第09讲 和倍问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第09讲 和倍问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深刻理解和倍问题的含义，即已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。 2.学会运用画线段图的方法分析和倍问题中的数量关系，明确“1倍数”（或“标准量”）的重要性。 3.掌握和倍问题的基本数量关系式，并能运用公式解决基本的和倍问题。 4.能够解决稍复杂的和倍问题，如含有隐藏和、多量和倍、和倍问题中的移多补少等变式题型。 5.培养分析问题、解决问题的能力，以及初步的代数思想和模型思想。 知识梳理 知识点一、基本概念与公式 1.核心概念： （1）和： 已知两个（或多个）数的总和。 （2）倍数： 已知一个数是另一个数的几倍。 （3）1倍数（较小数/标准量）： 通常把较小的那个数看作“1份”或“1倍数”。 （4）几倍数（较大数）： 另一个数是它的几倍，就是“几份”或“几倍数”。 2.解题关键： （1）准确找出“1倍数”，并用线段图清晰表示出各数量之间的倍数关系和总和。 （2）明确总和对应的是多少份的“1倍数”。 3.基本公式： （1）1倍数（较小数） = 和 ÷ (倍数 + 1) （2）几倍数（较大数） = 1倍数 × 倍数 或 几倍数（较大数） = 和 - 1倍数 知识点二、基本题型 1.已知两数之和与倍数关系，求两数。 例： 学校图书馆买来科技书和故事书共240本，故事书的本数是科技书的3倍。两种书各买了多少本？ 知识点三、常见考点与变式题型 1.不是整倍数的和倍问题（“多”或“少”几）： （1）特征： 已知一个数比另一个数的几倍多几或少几，以及两数之和，求两数。 （2）方法： 先把“多”的部分减去，或把“少”的部分补上，使它成为正好的整倍数关系，再用基本公式求解。 （3）例： 甲、乙两数的和是100，甲数比乙数的2倍还多10，甲、乙两数各是多少？ 2.含有三个或更多量的和倍问题： （1）特征： 已知三个或更多数的总和以及它们之间的倍数关系，求各数。 （2）方法： 找到最小的量作为1倍数，然后根据其他量与它的倍数关系，用不同长度的线段表示出来，总和对应的是所有倍数加1的和。 （3）例题： 果园里有桃树、梨树和苹果树共360棵。梨树是桃树的2倍，苹果树是梨树的3倍。三种树各有多少棵？ 3.隐藏“和”的和倍问题： （1）特征： 题目中没有直接给出两数之和，需要通过已知条件间接求出“和”。 （2）例题： 两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，如果从甲书架取出120本放入乙书架，那么两个书架的书一样多。甲、乙两个书架原来各存书多少本？ 4.和倍问题中的“移多补少”： （1）特征： 两个量原来存在倍数关系，经过移多补少后，又形成新的和或倍数关系。 （2）方法： 抓住“和不变”或“差不变”的特点，结合移动后的数量关系求解。（常与“隐藏和”结合） （3）例题： 甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍。两筐所剩的梨各是多少个？各取出多少个？ 5.和倍问题与其他问题的综合（如行程问题中的相遇、周长问题等）： （1）方法： 先根据其他问题的公式或数量关系，求出“和”以及“倍数关系”，再转化为和倍问题求解。 （2）例题： 一个长方形的周长是80厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 知识点四、解题步骤总结 1.审题： 仔细阅读题目，找出已知条件（和、倍数关系，是否有多、少、隐藏和等）。 2.确定“1倍数”： 通常把较小的数或“是”、“比”后面的量看作“1倍数”。 3.画线段图： 用线段图直观表示出各数量之间的倍数关系和总和（或差）。 4.列式计算： 根据线段图分析，列出算式求出1倍数，再求出其他各数。如果有“多”或“少”，先进行调整。 5.检验作答： 把结果代入原题，看是否符合题意，然后写出答案。 例题讲解 一、已知两数之和与倍数关系，求两数 【例题1】奇思周末在家看了一本故事书，已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍，这本书一共有多少页？ （1）请你用线段图表示出没看的页数。 （2）列式解答。 【答案】（1）见详解 （2）222页 【分析】（1）根据“已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍”，用线段图表示出没看的页数，如下。 （2）根据“已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍”，可知这本书的总页数是已看的页数的（5＋1）倍，据此列式解题即可。 【详解】（1）用线段图表示出没看的页数，如下： （2）37×（5＋1） ＝37×6 ＝222（页） 答：这本书一共有222页。 【例题2】学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍。买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 【答案】8个；32个 【分析】羽毛球的个数看作1份数，乒乓球的个数就是4份数，40个就相当于（4＋1）份数，这样就可求出1份数，也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘4就是乒乓球的个数。羽毛球有：40÷4＋1＝40÷5＝8（个），乒乓球有：8×4＝32（个）。 【详解】40÷（4＋1） ＝40÷5 ＝8（个） 8×4＝32（个） 答：羽毛球8个；乒乓球有32个。 二、不是整倍数的和倍问题（“多”或“少”几） 【例题1】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？ 【答案】110朵；190朵 【分析】把黄花朵数看作一份，画出线段图如下，从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。据此解题即可。 【详解】把黄花朵数看作一份，画出线段图如下： 黄花朵数为： （300＋30）÷（1＋2） ＝330÷3 ＝110（朵） 红花朵数为： 300－110＝190（朵）。 答：黄花有110朵，红花有190朵。 【例题2】某工厂有男工和女工共450人，男工人数比女工的3倍多30人，男工比女工多多少人？ 【答案】女工105人，男工345人，多240人 【分析】女工为“1倍数”，男工减30后是“3倍数”，总和为，对应“1+3=4倍数”。 【详解】女工：（人） 男工：（人） 差：（人）。 三、含有三个或更多量的和倍问题 【例题1】欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 【答案】欢欢12岁；妈妈36岁；爸爸38岁 【分析】一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，因此可以把欢欢的年龄看成1份，则妈妈的年龄为3份，爸爸的年龄为3份多2岁。因此可以用86岁先减去2岁，再除以总的份数即可求出欢欢的年龄，继而求出爸爸妈妈各自的年龄。 【详解】欢欢：（86－2）÷（1＋3＋3） ＝84÷7 ＝12（岁） 妈妈：12×3＝36（岁） 爸爸：36＋2＝38（岁） 答：欢欢12岁，妈妈36岁，爸爸38岁。 【例题2】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 【答案】桃树292棵；梨树140棵；苹果树120棵 【分析】根据题意画出线段示意图如下，可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较，以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答。又知三种树的总数是552棵。如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为（552＋20－120）棵，即560棵，相当于梨树棵数的4倍，据此即可求出梨树的棵数，由此即可解题。 【详解】 梨树的棵数： （552＋20－12）÷（1＋1＋2） ＝560÷4 ＝140（棵） 桃树的棵数： 140×2＋12 ＝280＋12 ＝292（棵） 苹果树的棵数： 140－20＝120（棵） 答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。 【例题3】花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？ 【答案】郁金香10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝 【分析】根据题意，如果把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝，百合有6份少20－8×2＝4（枝）；再根据三种花一共有104枝，算出郁金香的数量，进而得出其他两种花的数量。 【详解】把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝； 2×3＝6，2×8＝16，20－16＝4（枝），则百合是郁金香的6倍少4枝； 郁金香：（104－8＋4）÷（1＋3＋6） ＝100÷10 ＝10（枝） 玫瑰：3×10＋8 ＝30＋8 ＝38（枝） 百合：6×10－4 ＝60－4 ＝56（枝） 答：郁金香有10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝。 四、隐藏“和”的和倍问题 【例题1】两根绳子，第一根长度是第二根的4倍，若从第一根剪去24米，两根绳子长度相等，两根绳子原来各长多少米？ 【答案】第二根8米，第一根32米 【分析】差为24米（第一根比第二根长24米），倍数差为倍，先求第二根（1倍数）。 【详解】第二根：（米）， 第一根：（米）。 【例题2】甲仓库货物是乙仓库的5倍，若从甲仓库运出120吨到乙仓库，则两仓库货物相等，甲乙两仓库原来各有货物多少吨？ 【答案】乙仓库60吨，甲仓库300吨 【分析】差为吨（甲比乙多240吨），倍数差为倍，先求乙仓库（1倍数）。 【详解】乙仓库：（吨）， 甲仓库：（吨）。 五、和倍问题中的“移多补少” 【例题1】小敏有元，小花有元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的倍？ 【答案】元 【分析】总钱数不变，即：14＋10＝24（元），相当于现在小花的（1＋2）倍，根据和倍公式求出小花现在的钱数，再进一步解答即可。 【详解】（14＋10）÷（1＋2） ＝24÷3 ＝8（元） 10－8＝2（元） 答：小花给小敏2元，小敏的钱数就是小花的2倍。 【例题2】甲筐有梨500个，乙筐有梨300个，从两筐取出相同个数的梨后，甲筐剩下的梨是乙筐的3倍，两筐各剩下多少个梨？各取出多少个？ 【答案】乙筐剩下100个，甲筐剩下300个，各取出200个 【分析】差为个（差不变），剩下甲是乙的3倍，倍数差为倍，先求乙筐剩下的（1倍数）。 【详解】乙筐剩下：（个） 甲筐剩下：（个） 取出：（个）。 六、和倍问题与其他问题的综合 【例题1】一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长、宽分别是多少分米？ 【答案】长：260分米  宽：130分米 【分析】根据长方形的周长公式，先求出一条长与一条宽的和是：780÷2=390分米，因为“长是宽的2倍”把长与宽的和平均分成3份，则宽就是其中1份，由此即可求出宽，从而求出长． 【详解】78米=780分米 780÷2÷3=130（分米） 130×2=260（分米） 答：长是260分米，宽是130分米． 【例题2】甲乙丙三人共有邮票300张，甲的邮票是乙的2倍，丙的邮票比乙的3倍少30张，三人各有多少张邮票？ 【答案】乙55张，甲110张，丙135张 【分析】乙为“1倍数”，甲为“2倍数”，丙+30是“3倍数”，总和+30=330，对应“1+2+3=6倍数”。 【详解】乙：（张） 甲：（张） 丙：（张）。 考点练习 一、已知两数之和与倍数关系，求两数 1．今年，妈妈和小红的年龄之和是45岁，并且妈妈的年龄正好是小红年龄的4倍。妈妈和小红今年各多少岁？ 【答案】妈妈36岁，小红9岁 【分析】根据题意已知了两个数的和以及两个数的倍数关系，根据和倍公式：小数＝和÷（倍数＋1），大数＝和－小数，代入数据求解即可。 【详解】45÷（4＋1） ＝45÷5 ＝9（岁） 45－9＝36（岁） 答：妈妈今年36岁，小红今年9岁。 2．果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 【答案】36棵 【分析】把梨树的棵数看作1份数，苹果树的棵数就是5份数，54棵就相当于（5＋1）份数，分别求出梨树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数。这道题还可以这样想，先求出1份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了。 【详解】54÷（5＋1） ＝54÷6 ＝9（棵） 9×5－9 ＝45－9 ＝36（棵） 答：苹果树比梨树多36棵。 3．5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？ 【答案】10千克；5千克 【分析】5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份，1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5＝15（千克）。把1箱葡萄的重量看作一份，重量为：15÷（2＋1）＝5（千克）；每箱苹果重量为：5×2＝10（千克）。 【详解】75÷5÷（2＋1） ＝75÷5÷3 ＝5（千克） 5×2＝10（千克） 答：每箱苹果重10千克；每箱葡萄重5千克。 4．一部手机和一部电话共2240元，手机的单价是电话机的7倍，手机和电话机的单价各是多少元？ 【答案】手机:1960元  电话机:280元 【分析】根据题意，可得一部手机和一部电话共2240元，手机的单价是电话机的7倍，由和倍公式进一步解答． 【详解】电话机：2240÷（7+1）=280（元） 手机：280×7=1960（元） 答：手机和电话机的单价各是1960元、280元． 5．实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 【答案】106件；212件 【分析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的倍，可以想到三年级同学制作的航模件数是倍数。两个年级共制作了318件，这318件就相当于（1＋3）倍，这样就可以求得1倍数——三年级同学的制作件数是：318÷（1＋2）＝106（件）。再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，求出四年级同学制作航模的件数是：106×2＝212（件）。 【详解】318÷（1＋2） ＝318÷3 ＝106（件） 106×2＝212（件） 答：三年级制作106件，四年级制作212件。 二、不是整倍数的和倍问题（“多”或“少”几） 1．实验小学共有学生人，男生比女生倍少人。问：实验小学男学生和女学生各有多少人？ 【答案】636人；320人 【分析】把女生人数看作单位“1”，则男生是女生2倍4人，即女生人数的（1＋2）倍是（956＋4）人，由此根据已知一个数的几倍是多少，用除法求出女生人数，进而求出男生人数。 【详解】（956＋4）÷（2＋1） ＝960÷3 ＝960÷3 ＝320（人） 956－320＝636（人） 答：女生有320人，男生有636人。 2．2016“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数的2倍少150人，求男生和女生的人数。 【答案】男生450人，女生300人 【分析】根据题意画出线段图： 可知，总人数加上150人即为女生人数的3倍，据此计算出女生人数，进而根据倍数关系求出男生人数即可。 【详解】女生人数： （750＋150）÷（2＋1） ＝900÷3 ＝300（人） 男生人数：300×2－150 ＝600－150 ＝450（人） 答：男生有450人，女生300人。 3．有两层书架,共有书173本．从第一层拿走38本书后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，则第二层有多少本书？ 【答案】92 【详解】设把第一层余下的书算作“1”份,根据题意画出线段图: 每一份=(173-38-6)÷3=43(本) 第二层的书共有:43×2+6=92(本) 答：第二层有92本书. 4.学校买来足球和篮球共180个，足球个数比篮球的4倍多20个，足球和篮球各多少个？ 【答案】篮球32个，足球148个 【分析】篮球为“1倍数”，足球减20后是“4倍数”，总和为，对应“1+4=5倍数”。 【详解】篮球：（个） 足球：（个）。 5.水果店运来苹果和香蕉共150千克，苹果比香蕉的3倍少30千克，苹果和香蕉各多少千克？ 【答案】香蕉45千克，苹果105千克 【分析】香蕉为“1倍数”，苹果加30后是“3倍数”，总和为，对应“1+3=4倍数”。 【详解】香蕉：（千克） 苹果：（千克）。 三、含有三个或更多量的和倍问题 1．2019国庆70周年大阅兵中，共有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次。其中59个方（梯）队分为徒步方队、装备方队和空中梯队，已知徒步方队的数量比空中梯队的数量多3个，装备方队的数量是徒步方队的2倍多2个。三种方（梯）队各有多少个？ 【答案】徒步方队有15个， 装备方队有32个，空中梯队有12个 【分析】本题属于三个量的和倍问题，可以通过画线段图来帮助分析。换线段图时，可以先画徒步方队，再画装备方队，最后画空中梯队。根据线段图即可列式解决。 【详解】线段图如下： 徒步方队：（59＋3－2）÷（1＋1＋2） ＝60÷4 ＝15（个） 装备方队：15×2＋2＝32（个） 空中梯队：15－3＝12（个） 答：徒步方队有15个， 装备方队有32个，空中梯队有12个。 2．甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？ 【答案】；； 【分析】根据题意，假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183＋4－7＝180，和对应的份数为：1＋2＋3＝6。由此用除法求出一份数即丙数，再根据甲、乙、丙三数之间的数量关系，求出甲数和乙数。 【详解】我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 丙数：（183＋4－7）÷（1＋2＋3） ＝180÷6 ＝30 乙数：30×2－4 ＝60－4 ＝56； 甲数：30×3＋7 ＝70＋7 ＝97。 答：甲、乙、丙三数分别是97、56、30。 3．某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只。这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 【答案】鸭只，鸡只，鹅只 【分析】我们把鸭的只数看作1份，那么鸡的只数看比4份多132只，鹅的只数看比2份少70只，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于是7份多62只，7份相当于是1400只，用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数。 【详解】鸭的只数： （只） 鸡的只数： （只） 鹅的只数： （只） 答：鸭有200只，鸡有932只，鹅有330只。 4．学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的倍。排球比足球多个。问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？ 【答案】足球个；篮球个；排球个 【分析】把足球的个数看作1份，篮球的个数是3份，排球比1份多4个，总共是5份多4个，对应49个，那么5份是45个，1份是9个。 【详解】如图所示： （个） （个） （个） （个） 答：足球9个；篮球27个；排球13个。 5．孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行最后一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的人获胜。最后他们共吹破110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的气球比孙悟空的2倍少2个。请问：最后获胜者吹破了多少个气球？ 【答案】66个 【分析】通过题目找到三个人中最少的那个人，把最少的那个人吹的气球个数随便画一段，然后在第二少的那个人根据题目中说的倍数关系再画线段图，最多的那个人再依次来进行画，再标出总共的数量，通过图分析。 【详解】首先根据倍数关系画出线段图： 沙“1”： （110－6－4）÷（1＋3＋6） ＝100÷10 ＝10（个）； 孙：3×10＋4 ＝30＋4 ＝34（个）； 猪：6×10＋6 ＝60＋6 ＝66（个）。 答：最后获胜者吹了66个气球。 6．甲、乙、丙、丁四个人的年龄和是92岁，已知甲、乙的年龄和比丙、丁的年龄和的2倍大8岁，又知甲的年龄是乙的3倍，丙比丁大2岁，求甲、乙、丙、丁各是多少岁？ 【答案】甲是48岁，乙是16岁，丙是15岁，丁是13岁。 【分析】甲、乙的年龄和比丙、丁的年龄和的2倍大8岁，四个人的年龄和是92岁，可以将甲乙的年龄和看成一个整体，丙丁的年龄和也看成一个整体，且看成一份，则甲乙的年龄和就是这样的2份再加8岁，将四人的总岁数减去8，恰好就是3份，即每一份就是28岁，丙丁年龄和就是28岁。甲乙是这样的2份再加8岁，则甲乙的年龄和为64岁，甲的年龄是乙的3倍，即乙是一份，甲就是这样的3份，4份是64岁，每一份是16岁，分别求出甲和乙的年龄。 丙比丁大2岁，丙丁年龄和就是28岁，根据和差的公式：大数＝（和＋差）÷2，小数＝（和－差）÷2。 【详解】92－8＝84（岁） 84÷（2＋1） ＝84÷3 ＝28（岁） 2×28＋8 ＝56＋8 ＝64（岁） 64÷（3＋1） ＝64÷4 ＝16（岁） 16×3＝48（岁） （28＋2）÷2 ＝30÷2 ＝15（岁） （28－2）÷2 ＝26÷2 ＝13（岁） 答：甲是48岁，乙是16岁，丙是15岁，丁是13岁。 四、隐藏“和”的和倍问题 1.哥哥的零花钱是弟弟的3倍，若哥哥给弟弟20元，两人零花钱一样多，哥哥和弟弟原来各有多少零花钱？ 【答案】弟弟20元，哥哥60元 【分析】差为元（哥哥比弟弟多40元），倍数差为倍，先求弟弟（1倍数）。 【详解】弟弟：（元） 哥哥：（元）。 2.大桶油是小桶油的6倍，若从大桶倒出30千克油到小桶，两桶油重量相等，大小桶原来各有油多少千克？ 【答案】小桶12千克，大桶72千克 【分析】差为千克（大桶比小桶多60千克），倍数差为倍，先求小桶（1倍数）。 【详解】小桶：（千克） 大桶：（千克）。 3.甲书架的书是乙书架的4倍，若从甲书架拿走60本，乙书架增加60本，则两书架书一样多，原来两书架各有多少本书？ 【答案】乙书架40本，甲书架160本 【分析】差为本（甲比乙多120本），倍数差为倍，先求乙书架（1倍数）。 【详解】乙书架：（本） 甲书架：（本）。 4.两筐鸡蛋，第一筐是第二筐的3倍，若从第一筐取出15个放入第二筐，第一筐还比第二筐多10个，两筐原来各有多少个鸡蛋？ 【答案】第二筐20个，第一筐60个 【分析】差为个（第一筐比第二筐多40个），倍数差为倍，先求第二筐（1倍数）。 【详解】第二筐：（个） 第一筐：（个）。 五、和倍问题中的“移多补少” 1．有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个，那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的5倍？ 【答案】61个 【分析】第一堆有87个棋子，第二堆有69个棋子，棋子总数为：87＋69＝156（个）。从第一堆拿一些棋子到第二堆后，棋子的总数不会发生变化，还是156个。此时第二堆棋子数是第一堆的5倍，因此可以利用和倍问题的公式“较小数＝和÷（倍数＋1）”求出此时第一堆的棋子数量。最后再用第一堆原有的棋子数减去第一堆现有的棋子数即可求出需要从第一堆拿多少个棋子到第二堆。 【详解】（87＋69）÷（5＋1） ＝156÷6 ＝26（个） 87－26＝61（个） 答：从第一堆拿61个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的5倍。 2．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 【答案】30千克 【分析】根据题意可知，甲、乙两桶油总重量：470＋190＝660（千克）；当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2＋1）＝220（千克）；由甲桶倒入乙桶中的油：220－190＝30（千克）。由此即可解题。 【详解】（470＋190）÷（2＋1）－190 ＝660÷3－190 ＝220－190 ＝30（千克） 答：甲桶的油倒入乙桶30千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。 3．某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？ 【答案】7天 【分析】“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加车：（11－7）＝4（辆），西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84＋56＝140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：140÷（4＋1）＝28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56－28）÷4＝7（天）。所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。 【详解】（84＋56）÷（4＋1） ＝140÷5 ＝28（辆） （56－28）÷4 ＝28÷4 ＝7（天） 答：7天后，东站车辆是西站的4倍。 六、和倍问题与其他问题的综合 1．一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】72平方厘米 【分析】先求出长方形长和宽的和：36÷2＝18（厘米），把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2＋1）＝6（厘米），长是：6×2＝12（厘米），这个长方形的面积是：12×6＝72（平方厘米）。 【详解】假设长方形的宽是1份量，则长是2份， 36÷2÷（2＋1） ＝36÷2÷3 ＝6（厘米） 6×2×6＝72（平方厘米） 答：这个长方形的面积是72平方厘米。 2.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，4小时后相遇，相遇时甲车行驶路程是乙车的3倍，A、B两地相距480千米，甲乙两车每小时各行驶多少千米？ 【答案】乙车30千米/时，甲车90千米/时 【分析】速度和=千米/时，乙车速度为“1倍数”，甲车速度为“3倍数”，总和对应“1+3=4倍数”。 【详解】乙车速度：（千米/时） 甲车速度：（千米/时）。 3.某工厂有三个车间，第一车间人数是第二车间的2倍，第三车间人数比第二车间的4倍少50人，三个车间共有450人，各车间有多少人？ 【答案】第二车间80人，第一车间160人，第三车间210人 【分析】第二车间为“1倍数”，第一车间为“2倍数”，第三车间+50是“4倍数”，总和+50=500，对应“1+2+4=7倍数”。 【详解】第二车间：（人） 第一车间：（人） 第三车间：（人）。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 和倍问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.深刻理解和倍问题的含义，即已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题。 2.学会运用画线段图的方法分析和倍问题中的数量关系，明确“1倍数”（或“标准量”）的重要性。 3.掌握和倍问题的基本数量关系式，并能运用公式解决基本的和倍问题。 4.能够解决稍复杂的和倍问题，如含有隐藏和、多量和倍、和倍问题中的移多补少等变式题型。 5.培养分析问题、解决问题的能力，以及初步的代数思想和模型思想。 知识梳理 知识点一、基本概念与公式 1.核心概念： （1）和： 已知两个（或多个）数的总和。 （2）倍数： 已知一个数是另一个数的几倍。 （3）1倍数（较小数/标准量）： 通常把较小的那个数看作“1份”或“1倍数”。 （4）几倍数（较大数）： 另一个数是它的几倍，就是“几份”或“几倍数”。 2.解题关键： （1）准确找出“1倍数”，并用线段图清晰表示出各数量之间的倍数关系和总和。 （2）明确总和对应的是多少份的“1倍数”。 3.基本公式： （1）1倍数（较小数） = 和 ÷ (倍数 + 1) （2）几倍数（较大数） = 1倍数 × 倍数 或 几倍数（较大数） = 和 - 1倍数 知识点二、基本题型 1.已知两数之和与倍数关系，求两数。 例： 学校图书馆买来科技书和故事书共240本，故事书的本数是科技书的3倍。两种书各买了多少本？ 知识点三、常见考点与变式题型 1.不是整倍数的和倍问题（“多”或“少”几）： （1）特征： 已知一个数比另一个数的几倍多几或少几，以及两数之和，求两数。 （2）方法： 先把“多”的部分减去，或把“少”的部分补上，使它成为正好的整倍数关系，再用基本公式求解。 （3）例： 甲、乙两数的和是100，甲数比乙数的2倍还多10，甲、乙两数各是多少？ 2.含有三个或更多量的和倍问题： （1）特征： 已知三个或更多数的总和以及它们之间的倍数关系，求各数。 （2）方法： 找到最小的量作为1倍数，然后根据其他量与它的倍数关系，用不同长度的线段表示出来，总和对应的是所有倍数加1的和。 （3）例题： 果园里有桃树、梨树和苹果树共360棵。梨树是桃树的2倍，苹果树是梨树的3倍。三种树各有多少棵？ 3.隐藏“和”的和倍问题： （1）特征： 题目中没有直接给出两数之和，需要通过已知条件间接求出“和”。 （2）例题： 两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，如果从甲书架取出120本放入乙书架，那么两个书架的书一样多。甲、乙两个书架原来各存书多少本？ 4.和倍问题中的“移多补少”： （1）特征： 两个量原来存在倍数关系，经过移多补少后，又形成新的和或倍数关系。 （2）方法： 抓住“和不变”或“差不变”的特点，结合移动后的数量关系求解。（常与“隐藏和”结合） （3）例题： 甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍。两筐所剩的梨各是多少个？各取出多少个？ 5.和倍问题与其他问题的综合（如行程问题中的相遇、周长问题等）： （1）方法： 先根据其他问题的公式或数量关系，求出“和”以及“倍数关系”，再转化为和倍问题求解。 （2）例题： 一个长方形的周长是80厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 知识点四、解题步骤总结 1.审题： 仔细阅读题目，找出已知条件（和、倍数关系，是否有多、少、隐藏和等）。 2.确定“1倍数”： 通常把较小的数或“是”、“比”后面的量看作“1倍数”。 3.画线段图： 用线段图直观表示出各数量之间的倍数关系和总和（或差）。 4.列式计算： 根据线段图分析，列出算式求出1倍数，再求出其他各数。如果有“多”或“少”，先进行调整。 5.检验作答： 把结果代入原题，看是否符合题意，然后写出答案。 例题讲解 一、已知两数之和与倍数关系，求两数 【例题1】奇思周末在家看了一本故事书，已经看了37页，没看的页数是已看页数的5倍，这本书一共有多少页？ （1）请你用线段图表示出没看的页数。 （2）列式解答。 【例题2】学校买来一些乒乓球和羽毛球共个，乒乓球的个数是羽毛球的倍。买来的乒乓球和羽毛球各多少个？ 二、不是整倍数的和倍问题（“多”或“少”几） 【例题1】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？ 【例题2】某工厂有男工和女工共450人，男工人数比女工的3倍多30人，男工比女工多多少人？ 三、含有三个或更多量的和倍问题 【例题1】欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 【例题2】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵。桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ 【例题3】花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？ 四、隐藏“和”的和倍问题 【例题1】两根绳子，第一根长度是第二根的4倍，若从第一根剪去24米，两根绳子长度相等，两根绳子原来各长多少米？ 【例题2】甲仓库货物是乙仓库的5倍，若从甲仓库运出120吨到乙仓库，则两仓库货物相等，甲乙两仓库原来各有货物多少吨？ 五、和倍问题中的“移多补少” 【例题1】小敏有元，小花有元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的倍？ 【例题2】甲筐有梨500个，乙筐有梨300个，从两筐取出相同个数的梨后，甲筐剩下的梨是乙筐的3倍，两筐各剩下多少个梨？各取出多少个？ 六、和倍问题与其他问题的综合 【例题1】一个长方形操场，周长是78米，已知长是宽的2倍，这个操场长、宽分别是多少分米？ 【例题2】甲乙丙三人共有邮票300张，甲的邮票是乙的2倍，丙的邮票比乙的3倍少30张，三人各有多少张邮票？ 考点练习 一、已知两数之和与倍数关系，求两数 1．今年，妈妈和小红的年龄之和是45岁，并且妈妈的年龄正好是小红年龄的4倍。妈妈和小红今年各多少岁？ 2．果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？ 3．5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？ 4．一部手机和一部电话共2240元，手机的单价是电话机的7倍，手机和电话机的单价各是多少元？ 5．实验小学三、四年级的同学们一共制作了318件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的2倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？ 二、不是整倍数的和倍问题（“多”或“少”几） 1．实验小学共有学生人，男生比女生倍少人。问：实验小学男学生和女学生各有多少人？ 2．2016“枫叶新希望杯”成都夏令营共有750名营员参加，其中男生人数比女生人数的2倍少150人，求男生和女生的人数。 3．有两层书架,共有书173本．从第一层拿走38本书后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，则第二层有多少本书？ 4.学校买来足球和篮球共180个，足球个数比篮球的4倍多20个，足球和篮球各多少个？ 5.水果店运来苹果和香蕉共150千克，苹果比香蕉的3倍少30千克，苹果和香蕉各多少千克？ 三、含有三个或更多量的和倍问题 1．2019国庆70周年大阅兵中，共有59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次。其中59个方（梯）队分为徒步方队、装备方队和空中梯队，已知徒步方队的数量比空中梯队的数量多3个，装备方队的数量是徒步方队的2倍多2个。三种方（梯）队各有多少个？ 2．甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？ 3．某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只。这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 4．学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的倍。排球比足球多个。问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？ 5．孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行最后一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的人获胜。最后他们共吹破110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的气球比孙悟空的2倍少2个。请问：最后获胜者吹破了多少个气球？ 6．甲、乙、丙、丁四个人的年龄和是92岁，已知甲、乙的年龄和比丙、丁的年龄和的2倍大8岁，又知甲的年龄是乙的3倍，丙比丁大2岁，求甲、乙、丙、丁各是多少岁？ 四、隐藏“和”的和倍问题 1.哥哥的零花钱是弟弟的3倍，若哥哥给弟弟20元，两人零花钱一样多，哥哥和弟弟原来各有多少零花钱？ 2.大桶油是小桶油的6倍，若从大桶倒出30千克油到小桶，两桶油重量相等，大小桶原来各有油多少千克？ 3.甲书架的书是乙书架的4倍，若从甲书架拿走60本，乙书架增加60本，则两书架书一样多，原来两书架各有多少本书？ 4.两筐鸡蛋，第一筐是第二筐的3倍，若从第一筐取出15个放入第二筐，第一筐还比第二筐多10个，两筐原来各有多少个鸡蛋？ 五、和倍问题中的“移多补少” 1．有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个，那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的5倍？ 2．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 3．某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的4倍？ 六、和倍问题与其他问题的综合 1．一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 2.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，4小时后相遇，相遇时甲车行驶路程是乙车的3倍，A、B两地相距480千米，甲乙两车每小时各行驶多少千米？ 3.某工厂有三个车间，第一车间人数是第二车间的2倍，第三车间人数比第二车间的4倍少50人，三个车间共有450人，各车间有多少人？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $