专题03 有理数运算九大重难点题型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题03 有理数运算九大重难点题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一：拼凑法 1 题型二：拆项法 3 题型三：裂项法 4 题型四：有理数乘除运算律的应用 6 题型五：倒数法 8 题型六：程序流程图与有理数计算 9 题型七：新定义 12 题型八：乘方规律 13 题型九：有理数运算的实际问题 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一：拼凑法 1．下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A．15 B． C．3 D． 3．是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 4．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 5．计算：． 解：原式（ ） （ ） ． 6．运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 7.计算： ． 8．计算： ． 9．(24-25七上·安徽蚌埠第一实验学校·)计算： (1) (2) 10． 计算： 11． 计算：． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：拆项法 14． ． 15． ． 16．(24-25七上·河南开封通许县·期中)阅读下面文字： 对于 可以按如下方法进行计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算： 17．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 18．(24-25七上·安徽蚌埠部分学校·期中)阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 19．(22-23七上·贵州黔南州·期中)阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 题型三：裂项法 20.利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 21．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 22．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 23．(24-25七上·河南郑州星河中学·期中)请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 24．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 题型四：有理数乘除运算律的应用 25．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量、销量都大幅增加，小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价元／升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为千瓦时，平均充电费用为每千瓦时元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 26．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角．童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发．规定：童童从东边A 点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动．已知童童每秒跑米，乐乐每秒跑米．问： (1)第三次相遇距离B点多远? (2)若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次? 27．某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（“”号表示与前一天相比涨，“”号表示与前一天相比跌）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高收盘价是每股多少元？最低收盘价是每股多少元？ (3)已知该股民买进和卖出股票时都要付的手续费和卖出时付的交易税，如果他在本周星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 28．(23-24七下·江苏镇江丹阳·期末)近日，一个家电专卖店出了一个家电优惠表． 家电 电饭煲 冰箱 热水器 智能马桶 进价/元 150 2900 900 1200 原售价/元 310 ？ 1300 1900 现售价/元 230 3800 1110 1750 (1)冰箱原售价比智能马桶原售价贵了2100元，冰箱原售价是多少元？ (2)现卖出一个智能马桶，如果按原价售价，那么现营业额比原营业额少了多少元？ (3)老王家打算换热水器，趁着活动买了两个，店的利润是多少元？ (4)老板决定卖出去一个电饭煲就奖励营销员30元，如果卖出去了4台电饭煲后，那么老板可以赚多少元？ 29．(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的张明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣．但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +14 +21 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天是星期 ，销售量最少的一天是星期 ； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按9元出售，张明需要支付费用包括运费和采摘费，平均每斤冬枣运费和采摘费分别是3元和0.5元，那么张明本周销售冬枣实际共得多少元？ 题型五：倒数法 30．某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． (1)前后两部分存在的关系是______； (2)请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； (3)请求出原式的结果． 31．(24-25七上·江西上饶第四中学·期中)数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 32．(24-25七上·福建三明建宁县·期中)数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 33．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 题型六：程序流程图与有理数计算 34．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 35．(24-25七上·贵州遵义校联考·期中)乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 36．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 37．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 38．(24-25·河南郑州中原区中原领航中学·)【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，那么最后输出的结果为 ． 40．(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 41．在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数 ．    42．平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 43．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 44．(24-25七上·四川宜宾兴文县·期中)数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 题型七：新定义 45．(24-25七上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 46．(24-25七上·江西南昌四校·期中)在学习有理数的运算后，小军对运算产生了浓厚的兴趣，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)计算：； (2)计算：． 47．(24-25七上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 48．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 49．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；     B．对于任何正整数，； C． ；     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 题型八：乘方规律 50．请你先计算，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 51．请你先计算，，，，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（    ） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 52．正整数按图中的规律排列，请找出数字2023在第几行，第几列？（    ）    A．45行5列 B．45行4列 C．45行3列 D．45行2列 53.“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： ．．．．．． 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2601 B．2501 C．2400 D．2419 54．观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 55．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律，一个细胞经过 5 次分裂后可分裂成（        ）个细胞 A．10 B．16 C．32 D．64 56．观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 57．(24-25七上·甘肃白银·期中)观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 58．观察下列数据，按规律在横线上填上适当的数：1，，，，， ． 59．【观察】观察下列三组式子的乘方运算中的底数和指数或幂的变化， 第一组：，，，，，，，；…… 第二组：，，，，…… 第三组： 【解答】 (1)由第一、二组可以发现互为相反数的两数的偶次幂________，它们的奇次幂________； (2)若，，求的值； (3)根据第三组的规律启发，直接写出的结果为________． 60．观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 61．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 题型九：有理数运算的实际问题 62．(23-24七下·江苏镇江丹阳·期末)如图，有一条小河，两岸分别记为和． 现有人需过河，河中刚好有一片小舟，一片小舟最多坐人． 要使他们全都从到，船在、之间驾驶需(　　)次． A． B． C． D． 63.一支股票的价格上升后又上升，然后下降，这支股票的价格和原来相比（ ） A．上升 B．上升 C．上升 D．以上都不对 64．小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁．小明的爸爸今年（　　）岁 A．33 B．34 C．36 D．40 65．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 66．五（2）班同学准备合买一批文具送给灾区学生，如果每人出6元，则多出48元；如果每人出4.5元，则少27元，这批文具一共 元？ 67．某面粉厂生产一种面粉，每袋以为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标准质量的差值情况如下表所示：（超过记为“”，不足记为“”） 袋数 1 2 3 4 5 差值 0 这5袋面粉的平均质量是 ． 68．(24-25六上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 69．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年，如1997年是丁丑年，依据上述规律推断析2024应为 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 70．(24-25七上·海南海口某校·期中)学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出___________杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出___________杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 71．某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手人数（人） 1 2 3 2 与标准身高相比（cm） (1)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有______名候选队员合格； (2)若将标准放宽为，则有______名候选队员合格； (3)求这8名候选队员的平均身高． 72．(24-25七上·甘肃兰州第十六中·期中)某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况(增产记为正、减产记为负)； (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 ___________ ； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算：． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 4．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 5．某车厂计划平均每天生产童车200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负，单位：辆） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)根据记录可知前三天共生产_____辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆童车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 6．某牛肉干的某种包装每袋标准克数为克，小明在超市购买时，对五袋牛肉干称量结果（记超过标准的克数为正，单位：克）记录如下：．   (1)这五袋牛肉干合计多少克？ (2)若重量超过标准克数的牛肉干为良品，求这五袋牛肉干的良品率．（良品率良品数总数） 7．阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 8．(24-25七上·河南商丘民权县·期中)仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 9．a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，，请根据新定义的运算计算： (1)； (2)． 10．探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 11．(24-25七上·广东广州荔湾区荔广实验中学·月考)已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数运算九大重难点题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一：拼凑法 1 题型二：拆项法 7 题型三：裂项法 11 题型四：有理数乘除运算律的应用 15 题型五：倒数法 20 题型六：程序流程图与有理数计算 24 题型七：新定义 32 题型八：乘方规律 35 题型九：有理数运算的实际问题 42 B综合攻坚・能力跃升 题型一：拼凑法 1．下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 2．计算：（    ） A．15 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，加法运算律，先将两个同分母的数相加，可以简便计算，据此即可解答． 【详解】解：． 故选：A 3．是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数加法的运算律进行判断即可． 【详解】解：由题，可知，计算运用了加法交换律与加法结合律； 故选：C． 4．这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】解：这个运算中运用了加法的结合律和交换律， 故选：C． 5．计算：． 解：原式（ ） （ ） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，再利用加法运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：，，，． 6．运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：，． 7.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算并利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴． 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解题的关键． 先根据有理数减法法则将减法转化成加法，再根据加法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：0． 9．(24-25七上·安徽蚌埠第一实验学校·)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律进行简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式，利用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 11．计算：． 【答案】50 【分析】此题主要考查了加减法中的巧算问题，通过观察，发现两两搭配在一起，可以得出组相同的数，然后再相加即可． 【详解】解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则进行解题即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，先化简符号，再利用有理数加法和减法运算法则进行运算，掌握加法和减法运算法则是解题的关键． （1）先化简符号，再运算； （2）先化简符号，再拆项进行运算； （3）先化简符号，再运算； （4）先化简符号，再拆项凑整进行简便运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型二：拆项法 14．． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算， 先根据加法交换律将分母相同的两个数结合在一起，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 16．(24-25七上·河南开封通许县·期中)阅读下面文字： 对于 可以按如下方法进行计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律． 仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得． 【详解】解：原式 ． 17．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解： 原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(24-25七上·安徽蚌埠部分学校·期中)阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 19．(22-23七上·贵州黔南州·期中)阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 题型三：裂项法 20.利用裂项技巧计算时，最恰当的方案可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：D． 21．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ＝1 ＝1 ； 【点睛】本题考查了有理数的加减，根据例题掌握裂项相减是解题的关键． 22．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 23．(24-25七上·河南郑州星河中学·期中)请你观察： ；；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 仿照上面的方法，请你计算：的值． 【答案】 【分析】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】解： ． 24．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 题型四：有理数乘除运算律的应用 25．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量、销量都大幅增加，小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价元／升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为千瓦时，平均充电费用为每千瓦时元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1)千米 (2)元 【分析】本题主要考查了正负数意义，以及有理数计算在实际问题中的应用，理解题意根据题目描述数量间的表达含义，进行有理数的四则运算，计算出问题中的目标量是解题关键， （1）理解正负数的表示含义，即正数表示多于标准的路程数，例如第五天路程表示为，即实际行驶了千米，负数表示少于标准的路程数，例如第一天路程表示为，即实际行驶了千米； （2）利用七天行驶的总路程数，求出每百千米的耗油和耗电量，然后，乘以对应的每升油价和每千瓦时电价，计算出汽油车与新能源汽车七天的行驶费用，最后相减即可计算出结果． 【详解】（1）解：设：总路程为，则依据题意可知， 小海家的新能源汽车这七天每天行驶的路程如下： 由于行驶路程以为标准， （千米） 答：小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米． （2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为和， 依据题意可知， （元） （元） 节省的费用为， （元） 答：这七天的行驶费用比原来节省了元． 26．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角．童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发．规定：童童从东边A 点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动．已知童童每秒跑米，乐乐每秒跑米．问： (1)第三次相遇距离B点多远? (2)若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次? 【答案】(1)6米 (2)29次 【分析】本题考查了整数、小数复合应用题，行程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算出他们第三次相遇的时间，再运用乐乐的速度乘时间即可得出第三次相遇与B点的距离，即可作答． （2）先得出乐乐扫到60米处时的总时间以及童童行驶路程米，故童童在104米长的走廊上行驶个单程，每个单程都会与乐乐相遇一次，即第个单程结束后，童童在西边B点，继续从B点往A点行驶，在第秒时，距离B点米，此时乐乐打扫到60米处即距离B点米，不再相遇，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（秒）， （秒）， （米）， 即第三次相遇距离B点米． （2）解：乐乐打扫到60米处时，总时间（秒）， 此时童童行驶路程（米）， 童童在104米长的走廊上行驶个单程，每个单程都会与乐乐相遇一次，即第个单程结束后，童童在西边B点，继续从B点往A点行驶，在第秒时，距离B点米，此时乐乐打扫到60米处即距离B点米， ∵， ∴此时乐乐与童童不相遇， 即乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了次． 答：若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了29次． 27．某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（“”号表示与前一天相比涨，“”号表示与前一天相比跌）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高收盘价是每股多少元？最低收盘价是每股多少元？ (3)已知该股民买进和卖出股票时都要付的手续费和卖出时付的交易税，如果他在本周星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)元 (2)元；元 (3)盈利元 【分析】本题考查有理数的四则混合运算和与有理数比较大小，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格列式计算即可； （2）计算从星期一到星期五收盘价，再比较大小即可； （3）先求卖出总金额每股卖出价股数，买入股票时总费用每股买入价股数，再求卖出时手续费和交易税．买入时手续费，再用卖出去总金额减去买入总金额及全部手续费和交易税即可． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股价格为 （元） （2）解：星期一收盘价：（元）， 星期二收盘价：（元）， 星期三收盘价：（元）， 星期四收盘价：（元）， 星期五收盘价：（元）， ∵ 本周内最高收盘价是每股22.3元；最低收盘价是每股20.6元； （3）星期五以收盘价将股票全部卖出（卖出总金额=每股卖出价×股数）的价格是（元）， 买入股票时（总费用=每股买入价×股数）的价格是（元）， 卖出时手续费和交易税为（元）． 买入时手续费（元）， （元）． 答：他盈利元． 28．(23-24七下·江苏镇江丹阳·期末)近日，一个家电专卖店出了一个家电优惠表． 家电 电饭煲 冰箱 热水器 智能马桶 进价/元 150 2900 900 1200 原售价/元 310 ？ 1300 1900 现售价/元 230 3800 1110 1750 (1)冰箱原售价比智能马桶原售价贵了2100元，冰箱原售价是多少元？ (2)现卖出一个智能马桶，如果按原价售价，那么现营业额比原营业额少了多少元？ (3)老王家打算换热水器，趁着活动买了两个，店的利润是多少元？ (4)老板决定卖出去一个电饭煲就奖励营销员30元，如果卖出去了4台电饭煲后，那么老板可以赚多少元？ 【答案】(1)4000（元） (2)150（元） (3)420（元） (4)200（元） 【分析】本题考查了学生能根据统计表解决实际问题的能力 （1）根据加法的意义，用智能马桶原售价加上2100元即是冰箱原售价； （2）根据减法的意义，用一个智能马桶的原售价减去现售价即是所求； （3）根据“利润售价进价”求出一台的利润，乘2即是所求； （4）用每台电饭煲的利润减去奖励营业员的金额即是每台电饭煲的实际利润，然后乘4即可解答． 【详解】（1）（元）， 答：冰箱原售价是4000元． （2）（元）， 答：现营业额比原营业额少了150元． （3）（元）, （元）， 答：店的利润是420元． （4）（元）， （元）， 答：老板可以赚200元． 29．(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的张明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣．但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +14 +21 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天是星期 ，销售量最少的一天是星期 ； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按9元出售，张明需要支付费用包括运费和采摘费，平均每斤冬枣运费和采摘费分别是3元和0.5元，那么张明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1)六，五； (2)本周实际销售总量达到了计划数量，理由见解析； (3)张明本周销售冬枣实际共得3943.5元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算的应用，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）根据正负数的意义可得答案； （2）先将各数相加求得正负即可求解； （3）将每斤冬枣的利润乘以总数量解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：销售量最多的一天是星期六，销售量最少的一天是星期五； （2）本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下： ， 故本周实际销量达到了计划数量； （3） （元）， 所以张明本周销售冬枣实际共得3943.5元． 题型五：倒数法 30．某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． (1)前后两部分存在的关系是______； (2)请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； (3)请求出原式的结果． 【答案】(1)互为倒数 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数； （2）根据乘法分配律进行计算得出答案,根据倒数的性质得出答案； （3）根据有理数的加法计算法则得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数． 故答案为：互为倒数； （2）解： ； 由题意得另一部分的结果． 故答案为：； （3）解：． 31．(24-25七上·江西上饶第四中学·期中)数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 32．(24-25七上·福建三明建宁县·期中)数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1)小明的解法正确，见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数．”是解题的关键． （1）先算括号里的运算，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）先算原式的倒数，再求这个数即可． 【详解】（1）解：小明的解法正确， ． （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 33．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 题型六：程序流程图与有理数计算 34．按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算，然后和10比较逐步求解即可． 【详解】当输入x的值为时，， ∴， ∴ ∴输出的值为63． 故选：A． 35．(24-25七上·贵州遵义校联考·期中)乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 36．按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入程序中计算得到结果，判断大于输出即可． 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 37．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 38．(24-25·河南郑州中原区中原领航中学·)【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【详解】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 39．按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，那么最后输出的结果为 ． 【答案】288 【分析】本题考查了程序流程图和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， 根据程序流程图逐步列式计算即可． 【详解】解：观察流程图，可先计算得到，， 输入18得：， ， ∴输入得：， ， ∴输入72得：， ， ∴输入得：， ， ∴输出的结果为288， 故答案为：288． 40．(24-25七上·河北石家庄第五十四中学·期中)根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 41．在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数 ．    【答案】2023或2024 【分析】本题主要考查有理数的混合运算、代数式求值等知识点，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得或， 则输入的数或2024． 故答案为：2023或2024． 42．平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算． (1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果． (2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序； ②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，列出计算式，然后计算即可； （2）①根据题意，分别计算出按顺序F→E→→和F→E→→的结果，再结合题意，即可解答本题； ②根据题意可知，当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：①若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 若摸出球的顺序为F→E→→时， 得：， 计算结果为， 故摸球顺序为F→E→→， 故答案为：； ②由题意可得：当摸出球的顺序为时，摸球游戏计算的结果最大， ． 故答案为：． 43．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【答案】(1)，， (2)或(为自然数) (3)负数 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是审清题意，根据已知条件进行解答. （1）先判断出3、、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的正整数倍； （3）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律． 【详解】（1）解：因为 所以输入时的程序为， 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； 当输入时，， 所以的相反数是的绝对值是， 所以当输入时，输出； 当输入时,, 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； （2）解：为输出结果是，的相反数及绝对值均为， 当输入的正整数倍时输出结果是； 所以应输入或(为自然数)； （3）解：因为无论输入什么有理数，经过“有理数转换器”的转换，“为正”时输出的倒数为正数，“非正”时输出的绝对值为或正数，所以这个“有理数转换器”不可能输出负数． 44．(24-25七上·四川宜宾兴文县·期中)数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______，算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； (3)乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【答案】(1)，； (2)9； (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 题型七：新定义 45．(24-25七上·辽宁鞍山海城东部集团·期中)我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键； （1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）根据题中所给新运算可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：∵， ∴ ． 46．(24-25七上·江西南昌四校·期中)在学习有理数的运算后，小军对运算产生了浓厚的兴趣，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，理解定义的新运算规则是解题的关键． （1）根据定义的新运算规则，运用有理数的混合运算法则计算即可； （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 47．(24-25七上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中)对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 48．定义新运算∶，如，计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键； （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义先算，再算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为， 所以． 49．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”，特别地，规定：． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ； A．任何非零数的圈2次方都等于1；     B．对于任何正整数，； C． ；     D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式： ； （4）计算：． 【答案】（1）1，（2）C，（3），（4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）由题意可得，， 故答案为：1； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除， 所以都等于1； 所以选项A正确，不符合题意； B、因为多少个1相除都是1， 所以对于任何正整数n，都等于1； 所以选项B正确，不符合题意； C、，， 则； 所以选项C错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数． 所以选项D正确，不符合题意； 故选：C； （3）， 故答案为：； （4） ． 题型八：乘方规律 50．请你先计算，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算，关键在于找到规律，本题的规律为：底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是：向左（右）移动三位．先计算，然后观察结果，找到规律． 【详解】解：， 底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是：向左（右）移动三位， 故选：D． 51．请你先计算，，，，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（    ） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，先分别计算出，，，的结果，再比较结果可得规律，解题此题的关键是计算出各数的结果，再找出规律． 【详解】解：，，，， 底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是向左（右）移动三位， 故选：D． 52．正整数按图中的规律排列，请找出数字2023在第几行，第几列？（    ）    A．45行5列 B．45行4列 C．45行3列 D．45行2列 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索．先根据上图找到每行第一列数字的规律，第n行，第一个数为，然后找最接近的完全平方数为，然后倒数三个数，即可找到所在的列． 【详解】解：观察数列，发现每一行的第一个数是， ∵， ∴第行的第一个数是， ∴在第45行第3列， 故选：C． 53.“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： ．．．．．． 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2601 B．2501 C．2400 D．2419 【答案】A 【分析】观察图形和算式的变化发现规律，进而根据得到的规律计算即可． 【详解】解：观察以下算式： 发现规律：， ∵ 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，有理数的乘方．解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律． 54．观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】本题考查尾数特征，抓住的尾数特征是求解本题的关键． 根据的尾数特征判断． 【详解】解：根据，，，，可得， 个位数字分别为，，，，， 故的个位数按，，，循环出现． ， 的个位数是1． 故选：D． 55．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律，一个细胞经过 5 次分裂后可分裂成（        ）个细胞 A．10 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．熟练掌握这种细胞分裂规律，是解决问题的关键． 根据这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个，得5次分裂成个，计算即得． 【详解】解：． 故选：C． 56．观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】根据题意，得出的个位数字的变化规律即可解决问题. 【详解】解：由题意可得： 所以的个位数字按循环. 又因为 所以的个位数字是4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了数字变化规律及尾数特征，解题的关键是根据题意得到个位数字按照循环. 57．(24-25七上·甘肃白银·期中)观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 58．观察下列数据，按规律在横线上填上适当的数：1，，，，， ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，乘方的运算，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键． 分别从分子、分母和符号来分析数据的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，分子是从开始连续的奇数，分母是从开始连续自然数的平方，奇数位置为正数，偶数位置为负数， ∴第个数为：， 故答案为： 59．【观察】观察下列三组式子的乘方运算中的底数和指数或幂的变化， 第一组：，，，，，，，；…… 第二组：，，，，…… 第三组： 【解答】 (1)由第一、二组可以发现互为相反数的两数的偶次幂________，它们的奇次幂________； (2)若，，求的值； (3)根据第三组的规律启发，直接写出的结果为________． 【答案】(1)相等；互为相反数 (2)或或或 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数的四则混合计算，求一个数的绝对值： （1）观察可知，互为相反数的两数的偶次幂相等，它们的奇次幂互为相反数， （2）根据绝对值的意义和乘方计算法则得到，据此讨论x、y的值并代值计算即可； （3）根据题意可得原式，进一步可变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，互为相反数的两数的偶次幂相等，它们的奇次幂互为相反数， 故答案为：相等；互为相反数； （2）解：∵，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为或或或； （3）解： ． 60．观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 【答案】(1)等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给的3个算式，可得：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数； （2）根据所给的3个算式，可得：每个等式的左边是从1开始的连续几个正整数的立方和，右边等于这几个连续的正整数的和的平方，据此计算解答； （3）根据（2）的规律计算即可 【详解】（1）解：，右边幂的底数：， ，右边幂的底数： ，右边幂的底数： … ，右边幂的底数：， 等式左边各项幂的底数和右边幂的底数的关系为：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 （2）解：； （3）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是找规律，本题的规律为：左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． 61．你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）分别计算后比大小，然后作答即可； （2）根据（1）的结果，归纳后作答即可； （3）根据（2）的结论作答即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥； （2）解：把第（1）题的结果经过归纳得出：当时，； 当时，． （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数比较大小．解题的关键在于正确的运算，并归纳出正确的结论． 题型九：有理数运算的实际问题 62．(23-24七下·江苏镇江丹阳·期末)如图，有一条小河，两岸分别记为和． 现有人需过河，河中刚好有一片小舟，一片小舟最多坐人． 要使他们全都从到，船在、之间驾驶需(　　)次． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了优化问题的灵活运用．需要一人划船，除了最后一次渡过5人，其他每次渡过4人，据此解答即可． 【详解】解：(次)， 要使他们全都从b到c，船在b、c之间驾驶次． 故选：C． 63.一支股票的价格上升后又上升，然后下降，这支股票的价格和原来相比（ ） A．上升 B．上升 C．上升 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的实际应用，分清两个单位“1”的区别是解题的关键，将原价当作单位“1”，则先提价后的价格是原价的；再把提价后的价格看成单位“1”，又上升为，然后下降后为，再与1比较即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴这支股票的价格和原来相比上升， 故选：C． 64．小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁．小明的爸爸今年（　　）岁 A．33 B．34 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，推出8年前小明还未出生，进而求出小明的年龄，再根据小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，进行求解即可． 【详解】解：因为岁，， 所以8年前小明未出生， 所以小明的年龄为：岁， 所以爸爸和妈妈的总年龄为岁， 因为爸爸比妈妈大3岁， 所以爸爸的年龄为：岁； 故选B． 65．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 66．五（2）班同学准备合买一批文具送给灾区学生，如果每人出6元，则多出48元；如果每人出4.5元，则少27元，这批文具一共 元？ 【答案】252 【分析】本题考查四则混合运算的应用，由题意知，每人多出元时，一共多出元，由此计算出五（2）班学生人数，进而即可求解． 【详解】解：五（2）班学生人数为：（人） 文具总价为：（元） 故答案为：252． 67．某面粉厂生产一种面粉，每袋以为标准质量，现抽检5袋面粉的质量，其与标准质量的差值情况如下表所示：（超过记为“”，不足记为“”） 袋数 1 2 3 4 5 差值 0 这5袋面粉的平均质量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减乘除运算的应用，根据正负数的意义，将表格数据算出5袋面粉质量之和，再算平均数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 68．(24-25六上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 【答案】5或 【分析】本题考查了分数混合运算的应用，读懂题意，列式计算是解题的关键．分两种情况：①C在A、B两站之间；②A在C、B两站之间，列式求解即可． 【详解】①当C在A、B两站之间时， （小时）； ②当A在C、B两站之间时， =（小时）； ∴从A站出发到C站停止一共用了5或小时， 故答案为：5或． 69．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年，如1997年是丁丑年，依据上述规律推断析2024应为 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】甲辰 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式即可． 【详解】解：由题意，得：天干为：； 地支为： ∴2024年为农历甲辰年； 故答案为：甲辰． 70．(24-25七上·海南海口某校·期中)学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如下表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出___________杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出___________杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)1455； (2)111； (3)这一周的工资总额是3425元． 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）根据题意列出算式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（杯）， 故答案为：1455； （2）解：销售量最多的一天为星期五，最少的一天为星期三， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出（杯）， 故答案为：111； （3）解：（元）． 答：该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元． 71．某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手人数（人） 1 2 3 2 与标准身高相比（cm） (1)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有______名候选队员合格； (2)若将标准放宽为，则有______名候选队员合格； (3)求这8名候选队员的平均身高． 【答案】(1)2 (2)5 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正负数的应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据表格数据，求出真实身高，进行判断即可； （2）根据表格数据，求出真实身高，进行判断即可； （3）求出8名候选队员的身高和，再除以总人数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，， 故身高在范围内为合格时，有身高为2名候选队员合格； 故答案为：2； （2）由（1）可知，将标准放宽为，有名候选队员合格； 故答案为：5； （3）； 答：这8名候选队员的平均身高为． 72．(24-25七上·甘肃兰州第十六中·期中)某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况(增产记为正、减产记为负)； (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 ___________ ； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)四 (2)19只 (3)14225元 【分析】本题考查了正负数在实际问题中的应用，包括日产量计算、极值比较与基于生产量的工资计算．解题的关键是正确解读增减量的符号含义，准确计算实际产量，并严格应用工资规则中的奖惩机制． （1）计算每天实际产量（计划量只增减量），找出最大值对应的日期； （2）确定日产量最大值与最小值，求其差值； （3）先求总增减量并得实际总产量，对比计划量判断超额或欠产，再按规则工资分别计算基础工资、超额奖励或少产扣款，最后求和． 【详解】（1）解：实际日产量：星期一，星期二，星期三，星期四，星期五，星期六，星期日．最大值为星期四的只． 故答案为：四． （2）解：产量最多为星期四只，最少为星期五只，差值（只）． 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产只风筝． （3）解：总增减量， 实际总产量（只）， 超额（只）， 工资总额（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （2）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （3）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了运算，涉及加法与减法运算，观察到算式中各项的分数部分都接近1，故可将各项都变形为整数减去一个分数的形式（凑整法），再利用加法运算律进行简便运算即可得到答案．能够根据题中各个带分数的结构特征进行最优变形是解决问题的关键． 【详解】解： ． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减法的简便运算， （1）利用加法的交换律和结合律对式子进行变形，然后再计算即可得解； （2）利用加法的交换律和结合律对式子进行变形，然后再计算即可得解； 熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 5．某车厂计划平均每天生产童车200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负，单位：辆） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)根据记录可知前三天共生产_____辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆童车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 【答案】(1)599 (2)24 (3)84525 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，有理数的混合运算， 对于（1），用前三天的计划生产总量加上前三天与计划量相比的变化量之和即可； 对于（2），用本周生产情况记录中的最大值减去最小值即可； 对于（3），求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解. 【详解】（1）解：前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：该厂工人这一周的工资总额（元）. 6．某牛肉干的某种包装每袋标准克数为克，小明在超市购买时，对五袋牛肉干称量结果（记超过标准的克数为正，单位：克）记录如下：．   (1)这五袋牛肉干合计多少克？ (2)若重量超过标准克数的牛肉干为良品，求这五袋牛肉干的良品率．（良品率良品数总数） 【答案】(1)克 (2) 【分析】（）用袋标准克数的重量加上记录数据的和即可求解； （）根据正负数的意义确定出良品数，再根据良品率的计算方法计算即可； 本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，有理数除法的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：（克）， 答：这五袋牛肉干合计克； （2）解：， 答：这五袋牛肉干的良品率为． 7．阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 8．(24-25七上·河南商丘民权县·期中)仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 9．a，b为有理数，若规定一种新的运算“”，，请根据新定义的运算计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)16 【分析】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型．解题的关键是弄清楚新定义的运算规则； （1）根据新定义的运算规则直接求解即可； （2）根据新定义的运算规则先求，再求即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 10．探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 11．(24-25七上·广东广州荔湾区荔广实验中学·月考)已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)正确，秒，单位长度 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：，且，， ，， 解得，， 此时刻快车头与慢车头之间相距； 故答案为：； （2）解：由题意可得： ①当快慢车未相遇前相距个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距个单位长度； （3）因为， 当在之间时，是定值， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为秒，定值是单位长度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $