都满足。 5.分类讨论与排除： 当可能有多个解或多个重叠数候选时，需要进行分类讨论，并根据数字的特性（如是否重复、是否在给定范围内）进行排除。 例题讲解 一、辐射型数阵图 （发散型/星形） 【例题1】把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的里，使每条直线上的和都等于12。 【答案】见详解 【分析】 我们可以这样想：七个数的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，每条直线上的和是12，三条直线上数的总和是12＋12＋12＝36，36－28＝8，由于计算三条直线上三个数的总和时，中间里的数多算了两次，就多出了8，8÷2＝4，所以中间里应该填4。12－4＝8，每条直线上两头的两个里的和为8，除4外，把其余6个数配成对，1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8，1和7、2和6、3和5就分别填在每条直线的两端。 【详解】 由分析可得： 【例题2】把1～7填入下图中，使每条线段上三个○内的数的和相等。    【答案】见详解 【分析】1～7的和为28先确定中心数，如果中心数是1，那么3条线段的上的总和就是28＋1＋1＝30，再使每条线段上的和是10即可。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 令中心数为1，三条线段的总和为：28＋1＋1＝30 每条线段上的和是30÷3＝10 因为10＝1＋2＋7＝1＋3＋6＝1＋4＋5 所以这个图是：    二、封闭型数阵图 【例题1】在○上填合适的数，使每条线上的三个数相加都等于10。    【答案】见详解 【分析】用10减去每条线上已知的数，即可解答。 【详解】10－2－3 ＝8－3 ＝5 10－1－2 ＝9－2 ＝7 10－1－5 ＝9－5 ＝4 填表如下：    【例题2】将1～6这六个数填入图的六个〇中，使得大圆周上相邻的两个〇中的数之和都是质数。 【答案】见详解 【分析】4＋1＝5，4＋2＝6，4＋3＝7，4＋5＝9，4＋6＝10，5和7是质数，6、9、10都是合数，所以与4相邻的两个数只能是1和3，还剩下2、5、6，1＋6＝7，3＋2＝5，所以1的另一个相邻数是6，3的另一个相邻数是2，最后一个〇中的数是5，2＋5＝7，6＋5＝11，7和11都是质数，据此即可解答。 【详解】 三、复合型数阵图（综合型） 【例题1】把1~8八个数字分别填入图中圆圈内，要求左右两边两个环上五个数的和都等于21，其中数字“2”已经填好。 【答案】见解析 【分析】由题意可知，左右两边两个环上所有数字和为21×2＝42；因为中间两个数字重复计算，所以中间两数之和为21×2－（1＋2＋…＋8）＝6，两数分别为1和5，右环上剩下两数和为21－（1＋2＋5）＝13，只能为6和7，于是左环三个数为3，4，8。其中（3，4，8），（1，5），（6，7）各组中数字可相互交换位置。 【详解】21×2－（1＋2＋…＋8） ＝42－36 ＝6 中间两数分别为1和5，填空如下： （答案不唯一） 【例题2】将数字1、3、5、7、9、11、13填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。 【答案】见详解 【分析】将三条直线、两个圆上的数字都加起来，圆上的每个数字都算了2次，而中间的数字算了3次，即1、3、5、7、9、11、13这7个数的和的2倍加上中间小圆圈的数字等于和的5倍。计算可得，这个和为21，中间小圆圈数字是7。据此即可填出其他圆圈的数字。 【详解】设相等的和为A，中间的圆圈的数字是m， 将三条直线、两个圆上的数字都加起来，有： 5A＝2×（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＋m 5A＝98＋m 经过尝试可知：A＝21，m＝7； 所以中间小圆圈的数字是7，3个数字之和是21； 即有：1＋13＋7＝3＋11＋7＝5＋9＋7＝1＋9＋11＝5＋13＋3； 故填数如下： 或 【例题3】请将0、1、2、3、4、5六个数字填入图中的六块区域内，使得每一个圆圈与它相邻区域内的数之和都相等。 【答案】 【分析】复合型数阵图问题，每块区域的数都重复了一次，利用数和、线和的关系进行求解。 【详解】如图，令； 已知a，b，c，d，e，f各自用了两次，计算数和，； 令，解得； 容易得出0+1+4+5=10，0+2+3+5=10，1+2+3+4=10，如图，合理构造，得出最后的填法。 考点练习 一、辐射型数阵图（发散型/星形） 1．把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈填完整） 【答案】见详解 【分析】每条直线上的3个数的和都相等，且3个数中已经有一个7，则只要把1~6这6个数分成三组，每组的两个数的和相等即可，据此解答。 【详解】因为，所以，，，把每组的两个数填在每条直线的两个空白圈内即可（答案不唯一）。 2．把1、4、7、10、13、16、19七个数填入中，使每条线上的三个数的和都相等。 【答案】 【详解】这七个数从小到大位于中间的数是10，把10填在中间的圈里，剩下的数1和19，4和16，7和13两两一组的和相等，分别填在每条线上两边的圈里。也可以选择最大数19或最小数1填在中间的圈里，此题答案不唯一。 3．将1～8填入如图的八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数。 【答案】见详解 【分析】1～8中，与1相邻的数只有2，与8相邻的数只有7，所以把1和8放入中间的两个格子中，然后以这两个数为起点，根据横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数要求，试填其它数即可解答。 【详解】 4．把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的里，使每条线上三个数的和都相等。 【答案】见详解 【分析】由图可知，中间的数是重叠数，在三条线中被加了3次，而其他数都加了1次，所填数的和为1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49，再加上2个重叠数就是三条线上数的和，而每条线上数的和都相等，所以三条线的和一定是3的倍数，49＋1×2＝51，49＋7×2＝63，49＋13×2＝75，所以中间的数可能是1、7、13，然后去掉中间的数，把余下的两个数分成一组，使每组和相等。 【详解】 或或 5．把1-11填入图中，使每条线上三个数的和相等。 【答案】 二、封闭型数阵图 1．在如图所示的〇内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若、、的和为18，则三个顶点上的三个数的和是( )。 【答案】9 【分析】设三个顶点上的三个数的和是m，因为三条边上的三个数的和都是12，则2m＋A＋B＋C＝12×3，又因为A＋B＋C＝18，代入，即可得解。 【详解】2m＋18＝36 2m＝36－18 2m＝18 m＝18÷2 m＝9 则三个顶点上的三个数的和是9。 2．将1～8这八个自然数分别填入如图中的八个〇内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。 【答案】见详解 【分析】根据题意可知，每边上的三数之和相等，假设四个角上的数为A、B、C、D，每边上的三数之和等于m，则1＋2＋…＋8＋（A＋B＋C＋D）＝4m，据此求出m的最大值，然后根据m的值填写各边上的数，据此即可解答。 【详解】假设四个角上的数为A、B、C、D，每边上的三数之和等于m。 1＋2＋…＋8＋（A＋B＋C＋D）＝4m 36＋（A＋B＋C＋D）＝4m m＝9＋（A＋B＋C＋D）÷4 5＋6＋7＋8＝26 26÷4＝6……2 3＋6＋7＋8＝24 24÷4＝6 所以m的最大值为9＋6＝15 8＋7＝15，所以8和7不能在一边上，应该放在对角上，6和3也放在对角上。 8＋6＋1＝15 8＋3＋4＝15 7＋6＋2＝15 7＋3＋5＝15 3．把4~9填入下图中，使每条线上三个数的和相等，都是18。 【答案】见详解 【分析】假设三个角上的数是a、b、c，则有：4＋5＋6＋7＋8＋9＋a＋b＋c＝18×3，39＋a＋b＋c＝54，a＋b＋c＝15，4＋5＋6＝15，4＋5＋9＝18，4＋6＋8＝18，5＋6＋7＝1，满足条件；其他4＋5＋7＝16等都大于15，不可以，据此解答。 【详解】由分析可得： 4．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？ 【答案】9 【分析】封闭型数阵图，根据线和相等，先求出B，然后求出线和，再求A和C。 【详解】 C＝ 5．把1~10这10个数填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等。 【答案】 6．将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。 【答案】见解析 【分析】八个〇中填入的是1～8，因此可以先求出这8个数的和，1＋2＋3＋……＋8＝（1＋8）×8÷2＝9×8÷2＝36。小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，因此可以求出小正方形的四个顶点数之和为：36÷（2＋1）＝12。大正方形每条边上的三个数之和都相等，因此可以求出大正方形每条边上的三个数之和为：（36＋12）÷4＝12。因为1＋2＋3＋6＝12，4＋5＋7＋8＝24，因此小正方形的四个顶点数分别为1、2、3、6，大正方形的四个顶点数分别为4、5、7、8，然后进行尝试即可。 【详解】如图： 三、复合型数阵图（综合型） 1．将1～6填入如图的〇中，要求四条直线上的数字之和都等于10。 【答案】见详解 【分析】观察上图可知，四条直线上的数字和都等于10，由于4＋6＝10，所以最下面直线上的两个数是4和6，还剩下1、3、2、5四个数，只能是6＋1＋3＝10，4＋1＋5＝10，3＋2＋5＝10，据此填写即可解答。 【详解】 2．如图，将1～9填入圈内，使每个大圆上的三个数的和相等。 【答案】见详解 【分析】根据题意可知，每个大圆上的三个数的和相等，所以1～9的和等于中间圆圈上三个数和的3倍，1～9的和等于45，45除以3等于中间圆圈上三个数的和，即等于15，据此即可解答。 【详解】 （答案不唯一） 3．将1~9分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 。 【答案】23 【分析】从图中分析可知，中间的三个数加了两次，这3条线上的4个数的和都相等，也就是每条线4个数的和×3＝1到9个数的总和＋中间的三个数。1到9个数的总和是45，那么最大的情况就是这三个数的和最大时候。即这三个数是7、8、9时，和最大为24。则每条线4个数的和＝（1到9个数的总和＋中间的三个数）÷3。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋（7＋8＋9）＝69 69÷3＝23 则这个和最大是23。 4．将分别填入如图中，使五个正方形的四个顶点上的数的和相等。 【答案】 【分析】将16个数填写在正方形中，每个数字只填一遍，则边上的四个正方形的和就是1到16的和，即每个正方形的和是34。再通过尝试将16个数字填写在图中。 【详解】1＋2＋3＋……＋16 ＝（1＋16）×16÷2 ＝17×8 ＝136 136÷4＝34 5．下图中三个圆圈两两相交形成七个部分，4，6，8三个数已填好，在空着的四个部分分别填入3，5，7，9，使每个圆圈中四个数的和都是22。这三个圆公共的部分应填 。 【答案】3 【分析】每个圆圈中四个数的和都是22，其中 4，6，8三个数已填好，根据题意列出三个等式22＝4＋8＋（  ）＋（  ）、22＝4＋6＋（  ）＋（  ）、22＝6＋8＋（  ）＋（  ），则当圆圈里面有4和6的时候和是最小的，根据数字大数和小数的搭配，这个圈里面其他的一个数应该是较大的数为9，则另外一个数3。 【详解】22＝4＋6＋9＋3 22＝4＋8＋7＋3 22＝6＋8＋5＋3 这三个圆公共的部分应填3。 6．将1～10填入图中的十个〇中，使得每个菱形的四个顶点数之和相等。问：这个和的最大值和最小值各是多少？请各给出一种填法。 【答案】 和的最大值是24，和的最小值是20，填法见解析。 【分析】如图所示，观察这个数阵图，发现图中a、b各计算2次，设每个菱形的四个顶点数之和为x，则可知3x＝1＋2＋……＋10＋a＋b，即3x＝55＋a＋b。问题是需要求x的最大值和最小值各是多少，也就是求a＋b的最大值和最小值各是多少。根据3x＝55＋a＋b可知，55＋a＋b必须是3的倍数，由此即可知道a＋b最大为多少，a＋b最小为多少，即可求出这个和的最大值和最小值各是多少。然后再完成数阵图的填写。 【详解】如图，设每个菱形的四个顶点数之和为x， 3x＝1＋2＋……＋10＋a＋b， 3x＝55＋a＋b ①当a＋b＝10＋7＝17或者a＋b＝9＋8＝17时，x最大， x最大为：（55＋17）÷3 ＝72÷3 ＝24 填法如下（不唯一）： ②当a＋b＝1＋4＝5或者a＋b＝2＋3＝5时，x最小， x最小为：（55＋5）÷3 ＝60÷3 ＝20 填法如下（不唯一）： 7．将填入如图中的9个小圆圈内，使得每一个大圆及每条直线上三个数之和全部相等。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】观察可得，每条直线上三个数分别是，根据等差数列求和公式即可求出它们的和，这个和除以3即为每一个大圆及每条直线上三个数之和。然后再结合“最大配最小”的原则即可填空。 【详解】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45 45÷3＝15 15＝1＋9＋5＝2＋6＋7＝3＋4＋8 （答案不唯一） 8．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求 A。    【答案】19 【分析】根据题意，图中含有中心圆圈内的数的所有直线的两边的数之和相等；进而用A表示出其他的数，列式计算即可。 【详解】    根据题意，每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个的平均数， 所以图中含有数c的所有直线的两边的数之和相等，所以 b＝15×2－13 ＝30－13 ＝17 d＋17＝13＋A，因此d＝A－4； 15＋e＝13＋A，因此e＝A－2 2d＝13＋e 2（A－4）＝13＋A－2 解得：A＝19    9．请将1、2、3、4、5、6、7、8八个数字填入右图中的八块区域内，使得每一个圆圈与它相邻的区域内的数之和都相等。 【答案】 【分析】复合型数阵图问题，每块区域的数都重复了一次，利用数和、线和的关系进行求解。 【详解】如图， 令； 已知a，b，c，d，e，f，g，h各自用了两次，计算数和，； 令，解得； 容易得出1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+4+6+7=18，2+3+5+8=18，2+3+6+7=18， 2+4+5+7=18，3+4+5+6=18， 要保证每个数用两次，选择1+4+5+8=18，1+4+6+7=18，2+3+5+8=18，2+3+6+7=18这四组，并进行合理构造，得出最后的填法。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $