专题06 规律探索的三大题型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题06 规律探索的三大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一：单项式规律题型 1 题型二：图形类规律探索 11 题型三：数字类规律探索 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一：单项式规律题型 1．按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，单项式的系数规律为从1开始的连续的奇数，指数为从1开始连续的整数，进行求解即可． 【详解】解：单项式：，，，，，， 第个单项式为， 故选：B． 2．现有按一定规律排列的单项式，…，则第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．从三方面(符号、系数的绝对值、指数)观察可得规律：符号的规律：都是负、正交替出现，即第奇数个为负，第偶数个为正；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第n个对应的指数是．即可求第8个单项式． 【详解】解：∵，…， ∴第n个单项式是， 当时，第8个单项式是： 故选：C． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键．观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：根据前几项单项式排列可知：各单项式的系数可表示为：，，，，，， 各单项式字母的部分规律为：． 第个单项式是． 故选：A． 4．学习整式后，小红写下了这样一串单项式：，，，，…，，…，请你写出第个单项式（用含的式子表示）为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据所给的几个代数式找出每个单项的系数和字母的指数的变化规律，即可写出第个单项式． 本题考查列代数式，解题的关键是理清题意，找到数字间的规律． 【详解】解：∵， ， ， ， … ， ∴第n个单项式为：， 故选：C． 5．以下式子：按照其中的排列规律，第n个式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律．由所给的单项式可得系数是，x的次数均为1，y的次数为n的自然数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴第n个式子可以表示为． 故选：C 6．按一定规律排列的代数式：，，，，，…第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的探究规律，解题的关键是根据单项式找到规律． 通过观察单项式发现：，则第个数为发现前一项乘以等于后一项，得第n个数为． 【详解】解：， ， 则第个单项式为． 故选：B． 7．)按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数奇数项都是负的、偶数项都是正的，数字因数的绝对值是从1开始的序数的4倍与3的差，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵ 观察这组单项式：，其系数是，，次数是1，2，3，4，5，， ∴第n个单项式的系数为，次数为其序数n， ∴第n个单项式为． 故选：D． 8．观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律； 根据关于的单项式的系数和次数变化发现规律即可求解． 【详解】解：观察关于的单项式可知：，，，，，，…， 发现规律：第个单项式为：， 所以第2025个单项式是：， 故选：B． 9.按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 10．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由已知数列可得单项式的系数规律为，指数的规律为，据此解答即可求解，由已知数列找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵单项式：， ∴单项式的系数规律为，指数的规律为， ∴第个单项式是， 故选：． 11．(24-25七上·河北唐山迁安第一初级中学·月考)请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： …… （1）第3个单项式应该是： ； （2）第n个单项式应该是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． 通过观察题意可得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为，由此得到答案． 【详解】解：依题意得各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 故第3个单项式的系数为，第n个单项式的系数为， 每个单项式的字母均为x，依次为, 故第3个单项式的字母为，第n个单项式的字母为， ∴第3个单项式为，第n个单项式为， 故答案为（1），（2）． 12．(24-25七上·山东滨州邹平梁邹实验初级中学·期中)观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，单项式的系数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：， 单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时，第个代数式是：． 故答案为：①，②． 13．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵，，，，，，，…， ∴所以第n个单项式可表示为：， 当时， 第2025个单项式是：． 故答案为：． 14．(24-25七上·甘肃白银·期末)观察下列单项式：，，，，…按此规律，第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第n个单项式为是解题的关键． 先根据已有单项式找出第n个单项式为，然后将代入求解即可． 【详解】解：由题意可知 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第n个：； ∴第2025个单项式为：． 故答案：． 15．(24-25七上·福建南平光泽县·期中)观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是 ，第n个单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律． 根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，且符号是奇负偶正，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2024个单项式． 【详解】解：观察关于x的单项式可知： … 发现规律： 第n个单项式为：， 所以第2024个单项式是：． 故答案为：，． 16．观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 17．观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【答案】(1)奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同 (2)与自然数序号相同 (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式、数字规律等知识点，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的单项式找出其系数及其绝对值的规律即可； （2）根据题中给出的单项式找出其系数的次数的规律即可； （3）根据题中给出的单项式归纳规律即可； （4）根据（3）中的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是； …； ∴第n个单项式是． ∴系数的符号规律是奇数项为负，偶数项为正；系数的绝对值规律是与自然数序号相同． 故答案为：奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同． （2）解：根据（1）可知：单项式的次数的规律是与自然数序号相同． 故答案为：与自然数序号相同． （3）解：根据（1）可以猜想出第个单项式是． 故答案为：． （4）解：根据（3）中的规律可得：第2025个单项式是． 故答案为：． 18．观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． （1）观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可解决问题； （2）根据(1)中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解∶观察所给单项式可知， 单项式的系数依次为∶1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数为∶ ， 单项式的次数依次为∶1，2，3，4，5，……， 所以第n个单项式的次数为∶n， 所以第n个单项式可表示为∶ ， 当时， 第10个单项式为， 故答案为∶，； （2）解∶由(1)知， 当时， 第2024个单项式为∶； 当时， 第2025个单项式为∶ 故答案为∶，． 19．观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了探索单项式的变化规律，解决本题的关键是根据所给出的单项式的变化规律列出代数式． 根据前三个单项式可知：单项式的符号是正、负间隔出现，第个单项式的系数是，字母的指数是，按照规律写出第个和第个单项式； 由中得到的单项式的符号、系数、指数的变化规律可得结果． 【详解】（1）解：根据前三个单项式的系数和指数的变化规律可得： 第个单项式是， 第个单项式是； （2）由可知： 第个单项式是， 第个单项式是． 20．(24-25七上·山西·期中)阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的值， （1）①根据规律，即可求解； ②根据规律可得，再求次数，即可求解． （2）再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【详解】（1）解：①由表格可知，；． 故答案为：；． ②由①中的规律可知，的次数为， 故答案为：． （2）解：根据题意和★所处表格位置，可得多项式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数， ∴求的最大值时，最小即可， ∴， 又∵多项式的值为，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型二：图形类规律探索 21．■◇◇●●■◇◇●●■◇◇●●……，照这样的规律摆，第207个图形是（   ） A．■ B．◇ C．● D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了简单的周期排列规律，结合题意分析解答即可， 根据图示，是按照“■◇◇●●”每5个图形一个循环进行排列，用，结合余数确定第207个图形即可． 【详解】解：（组）（个）， 答：第207个图形是◇， 故选：B． 22．(24-25七上·浙江绍兴第一初级中学·)观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则图100中小黑点的个数为(    ) A．10001 B．9901 C．9890 D．10100 【答案】B 【分析】本题考查了找规律图形类，发现规律是解答本题的关键，根据题意分析可得：第个图中，从中心点分出个分支，每个分支上有个点，不含中心点． 【详解】解：观察可得，第个图中，从中心点分出个分支，每个分支上有个点，不含中心点， 第个图中小黑点的个数为， 第个图中小黑点的个数为， 故选：B． 23．(24-25七上·广西南宁第四十七中学·)要用火柴棒摆三角形，如图，照这样的规律摆下去，个三角形需要火柴棒（   ） A．根 B．根 C．根 D．根 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得出1个三角形需要3根火柴棒，2个三角形需要5根火柴棒，3个三角形需要7根火柴棒，4个三角形需要9根火柴棒，5个三角形需要11根火柴棒，6个三角形需要13根火柴棒，由此得出规律即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，1个三角形需要根火柴棒， 2个三角形需要根火柴棒， 3个三角形需要根火柴棒， 4个三角形需要根火柴棒， 5个三角形需要根火柴棒， 6个三角形需要根火柴棒， …， ∴个三角形需要火柴棒根， 故选：B． 24．(24-25七上·浙江丽水文元教育集团·期末)如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象规律探索，理解序号与数量的关系是解题的关键．根据图的序号与图中数量的增加规律即可求解． 【详解】解：第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； … ∴第个图，数量是； 故选：D． 25．(24-25七上·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期末)图①是1个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，图中共有5个三角形；再分别连接图②中间的小三角形三边的中点得到图③，图中共有9个三角形，按照这个规律继续下去，第⑩个图中共有三角形的个数是（   ） A．39 B．37 C．35 D．33 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探索，根据已知图形找出三角形个数的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：图①中三角形的个数为； 图②中三角形的个数为； 图③中三角形的个数为； …… 以此类推，第n个图形中三角形的个数为， 因此第⑩个图中共有三角形的个数是． 故选B． 26．(24-25七上·重庆十一中教育集团文德中学校·月考)下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（    ） A．81 B．77 C．75 D．70 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律探索，找出规律是解题的关键．先整理出第①个图案到第④个图案的黑点数量，再总结第个图案中黑点个数为，最后代入数值计算，即可得第⑦个图案中黑点个数． 【详解】解：第①个图案有个黑点， 第②个图案有个黑点， 第③个图案有个黑点， 第④个图案有个黑点， …， 以此类推，得第个图案中黑点个数为； 第⑦个图案中黑点个数为； 故选：B． 27．(24-25七上·河北唐山迁安第一初级中学·月考)按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律． 通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【详解】解：搭2个正方形需要根火柴棒； 搭3个正方形需要根火柴棒； ， 搭个这样的正方形需要根火柴棒， 搭2024个这样的正方形需要根火柴棒． 故选：C． 28．如图是用棋子摆成的“”，摆成第一个“”需要7个棋子，第二个“”需要棋子12个，第三个“”需要棋子17个；按这样的规律摆下去，摆成第2024个“”需要（   ）个棋子． A．10120 B．10122 C．10124 D．10126 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据前3个“H”字所用棋子的个数发现规律，由此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：解：由图可知，摆成第1个“H”字需要的棋子的个数为（个）， 摆成第2个“H”字需要的棋子的个数为（个）， 摆成第3个“H”字需要的棋子的个数为（个）， …… 归纳类推得：摆成第n个“H”字需要的棋子的个数为个， 当时，， 故选：B． 29．如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探究．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 第n个图案，用根小棒； ∴第个图案中木棒的根数为：， 故选：D． 30．观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 【答案】D 【分析】此题考查图形的变化规律，找出数字循环的规律，利用规律解决问题． 先求出，再根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序求解即可． 【详解】解：∵ 根据每个五角星上有5个数字以及排列顺序可知，数2024在第405个五角星上的位置， 故选：D． 31．(24-25七上·安徽蚌埠第二十六中学·)如图是连在一起的两个正方形，边长都是1厘米．一个微型机器人由点A开始，按……的顺序，沿正方形的边循环移动．当微型机器人移动了2022厘米时，它停在了点 处． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．由题意可得每厘米为一个循环周期，一个周期内移动的顺序是固定的，再计算出，由此即可得解． 【详解】解：∵一个微型机器人由点A开始，按……的顺序，沿正方形的边循环移动， ∴每厘米为一个循环周期，一个周期内移动的顺序是固定的， ∵， ∴当微型机器人移动了2022厘米时，它停在了点处， 故答案为：C． 32．(24-25七上·安徽淮北第二中学·)摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒（如图），摆n个三角形要 根小棒，现在有49根小棒，可以摆 个这样的三角形． 【答案】 24 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，每多摆一个三角形，增加2根小棒，进而求出摆n个三角形所需的小棒数量为根，令，求出49根小棒，可以摆多少个三角形即可． 【详解】解：观察可知，每多摆一个三角形，增加2根小棒， 故摆n个三角形要（根）小棒， 当时，，即49根小棒，可以摆24个这样的三角形； 故答案为：，24 33．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．照此规律，若铺成一个的正方形图案，其中完整的圆共有 个． 【答案】61 【分析】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律题． 根据所给图形归纳规律求解即可． 【详解】解：因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为； 又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个的正方形图案，所得到的完整圆的个数共有： ， ∴若铺成一个的正方形图案，其中完整的圆共有：个． 故答案为61． 34．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有( )个五角星． 【答案】6067 【分析】本题考查图形类规律探索，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 由图可知，每个图形中五角星的个数比前一个图形多3个，由此可解． 【详解】解：由图可知，第1个图形中五角星个数为：， 第2个图形中五角星个数为：， 第3个图形中五角星个数为：， 第4个图形中五角星个数为：， …… 以此类推，第n个图形中五角星个数为：， 因此第2022个图形中五角星个数为：， 故答案为：6067． 35．(24-25七上·广西南宁青秀区荔英中学·月考)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【答案】（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 36．(24-25七上·山东滕州滕东中学·)如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)25，； (2)①第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：，正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②将代入①中求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形内圆的个数是1， 第2个图形内圆的个数是4， 第3个图形内圆的个数是9， 第4个图形内圆的个数是16， … 第n个正方形中圆的个数为个； 故答案为：25，； （2）①第1个图中的阴影部分面积为 =， 第2个图中的阴影部分面积为， 第3个图中的阴影部分面积为 所以第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：， 正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值； ②由①可知每个图形中阴影部分的面积相等，则当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 37．仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 【答案】(1) (2)2500 (3)1500 (4)14，91 【分析】本题考查数字类、图形类规律探究，找到变化规律并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例子直接写出等式即可； （2）根据所给几个等式，发现规律，进而求解即可； （3）把变形为，然后利用（2）中规律求解即可； （4）根据图①、②、③中正方形个数发现规律为：在的大正方形网格中包含个正方形，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ∴ （3）解： ； （4）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形， 故答案为为：14，91． 38．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，有理数的运算． （1）根据题意先表示出①至⑥的面积，再总结规律即可作答； （2）结合（1）的规律，即可作答； （3）结合（1）的规律，即可作答. 【详解】（1）解：①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， 阴影面积与⑥的面积相等，即为； （2）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：， 故答案为：； （3）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成2024个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：． 39．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2) (3)1601 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 题型三：数字类规律探索 40．如图，从左到右每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的数是（    ） A．4 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类规律，解决本题的关键是找出等量关系，列出方程，求出a、b、c的值．根据表格中的任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,列出方程,得，，再结合图中的的位置，得出，然后根据“第2018个格子中的数”这个条件进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， ∴，， 则依题意，如图所示： ∴从左边第一个开始，按照排列，三个为一个循环，则结合图中信息得， ∴按照排列，三个为一个循环， 依题意， 即第2018个格子中的数是 故选B． 41．(24-25七上·江西南昌外国语学校·)按1，1，2，3，5，（ ），13，…按规律括号里应该填（    ） A．7 B．9 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查数字变化类规律探究，找出数字变化的规律是解题的关键．观察可知从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和，由此解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和， ∴， 故所填的数为：． 故选：D． 42．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为……，设碳原子的数目为（为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键． 设醇类的化学式为，根据甲醇、乙醇、丙醇的化学式得出即可求解． 【详解】解：设醇类的化学式为， 当时（），， 当时（），， 当时（），， …， 由此可得，， 所以醇类的化学式可以用表示． 故选：C． 43．如图，敲击四根音管时依次发出“1”“3”“5”“7”，音锤从“1”开始，每敲击一次移动一位，按照如下规律敲击：“1”→“3”→“5”→“7”→“5”→“3”→“1”→“3”→“5”…，依次往复敲击，在敲击第2024节拍时，你听到的是（   ） A．“1” B．“3” C．“5” D．“7” 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，结合题意可知敲击音管每6次为一个循环，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得敲击音管每6次为一个循环， 即按1，3，5，7，5，3，……循环， ∵， ∴敲击第2024节拍时，听到的是3， 故选B． 44．正整数按如图的规律排列，则2024位于哪一行，哪一列（　　） A．第45行，第4列 B．第2行，第45列 C．第46行，第3列 D．第3行，第46列 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出规律是解答的关键． 观察图形得到第n（n为奇数）列第一行的数为，然后求出第45列第一行的数为2025，进而求解即可． 【详解】解：由图形可得，第1列第1行的数为； 第3列第1行的数为； 第5列第1行的数为； ∴第n（n为奇数）列第一行的数为； ∵ ∴第45列第一行的数为2025 由图形可得，当n为奇数时，第n列的数从上到下依次减小1 ∴第45列第2行的数为2024． ∴2024位于第2行，第45列． 故选：B． 45．(24-25七·河南郑州第八十中学·)今天是市长接待日，新华小学的学生积极参加议政，有许多同学给市长写信，提出自己的好建议．现知道这个学校学生写信的总数是一个三位数，而且这3个数字各不相同，3个数字之和是8．该校学生最多向市长写了（    ）封信． A．800 B．710 C．611 【答案】B 【分析】本题考查了数的认识，求出符合题意的最大的三位数是解题的关键．设这个三位数为，由题意得，然后逐步列举尽可能大的的值，进而得出的值，即可求解． 【详解】解：设这个三位数为， 由题意得， 当，则，此时三位数为800，不符合题意； 当，则， 令，则，此时三位数为710，符合题意是最大的； ∴该校学生最多向市长写了710封信． 故选：B． 46．(24-25七上·江苏南京师范大学附属中学新城初级中学·月考)若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 47．(24-25七上·重庆第九十五初级中学校·)一列数．中的第34个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于数列中的规律，解答此题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律． 根据数列找出规律，根据规律进行求解即可． 【详解】解：根据数列的规律可知，每个数的个数依次多1，即1有1个，2有2个，3有3个，… ∵，， ∴第34个数为8， 故选：C． 48．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了图形及数字变化规律，由题意得到三角形数的第个图中点的个数为，正方形数的第个图中点的个数为，再把下列数代入即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图①可知，三角形数的第个图中点的个数为：， 由图②可知，正方形数的第个图中点的个数为：， A、由无整数解， ∴不是正方形数，故选项不符合题意； B、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； C、由， ∴， ∴是三角形数， 又∵， ∴是正方形数，故选项符合题意； D、由无整数解， ∴不是三角形数，故选项不符合题意； 故选：C． 49．和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查了数字变化规律，观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数的是从3开始的第个数，即可得出答案， 观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键．还要熟练掌握求和公式． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数， ∴从到的奇数的个数为：， ∵， ∴， ∴奇数是从开始的第个奇数， ∵， ∴第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个， ∴， 故选：B． 50．(24-25七上·湖南衡阳华新实验中学·)已知一串分数；；；；；；……第54个分数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整数的数字变化规律， 先确定前几个数的分母的变化规律，再确定第54个数的位置，即可得出答案. 【详解】解：∵以1为分母的数有1个，以2为分母的有2个，以3为分母的有3个， ∴当分母为n时，数的总数为. ∵， ∴第45个数是，第55个数是， 则第54个数是以10为分母的第9个，即. 故答案为：. 51．已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 【答案】109 【分析】本题主要考查数字规律探索的能力，找出规律是解决本题的关键． 根据已知等式归纳出一般规律，并代入特定值求解即可． 【详解】解：观察已知等式： ，当时，的分母为； ，当时，的分母为； ，当时，的分母为；； ∴分母为， 等式可表示为：， 代入， ∴，， ∴． 故答案为：109． 52．(24-25七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·)观察下列三行数： ，4，，16，，…① 0，6，，18，，…② ，2，，8，，…③ 取每行的第6个数，计算这三个数的和是 ． 【答案】162 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是找出每行数字的变化规律． 先找出每行数字的规律，求出每行的第6个数，再将这三个数相加即可解答． 【详解】解：第①行的数观察可得：后一个数是前一个数的倍，第个数可以表示为． 当时，第个数为． 第②行的数对比第①行的数，发现第②行的数比第①行对应的数大，即第②行第个数为． 当时，第个数为． 第③行的数观察可得：第③行的数是第①行对应数的，即第③行第个数为． 当时，第个数为． 将每行第个数相加：． 故答案为：162． 53．(24-25七上·福建龙岩紫金山实验学校·月考)观察下列算式：，，，，，，，，……，观察后，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 【答案】8 【分析】本题考查数字规律（周期），观察已知数字末位数字，发现其为周期是4的一串数字重复出现，据此即可解答． 【详解】解：如下表： 幂 … 指数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 末位数字 2 4 8 6 2 4 8 6 … 由表易知，末位数字以4为周期重复出现，每个周期末位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的末位数字是8， 故答案为：8． 54．(23-24七下·江苏镇江丹阳·期末)规定新运算：，，，请你找到这些算式的规律，计算 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是新定义运算，解题的关键是要弄清新运算法则或规律．通过观察和分析给定的算式总结出规律为：，进而将给定的数字代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 通过观察与计算找到规律：， ． 故答案为：． 55根据规律填代数式： ，，，…， ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，熟读题干得出正确的规律是列出代数式的关键．观察题干，从中寻找出计算的规律，按照规律求解即可． 【详解】解：， ， ， … 观察发现， 故答案为：． 56．(24-25七上·浙江绍兴绍初教育集团·)观察下列每组数，找出规律，并回答问题： 第一组：3，，3，，…； 第二组：，，，，…． (1)第一组数中的第6个数是_______，第二组数中的第7个数是_______； (2)试判断这两组数中的第2025个数分别是正数还是负数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)第一组数中的第2025个数是正数，第二组数中的第2025个数是负数，理由见解析 【分析】本题考查数字变化类，关键是根据已知数据找出规律． （1）根据第一组，第二组给出的数据找出规律得出结论； （2）观察第一组数发现，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，观察第二组数发现，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，从而得出结论． 【详解】（1）解：因为第一组的数为：3，，3，，…， 所以第一组中的第奇数个数为3，第偶数个数为， 又因为6为偶数， 所以第一组中的第6个数是； 因为第二组数的分子依次为1，3，5，7，…，分母依次为2，4，6，8，…，且正负数相间排列， 所以第二组中的第n个数可表示为：， 当时，第二组数中的第7个数为， 故答案为：，； （2）解：第一组数中的第2025个数是正数，第二组数中的第2025个数是负数，理由如下： 因为2025是奇数， 所以第一组数中的第2025个数是正数； 因为第二组数中第奇数个数是负数，第偶数个数是正数， 所以第二组数中的第2025个数为是负数． 57．(24-25七上·江苏盐城射阳外国语学校·)如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？   【答案】 【分析】本题考查了数字规律，找到规律是解题的关键． 观察每一行末尾的数字，发现：第1行末尾的数字；第2行末尾的数字，第3行末尾的数字；……可以总结出规律，每一行末尾的数字都是行数的平方，则第19行末尾的数是，所以第20行的第一个数是362，那么第7个数是，即可作答． 【详解】解：观察图中数字排列： 第1行末尾的数字； 第2行末尾的数字， 第3行末尾的数字； …… 以此类推：每一行末尾的数字都是行数的平方， 则第19行末尾的数是， ∴第20行的第一个数是362， 那么第7个数是， 即第20行第7个是． 58．(24-25八上·广东惠州·期末)观察下列各式： ； ； ； ； … (1)你发现的规律是：＝ （用字母表示）． (2)用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是数字类规律探索、有理数的混合运算，解题关键是找到题中的规律． （1）观察一系列的等式，找出一般性的规律即可； （2）利用（1）中的规律化简所求式子，抵消后计算即可得到结果． 【详解】（1）解：发现的规律为（为正整数）． 故答案为：． （2）解：由（1）中的规律得： 原式＝， ， ． 59．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1348 【分析】本题主要考查了数式的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题． （1）根据规律进行列出等式即可； （2）根据规律总结出代数式即可； （3）利用总结出的规律进行计算． 【详解】（1）解：根据所给出的例式得，， 故答案为：； （2）解：； （3）解： ． 60．探究活动： (1)探究规律： ； ； ； ___________________________； … (2)猜想规律：_______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）； (3)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）由（1）中的发现即可解决问题． （3）对发现的等式进行证明即可． 本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：． （2）解：根据前面的规律，得， 故答案为：． （3）解：有类似规律，；理由如下， ， 由， 故． 61．观察下列各式： ， ， ， …… (1)请写出第4个式子： ； (2)若n为正整数，试猜想 ； (3)试利用（2）中猜想的结论比较13＋23＋33＋…＋103与（－56）2的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字变化规律，根据逐项增加计算所得的结果总结出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第4个式子； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个式子； （3）根据（2）中的结果，可以将化简，然后与比较大小，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴． 62．乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中．观察下列等式：，，，，，，，，，，……解答下列三个问题： (1)的末位数字是 ． (2)求的末位数字． (3)观察下列等式：，，，，…，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，再利用这一规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查乘方的末位数字规律以及乘方运算的规律应用． 第()题通过观察已知的乘方等式，找出乘方末位数字的循环规律，进而确定的末位数字； 第()题先根据()中发现的末位数字规律，分别计算出到末位数字的和，再确定其末位数字； 第()题先观察等式左边各个幂的底数与右边幂的底数的关系，得出规律，再利用该规律计算的值； 【详解】（1）解：观察已知的乘方等式：，，，，，，，，，，…… 可以发现末位数字是以这个数字为一个循环周期， 刚好经过了个完整的循环周期， ∴的末位数字是． （2）由()可知，一个循环周期内末位数字的和为：， 从到刚好经过了个完整的循环周期， ∴的各项末位数字之和为， ∵的末位数字是， ∴的末位数字是0． （3）观察等式：，，，， 可以发现等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数， 即，，，， 根据上述规律，右边幂的底数为， 根据等差数列求和公式(其中为项数，为首项，为末项)， 可得. 所以． 63．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 【答案】(1)①，，；② (2) (3) 【分析】（）根据倒数差的定义解答即可； （）根据（）的计算结果，得到规律，每个数为一个周期，由此得到答案； （）根据（）的计算结果，得到规律，每个数为一个周期，每个周期个数的积为，进而解答即可求解； 本题考查了数字类变化规律，理解题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：①由题意得，，，， 故答案为：，，； ②； （2）解：∵，，，，， ∴倒数差以，，为一个周期循环变化， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴ ． 64．代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … … … … … … … … 【初步感知】 （）根据表中信息可知：_____，_____； 【归纳规律】 （）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就随之增加．类似的，的值随着的变化而变化的规律是：_____； 【计算验证】 （）当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【应用迁移】 （）观察表格，下列结论正确的序号是_____． ①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，． 【答案】（），；（）的值每增加，的值就减少；（）当，的值从增加到时，关于的代数式的值增加；当，的值从增加到时，关于的代数式的值减少，理由见解析；（）①③④ 【分析】（）把和分别代入和计算即可求解； （）根据表格数据找出变化规律即可； （）由，分和两种情况即可求解； （）根据表格数据逐项判断即可求解； 本题考查了代数式求值，代数式的应用，整式的运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）当时，， ∴； 当时，， ∴； 故答案为：，； （）的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就减少， 故答案为：的值每增加，的值就减少； （）∵， ∴当，的值从增加到时，关于的代数式的值增加；当，的值从增加到时，关于的代数式的值减少； （）①当时，由表格得，， ∴，故①正确； ②当时，由表格得，， ∴，故②错误； ③当时，由表格得，，， ∴， ∴，故③正确； ④由表格得，当时，故④正确； 综上，结论正确的序号是①③④， 故答案为：①③④． 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的找规律问题．先分别确定符号、系数、次数的变化规律，即可得出单项式的变化规律，进而求出第个单项式的表达式． 【详解】解：第一个单项式为：， 第二个单项式为：， 第三个单项式为：， 第四个单项式为：， 第五个单项式为：， ……， 故第个单项式为：． 故选：A． 2．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律是解题关键．分别分析的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式即可． 【详解】解：因为， ， ， ， ， ……， ∴第个单项式是． 故选A． 3．(24-25七上·云南楚雄彝族楚雄紫溪中学·期中)按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第2021个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，从而可以写出第n个单项式，然后即可写出第2021个单项式． 【详解】解：∵一列单项式为：，，，，，，…， ∴第个单项式为， 当时，这个单项式是， 故选：A． 4．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形中黑点的个数与白点的个数之差的规律是解题的关键．观察图形可知，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，， ∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28． 故选：B． 5．(24-25七上·河北保定河北保定师范附属学校·期末)如图，每个小正方形的面积均为1． 已知一个草垛（按如图所示的阶梯方式摆放）的最底端有2024个类似小正方体的草堆，则该草垛共有（   ）个草堆． A．12144 B．4098600 C．1025156 D．4094552 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，分析等式规律题时，观察等式的两边的特征，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．分析所给的等式，等式左边是连续的偶数之和，右边是两个连续整数的乘积，进行求解即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ， ∴第个等式：， ∴当最底端有2024个类似小正方体的草堆时，； 故选C． 6．(24-25七上·河北唐山迁安第一初级中学·期末)如图是用摆成的图形，按照下面这种摆法，第ⓝ个图形中的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察已有图形，得到第ⓝ个图形中的个数为，判断即可． 【详解】解：观察可知：第①个图形中的个数是：个； 第②个图形中的个数是：个； 第③个图形中的个数是：个； 第④个图形中的个数是：个； ∴第ⓝ个图形中的个数是； 故选C． 7．(23-24七上·浙江宁波曙光中学·)找规律：，则第个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的规律，解题的关键是要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律． 根据题意找出相应规律求解即可． 【详解】解：由分析得： 系数的绝对值依次为2，4，8，16，…，， 奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 指数为从1开始的正整数， ∴第个式子是． 故答案为：． 8．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式中的规律探究问题，根据第个对应的系数是，第个对应的指数是，进而求出第个单项式即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴系数的规律：第个对应的系数是， 指数的规律：第个对应的指数是， 则第个单项式是， 故答案为：． 9．观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据箭头规律按照的顺序为一个循环，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：箭头规律按照的顺序为一个循环， ∵， ∴第2024个单项式的位置与的位置相同， ∴第2024个单项式到第2025个单项式的箭头为：； 故答案为：． 10．(24-25七上·浙江湖州南浔区新东方·期中)观察下图，计算( )×( )=( )． 【答案】 【分析】此题考查了规律题，将算式中的平方转化成图形的面积计算，几个正方形的面积之和等于拼成的大长方形的面积，由此规律即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， ， ， 故答案为： 11．如图，用大小相同的点拼图，则拼出的第⑩个图形需要 个点． 【答案】55 【分析】本题考查图形类规律探索，根据已知图形找出数字变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第个图形需要点的个数：1， 第个图形需要点的个数：， 第个图形需要点的个数：， 第个图形需要点的个数：， …… 以此类推，第⑩个图形需要点的个数为：， 故答案为：55． 12．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第6个图形中正方形的个数是 ． 【答案】112 【分析】本题重点考查​学生观察、分析和归纳规律的能力​，​找出图形中正方形个数的变化规律是解题的关键． 根据图形规律求得答案即可． 【详解】观察图形可知： 第1个图形中小正方形的个数是， 第2个图形中小正方形的个数是， 第3个图形中小正方形的个数是， 第6个图形中小正方形的个数是， 故答案为：112． 13．(24-25六上·山东烟台海阳·期中)“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图，数学活动课上，小颖将一张面积为2的长方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推．    认真观察图形，解答下列问题： (1)图中阴影部分的面积为______（直接写出答案）； (2)______（直接写出答案）； (3)请类比（2），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查图形类规律探究，有理数的混合运算： （1）根据题意，得到①的面积为，②的面积为，③的面积为：，进而推出⑦的面积为即可； （2）结合图形可知，和为面积为2的长方形减去阴影部分的面积，作答即可； （3）类比2，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得： ①的面积为，②的面积为，③的面积为：，， ∴⑥和⑦的面积为； 故答案为：； （2）解：的和可以看作（1）中大长方形的面积减去阴影部分的面积， ∴； （3）解：同理可知： ∴． 14．(24-25七上·重庆清华中学·期中)如图，对边长为1的正方形进行如下多次分割，请根据图片回答下列问题： (1)第4次分割后，空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ． (2)根据第次分割后空白部分与阴影部分的面积关系，计算．（最后结果用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了图形类规律探究，找出规律是解答本题的关键． （1）根据前3个图形可推出第4个图形的结论； （2）根据（1）得出第n次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：∵第1次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第2次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第3次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为； ∴第4次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知第n次分割，阴影部分的面积为，空白部分的面积为， ∵， ∴． 15．观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)根据上述规律写出第6个等式： (2)第n个等式： （用含n的式子表示） (3)计算： 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【分析】题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据所给等式发现（n为正整数）是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 所以第n个等式可表示为：（n为正整数）． 当时， 第6个等式为：． （2）解：由（1）知， 第n个等式为：（n为正整数）． 故答案为：（n为正整数）． （3）解： ． 16．(24-25七上·重庆江北知易外国语学校·期中)思维训练： (1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数，4，，6，请写出三种不同方法的运算，使其结果等于24． (2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值； k 11 121 (3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走． 【答案】(1)，， (2)的值为231 (3)见解析 【分析】题目考查了逻辑思维能力和空间想象能力，可以帮助提高思维的灵活性和解决问题的能力． （1）根据24点游戏规则，灵活应用有理数的加、减、乘、除、乘方的法则以及去（添）括号法则、相关的运算律进行列式，拓展思维，思考24可以通过那些加减乘除的方式得到，多尝试探索不同的组合，寻找可能的解； （2）根据幻方的规则，设未知数，利用方程组求的值； （3）连线问题，需要将相同数字用三条线连接起来，且不交叉，不超出边框，不在框线上走，1，2两个数字比较容易，先连起来，再通过观察，再图中缝隙尝试连接两个3． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ； （2）解：如下图，设未知数， 由题意知：每行、每列以及对角线上的数的和是相等的， 故可列方程组， ， 由②得  ③， 将③代入①得， ， 故的值为231； （3）解：如图所示： 答案不唯一． 17．(24-25七上·广东梅州兴宁实验学校·期中)观察下列等式的规律．，，，，．解答下列问题： (1)第5个等式为 ，第n个等式为 ；（用含n的式子表示，n为正整数） (2)设，则 ， ； (3)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，利用数字之间的联系与运算的方法，得出规律，进一步利用规律，解决问题． （1）根据规律写出结论； （2）把a的中分别代入计算即可； （3）分别计算，再代入所求式子，可得结论． 【详解】（1）解：∵，，，，， ∴， ； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：由（1）知， 所以， ， ， ． 所以 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 规律探索的三大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一：单项式规律题型 1 题型二：图形类规律探索 3 题型三：数字类规律探索 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一：单项式规律题型 1．按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 2．现有按一定规律排列的单项式，…，则第8个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 4．学习整式后，小红写下了这样一串单项式：，，，，…，，…，请你写出第个单项式（用含的式子表示）为（　　） A． B． C． D． 5．以下式子：按照其中的排列规律，第n个式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 6．按一定规律排列的代数式：，，，，，…第个代数式是（   ） A． B． C． D． 7．)按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 8．观察下面关于x的单项式：，，，，，，…．按照上述规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 9.按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 10．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25七上·河北唐山迁安第一初级中学·月考)请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： …… （1）第3个单项式应该是： ； （2）第n个单项式应该是： ． 12．(24-25七上·山东滨州邹平梁邹实验初级中学·期中)观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 13．(24-25七上·辽宁大连瓦房店·期末)观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2025个单项式是 ． 14．(24-25七上·甘肃白银·期末)观察下列单项式：，，，，…按此规律，第2025个单项式是 ． 15．(24-25七上·福建南平光泽县·期中)观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是 ，第n个单项式 ． 16．观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 17．观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 18．观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 19．观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 20．(24-25七上·山西·期中)阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 题型二：图形类规律探索 21．■◇◇●●■◇◇●●■◇◇●●……，照这样的规律摆，第207个图形是（   ） A．■ B．◇ C．● D．无法确定 22．(24-25七上·浙江绍兴第一初级中学·)观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，则图100中小黑点的个数为(    ) A．10001 B．9901 C．9890 D．10100 23．(24-25七上·广西南宁第四十七中学·)要用火柴棒摆三角形，如图，照这样的规律摆下去，个三角形需要火柴棒（   ） A．根 B．根 C．根 D．根 24．(24-25七上·浙江丽水文元教育集团·期末)如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 25．(24-25七上·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期末)图①是1个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，图中共有5个三角形；再分别连接图②中间的小三角形三边的中点得到图③，图中共有9个三角形，按照这个规律继续下去，第⑩个图中共有三角形的个数是（   ） A．39 B．37 C．35 D．33 26．(24-25七上·重庆十一中教育集团文德中学校·月考)下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，……，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（    ） A．81 B．77 C．75 D．70 27．(24-25七上·河北唐山迁安第一初级中学·月考)按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 28．如图是用棋子摆成的“”，摆成第一个“”需要7个棋子，第二个“”需要棋子12个，第三个“”需要棋子17个；按这样的规律摆下去，摆成第2024个“”需要（   ）个棋子． A．10120 B．10122 C．10124 D．10126 29．如图，将一些长度完全相同的木棒拼成正多边形，在正多边形的每个边外侧拼出等边三角形．按照一定规律摆成下列图形，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（   ） A．2024根 B．6072根 C．6075根 D．6078根 30．观察图中五角星五个顶点所标的数字规律，可知数2024应在（   ） A．第404个五角星上的位置 B．第404个五角星上的位置 C．第405个五角星上的位置 D．第405个五角星上的位置 31．(24-25七上·安徽蚌埠第二十六中学·)如图是连在一起的两个正方形，边长都是1厘米．一个微型机器人由点A开始，按……的顺序，沿正方形的边循环移动．当微型机器人移动了2022厘米时，它停在了点 处． 32．(24-25七上·安徽淮北第二中学·)摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒（如图），摆n个三角形要 根小棒，现在有49根小棒，可以摆 个这样的三角形． 33．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．照此规律，若铺成一个的正方形图案，其中完整的圆共有 个． 34．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有( )个五角星． 35．(24-25七上·广西南宁青秀区荔英中学·月考)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 36．(24-25七上·山东滕州滕东中学·)如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 37．仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 38．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 39．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 题型三：数字类规律探索 40．如图，从左到右每个格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的数是（    ） A．4 B． C．2 D．0 41．(24-25七上·江西南昌外国语学校·)按1，1，2，3，5，（ ），13，…按规律括号里应该填（    ） A．7 B．9 C．5 D．8 42．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为……，设碳原子的数目为（为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ） A． B． C． D． 43．如图，敲击四根音管时依次发出“1”“3”“5”“7”，音锤从“1”开始，每敲击一次移动一位，按照如下规律敲击：“1”→“3”→“5”→“7”→“5”→“3”→“1”→“3”→“5”…，依次往复敲击，在敲击第2024节拍时，你听到的是（   ） A．“1” B．“3” C．“5” D．“7” 44．正整数按如图的规律排列，则2024位于哪一行，哪一列（　　） A．第45行，第4列 B．第2行，第45列 C．第46行，第3列 D．第3行，第46列 45．(24-25七·河南郑州第八十中学·)今天是市长接待日，新华小学的学生积极参加议政，有许多同学给市长写信，提出自己的好建议．现知道这个学校学生写信的总数是一个三位数，而且这3个数字各不相同，3个数字之和是8．该校学生最多向市长写了（    ）封信． A．800 B．710 C．611 46．(24-25七上·江苏南京师范大学附属中学新城初级中学·月考)若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 47．(24-25七上·重庆第九十五初级中学校·)一列数．中的第34个数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 48．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数，比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，……由于这些数能够表示成三角形，故将其称为“三角形数”，类似地，称图②中的1，4，9，16，……这样的数称为“正方形数”．下列数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是（   ） A．15 B．25 C．36 D．49 49．和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 50．(24-25七上·湖南衡阳华新实验中学·)已知一串分数；；；；；；……第54个分数是 ． 51．已知等式：，，，…，（，均为正整数），则 ． 52．(24-25七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·)观察下列三行数： ，4，，16，，…① 0，6，，18，，…② ，2，，8，，…③ 取每行的第6个数，计算这三个数的和是 ． 53．(24-25七上·福建龙岩紫金山实验学校·月考)观察下列算式：，，，，，，，，……，观察后，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 幂 … 指数 1 2 3 4 5 6 7 8 … 末位数字 2 4 8 6 2 4 8 6 … 54．(23-24七下·江苏镇江丹阳·期末)规定新运算：，，，请你找到这些算式的规律，计算 ． 55根据规律填代数式： ，，，…， ． 56．(24-25七上·浙江绍兴绍初教育集团·)观察下列每组数，找出规律，并回答问题： 第一组：3，，3，，…； 第二组：，，，，…． (1)第一组数中的第6个数是_______，第二组数中的第7个数是_______； (2)试判断这两组数中的第2025个数分别是正数还是负数，并说明理由． 57．(24-25七上·江苏盐城射阳外国语学校·)如图中数字排列：问：第20行第7个是多少？   58．(24-25八上·广东惠州·期末)观察下列各式： ； ； ； ； … (1)你发现的规律是：＝ （用字母表示）． (2)用你发现的规律计算：． 59．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）； (3)计算：． 60．探究活动： (1)探究规律： ； ； ； ___________________________； … (2)猜想规律：_______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）； (3)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明． 61．观察下列各式： ， ， ， …… (1)请写出第4个式子： ； (2)若n为正整数，试猜想 ； (3)试利用（2）中猜想的结论比较13＋23＋33＋…＋103与（－56）2的大小． 62．乘方之美、乘方之趣、乘方之奇，有多少耐人寻味且神奇的现象隐藏于乘方之中．观察下列等式：，，，，，，，，，，……解答下列三个问题： (1)的末位数字是 ． (2)求的末位数字． (3)观察下列等式：，，，，…，想一想：等式左边各个幂的底数与右边幂的底数有什么关系，再利用这一规律计算的值． 63．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 64．代数式是表示数量变化规律的重要形式.一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … … … … … … … … 【初步感知】 （）根据表中信息可知：_____，_____； 【归纳规律】 （）表中的值随着的变化而变化的规律是：的值每增加，的值就随之增加．类似的，的值随着的变化而变化的规律是：_____； 【计算验证】 （）当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明； 【应用迁移】 （）观察表格，下列结论正确的序号是_____． ①当时，；②当时，； ③当时，；④当时，． 1．按一定规律排列的单项式：，，，，，……，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·云南楚雄彝族楚雄紫溪中学·期中)按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第2021个单项式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 5．(24-25七上·河北保定河北保定师范附属学校·期末)如图，每个小正方形的面积均为1． 已知一个草垛（按如图所示的阶梯方式摆放）的最底端有2024个类似小正方体的草堆，则该草垛共有（   ）个草堆． A．12144 B．4098600 C．1025156 D．4094552 6．(24-25七上·河北唐山迁安第一初级中学·期末)如图是用摆成的图形，按照下面这种摆法，第ⓝ个图形中的个数是（　　） A． B． C． D． 7．(23-24七上·浙江宁波曙光中学·)找规律：，则第个式子是 ． 8．观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第个单项式是 ． 9．观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 10．(24-25七上·浙江湖州南浔区新东方·期中)观察下图，计算( )×( )=( )． 11．如图，用大小相同的点拼图，则拼出的第⑩个图形需要 个点． 12．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第6个图形中正方形的个数是 ． 13．(24-25六上·山东烟台海阳·期中)“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 如图，数学活动课上，小颖将一张面积为2的长方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推．    认真观察图形，解答下列问题： (1)图中阴影部分的面积为______（直接写出答案）； (2)______（直接写出答案）； (3)请类比（2），求的值． 14．(24-25七上·重庆清华中学·期中)如图，对边长为1的正方形进行如下多次分割，请根据图片回答下列问题： (1)第4次分割后，空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ． (2)根据第次分割后空白部分与阴影部分的面积关系，计算．（最后结果用含的代数式表示） 15．观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： (1)根据上述规律写出第6个等式： (2)第n个等式： （用含n的式子表示） (3)计算： 16．(24-25七上·重庆江北知易外国语学校·期中)思维训练： (1)有一种“二十四点”的游戏，将四个有理数进行加、减、乘、除、乘方运算，使其结果等于24．现有四个有理数，4，，6，请写出三种不同方法的运算，使其结果等于24． (2)如表，在3×3的幻方中，当空格中填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的数的和是相等的，求k的值； k 11 121 (3)在图1中，一笔画出4条线段连接着9个点，并且不重复任何一条线段；在图2中，用三条线，把相同数字连起来，不交叉，不超出边框，不在框线上走． 17．(24-25七上·广东梅州兴宁实验学校·期中)观察下列等式的规律．，，，，．解答下列问题： (1)第5个等式为 ，第n个等式为 ；（用含n的式子表示，n为正整数） (2)设，则 ， ； (3)求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $