第15章 轴对称图形与等腰三角形 章末训练 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

第15章 轴对称图形与等腰三角形 一、单选题 1．在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 2．如图，在中，，与关于直线EF对称，，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 4．等腰三角形顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 6．下列判断中，不正确的是（   ） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 7．如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，中，，则 10．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置．若，则 ． 11．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在两侧分别交于点P，Q，作直线，交于点D，交于点E，F是上一点，且，若，则的度数为 ． 12．如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 13．已知在中，，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点所在直线与边交于点D，连接，则的大小为 ． 三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 15．如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 16．如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． (1)证明：； (2)若，求证：为等边三角形． 17．等腰三角形中，，点D在内部，且．求的度数． 18．如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；能够通过给的面积关系，确定点的位置是解题的关键． 设点到的距离为，点到的距离为，根据面积比求得，则点在的角平分线上，作点关于的对称点，当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，在等边三角形中求出的长即可． 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为， ， ， 点在的角平分线上， 作点关于的对称点， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键．由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】∵在中，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的应用．作出示意图，先根据两底角相等、内角和为180度计算出，再根据直角三角形中两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，等腰中，， ， ， ， ， ， 即一腰上的高与底边的夹角是， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 6．D 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质等知识．根据等边三角形的性质和全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：全等三角形的面积一定相等，故选项正确； 全等三角形的周长一定相等，故B选项正确； 两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关，故C选项正确； 两个等边三角形，其三个角分别对应相等，都是，但对应边不一定相等， 两个等边三角形不一定全等，故D选项错误． 故选：D 7．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线定义. 先根据角平分线定义及三角形内角和定理求出，进而的得，然后说明，接下来结合，的周长为可得答案. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴. ∵，的周长为， ∴的周长为， 解得. 故选：C. 8．A 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，不合题意； 故选A． 9．/80度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，先根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示出，即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 10． 【分析】先根据折叠性质和已知角求，再利用平行线性质求 ．本题主要考查折叠性质和平行线性质，熟练掌握折叠前后对应角相等、两直线平行同旁内角互补是解题关键． 【详解】解：∵ 长方形纸片沿折叠， ∴ ， ∴ ∵ 四边形是长方形， ∴ ∴ 故答案为： ． 11．/30度 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，由作图可得垂直平分，从而可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，于点于点， ∴． 故答案为5． 13． 【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：由作图知，的垂直平分线交于， ， ， ， 故答案为：． 14．(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，再结合图形写出的坐标； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交轴于，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 由图可得：； （2）解：的面积为； （3）解：连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴， 故当点、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）先证明垂直平分，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，即可得出，说明是等腰三角形； （2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等边对等角即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，结合已知即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为等边三角形． 17． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形内角和定理可得解． 【详解】解：∵ ∴； 设，则； ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$