专题14 等腰三角形和等边三角形八大考点（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

null 专题14 等腰三角形和等边三角形八大考点 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三线合一 1 题型二、等腰三角形的证明 4 题型三、证明边相等 7 题型四、求边长 10 题型五、等腰三角形的性质与判定的综合应用 14 题型六、等边三角形的判定 19 题型七、等边三角形的判定与性质 23 题型八、含30°的直角三角形 27 B综合攻坚・能力跃升 33 题型一、三线合一 1．（25-26八年级上·合肥月考）等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合求解即可． 【详解】解：如下图，根据题意，，是的平分线， 是边上的中线也是边上的高线， ，， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 3.如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（  ） A．6 B．4 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，，当时，线段的和最小，再运用等面积法求的长度即可． 【详解】解：∵在等腰中，，是的高， ∴点B关于的对称点是点C，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度 ∵ ∵，，， ∴， 解得：． 故选：D． 4．如图，，，若，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由，，则，所以，求出，最后根据直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在与中 ， . （2）解：， ，   ， ， ， . 题型二、等腰三角形的证明 6．如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 7．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 8．（24-25八年级上·吉林通化）如图，已知． (1)求的度数； (2)若，求证：是等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定,含度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由三角形外角的性质得到．由得到，由三角形的外角的性质即可得到答案； （2）由得到，即可得到．则，得到，，即可证明结论； （3）根据（2）可得，，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）由（2）可得，， ∴． 题型三、证明边相等 9．（24-25八年级上阜阳期末）如图所示，在中，，，分别是和的平分线，，． (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)的周长是． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据角平分线定义得出，根据平行线性质得出，则有，由此得证； （）证明，，求出的周长是，代入即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）知， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长，即的周长是． 10．如图，点，在上，，，，，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由可证，可得，即可求解． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ， ． 26．如图，，E是上的一点，且．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键；由得，则可证明，从而有． 【详解】证明：∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴． 11．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 题型四、求边长 12．（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 13．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． （1）证明是等边三角形，可得，再由平行线的性质可得，则结论得证； （2）由题意可证是的垂直平分线，由是等边三角形，可得，可得平分； （3）由，是等边三角形，可得，可得的长． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即． ∵， ∴． ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 14．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 【答案】14 【分析】本题综合考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质、角平分线的性质推知， 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； 同理，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质及判定是解题的关键． （1）由可得，根据平分得，根据，得到，从而，即可得是等边三角形； （2）由是等边三角形得到，证明，得到，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解： 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 题型五、等腰三角形的性质与判定的综合应用 16．在学习了全等三角形和三角形的中线、角平分线、高后，思无涯学习小组通过进一步研究发现：等腰三角形中底边上的中线也是底边上的高，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： 如图，在中，点是的中点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证： ． 证明：在中，点是的中点， ①___________， 又， ， 是等腰三角形， 在和中， ， ， ③___________， 又， ④___________， ． 进一步思考，等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线有何关系?请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ⑤___________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线互相重合． 【分析】本题考查基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）证明，推出可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：在中，点是的中点， ①， 又， ， 是等腰三角形， 在和中， ， ， ③， 又， ④， ． 进一步思考，等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线有何关系？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：⑤等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线互相重合． 故答案为：；；；；等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线互相重合． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至D，至E，使，最后测出的长即为A，B的距离． 【乙】如图2，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，可行的有 ； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲，乙 (2)理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理， 对于（1），根据全等三角形的性质可解答甲，再根据等腰三角形的性质说明乙； 对于（2），结合（1）解答即可. 【详解】（1）解：根据“边角边”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“三角形内角和定理”得，可知是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”可得，所以方案乙可行； 故答案为：甲，乙； （2）解：∵， ∴， ∴， 所以甲方案可行； ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形. ∵， ∴， 所以方案乙可行. 18．问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 【答案】问题初探：，理由见解析；类比再探：；方法迁移：；拓展创新：，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． （1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 题型六、等边三角形的判定 19．下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 20．的三边长a、b、c满足，则为（     ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】已知等式整理后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可作出判断． 【详解】解：∵ ， ∴ ∴（a-1）2+（b-1）2+（c-1）2=0， ∴a-1=0，b-1=0，c-1=0， 解得：a=b=c=1， ∴△ABC为等边三角形， 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的应用和等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 21．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 22．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 23．如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 24．阅读材料，回答下列问题： 若，求，的值． 解：∵， ∴， 即， 又，， ∴，， ∴， (1)若，求，的值； (2)已知的三边，，满足，判断的形状，并说明理由 【答案】(1)， (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式、等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式可得，再根据偶次方的非负性可得，，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，根据偶次方的非负性可得，则可得，再根据等边三角形的定义即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型七、等边三角形的判定与性质 25．如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解； （2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论； （3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， ． （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ， 是等边三角形． （3）连接，如图： ， ． ， ． ， ， ． ， ， ． 26．是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)①见详解；②3 (2)见详解 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）①由等边三角形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； ②由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点A作交的延长线于点P，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵，都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵，F为的中点， ∴， 当时，的长取最小值， 此时，，， ∴； （2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，， ∴， ∵N是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 题型八、含30°的直角三角形 27．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 28．如图，将沿方向平移得到，点、、的对应点分别为点、、，与交于点，若，，，则的长度为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记平移的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据平移可得，得出，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】∵将沿方向平移得到， ， ，， ， 故选：D． 29．如图，中，是斜边上的高，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 根据题意易得：，然后根据角的直角三角形的性质先在中求出，再在中即可求出，即可求出答案． 【详解】解：中， ∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故选：D 30．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的垂直平分线交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质知是等腰三角形，证明是直角三角形，利用含角的直角三角形的性质可得与间的数量关系，进一步推出，可得结论． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，确定是解题的关键． 31．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，各式帐篷已成为户外活动的必要装备．如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它整体上是底角为的等腰三角形，已知中柱垂直于底边，支柱垂直于边框，测得米，求边框的长． 【答案】边框的长为米 【分析】本题考查含角的直角三角形，直角三角形，解题的关键是正确理解题意．根据直角三角形的两个锐角互余，角所对的直角边等于斜边的一半，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵米， ∴米， ∵，， ∴， ∴（米）， 答：边框的长为米． 32．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据等腰三角形的性质得，再求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质得，则答案可得；   （2）作，根据直角三角形的性质得，再由（1）得，然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵交于点D， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴， 由（1）可知， ∴． 33．如图，在中，，，于点D，如果，求的长． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，P是边上一个动点，由点A向点C运动，速度为，Q是边延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动，连接，交于点D，设点P运动的时间为t（s）． 【问题】（1）填空：_________cm； （2）当时，求t的值； 【探究】如图②，过点P作，垂足为E，在点P，点Q运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 【答案】（1）24；（2）4；【探究】不变；6 【分析】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形的判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的值； （3）连接，，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：∵是边长为12的等边三角形， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， 故答案为：24． （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：线段的长度不改变， 过点Q作交延长线于点F，连接，， ∵，， ∵点P、Q速度相同， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 1．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的作法及性质，理解题意是解题关键． 根据作图方法结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一， 故选：A． 2．如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 3．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 4．如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解． 【详解】解：∵P为内部一点，点P关于的对称点分别为， ∴且， ∴是等边三角形．如图， 故选：D． 6．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 7．（2025·江苏泰州·三模）如图，是等边三角形，，点是一动点，，，交于，连接过点作交于，连接，交相交于当的值最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短，由全等判断出是本题解题的关键． 先证明和全等，从而得到，再根据垂线段最短得到，从而得到为中位线，进而得出是中点，从而求得． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ，， 和为等边三角形，， ，， ≌， ， ， 垂线段最短， 当且时，最短， 是中点(三线合一)， ∴, ． 故答案为：． 8.如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 9．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)3，见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 10．如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理及最短路径问题，解题的关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合对称思想解决最值问题． （1）由且， 判定为等边三角形，得出；计算，利用角平分线性质得，通过证明． （2）根据三角形外角性质得出；由角平分线性质得，结合三角形内角和定理求出， 确定其大小不变． （3）利用角平分线性质证明平分； 通过三角形面积公式求出； 作点关于的对称点， 转化， 根据垂线段最短得出最小值为4． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴． （2） 解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ， ∴． （3） 解：如图3中，过点A作于H，过点P作于J于K于I． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作点D关于的对称点，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $