第09讲 周期问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第09讲 周期问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.认识周期现象，理解周期、周期长度的含义，能准确判断简单周期问题中的循环规律和周期长度。 2.学会运用观察、比较、归纳等方法找出周期规律，并能运用除法运算解决周期问题中的“求第几个”、“求个数”、“求和”等基本问题。 3.能够运用周期知识解决生活中及奥数竞赛中常见的周期问题，包括图形排列、数列周期、日期与星期几等问题。 4.培养观察能力、分析能力、归纳推理能力以及简单的数学建模思想，提升解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、认识周期现象与周期 1.周期现象： 事物在运动变化过程中，某些特征有规律地重复出现，这种现象叫做周期现象。 例如：一年四季（春、夏、秋、冬）的循环；星期几（周一至周日）的循环；钟表指针的转动等。 2.周期： 周期现象中，重复出现的部分称为周期。 3.周期长度： 一个完整周期所包含的元素个数，称为周期长度（或“循环节长度”）。 例如：△□○△□○△□○… 这里的周期是“△□○”，周期长度是 3。 知识点二、解决周期问题的一般步骤 1.找周期： 仔细观察题目，找出重复出现的部分（周期），并确定周期长度 。 2.算总数与周期数、余数： 计算所研究的总数量 包含多少个完整的周期，以及余下多少个元素。 公式：（商，表示完整周期数）…… （余数，表示余下元素个数，） 3.根据余数判断： （1）如果余数 ，则所求结果是周期中的最后一个元素。 （2）如果余数 ，则所求结果是周期中的第 个元素。 知识点三、基本考点与典型题型 1.图形/符号排列的周期问题： 给出一组按一定规律循环排列的图形、符号或物体，求第 个是什么图形/符号/物体，或求某种图形/符号/物体出现的次数。 2.数列（数字）排列的周期问题： 给出一组按一定规律循环排列的数字，求第 个数是几，或求前 个数的和是多少。 3.日期与星期几的周期问题： 已知某天是星期几，求经过多少天后是星期几，或求某个日期是星期几（需注意平年、闰年二月天数，但三年级奥数可能简化处理，或给出具体月份天数）。 关键： 一星期有 7 天，周期长度 。通常“今天”不算，从“明天”开始算第一天。 知识点四、解题技巧 1.耐心观察，找准周期： 周期可能不是一眼就能看出，要仔细观察数列、图形或事件的变化规律，多写出几组，直到发现重复的部分。 2.确定周期长度： 一旦找到周期，务必数清楚一个周期内有多少个元素。 3.“算头算尾”要分明： 在计算总数量或天数时，要明确起始和结束是否包含在内，避免出错。 4.巧用余数： 余数是解决周期问题的关键，要理解余数的含义，它表示在一个新的周期里，排在第几位。如果没有余数，就是周期的最后一个。 5.多画图、列表： 对于复杂一点的问题，画图或列表可以帮助直观理解和发现规律。 例题讲解 一、图形/符号排列的周期问题 【例题1】按照规律“△○□☆△○□☆△○□☆…”排列，第35个图形是什么？ 【例题2】一组图形按“□△△○□△△○□△△○…”规律排列，前40个图形中，“△”出现了多少次？ 二、数列（数字）排列的周期问题 【例题1】数列按“1，3，5，7，1，3，5，7…”规律排列，第46个数是多少？ 【例题2】数列“2，4，6，2，4，6，2，4，6…”中，前30个数的和是多少？ 三、日期与星期几的周期问题 【例题1】2024年5月1日是星期三，5月18日是星期几？ 【例题2】今天是星期二，从今天算起，第20天是星期几？ 考点练习 一、图形/符号排列的周期问题 1.符号排列规律：“★■●▲▼★■●▲▼★■●▲▼…”，第52个符号是什么？ 2.图形按“●●○☆●●○☆●●○☆…”排列，前30个图形中，“●”和“○”共出现多少次？ 3.按规律“♥♠♦♣♥♠♦♣…”排列，第48个符号是什么？ 4.图形排列：“△△□□○△△□□○△△□□○…”，第67个图形是什么？ 5.按“★★☆☆★★☆☆★★☆☆…”排列，前25个图形中，“★”出现了多少次？ 6.图形排列：“△△○□△△○□…”，前38个图形中，“△”比“○”多出现多少次？ 二、数列（数字）排列的周期问题 1.数列“5，0，5，0，5，0…”中，前28个数的和是多少？ 2.数列“3，1，4，1，5，3，1，4，1，5…”中，第53个数是多少？ 3.数列“1，2，3，4，5，1，2，3，4，5…”中，前37个数的和是多少？ 4.数列“1，0，1，0，1，0…”中，前50个数中“1”出现了多少次？ 5.数列“3，1，2，3，1，2…”中，第18个数是多少？前18个数的和是多少？ 6.数列“0，1，2，0，1，2，0，1，2…”中，前44个数的和是多少？ 三、日期与星期几的周期问题 1.2023年6月1日是星期四，6月30日是星期几？ 2.已知7月5日是星期一，7月26日是星期几？ 3.某一年4月10日是星期日，4月25日是星期几？ 4.今天是星期五，再过38天是星期几？ 5.一个月中，1日是星期二，这个月有5个星期三，这个月最少有多少天？ 6.已知5月15日是星期三，5月几日是上一个星期日？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 周期问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.认识周期现象，理解周期、周期长度的含义，能准确判断简单周期问题中的循环规律和周期长度。 2.学会运用观察、比较、归纳等方法找出周期规律，并能运用除法运算解决周期问题中的“求第几个”、“求个数”、“求和”等基本问题。 3.能够运用周期知识解决生活中及奥数竞赛中常见的周期问题，包括图形排列、数列周期、日期与星期几等问题。 4.培养观察能力、分析能力、归纳推理能力以及简单的数学建模思想，提升解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、认识周期现象与周期 1.周期现象： 事物在运动变化过程中，某些特征有规律地重复出现，这种现象叫做周期现象。 例如：一年四季（春、夏、秋、冬）的循环；星期几（周一至周日）的循环；钟表指针的转动等。 2.周期： 周期现象中，重复出现的部分称为周期。 3.周期长度： 一个完整周期所包含的元素个数，称为周期长度（或“循环节长度”）。 例如：△□○△□○△□○… 这里的周期是“△□○”，周期长度是 3。 知识点二、解决周期问题的一般步骤 1.找周期： 仔细观察题目，找出重复出现的部分（周期），并确定周期长度 。 2.算总数与周期数、余数： 计算所研究的总数量 包含多少个完整的周期，以及余下多少个元素。 公式：（商，表示完整周期数）…… （余数，表示余下元素个数，） 3.根据余数判断： （1）如果余数 ，则所求结果是周期中的最后一个元素。 （2）如果余数 ，则所求结果是周期中的第 个元素。 知识点三、基本考点与典型题型 1.图形/符号排列的周期问题： 给出一组按一定规律循环排列的图形、符号或物体，求第 个是什么图形/符号/物体，或求某种图形/符号/物体出现的次数。 2.数列（数字）排列的周期问题： 给出一组按一定规律循环排列的数字，求第 个数是几，或求前 个数的和是多少。 3.日期与星期几的周期问题： 已知某天是星期几，求经过多少天后是星期几，或求某个日期是星期几（需注意平年、闰年二月天数，但三年级奥数可能简化处理，或给出具体月份天数）。 关键： 一星期有 7 天，周期长度 。通常“今天”不算，从“明天”开始算第一天。 知识点四、解题技巧 1.耐心观察，找准周期： 周期可能不是一眼就能看出，要仔细观察数列、图形或事件的变化规律，多写出几组，直到发现重复的部分。 2.确定周期长度： 一旦找到周期，务必数清楚一个周期内有多少个元素。 3.“算头算尾”要分明： 在计算总数量或天数时，要明确起始和结束是否包含在内，避免出错。 4.巧用余数： 余数是解决周期问题的关键，要理解余数的含义，它表示在一个新的周期里，排在第几位。如果没有余数，就是周期的最后一个。 5.多画图、列表： 对于复杂一点的问题，画图或列表可以帮助直观理解和发现规律。 例题讲解 一、图形/符号排列的周期问题 【例题1】按照规律“△○□☆△○□☆△○□☆…”排列，第35个图形是什么？ 【答案】□ 【分析】观察图形排列，重复出现的周期是“△○□☆”，周期长度为4。求第35个图形，需用35除以周期长度，根据余数判断位置。 【详解】周期：“△○□☆”，周期长度=4。 计算：35÷4=8（个完整周期）……3（余数）。 余数为3，对应周期中第3个图形“□”。 【例题2】一组图形按“□△△○□△△○□△△○…”规律排列，前40个图形中，“△”出现了多少次？ 【答案】20次 【分析】周期是“□△△○”，周期长度=4（含1个□、2个△、1个○）。前40个图形包含完整周期数=40÷4=10个，每个周期有2个△，可直接计算总数。 【详解】周期：“□△△○”，周期长度=4，每个周期中△的个数=2。 完整周期数：40÷4=10（个）。 △总个数：10×2=20（次）。 二、数列（数字）排列的周期问题 【例题1】数列按“1，3，5，7，1，3，5，7…”规律排列，第46个数是多少？ 【答案】3 【分析】周期是“1，3，5，7”，周期长度=4。求第46个数，用46除以周期长度，根据余数判断。 【详解】周期：“1，3，5，7”，周期长度=4。 计算：46÷4=11（个完整周期）……2（余数）。 余数为2，对应周期中第2个数“3”。 【例题2】数列“2，4，6，2，4，6，2，4，6…”中，前30个数的和是多少？ 【答案】120 【分析】周期是“2，4，6”，周期长度=3，每个周期的和=2+4+6=12。前30个数刚好包含10个完整周期，总和=周期数×周期和。 【详解】周期：“2，4，6”，周期长度=3，周期和=12。 计算：30÷3=10（个完整周期）。 总和：10×12=120。 三、日期与星期几的周期问题 【例题1】2024年5月1日是星期三，5月18日是星期几？ 【答案】星期六 【分析】周期长度=7（星期）。从5月1日到5月18日，经过的天数=18-1=15天（不包含5月1日），用15除以7，根据余数判断星期几（星期三+余数）。 【详解】经过天数：18-1=15天。 计算：15÷7=2（周）……1（天）。 星期三+1天=星期四？（修正：经过1天是5月2日星期四，15天是经过2周+1天，即星期三+1=星期四，原答案错误，正确答案星期四） 【例题2】今天是星期二，从今天算起，第20天是星期几？ 【答案】星期日 【分析】周期长度=7，包含起始日（今天）。周期顺序：星期二（第1天）、三（2）、四（3）、五（4）、六（5）、日（6）、一（7）。第20天=20÷7=2周……6天，对应周期第6天。 【详解】周期顺序：[星期二(1)，三(2)，四(3)，五(4)，六(5)，日(6)，一(7)]。 计算：20÷7=2（周）……6（天）。 第6天对应“星期日”。 考点练习 一、图形/符号排列的周期问题 1.符号排列规律：“★■●▲▼★■●▲▼★■●▲▼…”，第52个符号是什么？ 【答案】■ 【分析】周期是“★■●▲▼”，周期长度=5。求第52个符号，用52除以5，根据余数判断。 【详解】周期：“★■●▲▼”，周期长度=5。 计算：52÷5=10（个完整周期）……2（余数）。 余数为2，对应周期中第2个符号“■”。 2.图形按“●●○☆●●○☆●●○☆…”排列，前30个图形中，“●”和“○”共出现多少次？ 【答案】23次 【分析】周期是“●●○☆”，周期长度=4（含2个●、1个○、1个☆）。前30个图形包含7个完整周期和2个余数，分别计算●和○的个数再相加。 【详解】周期：“●●○☆”，周期长度=4。 计算：30÷4=7（个完整周期）……2（余数，余下图形为“●●”）。 每个周期中●+○=2+1=3次，7个周期：7×3=21次。 余数中●=2次，○=0次。 总次数：21+2=23次。 3.按规律“♥♠♦♣♥♠♦♣…”排列，第48个符号是什么？ 【答案】♣ 【分析】周期是“♥♠♦♣”，周期长度=4。第48个符号，48除以4商12余0，余数为0时对应周期最后一个元素。 【详解】周期：“♥♠♦♣”，周期长度=4。 计算：48÷4=12（个完整周期）……0（余数）。 余数为0，对应周期最后一个符号“♣”。 4.图形排列：“△△□□○△△□□○△△□□○…”，第67个图形是什么？ 【答案】△ 【分析】周期是“△△□□○”，周期长度=5（含2个△、2个□、1个○）。求第67个图形，用67除以5，根据余数判断。 【详解】周期：“△△□□○”，周期长度=5。 计算：67÷5=13（个完整周期）……2（余数）。 余数为2，对应周期中第2个图形“△”。 5.按“★★☆☆★★☆☆★★☆☆…”排列，前25个图形中，“★”出现了多少次？ 【答案】13次 【分析】周期是“★★☆☆”，周期长度=4（含2个★、2个☆）。前25个图形包含6个完整周期和1个余数，需计算周期内★的个数+余数中★的个数。 【详解】周期：“★★☆☆”，周期长度=4，每个周期★的个数=2。 计算：25÷4=6（个完整周期）……1（余数，余下图形为“★”）。 ★总次数：6×2+1=13次。 6.图形排列：“△△○□△△○□…”，前38个图形中，“△”比“○”多出现多少次？ 【答案】11次 【分析】周期是“△△○□”，周期长度=4（含2个△、1个○、1个□）。前38个图形包含9个完整周期和2个余数，分别计算△和○的总个数，再作差。 【详解】周期：“△△○□”，周期长度=4。 计算：38÷4=9（个完整周期）……2（余数，余下图形为“△△”）。 △总个数：9×2+2=20次；○总个数：9×1=9次。 △比○多：20-9=11次。 二、数列（数字）排列的周期问题 1.数列“5，0，5，0，5，0…”中，前28个数的和是多少？ 【答案】70 【分析】周期是“5，0”，周期长度=2，每个周期的和=5+0=5。前28个数包含14个完整周期，总和=14×5=70。 【详解】周期：“5，0”，周期长度=2，周期和=5。 计算：28÷2=14（个完整周期）。 总和：14×5=70。 2.数列“3，1，4，1，5，3，1，4，1，5…”中，第53个数是多少？ 【答案】4 【分析】周期是“3，1，4，1，5”，周期长度=5。求第53个数，用53除以5，根据余数判断。 【详解】周期：“3，1，4，1，5”，周期长度=5。 计算：53÷5=10（个完整周期）……3（余数）。 余数为3，对应周期中第3个数“4”。 3.数列“1，2，3，4，5，1，2，3，4，5…”中，前37个数的和是多少？ 【答案】108 【分析】周期是“1，2，3，4，5”，周期长度=5，周期和=1+2+3+4+5=15。前37个数包含7个完整周期和2个余数，总和=7×周期和+余数和。 【详解】周期：“1，2，3，4，5”，周期长度=5，周期和=15。 计算：37÷5=7（个完整周期）……2（余数，余下数为“1，2”）。 总和：7×15 +（1+2）=105+3=108。 4.数列“1，0，1，0，1，0…”中，前50个数中“1”出现了多少次？ 【答案】25次 【分析】周期是“1，0”，周期长度=2，每个周期“1”出现1次。前50个数包含25个完整周期，“1”的次数=25×1=25次。 【详解】周期：“1，0”，周期长度=2，每个周期“1”的个数=1。 计算：50÷2=25（个完整周期）。 “1”的总次数：25×1=25次。 5.数列“3，1，2，3，1，2…”中，第18个数是多少？前18个数的和是多少？ 【答案】2；36 【分析】周期是“3，1，2”，周期长度=3，周期和=3+1+2=6。第18个数：18÷3=6余0，对应周期最后一个数；前18个数和=6×周期和。 【详解】周期：“3，1，2”，周期长度=3，周期和=6。 第18个数：18÷3=6（余0），余数0对应周期最后一个数“2”。 前18个数和：6×6=36。 6.数列“0，1，2，0，1，2，0，1，2…”中，前44个数的和是多少？ 【答案】43 【分析】周期是“0，1，2”，周期长度=3，周期和=0+1+2=3。前44个数包含14个完整周期和2个余数，总和=14×周期和+余数和。 【详解】周期：“0，1，2”，周期长度=3，周期和=3。 计算：44÷3=14（个完整周期）……2（余数，余下数为“0，1”）。 总和：14×3 +（0+1）=42+1=43。 三、日期与星期几的周期问题 1.2023年6月1日是星期四，6月30日是星期几？ 【答案】星期五 【分析】6月有30天，从6月1日到30日共30天，经过天数=30-1=29天（不包含6月1日）。29÷7=4周……1天，星期四+1天=星期五。 【详解】经过天数：30-1=29天。 计算：29÷7=4（周）……1（天）。 星期四+1天=星期五。 2.已知7月5日是星期一，7月26日是星期几？ 【答案】星期一 【分析】经过天数=26-5=21天，21÷7=3周……0天，余数0表示刚好3周，星期一+0天=星期一。 【详解】经过天数：26-5=21天。 计算：21÷7=3（周）……0（天）。 余数0，对应星期一（周期最后一天）。 3.某一年4月10日是星期日，4月25日是星期几？ 【答案】星期一 【分析】经过天数=25-10=15天，15÷7=2周……1天，星期日+1天=星期一。 【详解】经过天数：25-10=15天。 计算：15÷7=2（周）……1（天）。 星期日+1天=星期一。 4.今天是星期五，再过38天是星期几？ 【答案】星期一 【分析】“再过38天”即不包含今天，经过38天。38÷7=5周……3天，星期五+3天=星期一（过1天周六，2天周日，3天周一）。 【详解】经过天数=38天。 计算：38÷7=5（周）……3（天）。 星期五+3天=星期一。 5.一个月中，1日是星期二，这个月有5个星期三，这个月最少有多少天？ 【答案】30天 【分析】1日是星期二，则2日是星期三（第1个星期三）。后续星期三的日期：2日、9日、16日、23日、30日（第5个），因此最少30天。 【详解】第1个星期三：2日，之后每7天一个：9日（2）、16日（3）、23日（4）、30日（5）。 最少天数：30天。 6.已知5月15日是星期三，5月几日是上一个星期日？ 【答案】5月12日 【分析】15日是星期三，往前推：14日（周二）、13日（周一）、12日（周日），即上一个星期日是12日。 【详解】星期三往前推3天：15-3=12日。 答案：5月12日。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $