专题14.4 中心对称（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题14.4 中心对称 教学目标 1. 知道中心对称图形、两个图形成中心对称的概念及区别． 2. 掌握中心对称的性质； 3. 会画中心对称图形。 教学重难点 1.重点 （1）中心对称与成中心图形的区别与联系； （2）中心对称的性质； （3）中心对称的有关作图及其应用。 2.难点 （1）利用中心对称的性质求解几何问题； （2）中心对称的综合应用。 知识点1 中心对称 一、中心对称图形 观察图14-4-1中的两个图形，它们各自绕一个点旋转180°后，都能与原图形重合. 如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心. 思考如图14-4-2,等边三角形、正方形、平行四边形、圆是不是中心对称图形? 二、中心对称 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心。 如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180°后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点O的对称点. 如图14-4-3,三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，点A的对称点是点D,线段AB的对应线段是线段DE,∠BAC的对应角是∠EDF. 如图14-4-3,将三角形ABC绕点O旋转，点A和点D是对称点，点0为对称中心.根据旋转的性质，OA=OD.又因为旋转角为180°,所以A、0、D三点在同一直线上. 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： (1)对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【即学即练】 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 4．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 5．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 知识点2 画中心对称图形 例 如图14-4-4(1),画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形.分析利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”,即四个顶点A、B、C、D关于点O的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)连接AO并延长到点A₁,使OA₁=OA,得到点A的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，可以画出点B、C、D关于点O的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-4-4(2)所示. 四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁是两个关于点O成中心对称的图形. 【即学即练】 1．如图，点和的三个顶点都在方格图的格点上，请画出，使和关于点成中心对称． 2．如图，与关于某一个点成中心对称，点A，B的对称点分别为点和，请找出对称中心O，并对作法简要说明，同时把图形补充完整． 3．已知的顶点A，B，C在边长为1的网格格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中，作关于点O对称的； (2)在图2中，作绕点O逆时针旋转一个小于平角的角度后，顶点仍在格点上的． 题型01 判断中心对称图形 【典例1】．下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型02 判断两个图形成中心对称 【典例1】．下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 题型03 中心对称图形的性质 【典例1】．如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【变式1】．下面说法正确的是（   ） A．全等的两个图形成中心对称 B．能够完全重合的两个图形成中心对称 C．旋转后能重合的两个图形成中心对称 D．旋转180°后能重合的两个图形成中心对称 【变式2】．如图，已知与关于点成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ） A．∠ABC=∠A'B'C' B．∠BOC=∠B'A'C' C．AB=A'B' D．OA=OA' 【变式3】．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 题型04根据中心对称图形的性质求解Ⅰ 【典例1】．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则 ， ．    【变式1】．如图，与关于点成中心对称，则线段 ．（填“=、<、>”） 【变式2】．如图，与关于点C成中心对称，若，则 ． 【变式3】．如图：△ABO与△CDO关于点O成中心对称，则AO= ，BO= . 【变式4】．若线段与线段（与不在同一直线上）关于点O中心对称，则和的关系是（　　） A． B． C．平行且等于 D．不确定 【变式5】．如图，与关于O点成中心对称．则 ， ， ． 题型05 根据中心对称图形的性质求解Ⅱ 【典例1】．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式1】．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 题型06 求对称中心 【典例1】．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【变式2】．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【变式3】．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【变式4】．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型07 作图题 【典例1】．请你在如图的正方形格纸中，画出线段关于点成中心对称的图形． 【变式1】．如图，在方格网中，已知格点和点O．画出关于点O成中心对称的． 【变式2】．如图，已知，点A与点关于点O成中心对称，试画出对称中心点O和的对称（此题无需尺规作图，无需写作法，要求精确，需要写结论）．    题型08 格点问题 【典例1】．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 【变式1】．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 一、单选题 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C．D． 3．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（   ） A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心 B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分 D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分 4．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 5．如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 6．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 7．像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或 ．这个点叫做 ． 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的 ． △OCD和△OAB关于点O对称，对称点是A与 、B与 ． 8．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 9．在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有 个． 10．如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为 ．    11．如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 12．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则 ， ． 13．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝ cm． 14．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 15．如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 16．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 17．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ． 18．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有 个；（不包括本身） 三、解答题 19．下面哪些图形是中心对称图形？ 20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作关于点O对称的． 21．如图，已知四边形ABCD和直线MN． (1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称； (2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称； (3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 　　． 22．如图，已知和 及点O． (1)画出关于点O对称的； (2)若与关于点对称，请确定点的位置． 23．在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 24．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 25．如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)画出，使与关于直线MN成轴对称；画出，使与关于点A成中心对称． (2)在第（1）小题的基础上，联结，四边形的面积为_______．（直接写出答案） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.4 中心对称 教学目标 1. 知道中心对称图形、两个图形成中心对称的概念及区别． 2. 掌握中心对称的性质； 3. 会画中心对称图形。 教学重难点 1.重点 （1）中心对称与成中心图形的区别与联系； （2）中心对称的性质； （3）中心对称的有关作图及其应用。 2.难点 （1）利用中心对称的性质求解几何问题； （2）中心对称的综合应用。 知识点1 中心对称 一、中心对称图形 观察图14-4-1中的两个图形，它们各自绕一个点旋转180°后，都能与原图形重合. 如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心. 思考如图14-4-2,等边三角形、正方形、平行四边形、圆是不是中心对称图形? 二、中心对称 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180°后，能与另一个图形重合，这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心。 如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180°后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点O的对称点. 如图14-4-3,三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，点A的对称点是点D,线段AB的对应线段是线段DE,∠BAC的对应角是∠EDF. 如图14-4-3,将三角形ABC绕点O旋转，点A和点D是对称点，点0为对称中心.根据旋转的性质，OA=OD.又因为旋转角为180°,所以A、0、D三点在同一直线上. 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： (1)对应线段平行(或在同一直线上)且相等； (2)连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【即学即练】 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、是中心对称图形，故B选项符合题意； C、不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 3．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 4．如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 5．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 结论错误． 故选：C． 知识点2 画中心对称图形 例 如图14-4-4(1),画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形.分析利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”,即四个顶点A、B、C、D关于点O的对称点，就可得到所求的图形. 解：(1)连接AO并延长到点A₁,使OA₁=OA,得到点A的对称点A₁. (2)类似步骤(1)的操作，可以画出点B、C、D关于点O的对称点B₁、C₁、D₁. (3)依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁,得到四边形A₁B₁C₁D₁,如图14-4-4(2)所示. 四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁是两个关于点O成中心对称的图形. 【即学即练】 1．如图，点和的三个顶点都在方格图的格点上，请画出，使和关于点成中心对称． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据网格结构找出点、、关于点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可． 【详解】解：分别连接，，，并分别反向延长，，的距离即可确定、、的位置，故如图所示． 2．如图，与关于某一个点成中心对称，点A，B的对称点分别为点和，请找出对称中心O，并对作法简要说明，同时把图形补充完整． 【答案】见解析 【分析】根据对应点连线的交点就是对称中心可以画出点，再根据画出点，则可得．本题主要考查了中心对称图形的画法；有两类情况：①有对称中心，画对称图形，基本作法是：各点与对称中心相连再延长相等长度即可；②有对称图形，找对称中心，基本作法是：连接对应点连线，其交点就是对称中心；熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作法： ①连接和，交于点，则点就是对称中心， ②连接并延长至，使， ③连接、、，则就是对称三角形． 3．已知的顶点A，B，C在边长为1的网格格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中，作关于点O对称的； (2)在图2中，作绕点O逆时针旋转一个小于平角的角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作关于点对称的图形、作旋转图形，确定变换后的对应点是解题的关键． （1）分别作出的三个顶点关于点O对称的点，再依次连接即可； （2）作绕点O逆时针旋转即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示，作绕点O逆时针旋转后，得，其顶点仍在格点上． 题型01 判断中心对称图形 【典例1】．下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义来判断，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故本题答案为B． 【变式1】．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可.此题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解，关键是掌握中心对称图形定义. 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项正确； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选： 【变式2】．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是中心对称图形，故该选项符合题意； C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型02 判断两个图形成中心对称 【典例1】．下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意； D是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D． 【变式1】．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 【变式2】．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分;中心对称的两个图形是全等形;中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一直线上)且相等．根据中心对称的性质可得△A′B′C′与△ABC成中心对称的是选项A,故答案选A. 【详解】A选项中△A′B′C′与△ABC对称点所连线段都经过对称中心O，而且被对称中心平分;中心对称的两个图形是全等形;中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一直线上)且相等．这两个图形呈中心对称,故答案选A. B选项中对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等，是轴对称，不符合要求，故本选项错误. C选项不符合中心对称的性质，故本选项错误. D选项不符合中心对称的性质，故本选项错误. 故答案选A. 【点睛】此题主要考查中心对称的性质，熟练掌握是解题的关键． 题型03 中心对称图形的性质 【典例1】．如图，与关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】B 【详解】根据中心对称的性质解决问题即可． 解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型． 【变式1】．下面说法正确的是（   ） A．全等的两个图形成中心对称 B．能够完全重合的两个图形成中心对称 C．旋转后能重合的两个图形成中心对称 D．旋转180°后能重合的两个图形成中心对称 【答案】D 【详解】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与另一个的图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称．由此可得只有选项D正确，故选D. 【变式2】．如图，已知与关于点成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ） A．∠ABC=∠A'B'C' B．∠BOC=∠B'A'C' C．AB=A'B' D．OA=OA' 【答案】B 【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解即可． 【详解】因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形， 所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA'， 故选B． 【点睛】考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义．也可用三角形全等来求解． 【变式3】．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，， ∴B、C、D都不合题意． ∵与不是对应边， ∴不成立． 故选：A． 【变式4】．如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案． 【详解】∵和关于点O成中心对称 ∴，，，， ∴错误，其他选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解． 题型04根据中心对称图形的性质求解Ⅰ 【典例1】．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则 ， ．    【答案】 1 /30度 【分析】根据中心对称图形的性质即可得到答案． 【详解】解：根据中心对称图形的性质得，， ∴，． 故答案为：①1，②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，掌握关于中心对称的两个图形是全等形是解题的关键． 【变式1】．如图，与关于点成中心对称，则线段 ．（填“=、<、>”） 【答案】 【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义． 【变式2】．如图，与关于点C成中心对称，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据中心对称的性质以及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴CA=CD，CB=CE， ∵∠ACB=∠DCE， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB=DE， ∵AB=4， ∴DE=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】．如图：△ABO与△CDO关于点O成中心对称，则AO= ，BO= . 【答案】 CO； DO 【分析】依据△ABO和△CDO关于点O成中心对称，即可得到△ABO≌△CDO，进而得到结果． 【详解】∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称， ∴△ABO≌△CDO， ∴AO=CO，BO＝DO， 故答案为：CO；DO． 【点睛】本题主要考查了中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 【变式4】．若线段与线段（与不在同一直线上）关于点O中心对称，则和的关系是（　　） A． B． C．平行且等于 D．不确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称的性质，根据线段AB、CD关于点O成中心对称，再根据中心对称的性质得出对应边之间的关系即可． 【详解】解：∵线段、关于点O成中心对称， ∴线段、的关系是：平行且相等． 故选：C． 【变式5】．如图，与关于O点成中心对称．则 ， ， ． 【答案】 = 【分析】利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出对应边与对应角之间的关系，进而解决． 【详解】∵与关于O点成中心对称， ∴， ∴，∠ABC=∠DEF ∴， ∴． 故答案为：=，EF，DF． 【点睛】此题主要考查了关于某点对称的图形之间的关系，涉及全等三角形，难度不大，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 题型05 根据中心对称图形的性质求解Ⅱ 【典例1】．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 【变式1】．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06 求对称中心 【典例1】．如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 【变式1】．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 【变式2】．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【答案】D 【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 故选D． 【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置． 【变式3】．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 【变式4】．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 题型07 作图题 【典例1】．请你在如图的正方形格纸中，画出线段关于点成中心对称的图形． 【答案】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称是图形绕对称中心旋转后的图形，旋转角是平角，对应点和对称中心应该共线，并且被对称中心平分． 【详解】解：连接并延长，使，连接并延长，使，连接，则线段就是所求的线段，如图： 【变式1】．如图，在方格网中，已知格点和点O．画出关于点O成中心对称的． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—画已知图形关于某点对称的图形，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【详解】解：画出关于点O成中心对称的如答图所示． 【变式2】．如图，已知，点A与点关于点O成中心对称，试画出对称中心点O和的对称（此题无需尺规作图，无需写作法，要求精确，需要写结论）．    【答案】见解析 【分析】连接，取中点O即为对称中心，延长至，使得，延长至，使得，则为所求作． 【详解】解：如图，点O和即为所求作．    【点睛】本题考查了作图—旋转变换，解题关键是找出对称中心，掌握对应角都等于旋转角，对应点到对称中心的距离相等． 题型08 格点问题 【典例1】．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图①②所示． （2）解：图形如图③所示，点P即为所求作． 【点睛】本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形； （2）结合（1）即可拼接组成图形； （3）结合（1）即可拼接组成图形． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）解：如图2所示： （3）解：如图3所示： 一、单选题 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义． 2．下列冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形可直接进行求解． 【详解】解：A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键． 3．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（   ） A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心 B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分 D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质．根据中心对称的性质，①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误； B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误； C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项错误； D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确． 故选：D． 4．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 5．如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】A 【分析】观察图形可知，阴影与空白图形都是互相对称的，故其面积相等，则图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半． 【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2， 再根据中心对称的性质得： 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半， 则图中阴影部分的面积=×40=20cm2． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称，难度适中，关键是利用中心对称的性质得出答案． 6．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选C 【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键． 二、填空题 7．像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或 ．这个点叫做 ． 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的 ． △OCD和△OAB关于点O对称，对称点是A与 、B与 ． 【答案】 中心对称 对称中心 对称点 C D 【解析】略 8．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 9．在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有 个． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称的英文字母有X、Z，共个， 故答案为：． 10．如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为 ．    【答案】10 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长． 【详解】解：与关于点A成中心对称， ， ， ， ， 故答案为：10． 11．如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 12．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则 ， ． 【答案】 30° 2 【分析】根据中心对称图形的性质，得到，再由全等三角形的性质解题即可． 【详解】解：∵A为对称中心， ∴绕点A旋转能与重合， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质、全等三角形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13．如图，△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，已知AO＝4cm，那么AA1＝ cm． 【答案】8． 【分析】根据中心对称图形的性质即可得到结论． 【详解】∵△A1B1C1是△ABC关于点O成中心对称的图形，点A的对称点是点A1，AO＝4cm， ∴OA1＝OA＝4cm， ∴AA1＝OA+OA1＝8cm， 故答案为8． 【点睛】本题考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段． 14．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 15．如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 【答案】 【分析】本题考查成中心对称，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．由于菱形与菱形关于直线上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 【详解】解：由题意和图可知：点为对称中心，点B的对称点是H． 故答案为：． 16．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 17．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据中心对称图形的性质判断即可． 【详解】解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：③． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是利用中心对称图形的性质，属于中考常考题型． 18．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有 个；（不包括本身） 【答案】2 【分析】观察图形，根据图形特点先确定对称中心，再根据对称中心找出相应的三角形． 【详解】解：如图：与成中心对称的三角形有： ①关于中心点I对称； ②关于中心点O对称．共2个． 故答案为：2． 【点睛】此题考查中心对称的基本性质，结合了图形的常见的变化，根据直角三角形的特点从图中找到有关的直角三角形再判断是否为中心对称图形． 三、解答题 19．下面哪些图形是中心对称图形？ 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）是中心对称图形，符合题意； （2）是中心对称图形，符合题意； （3）是中心对称图形，符合题意； （4）不是中心对称图形，不合题意． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键． 20．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作关于点O对称的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的作法是解题的关键．先分别作点A，B，C关于点O的对称点，，，再连结，，，即得答案． 【详解】如答图，′为所求图形． 21．如图，已知四边形ABCD和直线MN． (1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称； (2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称； (3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 　　． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)关于直线成轴对称． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称； （2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称； （3）结合以上画图确定四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系即可． 【详解】（1）解：如图，A1B1C1D1即为所求； （2）解：如图，A2B2C2D2即为所求； （3）解：如图可知: 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2关于直线CO成轴对称． 故答案为：关于直线CO成轴对称． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、中心对称的性质以及抽对称图形的识别，掌握轴对称和中心对称的性质成为解答本题的关键． 22．如图，已知和 及点O． (1)画出关于点O对称的； (2)若与关于点对称，请确定点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接三角形的各顶点与O的连线，并延长相同长度，找到对应点，顺次连接． （2）若与关于点对称，连接两组对应点的连线的交点O就是对称点． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键． 23．在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再连接即可得到； （2）结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图形可得：重合的面积是中间的小正方形， ∵网格边长为1， 故重合面积为4． 【点睛】本题考查网格作图，解题的关键是掌握中心对称的性质，掌握中心对称图形的作图法． 24．在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)是，画图见详解 【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）连接两组对应点即可得． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，与是关于点成中心对称， 故答案为：是． 25．如图，在正方形网格中、每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)画出，使与关于直线MN成轴对称；画出，使与关于点A成中心对称． (2)在第（1）小题的基础上，联结，四边形的面积为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图与中心对称作图，网格中求三角形的面积； （1）根据轴对称与中心对称的性质画出，即可求解； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积求得的面积，再奖赏的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求    （2）解：如图所示，    四边形的面积为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $