专题04 投影与视图（必备知识+5题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题04 投影与视图（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 投影的概念辨析 能清晰辨析中心投影、平行投影与正投影的概念与区别 概念题。常以选择题形式考查，要求准确理解三种投影的定义和特征 2. 三视图的判断与绘制 能准确判断简单几何体、组合体及小立方块堆砌体的三视图,能规范绘制简单几何体及组合体的三视图，严格遵守"长对正、高平齐、宽相等"的投影规律 高频题。选择题、填空题必考。"虚实线"的运用是高频失分点（看不见的轮廓线需用虚线表示） 3. 由三视图还原几何体 能熟练运用三视图与几何体之间的转换，解决小立方块个数（最多/最少）问题 拉分题。填空压轴和解答题的核心考点。求小立方块堆砌体的最多或最少个数是区分中等生和优秀生的关键 4. 三视图的相关计算 能熟练进行与三视图相关的计算，包括求几何体的边长、表面积、侧面积或体积 易错题。在根据三视图求表面积时，极易漏算或重复计算某些面的面积 5. 三视图与实际应用 能将三视图知识与实际模型制作、工程设计等情境相结合 趋势题。命题越来越倾向于综合考查，将三视图与立体图形的展开图、表面最短路径等问题结合 知识点01 投影的基本概念 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 4. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 长度可能变化 一条线段 5、易错点： ①是混淆投影类型，误以为影子都是平行的，而核心区别在于光线（投影线）是否交于一点； ②是误以为平行投影下影子永不变化，实际上物体位置改变会引发影子形变； ③是在画视图时忽视“视点”的决定性作用，未从规定方向进行正投影，导致图形错误。 知识点02 三视图的判断与绘制 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图．主俯视图长对正，主左视图高平齐，俯左视图宽相等 3位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．线型规则：可见轮廓画实线，不可见轮廓画虚线，对称中心画点划线 3 三种视图的画法 ①确定视图方向； ②将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； ③根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 5.易错点 ①宽相等"对应错误：俯视图的上下方向对应左视图的左右方向，此关系最易混淆 ②虚线遗漏：内部结构、被遮挡轮廓未用虚线表示，是扣分最严重项 ③组合体交线缺失：几何体组合处的交界线遗漏，使视图不完整 ④方位判断失误：俯视图、左视图中的前后方向判断错误，导致图形颠倒 知识点03：由三种视图还原几何体 1.由三种视图还原几何体的步骤 ①分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； ②根据实线和虚线综合考虑整体图形； ③画出图形后验证. 2.易错点 ①求解小立方块最少个数时，思维僵化，未考虑内部空心结构。 ②仅凭一两个视图就武断下结论，未用三个视图共同验证结果的正确性。 ③空间想象力不足，无法从平面视图有效构建出立体模型的层次结构 知识点04：组合体三视图分析： 1.组合类型识别： ①叠加型：几何体简单堆积，注意交界处轮廓 ②切割型：从基本体中挖切部分，注意截交线 ③综合型：叠加与切割组合，需分步分析 2.分析方法： 形体分析法：将组合体分解为基本体，分析各部分的投影 线面分析法：分析关键表面、交线的投影特性 3.投影特征： ①共面处理：表面平齐时无分界线 ②相切实例：曲面与平面相切处过渡光滑无线 ③相交处理：表面相交必产生交线 4.易错点 ①表面平齐时错误地画出了分界线，或表面相切时误添加了界线。 ②处理切割体时，对新产生的可见交线（如截交线）画法不准确或遗漏。 ③虚实不分是最致命的错误，被遮挡的轮廓线未改用虚线表示。 知识点05 三视图的相关计算 1. 尺寸对应法则 主视图提供：长、高,左视图提供：宽、高,俯视图提供：长、宽。 关键：从两个视图中提取三维尺寸。 2. 表面积计算 ①公式法：表面积 = 2 × (主视图面积 + 左视图面积 + 俯视图面积)( 备注：仅适用于长方体或规则堆砌体”，并强调“凹形体需用数面法”) ②数面法：直接计数几何体外露的所有小正方形面 ③分层法：对堆砌体分层计算再求和 3. 体积计算 ①规则体：直接用体积公式 ②堆砌体：体积 = 小立方体个数 × 单个立方体体积 ③复合体：分解为基本体分别计算再求和 4. 立方体个数计算 ①求最多：俯视图每个位置取主、左视图对应高度的最小值 ②求最少：保证三视图不变的前提下最小化立方体数量 5.易错点 ①计算堆砌体表面积时，直接使用公式法处理凹形体，导致重复计算。 ②数面法计算表面积时，点数混乱，漏数凹槽内壁或重复计算某些外露面。 ③从三视图提取尺寸信息时出错，未遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则。 题型一 投影概念辨析 解｜题｜技｜巧 1. 一看光线是否相交，二看影子是否“近大远小”。 2. 题目中出现“灯光”、“瞳孔”即为中心投影；“阳光”、“平行光”即为平行投影。。 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【典例2】．在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（   ） A．无法确定 B．甲竿比乙竿长 C．甲竿比乙竿短 D．甲、乙两竿一样长 【典例3】．如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．史料中最早的记载是“汉书·律历志·制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 【典例4】．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，CD为人的身高，小亮的影长是多少m？ 【变式1】．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式2】．如图，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，晚上小海由处径直走到处，表示他在灯光照射下的影长与行走的路程之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【变式4】．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 题型二 基本几何体三视图和三视图投影规律 解｜题｜技｜巧 1. “俯视看特征，主左看轮廓”。圆锥俯视图必带圆心点； 2. 球的三视图是三个等圆。 3. 作图时先定位、后画形。用45°斜线或圆规精准保证“俯左宽相等” 【典例1】如图所示的是由长方体和圆柱组成的几何体，从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看它得到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．关于如图所示的空心圆柱的两种视图，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 【变式3】．用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 由三视图还原几何体（小立方块计数） 解｜题｜技｜巧 1.求最多：“俯视图打地基，主左视图限高，取最小值”。 2.求最少：“在满足三视图前提下，尝试架空，减少底层块数”，并用三个视图反复验证。 【典例1】．如图三视图所表示的几何体是（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在符合三个视图的常见几何体 【典例2】．某几何体从不同方向看到的图形如图所示，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．由若干个棱长为1的相同小立方块搭成的几何体的三视图如图所示． (1)请在俯视图中标出相应位置小立方块的个数；该几何体是由多少个小立方块搭成的？ (2)计算这个几何体的表面积． 【变式1】．如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．一个几何体的三种视图如图所示． (1)这个几何体的名称是 ； (2)求这个几何体的表面积．（结果保留） 题型四 三视图的相关计算（边长面积体积） 解｜题｜技｜巧 1、“遇凹槽，弃公式；用数面，保无误”。 2、对于不规则体，按前、后、左、右、上、下六个方向有序计数。 【典例1】．如图是由棱长都为的7个小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图（请用阴影表示）； (2)请求出该简单几何体的表面积． 【典例2】．由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体的三视图； (2)这个几何体的表面积是___________． 【典例3】．某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 【变式1】．长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【变式2】．如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________． (3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块． 【变式3】．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 题型五 已知三视图求最多最少立方块个数 解｜题｜技｜巧 1.俯视图定网格，主左视图定限高。求最多：每个位置取主、左视图对应方向最小限高，求和。 2.求最少：在满足三视图前提下，尝试减少底层块数，通过“架空”实现，并用三视图验证。 【典例 1】用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【典例2】．如图是由8个小正方体搭成的几何体． (1)网格中已画出从正面看到的形状图，请你利用右边的两个网格画出这个几何体从左面看和从上面看得到的形状图； (2)增加大小相同的小正方体，使得它从上面和左面看到的形状图与原几何体从上面和左面看到的形状图相同，则最多可以增加________个小正方体． (3)若每个小正方形的边长均为2，则上述几何体的体积为________． 【变式 1】．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示．则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（   ） A．最多需要8块，最少需要7块 B．最多需要8块，最少需要6块 C．最多需要7块，最少需要6块 D．最多需要6块，最少需要5块 【变式 2】．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【变式 3】．把边长为2个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体． (1)从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 　 　个小正方体； (3)求该几何体的表面积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列立体图形中，从正面看得到的图形是圆的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体由7个相同的小正方体搭成，添加若干个相同的小正方体使其主视图和俯视图都不变，则搭法一共有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 3．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体的正前方，则它的三视图变化情况是（   ） A．主视图不发生改变 B．左视图不发生改变 C．俯视图不发生改变 D．三种视图都会发生改变 4．下列各个图形中，三个视图都一样的图形是（      ） A．三棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 二、填空题 5．如图，已知圆锥的底面圆半径为l，则该圆锥的俯视图的面积为 ． 6．如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为 ． 三、解答题 7．下面四幅照片是在同一天下午的不同时刻拍摄的，请将它们按拍摄时间的先后顺序进行排列． 8．画出如图所示组合体的三视图 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列现象属于投影的是（　　） A．掉在地上的一片花瓣 B．午后公园长椅的影子 C．小颖画了一幅日出图 D．踩在雪上留下的鞋印 2．如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是 (      ) A． B． C． D． 3．在一个晴朗的好天气里,小颖在向正北方向走路时,发现自己的身影向左偏,小颖当时所处的时间是(　　) A．上午 B．中午 C．下午 D．无法确定 4．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（　　） A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 二、填空题 5．某个立体图形的三视图的形状都相同，请你写出一种这样的几何体 ． 6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 三、解答题 7．画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的图形． 8．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，投影线垂直于投影面，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．下列现象属于投影的是（　　） A．掉在地上的一片花瓣 B．午后公园长椅的影子 C．小颖画了一幅日出图 D．踩在雪上留下的鞋印 2．如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是 (      ) A． B． C． D． 3．在一个晴朗的好天气里,小颖在向正北方向走路时,发现自己的身影向左偏,小颖当时所处的时间是(　　) A．上午 B．中午 C．下午 D．无法确定 4．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（　　） A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 二、填空题 5．某个立体图形的三视图的形状都相同，请你写出一种这样的几何体 ． 6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 三、解答题 7．画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的图形． 8．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 投影与视图（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 投影的概念辨析 能清晰辨析中心投影、平行投影与正投影的概念与区别 概念题。常以选择题形式考查，要求准确理解三种投影的定义和特征 2. 三视图的判断与绘制 能准确判断简单几何体、组合体及小立方块堆砌体的三视图,能规范绘制简单几何体及组合体的三视图，严格遵守"长对正、高平齐、宽相等"的投影规律 高频题。选择题、填空题必考。"虚实线"的运用是高频失分点（看不见的轮廓线需用虚线表示） 3. 由三视图还原几何体 能熟练运用三视图与几何体之间的转换，解决小立方块个数（最多/最少）问题 拉分题。填空压轴和解答题的核心考点。求小立方块堆砌体的最多或最少个数是区分中等生和优秀生的关键 4. 三视图的相关计算 能熟练进行与三视图相关的计算，包括求几何体的边长、表面积、侧面积或体积 易错题。在根据三视图求表面积时，极易漏算或重复计算某些面的面积 5. 三视图与实际应用 能将三视图知识与实际模型制作、工程设计等情境相结合 趋势题。命题越来越倾向于综合考查，将三视图与立体图形的展开图、表面最短路径等问题结合 知识点01 投影的基本概念 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 4. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 长度可能变化 一条线段 5、易错点： ①是混淆投影类型，误以为影子都是平行的，而核心区别在于光线（投影线）是否交于一点； ②是误以为平行投影下影子永不变化，实际上物体位置改变会引发影子形变； ③是在画视图时忽视“视点”的决定性作用，未从规定方向进行正投影，导致图形错误。 知识点02 三视图的判断与绘制 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图．主俯视图长对正，主左视图高平齐，俯左视图宽相等 3位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．线型规则：可见轮廓画实线，不可见轮廓画虚线，对称中心画点划线 3 三种视图的画法 ①确定视图方向； ②将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； ③根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 5.易错点 ①宽相等"对应错误：俯视图的上下方向对应左视图的左右方向，此关系最易混淆 ②虚线遗漏：内部结构、被遮挡轮廓未用虚线表示，是扣分最严重项 ③组合体交线缺失：几何体组合处的交界线遗漏，使视图不完整 ④方位判断失误：俯视图、左视图中的前后方向判断错误，导致图形颠倒 知识点03：由三种视图还原几何体 1.由三种视图还原几何体的步骤 ①分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； ②根据实线和虚线综合考虑整体图形； ③画出图形后验证. 2.易错点 ①求解小立方块最少个数时，思维僵化，未考虑内部空心结构。 ②仅凭一两个视图就武断下结论，未用三个视图共同验证结果的正确性。 ③空间想象力不足，无法从平面视图有效构建出立体模型的层次结构 知识点04：组合体三视图分析： 1.组合类型识别： ①叠加型：几何体简单堆积，注意交界处轮廓 ②切割型：从基本体中挖切部分，注意截交线 ③综合型：叠加与切割组合，需分步分析 2.分析方法： 形体分析法：将组合体分解为基本体，分析各部分的投影 线面分析法：分析关键表面、交线的投影特性 3.投影特征： ①共面处理：表面平齐时无分界线 ②相切实例：曲面与平面相切处过渡光滑无线 ③相交处理：表面相交必产生交线 4.易错点 ①表面平齐时错误地画出了分界线，或表面相切时误添加了界线。 ②处理切割体时，对新产生的可见交线（如截交线）画法不准确或遗漏。 ③虚实不分是最致命的错误，被遮挡的轮廓线未改用虚线表示。 知识点05 三视图的相关计算 1. 尺寸对应法则 主视图提供：长、高,左视图提供：宽、高,俯视图提供：长、宽。 关键：从两个视图中提取三维尺寸。 2. 表面积计算 ①公式法：表面积 = 2 × (主视图面积 + 左视图面积 + 俯视图面积)( 备注：仅适用于长方体或规则堆砌体”，并强调“凹形体需用数面法”) ②数面法：直接计数几何体外露的所有小正方形面 ③分层法：对堆砌体分层计算再求和 3. 体积计算 ①规则体：直接用体积公式 ②堆砌体：体积 = 小立方体个数 × 单个立方体体积 ③复合体：分解为基本体分别计算再求和 4. 立方体个数计算 ①求最多：俯视图每个位置取主、左视图对应高度的最小值 ②求最少：保证三视图不变的前提下最小化立方体数量 5.易错点 ①计算堆砌体表面积时，直接使用公式法处理凹形体，导致重复计算。 ②数面法计算表面积时，点数混乱，漏数凹槽内壁或重复计算某些外露面。 ③从三视图提取尺寸信息时出错，未遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则。 题型一 投影概念辨析 解｜题｜技｜巧 1. 一看光线是否相交，二看影子是否“近大远小”。 2. 题目中出现“灯光”、“瞳孔”即为中心投影；“阳光”、“平行光”即为平行投影。。 【典例1】．如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【典例2】．在同一时刻、同一地点，甲、乙两根竿子垂直于地面置于阳光之下，看到它们的影长相等，那么这两根竿子的长度关系为（   ） A．无法确定 B．甲竿比乙竿长 C．甲竿比乙竿短 D．甲、乙两竿一样长 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻、同一地点，不同物体的物高和影长成比例．再判断甲、乙两竿平行，再根据平行投影的特点可得答案． 【详解】解：因为在同一时刻，太阳光线可以看作是平行的，所以任何物体的高度与其影长之比都相等， 设甲、乙两竿的长度分别为、，影长分别为、， 则有， 又因为它们的影长相等，即， 所以，故甲、乙两竿一样长． 故选：D． 【典例3】．如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．史料中最早的记载是“汉书·律历志·制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行投影的概念，理解其概念是解题的关键． 根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行 ． 【典例4】．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． (1)在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为 ； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子； (3)当小亮离开灯杆的距离时，身高（AB）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，CD为人的身高，小亮的影长是多少m？ 【答案】(1)变短 (2)见解析 (3)小亮的影长是． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； （2）连接并延长交直线于点E，则线段即为小亮站在处的影子； （3）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 故答案为：变短； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图， 先设，则当时，， ∴，即， ∴米； 当米时，设小亮的影长是y米， ∴=， ∴， ∴． 即小亮的影长是． 【变式1】．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项中的图形比较符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 【变式2】．如图，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，晚上小海由处径直走到处，表示他在灯光照射下的影长与行走的路程之间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心投影的性质得出小海在灯下走的过程中影长随路程的变化而变化，进而得出符合要求的图象． 【详解】解：∵某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，晚上小海由处径直走到处，他在灯光照射下的影长与行走的路程之间的变化关系应为： 当小海走到灯下以前：随的增大而减小；当小海走到灯下以后再往前走时：随的增大而增大， ∴用图象刻画出来应为． 故选：． 【点睛】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随S的变化规律是解题的关键． 【变式3】．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 【变式4】．某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 题型二 基本几何体三视图和三视图投影规律 解｜题｜技｜巧 1. “俯视看特征，主左看轮廓”。圆锥俯视图必带圆心点； 2. 球的三视图是三个等圆。 3. 作图时先定位、后画形。用45°斜线或圆规精准保证“俯左宽相等” 【典例1】如图所示的是由长方体和圆柱组成的几何体，从上面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要明确俯视图的定义，即从物体的上面向下面看所得到的视图，然后分析由长方体和圆柱组成的几何体的俯视图形状． 【详解】从上面看这个几何体，圆柱的俯视图是圆，长方体的俯视图是矩形，且矩形在圆的内部． 观察各个选项，选项C是一个圆内有一个长方形，符合从上面看到的图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握俯视图是从物体的上面向下面看所得到的视图，能正确分析组合体各部分的俯视图形状是解题的关键． 【典例2】．将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图即可解答．本题考查了实物体的三视图，学会三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：从图形的右侧看到的图形是长方形左上角有个直角三角形，故项错误； 主视图是长方形右上角有个直角三角形，主视图右上角有直角三角缺口，俯视图为长方形故项正确； 俯视图是长方形，故错误； 左视图是长方形，故错误． 故选：． 【典例3】．如图是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，从正面看它得到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形， 故选：B． 【变式1】．关于如图所示的空心圆柱的两种视图，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图、主视图即可． 【详解】解：这个几何体的主视图，左视图如图所示： 故选：． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【变式2】．用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．根据三视图的定义进行判断即可． 【详解】解：两个几何体的三视图，如图所示： 所以，只有左视图不相同， 故选：B． 【变式3】．用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图画法，根据各个几何体三视图的特点进行求解即可，正确画三视图是解题的关键． 【详解】主视图分别为 故选B． 题型三 由三视图还原几何体（小立方块计数） 解｜题｜技｜巧 1.求最多：“俯视图打地基，主左视图限高，取最小值”。 2.求最少：“在满足三视图前提下，尝试架空，减少底层块数”，并用三个视图反复验证。 【典例1】．如图三视图所表示的几何体是（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．圆锥 D．不存在符合三个视图的常见几何体 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，观察题干的三视图，再结合常见的几何体的特征，即可作答． 【详解】解：观察题干的三视图，这样的几何体是不存在的， 故选：D 【典例2】．某几何体从不同方向看到的图形如图所示，则该几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 根据从不同方向看到的图形来判断几何体的形状． 【详解】解：从前面看到的图形是一个三角形，可排除A和C， 从上面看到的图形是一个长方形，可排除D， 从左面看到的图形是一个正方形，与B匹配， 故选：B． 【典例3】．由若干个棱长为1的相同小立方块搭成的几何体的三视图如图所示． (1)请在俯视图中标出相应位置小立方块的个数；该几何体是由多少个小立方块搭成的？ (2)计算这个几何体的表面积． 【答案】(1)位置见详解，8个 (2)32 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握其概念、特点及如何根据三视图还原几何体是解题关键． （1）由俯视图可得该组合几何体最底层的小立方块个数，由主视图或左视图可得第二层和第三层的小立方块个数，相加即可，再根据得到的小立方块个数，在俯视图上标出来即可； （2）将几何体的各个面的面积相加即可得到其表面积． 【详解】（1）解：在俯视图上标出相应位置的小正方体的个数如图所示，该几何体是由8个小正方体组成． （2）解：表面积为， 即这个几何体的表面积为32． 【变式1】．如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图，找到从左面看所得到的图形与题干图形对应即可，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别． 【详解】 解：的左视图为， 故选：B． 【变式2】．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三视图，根据主视图排除部分选项，再根据几何左视图和俯视图即可知答案． 【详解】解：根据主视图可知几何体共有两层，第二层中间有一个正方体，左边三个小正方体是一个整体，右边有一个独立的小正方体，排除A、C和D，且结合左视图和俯视图可知B正确． 故选：B． 【变式3】．一个几何体的三种视图如图所示． (1)这个几何体的名称是 ； (2)求这个几何体的表面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】（）根据主视图及左视图都为长方形，底面是圆形即可判断求解； （）根据表面积侧面积底面积列式计算即可求解； 本题考查了由三视图判断几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由几何体的三视图可知，这个几何体的名称是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：几何体的表面积． 题型四 三视图的相关计算（边长面积体积） 解｜题｜技｜巧 1、“遇凹槽，弃公式；用数面，保无误”。 2、对于不规则体，按前、后、左、右、上、下六个方向有序计数。 【典例1】．如图是由棱长都为的7个小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图（请用阴影表示）； (2)请求出该简单几何体的表面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了简单几何体的三视图、几何体的表面积，明确三视图的意义是解题的关键，注意画三视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则画图． （1）根据简单组合体三视图的画法画出相应图形即可求解； （2）根据表面积的求法求出答案即可． 【详解】（1）解：该几何体的三个视图如下图所示： （2）解：该简单几何体的表面积为：． 【典例2】．由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体的三视图； (2)这个几何体的表面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题考查简单组合体的三视图，立方体的表面积的求解，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据简单组合体的三视图的画法画出它的三视图即可； （2）根据三视图的面积求出组合体的表面积即可． 【详解】（1）解：这个组合体的三视图如下： （2）解：这个组合体的表面积为， 故答案为：26． 【典例3】．某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 【答案】(1)圆柱 (2) (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，中心投影，相似三角形的判定与性质等知识． （1）根据三视图判断即可； （2）根据圆柱的表面积公式计算即可； （3）先根据投影面积求得半径的长，再依题意可以得到，然后由它们的对应边成比例即可求得结果． 【详解】（1）解：∵主视图恶化左视图是矩形，俯视图是圆， ∴此物体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解； （3）解：如图， ∵圆桌在地板上的投影是面积为的圆 ∴， ∴（负值舍去）． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式1】．长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查长方体的三视图、体积的计算方法及用平面截几何体的方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （2）由三视图确定长方体的长、宽、高，利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． 故答案为：①②③ （2）解：由主视图可知长方体的长为，高为， 由俯视图可知长方体的宽为， ∴该几何体的体积为． 【变式2】．如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________． (3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)；． 【分析】本题考查了作图——三视图以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出三视图以及由视图判断几何体的形状． （）根据三视图的看法作出三视图即可求解； （）根据图可得每个正方体的体积为，即可解答； （）由俯视图易得最底层小立方块的个数，再根据主视图即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：这个几何体的体积是， 故答案为：； （3）解：搭这样的一个几何体最少需要小立方块个，第一层个，第二层，搭这样的一个几何体最多需要小立方块个，第一层个，第二层， 故答案为：；． 【变式3】．如图①，在平整的地面上，用多个棱长均为的小正方体堆成一个几何体． (1)在图①中，共有_______个小正方体． (2)在图②，图③中分别画出这个几何体的主视图（从前面看）与俯视图（从上面看），并写出俯视图的面积． (3)若现在你还有一些棱长均为的小正方体，要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加_______个小正方体． 【答案】(1)9 (2)见解析， (3)5 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）画出主视图、俯视图，并求出俯视图的面积即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要9个小正方体， 故答案为：9； （2）如图所示． 俯视图的面积为， （3）要求保持俯视图（从上面看）与左视图（从左面看）的形状不变，最多可以再添加5个小正方体． 故答案为：5 题型五 已知三视图求最多最少立方块个数 解｜题｜技｜巧 1.俯视图定网格，主左视图定限高。求最多：每个位置取主、左视图对应方向最小限高，求和。 2.求最少：在满足三视图前提下，尝试减少底层块数，通过“架空”实现，并用三视图验证。 【典例 1】用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，然后即可求解． 【详解】 解：根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，视图中左边一列有3个位置，主视图中对应高度为3，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，如图所示是最少的一种情形下每个位置的小立方块数， ∴， 故选：B． 【典例2】．如图是由8个小正方体搭成的几何体． (1)网格中已画出从正面看到的形状图，请你利用右边的两个网格画出这个几何体从左面看和从上面看得到的形状图； (2)增加大小相同的小正方体，使得它从上面和左面看到的形状图与原几何体从上面和左面看到的形状图相同，则最多可以增加________个小正方体． (3)若每个小正方形的边长均为2，则上述几何体的体积为________． 【答案】(1)图象见解析 (2)4 (3)64 【分析】本题考查从不同方向看几何体的图象： （1）分别从左面看和从上面看，画出看到的方格即可； （2）画出满足条件，最终从上面看，每个位置最多放的小正方体数量的图象，用总的小正方体数量减去已有的8个即可得到增加的数量； （3）每个小正方体的体积乘以总数8即可得到该几何体的体积． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）增加小正方体后，若要满足条件，则最终从上面看，每个位置最多放的小正方体数量如图： 则最多增加个小立方块， 故答案为：4； （3）解：上述几何体的体积为， 故答案为：64． 【变式 1】．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示．则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（   ） A．最多需要8块，最少需要7块 B．最多需要8块，最少需要6块 C．最多需要7块，最少需要6块 D．最多需要6块，最少需要5块 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图求最多或最少的小立方块的个数．熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块，然后求解作答即可． 【详解】解：由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块， ∴搭成这样的几何体需要小立方块个数为最多需要7块，最少需要6块， 故选：C． 【变式 2】．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【答案】(1)8，图形见解析 (2)200 (3)3 【分析】本题考查作图—三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积是组成几何体的表面面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，3，左视图有2列，每列小正方体数目分别为3，1，俯视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持从上面看和从左面看到的图形不变，可往第一列上面的几何体上放2个小正方体， 第二列上面的几何体上放1个小正方体，即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由个小正方体组成， 这个几何体从三个方向看的图形，如下图： 故答案为：8 （2）解：克， 即共需200克漆； 故答案为：200 （3）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加个小正方体． 【点睛】故答案为：3． 【变式 3】．把边长为2个单位的9个相同小正方体摆成简单几何体． (1)从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 　 　个小正方体； (3)求该几何体的表面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体等知识．熟练掌握从不同方向看几何体是解题的关键． （1）根据从不同方向看几何体画图即可； （2）利用从左面看几何体和从上面看几何体不变，得出可以添加的位置即可； （3）根据（1）得出表面的正方形个数，再加上第二列相对面的两个正方形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，作图如下； （2）解：如图，最多可以再添加3个正方体． 故答案为：3． （3）该几何体的表面积为： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列立体图形中，从正面看得到的图形是圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从正面看所得到的平面图形是圆即可． 【详解】解：从正面看选项A中的图形是两个长方形， 从正面看选项B中的图形是长方形， 从正面看选项C中的图形是三角形， 从正面看选项D中的图形是圆， 故选D 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2．如图所示的几何体由7个相同的小正方体搭成，添加若干个相同的小正方体使其主视图和俯视图都不变，则搭法一共有（    ） A．9种 B．8种 C．7种 D．6种 【答案】B 【分析】本题主要考查了学生对三视图的掌握和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 根据“主视图和俯视图都不变”，画出所有可能的结果即可得答案． 【详解】解：题中几何体的主视图和俯视图如图(1)所示，要使其主视图和俯视图都不变，添加小正方体的方法如图(2)~图(9)所示(图(5)中有9个小正方体，图(8)中有10个小正方体)，一共8种． 3．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体的正前方，则它的三视图变化情况是（   ） A．主视图不发生改变 B．左视图不发生改变 C．俯视图不发生改变 D．三种视图都会发生改变 【答案】B 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；画出小正方形A放置到小正方形B的正前方前后的三视图，即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 该几何体的主视图为，左视图为，俯视图为， 当小正方形A放置到小正方形B的正前方时，此时该几何体的主视图为，左视图为，俯视图为， 所以它们的三视图只有左视图不发生改变； 故选B． 4．下列各个图形中，三个视图都一样的图形是（      ） A．三棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】D 【分析】运用三视图的定义解答，三视图是从物体的正面，左面，上面以平行视线观察物体所得的图形． 【详解】A. 三棱柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是三角形，三个视图不都一样； B. 圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，三个视图不都一样； C. 圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，三个视图不都一样； D. 球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，三个视图都一样． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图，解决问题的关键是熟练掌握三视图的定义，描绘从三个不同方向观察物体得到的图形． 二、填空题 5．如图，已知圆锥的底面圆半径为l，则该圆锥的俯视图的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的俯视图，圆的面积公式即可得出结果． 【详解】解：圆锥的俯视图的面积等于半径为l圆的面积， 该圆锥的俯视图的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立体图形的三视图，圆的面积公式．根据立体图形判断出俯视图是本题的关键． 6．如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为，列式计算可得侧面积．本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力． 【详解】解：根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为， ∴该几何体的侧面面积是：， 故答案为：． 三、解答题 7．下面四幅照片是在同一天下午的不同时刻拍摄的，请将它们按拍摄时间的先后顺序进行排列． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】由四幅照片是在同一天下午的不同时刻拍摄的，最早拍摄时的影长最短，再慢慢变长，从而可得答案. 【详解】解：根据平行投影中物体的影长从早上到傍晚的指向是：西，西北，北，东北，东，影长由长变短，再变长， 而四幅照片是在同一天下午的不同时刻拍摄的， 所以最早拍摄的影长最短，再慢慢变长， 从而可得四幅图按拍摄时间的先后顺序为：（3）（4）（1）（2）. 【点睛】本题考查的是平行投影的特征与性质，掌握不同时刻平行光线与物体投影的关系是解题的关键. 8．画出如图所示组合体的三视图 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，熟练掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键． 【详解】如图， 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列现象属于投影的是（　　） A．掉在地上的一片花瓣 B．午后公园长椅的影子 C．小颖画了一幅日出图 D．踩在雪上留下的鞋印 【答案】B 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【详解】解：、掉在地上的一片花瓣不是投影，不符合题意； 、午后公园长椅的影子是投影，符合题意； 、小颖画了一幅日出图，不符合题意； 、踩在雪上留下的鞋印，不符合题意； 故选： ． 【点睛】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型． 2．如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是 (      ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从上面看，是一个矩形和一个与长边相切的圆，且没有圆心（与圆锥的区别）． 故选：D． 3．在一个晴朗的好天气里,小颖在向正北方向走路时,发现自己的身影向左偏,小颖当时所处的时间是(　　) A．上午 B．中午 C．下午 D．无法确定 【答案】A 【详解】小明在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏， 即影子在西方； 故小明当时所处的时间是上午.故选A. 点睛：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长. 4．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（　　） A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 【答案】D 【详解】试题分析：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000，故选D． 二、填空题 5．某个立体图形的三视图的形状都相同，请你写出一种这样的几何体 ． 【答案】正方体（或球体）（答案不唯一） 【分析】根据立体图形的三视图的形状都相同进行判断，即可得出答案． 【详解】解：正方体的三视图都是正方形，球体的三视图都是圆． 故答案为正方体（或球体）． 6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 三、解答题 7．画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的图形． 【答案】作图见解析． 【分析】主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1；俯视图有4列，每行小正方形数目分别为1，3，1，1．依此作图即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 【点睛】本题考查的是画小正方体堆砌物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 8．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，投影线垂直于投影面，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．下列现象属于投影的是（　　） A．掉在地上的一片花瓣 B．午后公园长椅的影子 C．小颖画了一幅日出图 D．踩在雪上留下的鞋印 【答案】B 【分析】根据中心投影的定义判断即可． 【详解】解：、掉在地上的一片花瓣不是投影，不符合题意； 、午后公园长椅的影子是投影，符合题意； 、小颖画了一幅日出图，不符合题意； 、踩在雪上留下的鞋印，不符合题意； 故选： ． 【点睛】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型． 2．如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是 (      ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从上面看，是一个矩形和一个与长边相切的圆，且没有圆心（与圆锥的区别）． 故选：D． 3．在一个晴朗的好天气里,小颖在向正北方向走路时,发现自己的身影向左偏,小颖当时所处的时间是(　　) A．上午 B．中午 C．下午 D．无法确定 【答案】A 【详解】小明在向正北方向走路时，发现自己的身影向左偏， 即影子在西方； 故小明当时所处的时间是上午.故选A. 点睛：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长. 4．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（　　） A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 【答案】D 【详解】试题分析：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5，故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000，故选D． 二、填空题 5．某个立体图形的三视图的形状都相同，请你写出一种这样的几何体 ． 【答案】正方体（或球体）（答案不唯一） 【分析】根据立体图形的三视图的形状都相同进行判断，即可得出答案． 【详解】解：正方体的三视图都是正方形，球体的三视图都是圆． 故答案为正方体（或球体）． 6．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 三、解答题 7．画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的图形． 【答案】作图见解析． 【分析】主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，1；俯视图有4列，每行小正方形数目分别为1，3，1，1．依此作图即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 【点睛】本题考查的是画小正方体堆砌物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 8．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $