第09讲 比和比例应用题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第09讲 比和比例应用题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深刻理解比、比例的意义和基本性质，掌握比与分数、除法的联系与区别，能准确判断正比例和反比例关系。 2.熟练运用比和比例的基本性质解决按比例分配问题；能运用正反比例关系解决实际问题；掌握比例应用题中“不变量”的核心思想，并能运用其解决复杂问题；学会进行连比转换和利用分数与比例的关系解题。 3.培养运用比例思想分析问题、解决问题的能力，提升逻辑思维和抽象思维能力；体会“变与不变”的数学思想，增强用数学解决实际问题的信心和兴趣。 知识梳理 知识点一、比和比例的基本概念与性质 1.比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。例如：a÷b=a:b (b≠0)，其中a是前项，b是后项。 2.比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 3.比例的意义： 表示两个比相等的式子叫做比例。例如：a:b=c:d 或 a/b=c/d (b、d≠0) 4.比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（交叉相乘相等）即：若a:b=c:d，则ad=bc。 5.比、分数、除法的联系与区别： 深刻理解三者之间的对应关系，能灵活转化。 6.最简整数比： 比的前项和后项都是整数，且只有公因数1。 7.比值： 比的前项除以后项所得的商，可以是整数、分数或小数。 知识点二、按比例分配 1.基本类型： 已知总量和各部分量的比，求各部分量。 2.解题关键： 先求出总份数，再求出一份的量（归一），最后求出各部分的量。 3.公式： 总量÷总份数=一份的量；一份的量×对应份数=该部分的量。 4.变式1： 已知一个部分量和各部分量的比，求总量或其他部分量。 5.变式2： 已知两个量的差（或和差）与它们的比，求这两个量或总量。 知识点三、正比例与反比例的应用 1.正比例关系： （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表示：y/x=k (一定) 或 y=kx (k≠0)。 （3）图像：一条经过原点的直线。 （4）常见例子：速度一定，路程和时间成正比例；单价一定，总价和数量成正比例；工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例。 2.反比例关系： （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 （2）字母表示：x×y=k (一定) 或 y=k/x (k≠0)。 （3）图像：一条曲线（双曲线）。 （4）常见例子：路程一定，速度和时间成反比例；总价一定，单价和数量成反比例；工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 3.判断正、反比例： 关键看是比值一定还是乘积一定。 4.用正、反比例解决问题： （1）分析题意，判断相关联的量成什么比例。 （2）设未知数，列出比例式（正比例列比值相等的式子，反比例列乘积相等的式子）。 （3）解比例，检验并作答。 知识点四、比例应用题中的不变量思想（重要） 这是解决复杂比例应用题的核心思想之一。在许多问题中，虽然某些量在变化，但总有一个或几个量是保持不变的，抓住这些不变量是解题的关键。 1.总量不变： 例如，溶液混合问题中，溶质或溶剂的总量不变（根据题意判断）；部分量增减，但总量不变。 2.部分量不变： 例如，两种量的比发生变化，但其中一种量的具体数值不变。 3.差量不变： 例如，两个量同时增加或减少相同的数量，它们的差保持不变；或者两个量的比发生变化，但它们的差不变。 4.和不变： 例如，两个量的比发生变化，但它们的和不变。 5.解题策略： 根据不变量的类型，将不变量对应的份数统一，然后进行比例的转换和计算。 知识点五、复杂比例应用题 1.连比与复比： （1）连比：三个或三个以上量的比。例如a:b:c。已知a:b和b:c，求a:b:c（关键是统一中间量b的份数）。 （2）复比：由两个或多个比的前项相乘的积作为前项，后项相乘的积作为后项所组成的比。例如，速度比为a:b，时间比为c:d，则路程比为ac:bd。 2.比例的转换： （1）根据分率与比的关系进行转换。例如，甲是乙的，可以转化为甲:乙=3:5。 （2）根据“甲数的等于乙数的”，得到甲数:乙数=:=bc:ad。 3.用比例解决工程问题、行程问题、浓度问题等： （1）工程问题：工作效率比、工作时间比、工作量比之间的关系。 （2）行程问题：速度比、时间比、路程比之间的关系。 （3）浓度问题：溶质、溶剂、溶液之间的比例关系，以及溶液混合前后的不变量。 知识点六、用比例解分数应用题 许多分数应用题可以转化为比例应用题来求解，往往更为简便。关键是找到数量与分率（或份数）的对应关系。 知识点七、综合型比例应用题 这类题目往往融合了多个考点，如按比例分配、正反比例、不变量、分数应用题等，需要学生综合运用所学知识，灵活分析。 解题策略与技巧总结： 1.找准对应关系：明确谁与谁的比，哪个量对应哪个份数。 2.抓住不变量：这是解决很多复杂比例问题的突破口。 3.统一份数：当出现多个比时，根据不变量统一相关量的份数。 4.设数法：对于只给出比例关系，没有具体数量的题目，可以巧妙设出一个具体数值（通常设为1或公倍数）来简化计算。 5.画线段图辅助分析：特别是对于按比例分配和涉及差倍关系的题目，线段图能使数量关系更直观。 6.方程法：设未知数，根据比例关系或等量关系列方程求解，是通用方法。 例题讲解 一、按比例分配 【例题1】欢欢、乐乐和迎迎三家一起到饭店用餐，一共用去750元，家长们决定按照每家人数比分摊餐费。求三家各应付多少元？ 【例题2】甲、乙、丙共有存款63万元，甲的存款正好是其他两人存款总额的，乙、丙两人存款钱数的比是4∶3。甲、乙、丙各有存款多少万元？ 二、正比例与反比例的应用 【例题1】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【例题2】中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递速度得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 三、复杂比例应用题 【例题1】小明用240毫升的酸梅原汁加水调制了600毫升酸梅汤，妈妈说，当酸梅汤原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，小明应再往酸梅汤中加水多少毫升？ 【例题2】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 四、用比例解分数应用题 【例题1】甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的，正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？ 五、综合型比例应用题 【例题1】六年级3个班男、女生的人数总和之比是3∶2，一班、二班、三班的人数比是10∶8∶7，一班男、女生的人数比是3∶1，二班男、女生的人数比是5∶3，那么三班男、女生的人数比是多少？ 考点练习 一、按比例分配 1．一种什锦糖是由水果糖、奶糖和酥糖三种糖配制而成的。其中水果糖、奶糖和酥糖三种糖的比是3∶4∶6，如果这三种糖各有20千克，当奶糖全部用完时，水果糖还剩下多少千克？酥糖已经增加了多少千克？ 2．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 3．班级图书角有甲、乙两个书架，甲、乙两个书架上图书本数的比是8∶7，如果从甲书架拿40本书放入乙书架，甲、乙两个书架上图书本数的比就是2∶3。原来两个书架上各有多少本书？ 4．学校图书馆原有文艺书和科技书5400本，其中科技书比文艺书少，最近又买来一批科技书，这时科技书是文艺书本数的，图书馆买来科技书有多少本？ 5．某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序，第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件。现有1332名工人，每道工序各安排多少人是最合理的安排？ 二、正比例与反比例的应用 1．文具店有两种水性笔。思琪带的钱刚好可以买5支单价是1.2元的，她只买单价是2元的，可以买多少支？（用比例解答） 2．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。“天宫”内的航天员们每天可绕地球约16圈，大约每1.5小时就要经历一次日出与日落。我国载人空间站“天宫”飞行76.8km仅需10秒，飞行192km需要多久？（用比例的知识解答） 3．在老城区改造中，要给中山路路面铺上彩色水泥砖，用边长3分米的方砖铺要1600块，若改用边长2分米的方砖要多少块？（用比例解答） 4．甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地50千米。A，B两地相距多少千米？（用比例解答） 5．妙妙和甜甜分别做一个相同的许愿瓶（所折纸星星的数量相同），当妙妙折了所有纸星星的时，甜甜还有没有折，当妙妙折完全部的纸星星时，甜甜还有32颗纸星星没有折，则两人分别要折多少颗纸星星？ 6．李叔叔早上8：00驾车出发从达州开往成都，平均每时行100km，中午12：30到达。第二天沿同一路线从成都返回达州时，路上因交通事故堵塞，平均时速比去时慢了，李叔叔返回时用了多少时？（用比例解） 三、复杂比例应用题 1．甲乙两人原有钱数之比是，后来甲用去80元，乙又得20元，这时甲乙两人的钱数比是，原来两人各有多少钱？ 2．618被称为黄金数，在建筑、音乐、美术、医学等领域有着广泛的应用。人们发现，当人体的下肢与身高的比例是0.618∶1时，人的身材最优美。少年宫舞蹈学校学员小美身高165厘米，下肢长100厘米，她穿上高多少厘米的高跟鞋时，身材看起来最优美？（结果近似到个位） 3．有甲、乙、丙三个梯形，它们高之比依次是1∶2∶3，上底之比依次是6∶9∶4，下底之比依次是12∶15∶10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？ 4．街头出现一位白胡子圣诞老人在送礼物，他的袋子里装有巧克力和水果糖，且数量比为22∶15，圣诞老人碰到花花后给了花花一把巧克力，这时他兜里巧克力和水果糖的数量之比为4∶3，随后他又给亮亮一把水果糖，他袋子里巧克力和水果糖的数量之比为5∶3，已知亮亮拿到的水果糖比花花的巧克力多10颗，那么圣诞老人的袋子里原来共有巧克力和水果糖多少颗？ 5．甲容器中有20%的盐水300克，乙容器中有25%的盐水200克。往甲、乙两容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水浓度一样。每个容器应倒入水多少克？ 6．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 四、用比例解分数应用题 1．在游乐园里，一辆游览列车上坡时，车速会比在平地行车时慢，在下坡时则比在平地行车时快；现在游览列车由甲区开往乙区，全程用了90分钟；已知甲区往乙区的路全长7700米，当中的是上坡路，而其余是下坡路。问该列车在平地行车时的车速是多少米每分钟？ 2．王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京，北京、上海两市间的路程是多少千米？ 3．小华登山，从山脚到途中A点的速度是千米/时，从A点到山顶的速度是2千米/时。他到达山顶后立即按原路下山，下山速度是4千米/时，下山比上山少用了小时。已知途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少500米，且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时。问：从山脚到山顶的路程是多少千米？ 五、综合型比例应用题 1．美术课上，老师把一些彩色铅笔按4∶3分给甲组和乙组同学。甲组比乙组多分到10支彩色铅笔，甲、乙两组各分到多少支彩色铅笔？ 2．服装厂有三条生产线，第一、二、三条生产线上的工人每小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人要使每天三条生产线完成的套数相同，每条生产线应安排多少名工人？ 3．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米，A，B相距多少米？ 4．2023年12月5日，中国船舶集团旗下江南造船公司发布全球首型、世界最大24000TEU级核动力集装箱船船型设计。若该艘核动力集装箱船上有甲、乙两种货箱，它们的个数比是3∶8，如果每次搬运甲货箱150个，乙货箱360个，若干次后，甲货箱刚好搬完，乙货箱还剩200个。乙货箱原有多少个？ 5．小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了10页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 比和比例应用题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深刻理解比、比例的意义和基本性质，掌握比与分数、除法的联系与区别，能准确判断正比例和反比例关系。 2.熟练运用比和比例的基本性质解决按比例分配问题；能运用正反比例关系解决实际问题；掌握比例应用题中“不变量”的核心思想，并能运用其解决复杂问题；学会进行连比转换和利用分数与比例的关系解题。 3.培养运用比例思想分析问题、解决问题的能力，提升逻辑思维和抽象思维能力；体会“变与不变”的数学思想，增强用数学解决实际问题的信心和兴趣。 知识梳理 知识点一、比和比例的基本概念与性质 1.比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。例如：a÷b=a:b (b≠0)，其中a是前项，b是后项。 2.比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 3.比例的意义： 表示两个比相等的式子叫做比例。例如：a:b=c:d 或 a/b=c/d (b、d≠0) 4.比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（交叉相乘相等）即：若a:b=c:d，则ad=bc。 5.比、分数、除法的联系与区别： 深刻理解三者之间的对应关系，能灵活转化。 6.最简整数比： 比的前项和后项都是整数，且只有公因数1。 7.比值： 比的前项除以后项所得的商，可以是整数、分数或小数。 知识点二、按比例分配 1.基本类型： 已知总量和各部分量的比，求各部分量。 2.解题关键： 先求出总份数，再求出一份的量（归一），最后求出各部分的量。 3.公式： 总量÷总份数=一份的量；一份的量×对应份数=该部分的量。 4.变式1： 已知一个部分量和各部分量的比，求总量或其他部分量。 5.变式2： 已知两个量的差（或和差）与它们的比，求这两个量或总量。 知识点三、正比例与反比例的应用 1.正比例关系： （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）字母表示：y/x=k (一定) 或 y=kx (k≠0)。 （3）图像：一条经过原点的直线。 （4）常见例子：速度一定，路程和时间成正比例；单价一定，总价和数量成正比例；工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例。 2.反比例关系： （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 （2）字母表示：x×y=k (一定) 或 y=k/x (k≠0)。 （3）图像：一条曲线（双曲线）。 （4）常见例子：路程一定，速度和时间成反比例；总价一定，单价和数量成反比例；工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 3.判断正、反比例： 关键看是比值一定还是乘积一定。 4.用正、反比例解决问题： （1）分析题意，判断相关联的量成什么比例。 （2）设未知数，列出比例式（正比例列比值相等的式子，反比例列乘积相等的式子）。 （3）解比例，检验并作答。 知识点四、比例应用题中的不变量思想（重要） 这是解决复杂比例应用题的核心思想之一。在许多问题中，虽然某些量在变化，但总有一个或几个量是保持不变的，抓住这些不变量是解题的关键。 1.总量不变： 例如，溶液混合问题中，溶质或溶剂的总量不变（根据题意判断）；部分量增减，但总量不变。 2.部分量不变： 例如，两种量的比发生变化，但其中一种量的具体数值不变。 3.差量不变： 例如，两个量同时增加或减少相同的数量，它们的差保持不变；或者两个量的比发生变化，但它们的差不变。 4.和不变： 例如，两个量的比发生变化，但它们的和不变。 5.解题策略： 根据不变量的类型，将不变量对应的份数统一，然后进行比例的转换和计算。 知识点五、复杂比例应用题 1.连比与复比： （1）连比：三个或三个以上量的比。例如a:b:c。已知a:b和b:c，求a:b:c（关键是统一中间量b的份数）。 （2）复比：由两个或多个比的前项相乘的积作为前项，后项相乘的积作为后项所组成的比。例如，速度比为a:b，时间比为c:d，则路程比为ac:bd。 2.比例的转换： （1）根据分率与比的关系进行转换。例如，甲是乙的，可以转化为甲:乙=3:5。 （2）根据“甲数的等于乙数的”，得到甲数:乙数=:=bc:ad。 3.用比例解决工程问题、行程问题、浓度问题等： （1）工程问题：工作效率比、工作时间比、工作量比之间的关系。 （2）行程问题：速度比、时间比、路程比之间的关系。 （3）浓度问题：溶质、溶剂、溶液之间的比例关系，以及溶液混合前后的不变量。 知识点六、用比例解分数应用题 许多分数应用题可以转化为比例应用题来求解，往往更为简便。关键是找到数量与分率（或份数）的对应关系。 知识点七、综合型比例应用题 这类题目往往融合了多个考点，如按比例分配、正反比例、不变量、分数应用题等，需要学生综合运用所学知识，灵活分析。 解题策略与技巧总结： 1.找准对应关系：明确谁与谁的比，哪个量对应哪个份数。 2.抓住不变量：这是解决很多复杂比例问题的突破口。 3.统一份数：当出现多个比时，根据不变量统一相关量的份数。 4.设数法：对于只给出比例关系，没有具体数量的题目，可以巧妙设出一个具体数值（通常设为1或公倍数）来简化计算。 5.画线段图辅助分析：特别是对于按比例分配和涉及差倍关系的题目，线段图能使数量关系更直观。 6.方程法：设未知数，根据比例关系或等量关系列方程求解，是通用方法。 例题讲解 一、按比例分配 【例题1】欢欢、乐乐和迎迎三家一起到饭店用餐，一共用去750元，家长们决定按照每家人数比分摊餐费。求三家各应付多少元？ 【答案】欢欢家：250元；乐乐家：200元；迎迎家：300元 【分析】欢欢家有5口人，乐乐家有4口人，迎迎家有6口人，所以三家的人数比为5∶4∶6。总份数为5＋4＋6＝15份。一共用去750元，那么每份的金额是750÷15＝50元，用50乘5可得出欢欢家应付的餐费；用50乘4可得出乐乐家应付的餐费；用50乘6可得出迎迎家应付的餐费。 【详解】三家的人数比为5∶4∶6。 5＋4＋6＝15（份） 750÷15＝50（元） 50×5＝250（元） 50×4＝200（元） 50×6＝300（元） 答：欢欢家应付250元，乐乐家应付200元，迎迎家应付300元。 【例题2】甲、乙、丙共有存款63万元，甲的存款正好是其他两人存款总额的，乙、丙两人存款钱数的比是4∶3。甲、乙、丙各有存款多少万元？ 【答案】甲21万元；乙24万元；丙18万元 【分析】把三人存款总额63万元看作单位“1”，已知甲的存款正好是其他两人款总额的，则甲的存款占三人存款总额的，单位“1”已知，用三人存款总额乘，求出甲的存款； 用三人存款总额减去甲的存款，即是乙、丙两人存款钱数之和； 已知乙、丙两人存款钱数的比是4∶3，即乙、丙的存款占乙、丙存款钱数之和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别求出乙、丙的存款。 【详解】甲：63×＝21（万元） 乙、丙的存款之和：63－21＝42（万元） 乙的存款： 42× ＝42× ＝24（万元） 丙的存款： 42× ＝42× ＝18（万元） 答：甲有存款21万元，乙有存款24万元，丙有存款18万元。 二、正比例与反比例的应用 【例题1】王老师一家春节开车回老家过年，平均每小时行100千米，3.4小时到达。回来时原路返回，平均每小时约行85千米，回程需要几小时？（用比例解答） 【答案】4小时 【分析】根据题意，去时和回程的路程相同，速度和时间成反比例关系。设回程需要x小时，可列比例式：85x＝100×3.4，解比例方程即可。 【详解】解：设回程需要x小时。 85x＝100×3.4 85x＝340 x＝340÷85 x＝4 答：回程需要4小时。 【例题2】中国快递越来越“科技范儿”。分拣机器人、大数据AI调试等智能设备系统已成为物流仓库的“隐形指挥官”。某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递速度得到了很大提升，3分钟即可处理快递4800件。照这样计算，要完成7.2万件的分拣任务，需要多长时间？（用比例解答） 【答案】45分钟 【分析】智能分拣系统的分拣速度是固定的（即每分钟处理的快递件数不变），根据“速度＝总件数÷时间”，当速度一定时，总件数与时间的比值不变，因此两者成正比例关系。设完成7.2万件分拣任务需要x分钟，因为1万＝10000，所以7.2万件为7.2×10000＝72000件。3分钟处理4800件，因为总件数与时间成正比例，所以可列出比例：4800∶3＝72000∶x，然后根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，解答即可。 【详解】解：设完成7.2万件分拣任务需要x分钟。 4800∶3＝7.2×10000∶x 4800∶3＝72000∶x 4800x＝3×72000 4800x＝216000 x＝216000÷4800 x＝45 答：完成7.2万件的分拣任务需要45分钟。 三、复杂比例应用题 【例题1】小明用240毫升的酸梅原汁加水调制了600毫升酸梅汤，妈妈说，当酸梅汤原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，小明应再往酸梅汤中加水多少毫升？ 【答案】200毫升 【分析】根据酸梅汤原汁和水的比是3∶7，可设需要加水x毫升，列出比例240∶（600－240＋x）＝3∶7计算求解即可。 【详解】解：设需要加水x毫升， 240∶（600－240＋x）＝3∶7 （360＋x）×3＝240×7 1080＋3x＝1680 1080＋3x－1080＝1680－1080 3x＝600 3x÷3＝600÷3 x＝200； 答：小明应再往酸梅汤中加水200毫升。 【例题2】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 【答案】吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 四、用比例解分数应用题 【例题1】甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的，正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？ 【答案】29.7千米 【分析】因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙路程比，可推知速度比及所用时间比，根据甲行了全程的，可以求出甲行了全程1-=、甲与乙的速度比为5:6.再根据“距离相同，速度比=时间的反比”．最后可求甲行完全程所用的时间5.5×=6.6小时，再根据“速度×时间=距离”可得A、B两地相距6.6×4.5=29.7千米． 【详解】甲路程：乙路程=:（1-）=5:6 甲速度：乙速度=5:6 甲、乙两人走完全程所用的时间比：6:5 走完全程甲所用的时间为5.5×=6.6 A、B两地相距：6.6×4.5=29.7（千米） 答：A、B两地相距29.7千米． 五、综合型比例应用题 【例题1】六年级3个班男、女生的人数总和之比是3∶2，一班、二班、三班的人数比是10∶8∶7，一班男、女生的人数比是3∶1，二班男、女生的人数比是5∶3，那么三班男、女生的人数比是多少？ 【答案】5∶9 【分析】根据题意：一、二、三班人数比，求出每班占全年级人数的分率；根据一、二、三班男、女生人数比，从而得出每班男生人数占全年级的分率；根据全年级男、女生人数比，得出男、女生分别占全年级总人数分率；用全年级男生的分率减一班男生的分率减二班男生的分率，即是三班男生的分率，再用三班总的分率减男生占的分率，即是女生的分率，求出男、女生的比，即可解答。 【详解】因为一班∶二班∶三班的人数比是10∶8∶7，10＋8＋7＝25（份） 所以一班人数占全年级人数的比为 二班人数占全年级人数的比为 三班人数占全年级人数的比为 因为一班男女生人数比是3∶1 所以一班男生人数占该班人数的，即占全年级总人数的 因为二班男女生人数比是5∶3 所以二班男生人数占该班人数的，即占全年级总人数的 而全年级男女生人数比是3∶2 即全部男生占全年级总人数的 所以三班男生占全年级总人数的 所以三班女生占全年级人数的 所以三班男女生人数比就为5∶9 答：三班男、女生的人数比是5∶9。 考点练习 一、按比例分配 1．一种什锦糖是由水果糖、奶糖和酥糖三种糖配制而成的。其中水果糖、奶糖和酥糖三种糖的比是3∶4∶6，如果这三种糖各有20千克，当奶糖全部用完时，水果糖还剩下多少千克？酥糖已经增加了多少千克？ 【答案】 水果糖还剩下5千克，酥糖已经增加了10千克。 【分析】根据比的分配，当奶糖用完时，计算出每份的重量，进而求出水果糖和酥糖的使用量，再与原有数量比较得出剩余和增加量。 【详解】20 ÷ 4 ＝ 5（千克） （千克） （千克） 答：水果糖还剩下5千克；酥糖已经增加了10千克。 2．制造一个零件，甲需8分钟，乙需6分钟，丙需5分钟。现在有1180个零件的制造任务分配给他们三人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件？ 【答案】甲分配到300个零件；乙分配到400个零件；丙分配到480个零件。 【分析】根据工作时间×工作效率＝工作总量，加工同样的零件时，工作总量一定，工作时间和工作效率成反比，根据时间的比，推导出效率的比，再结合工作时间一定，工作效率和工作总量成正比，从而得出三者工作量之比，从而根据工作量比将总1180个零件分配下去即可。 【详解】甲乙丙的时间比＝8∶6∶5 根据工作总量一定，工作效率和工作时间成反比，可得： 甲乙丙的效率比＝15∶20∶24 当时间相同时，工作效率和工作总量成正比 因此，甲乙丙的工作量比＝15∶20∶24 1180÷（15＋20＋24）＝20（个） 甲：20×15＝300（个） 乙：20×20＝400（个） 丙：20×24＝480（个） 答：甲应该分配300个，乙分配400个，丙分配480个。 3．班级图书角有甲、乙两个书架，甲、乙两个书架上图书本数的比是8∶7，如果从甲书架拿40本书放入乙书架，甲、乙两个书架上图书本数的比就是2∶3。原来两个书架上各有多少本书？ 【答案】160本；140本 【分析】根据题意，如果从甲书架拿40本书放入乙书架，书的总数没变，因为甲、乙两个书架上图书的本数比是8∶7，那么甲书架的书占总数的，如果从甲书架拿40本书放入乙书架，那么甲书架上的书占总数的，利用甲书架少的40本除以分率差即可求出总数，再把总数按8∶7进行比例分配，用总本数乘就是原来甲书架上书的本数，再用总本数减去原来甲书架上书的本数就是乙书架上原来书的本数。 【详解】40÷（） ＝40÷（－） ＝40÷（－） ＝40 ＝40× ＝300（本） 300 ＝300× ＝160（本） 300－160＝140（本） 答：甲书架原来有160本，乙书架原来有140本。 4．学校图书馆原有文艺书和科技书5400本，其中科技书比文艺书少，最近又买来一批科技书，这时科技书是文艺书本数的，图书馆买来科技书有多少本？ 【答案】300本 【分析】科技书比文艺书少，以文艺书为单位“1”，科技书是文艺书的（1－），则科技书和文艺书的比是4∶5。按比分配，科技书的本数占总本数的，文艺书的本数占总本数的，总本数是5400本，求一个数的几分之几用乘法分别得出两种书的本数。再根据科技书是文艺书本数的，文艺书的本数不变，即用乘法得出现在科技书的本数，最后用现在科技书的本数减原来科技书的本数就是买来科技书的本数。 【详解】 （本） （本） （本） 2700－2400＝300（本） 答：图书馆买来科技书有300本。 5．某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序，第一道工序平均每人每小时做20件，第二道工序平均每人每小时做16件，第三道工序平均每人每小时做24件。现有1332名工人，每道工序各安排多少人是最合理的安排？ 【答案】432人；540人；360人 【分析】第一道工序平均每人每小时做20件，则需要的人数为，第二道工序平均每人每小时做16件，则需要的人数为，第三道工序平均每人每小时做24件，则需要的人数为，根据比的意义求出三道工序需要的人数比； 把零件总数看成单位“1”，根据求出的三道工序的人数比，用按比例分配的方法求出每道工序需要的人数即可。 【详解】第一道工序需要的人数为；第二道工序需要；第三道工序需要 则每道工序的人数比： ∶∶ ＝（×240）∶（×240）∶（×240） ＝12∶15∶10 第一道工序需要人数： 1332× ＝1332× ＝432（人） 第二道工序需要人数： 1332× ＝1332× ＝540（人） 第三道工序需要人数： 1332× ＝1332× ＝360（人） 答：第一道工序安排432人，第二道工序安排540人，第三道工序安排360人，是最合理的安排。 二、正比例与反比例的应用 1．文具店有两种水性笔。思琪带的钱刚好可以买5支单价是1.2元的，她只买单价是2元的，可以买多少支？（用比例解答） 【答案】3支 【分析】思琪带的钱的总数不变，即单价×数量＝总价（一定），乘积一定，所以单价和数量成反比例，设买单价是2元的，可以买x支，列出反比例方程解答即可。 【详解】解：设可以买x支。 2x＝5×1.2 2x＝6 x＝6÷2 x＝3 答：可以买3支。 2．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。“天宫”内的航天员们每天可绕地球约16圈，大约每1.5小时就要经历一次日出与日落。我国载人空间站“天宫”飞行76.8km仅需10秒，飞行192km需要多久？（用比例的知识解答） 【答案】25秒 【分析】根据速度＝路程÷时间，速度不变情况下可知飞行的路程和时间成正比例。据此列出比例解答即可。 【详解】解：设飞行192千米需要x秒。 76.8∶10＝192∶x 76.8x＝192×10 76.8x＝1920÷76.8 x＝25 答：飞行192千米需要25秒。 3．在老城区改造中，要给中山路路面铺上彩色水泥砖，用边长3分米的方砖铺要1600块，若改用边长2分米的方砖要多少块？（用比例解答） 【答案】3600块 【分析】要铺设的路面面积一定，则所需方砖的面积与方砖的块数成反比，设若改用边长2分米的方砖要x块，列出反比例方程解答即可。 【详解】2×2×x＝3×3×1600 4x＝9×1600 4x＝14400 4x÷4＝14400÷4 x＝3600 答：若改用边长2分米的方砖要3600块。 4．甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地50千米。A，B两地相距多少千米？（用比例解答） 【答案】75千米 【分析】题目可以理解为：甲行驶50千米时，乙行驶了30千米，则甲乙的速度比为50∶30；又因为当时间相同时，路程之比等于速度之比，假设AB两地相距x千米，可列比例：x∶（x－30）＝50∶30求解即可。 【详解】解：设AB两地相距x千米，由题意得： x∶（x－30）＝50∶30 x∶（x－30）＝5∶3 3x＝5（x－30） 3x＝5x－150 5x－3x＝150 2x＝150 x＝75 答：AB两地相距75千米。 5．妙妙和甜甜分别做一个相同的许愿瓶（所折纸星星的数量相同），当妙妙折了所有纸星星的时，甜甜还有没有折，当妙妙折完全部的纸星星时，甜甜还有32颗纸星星没有折，则两人分别要折多少颗纸星星？ 【答案】160颗 【分析】由题意可知，把纸星星的总数量看作单位“1”，速度一定时，妙妙所折的纸星星数与甜甜所折的纸星星数成正比例，即妙妙所折的纸星星数占总数的分率与甜甜所折的纸星星数占总数的分率也成正比例，设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占整体的，等量关系式是妙妙折了所有纸星星的∶此时甜甜所折的纸星星数占总数的分率＝1∶妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的分率，据此列方程并解答，再根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数用除法计算，用妙妙折完时，甜甜还没折的数量除以其对应的分率即可得解。 【详解】解：设妙妙折完时，甜甜折的纸星星占总数的。 32÷（1－） ＝32÷ ＝32×5 ＝160（颗） 答：两人分别要折160颗纸星星。 6．李叔叔早上8：00驾车出发从达州开往成都，平均每时行100km，中午12：30到达。第二天沿同一路线从成都返回达州时，路上因交通事故堵塞，平均时速比去时慢了，李叔叔返回时用了多少时？（用比例解） 【答案】6时 【分析】根据题意，去程和返程的路程相同，速度与时间成反比例关系。先用到达时间减出发时间计算去程时间，把去时速度看作单位“1”，则回时速度是，设李叔叔返回时用了时，等量关系式是：回时速度×返回时间＝去时速度×去程时间，据此列比例并求解。 【详解】12：30－8：00＝4时30分＝4.5时 解：设李叔叔返回时用了时。 答：李叔叔返回时用了6时。 三、复杂比例应用题 1．甲乙两人原有钱数之比是，后来甲用去80元，乙又得20元，这时甲乙两人的钱数比是，原来两人各有多少钱？ 【答案】1380元；1150元 【分析】本题可以列方程来解决。甲乙两人原有钱数之比是，因此可以设甲原来有6x元钱，则乙原来有5x元钱。后来甲用去80元，乙又得20元，此时甲的钱数是（6x－80）元，乙的钱数是（5x＋20）元。然后再根据甲乙两人的钱数比是即可列出方程。 【详解】解：设甲原来有6x元钱，则乙原来有5x元钱。 甲：（元） 乙：（元） 答：甲原来有1380元钱，则乙原来有1150元钱。 2．618被称为黄金数，在建筑、音乐、美术、医学等领域有着广泛的应用。人们发现，当人体的下肢与身高的比例是0.618∶1时，人的身材最优美。少年宫舞蹈学校学员小美身高165厘米，下肢长100厘米，她穿上高多少厘米的高跟鞋时，身材看起来最优美？（结果近似到个位） 【答案】5厘米 【分析】根据“当人体的下肢与身高的比例是0.618∶1时，人的身材最优美，”即要使人的身材最优美，人体的下肢与身高的比值是一定的，由此列出比例，解决问题。 【详解】解：设小美高跟鞋的高度为x厘米， （100＋x）∶（165＋x）＝0.618∶1 （165＋x）×0.618＝100＋x 165×0.618＋0.618x＝100＋x 0.382x＝1.97 x≈5 答：她穿上高5厘米的高跟鞋时，身材看起来最优美。 3．有甲、乙、丙三个梯形，它们高之比依次是1∶2∶3，上底之比依次是6∶9∶4，下底之比依次是12∶15∶10，已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】150平方厘米 【分析】将甲、乙、丙的高看作1、2、3份，上底看作6、9、4份，下底看作12、15、10份，根据梯形的面积公式分别求出它们的面积的份数，再求乙、丙两个梯形面积份数是甲的几倍，由甲的面积是30平方厘米，即可求出乙、丙的面积之和。 【详解】甲的面积份数：（6＋12）×1÷2＝9 乙的面积份数：（9＋15）×2÷2＝24 丙的面积份数：（4＋10）×3÷2＝21 乙、丙梯形面积份数之和是甲梯形份数的几倍： （21＋24）÷9＝45÷9＝5（倍） 故乙丙梯形面积之和为：30×5＝150（平方厘米）。 答：乙与丙两个梯形的面积之和是150平方厘米。 4．街头出现一位白胡子圣诞老人在送礼物，他的袋子里装有巧克力和水果糖，且数量比为22∶15，圣诞老人碰到花花后给了花花一把巧克力，这时他兜里巧克力和水果糖的数量之比为4∶3，随后他又给亮亮一把水果糖，他袋子里巧克力和水果糖的数量之比为5∶3，已知亮亮拿到的水果糖比花花的巧克力多10颗，那么圣诞老人的袋子里原来共有巧克力和水果糖多少颗？ 【答案】370颗 【分析】圣诞老人的袋子里装的巧克力和水果糖的数量比为22∶15，老人送给了花花一把巧克力后巧克力和水果糖的数量之比为4∶3，花花得到的巧克力数量占水果糖数量的；当老人给亮亮一把水果糖，他袋子里巧克力和水果糖的数量之比为5∶3，亮亮得到原水果糖的1，亮亮拿到的水果糖比花花的巧克力多原水果糖，用10除以可得原水果糖的数量，再求巧克力的数量。 【详解】，1 10÷（） ＝10 ＝150（颗） 150220（颗） 150＋220＝370（颗） 答：圣诞老人的袋子里原来共有巧克力和水果糖370颗。 5．甲容器中有20%的盐水300克，乙容器中有25%的盐水200克。往甲、乙两容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水浓度一样。每个容器应倒入水多少克？ 【答案】300克 【分析】根据溶液×浓度＝溶质，代入数据分别求出两种盐水中盐的质量，甲容器中有60克盐，乙容器中有50克盐；往甲、乙两容器中分别加入等量的水，甲容器和乙容器的盐水质量差不变，根据浓度＝溶质÷溶液，浓度相同，溶质比＝溶液比，据此可知，现在甲、乙的溶液比＝60∶50＝6∶5，把现在甲容器的盐水质量看作6份，乙容器的盐水质量看作5份，它们相差（6－5）份，也就是（6－5）份是（300－200）克，据此求出每份是多少，进而求出6份，也就是现在甲容器的盐水质量，然后减去300克，即可求出加入的水的质量。 【详解】300×20%＝60（克） 200×25%＝50（克） 60∶50 ＝（60÷10）∶（50÷10） ＝6∶5 （300－200）÷（6－5） ＝100÷1 ＝100（克） 6×100＝600（克） 600－300＝300（克） 答：每个容器应倒入水300克。 6．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 【答案】10个 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高； 在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高； 由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。 答：工作时间内下了10天雨。 四、用比例解分数应用题 1．在游乐园里，一辆游览列车上坡时，车速会比在平地行车时慢，在下坡时则比在平地行车时快；现在游览列车由甲区开往乙区，全程用了90分钟；已知甲区往乙区的路全长7700米，当中的是上坡路，而其余是下坡路。问该列车在平地行车时的车速是多少米每分钟？ 【答案】105米 【分析】把平地车速看作单位“1”，据此分别写出上、下坡的车速比、路程比，以及所用时间的比；然后再按分数乘除法作答，由此即可解答。 【详解】上坡车速与下坡车速的比： 上坡路程与下坡路程的比：13∶（22－13）＝13∶9 上坡时间与下坡时间的比：＝13∶5 上坡路程：7700＝4550（米） 上坡时间：90（分钟） 上坡车速：（米/分） 平地车速： ＝105（米/分） 答：该列车在平地行车时的车速是105米/分。 2．王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京，北京、上海两市间的路程是多少千米？ 【答案】1260千米 【分析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，即车速与原计划的车速比为10∶9，则所用时间比为9∶10，即比原计划少用1份的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1份，原计划时间为：1.5÷（10－9）×10＝15（小时）；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，即此后车速与原来的车速比为7∶6，则此后所用时间与原计划的时间比为6∶7，即此后比原计划少用1份的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1份，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：÷（7－6）×7＝（小时），所以，原计划的速度为：280÷（15－）＝84（千米/时），北京、上海两市间的路程为：84×15＝1260（千米）。 【详解】一个半小时＝1.5小时    1小时40分＝小时 出发时：实际车速∶原计划车速＝10∶9 根据路程一定，速度和时间成反比 实际用时∶原计划用时＝9∶10 原计划用时＝1.5÷（10－9）×10＝15（小时） 返回时，行了280千米后 实际车速∶原计划车速＝7∶6 实际用时∶原计划用时＝6∶7 原计划用时＝÷（7－6）×7＝（小时） 即前280千米用时：15－＝（小时） 原计划速度：280÷＝84（千米/小时） 全程：84×15＝1260（千米） 答：北京、上海两市间的路程是1260千米。 3．小华登山，从山脚到途中A点的速度是千米/时，从A点到山顶的速度是2千米/时。他到达山顶后立即按原路下山，下山速度是4千米/时，下山比上山少用了小时。已知途中B点到山顶的路程比A点到山顶的路程少500米，且小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时。问：从山脚到山顶的路程是多少千米？ 【答案】5.5千米 【分析】如图：可以看到AB相距0.5千米，“小华从A点开始上山至下山到达B点恰好用了1小时”我们不妨让小华下山也走到A点，这样一共走了1＋0.5÷4小时，因为从A点上山与从山顶到A点路程相同，根据反比例的意义，上山与下山的速度比是2∶4＝1∶2，因此上山与下山的时间比是2∶1，把按2∶1分配，上山用了小时，可得出从A点上山路是21.5千米；可算出A点上山顶与山顶到A点所用的时间差为：1.5÷2小时，1.5÷4小时，小时，因此小时的时间差是在行山脚与A点这段路程中产生的。这段路程中上、下山的速度比是∶4＝2∶3，则时间比为3∶2，而时间差为小时，可见3份与2份差1份是小时，因此上山的3份时间是小时，4千米，也可求得结果为5.5千米。 【详解】如图： 500米＝0.5千米，1＋0.5÷4（小时） 上山与下山的速度比是2∶4＝1∶2 因此上山与下山的时间比是2∶1 （小时） （小时） 得出从A点上山路是21.5（千米） 1.5÷2－1.5÷4（小时） 下山的速度比是∶4＝2∶3，则时间比为3∶2 （）÷（3－2）×3×1.5 ＝1.51.5 ＝5.5（千米） 答：从山脚到山顶的路程是5.5千米。 五、综合型比例应用题 1．美术课上，老师把一些彩色铅笔按4∶3分给甲组和乙组同学。甲组比乙组多分到10支彩色铅笔，甲、乙两组各分到多少支彩色铅笔？ 【答案】甲组分到40支彩色铅笔，乙组分到30支彩色铅笔。 【分析】设乙组分到支，甲组分到支。由题意可知等量关系式，甲组分得的支数∶乙组分得的支数＝4∶3，据此列方程并求解，可得乙组分得的支数，再加10可得甲组分得的支数。 【详解】解：设乙组分到支，甲组分到支。 甲组：30＋10＝40（支） 答：甲组分到40支彩色铅笔，乙组分到30支彩色铅笔。 2．服装厂有三条生产线，第一、二、三条生产线上的工人每小时分别能完成西服30套、24套、20套，现有90名工人要使每天三条生产线完成的套数相同，每条生产线应安排多少名工人？ 【答案】24人；30人；36人 【分析】根据人数×每小时完成的套数等于总套数，要求每天三条线完成的总套数相同，即总套数一定，则人数和每小时完成的套数成反比例。根据三条线上每小时完成的套数比，推出每条线上的人数比，再将90人，按照比进行分配即可。 【详解】三条生产线的工人每小时完成的套数比＝30∶24∶20＝15∶12∶10 根据每条线上的总套数一定，则每条线上的人数和每小时完成的套数成反比 因此，三条线上的人数比＝12∶15∶18 90÷（12＋15＋18） ＝90÷45 ＝2（人） 第一条生产线人数：2×12＝24（人） 第二条生产线人数：2×15＝30（人） 第三条生产线人数：2×18＝36（人） 答：第一条生产线安排24人，第二条生产线安排30人，第三条生产线安排36人。 3．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米，A，B相距多少米？ 【答案】100米 【分析】当甲跑到B时，乙离B还有25米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有20米。据此即可知道乙跑25米的时间丙可以跑：40－20＝20（米），因此乙丙的速度之比为25∶20＝5∶4。然后可以设A，B相距x米，乙离B还有25米，丙离B还有40米时，即可知道乙跑了（x－25）米，丙跑了（x－40）米。根据时间一定时路程比等于速度比即可列出方程。 【详解】解：设A，B相距x米。 答：A，B相距100米。 4．2023年12月5日，中国船舶集团旗下江南造船公司发布全球首型、世界最大24000TEU级核动力集装箱船船型设计。若该艘核动力集装箱船上有甲、乙两种货箱，它们的个数比是3∶8，如果每次搬运甲货箱150个，乙货箱360个，若干次后，甲货箱刚好搬完，乙货箱还剩200个。乙货箱原有多少个？ 【答案】2000个 【分析】本题可以用方程来解决，设一共搬运了x次。每次搬运甲货箱150个，乙货箱360个，若干次后，甲货箱刚好搬完，乙货箱还剩200个，因此原来有甲货箱的数量为：150x个，原来有乙货箱的数量为：（360x＋200）个。最后再根据甲、乙两种货箱原来的个数比是3∶8列出方程。即可8 【详解】解：设一共搬运了x次。 150x∶（360x＋200）＝3∶8 3（360x＋200）＝8×150x 1080x＋600＝1200x 600＝1200x－1080x 600＝120x x＝5 乙：360×5＋200 ＝1800＋200 ＝2000（个） 答：乙货箱原有2000个。 5．小刚读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了10页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？ 【答案】210页 【分析】根据两天后已读的页数与剩下页数的比是3∶7，可知这两天已读的页数占全书的，即已读了全书的。由于第一天读了全书的，因此用已读的减去第一天读的即可求出第二天读了全书的几分之几。第二天比第一天多读了10页，因此再用第二天读了全书的几分之几减去第一天读的即可求出第二天比第一天多读了全书的几分之几。最后再根据单位“1”＝分率对应量÷对应分率即可求出全书的页数。再用全书的页数减去已读的页数，即可求出小刚再读多少页就能读完这本书。 【详解】 （页） （页） 答：小刚再读210页就能读完这本书。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $