专题03 勾股定理17题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题03 勾股定理 题型1用勾股定理解三角形（热考） 题型10直接三角形的存在性问题（难点） 题型2已知两点坐标求两点距离（难点） 题型11勾股定理逆定理与实际问题 题型3以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 题型12求梯子滑落高度（热考） 题型4勾股定理的证明（重点） 题型13求旗杆高度 题型5勾股定理与网格问题 题型14求大树折断前高度 题型6以弦图为背景的计算题（重点） 题型15航海问题（热考） 题型7利用勾股定理证明线段的平方关系 题型16影响问题 题型8勾股数问题 题型17最短距离问题（热考） 题型9根据已知条件判断直角三角形（热考） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用勾股定理解三角形（共4小题） 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，那么数轴上点C表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，无理数与数轴的关系，掌握数轴上的点与无理数的对应关系是关键． 运用勾股定理得到，由数轴的特点即可求解． 【详解】解：根据图示可得，， ∵点表示的数是， ∴点C表示的数是， 故选：C ． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）【易错】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x， ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5， 此时这个三角形的周长=3+4+5=12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=， 此时这个三角形的周长=3+4+=7+． 故选C 3．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．    【答案】5 【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，    在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，，，，垂足分别为D，E，，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据条件可以得出，进而运用得出，就可以得出即可得到结论； （2）利用（1）中结论，先运用勾股定理求出长，然后根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）∵，，. ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 已知两点坐标求两点距离（共3小题） 5．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知两个村庄的坐标分别为，一辆汽车从原点出发在轴上行驶．当汽车行驶到某一位置时，距离两村的和最短，此时汽车到两村距离的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称——最短路径问题，勾股定理的应用．作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，可得，则此时为最小，最小值为的长．根据两点间的距离公式即可求出的长． 【详解】解：作点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C， 由轴对称可得， ∴， 则此时为最小， 即当汽车行驶到点C的位置时，距离两村的和最短，最短距离为的长． ∵，， ∴， ∴汽车到两村距离的和最短为． 故答案为： 6．（23-24七年级上·山东威海·期末）在坐标系中，点，，的坐标分别为，，，那么点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角三角形的性质，路径最短问题，解题的关键是数形结合．根据题意在直角坐标系中找到点，，的位置，并依次连接三个点，根据坐标点求出、、的值，根据坐标可得是直角三角形，过点作于点，即为所求，利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，顺次连接，，三点，过点作于点，即为所求， 点，，的坐标分别为，，， 是直角三角形，，，， ， 即， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东淄博·期末）【探索发现】：在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离可以记作：，轴上两点，的距离可以记作：． 【迁移应用】：如图1，在平面直角坐标系中． （1）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______； （2）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______． 【拓展应用】：在平面直角坐标系中． （1）已知，两点，请直接写出A，B两点的距离； （2）如图2，已知，两点，请求出C，D两点的距离；（用，，，表达） （3）如图3，直线与轴，轴分别交于点，，是射线上一动点，是轴上点右边的一动点，在第一象限取点，连接，，．问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】迁移应用：（1）； （2）． 拓展应用：（1）A，B两点的距离为； （2）C，D两点的距离为； （3）周长的最小值为10． 【分析】本题考查两点间的距离，勾股定理，轴对称的性质，三角形全等的判定及性质． 迁移应用：（1）直接根据探索发现中的两点之间的距离即可解答； （2）直接根据探索发现中的两点之间的距离即可解答； 拓展应用：（1）连接，过点作轴，过点作轴，与相交于点Q，得，且是直角三角形．由点A，B，Q的坐标得到，，根据勾股定理即可求解； （2）同（1）的思路与方法即可求解； （3）作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，过点A作轴，过点作轴，与相交于点，根据轴对称的性质可证，得到，，由，得到，，从而， 根据（2）中的结论可求得，即为周长的最小值为10． 【详解】迁移应用： （1）由“迁移应用”可得：； 故答案为：； （2）由“迁移应用”可得：． 故答案为：； 拓展应用： （1）连接，过点作轴，过点作轴，与相交于点Q，得，且是直角三角形．    ∵，，， ∴，， ∴在中， ∴A，B两点的距离为； （2）连接，过点作轴，过点作轴，与相交于点，得，是直角三角形，    ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴C，D两点的距离为． （3）的周长存在最小值，理由如下： 作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，    ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， 连接，交轴于点，过点A作轴，过点作轴，与相交于点， 根据轴对称的性质，可得，， 由直线得，点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10． 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 8．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解． 【详解】解：连接， 由勾股定理得， ∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系． 9．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A 10．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________   （2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________ （3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积． 【答案】（1）625；（2）；（3）①成立，见解析，②19 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）分别过点A，E，F作，垂足分别为M，H，N，设，根据勾股定理，可得，再由等边三角形和勾股定理可得，，即可求解； （3）在上截取，连接，可得，根据勾股定理，可得，再由，可得，，，再由勾股定理，可得，进而得到，再分别求出，，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵三个正方形围成了一个直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）如图，分别过点A，E，F作，垂足分别为M，H，N， 设， ∵， ∴，即， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （3）如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴五边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，二次根式的乘法，熟练掌握勾股定理的应用，等边三角形的性质是解题的关键． 题型四 勾股定理的证明（共3小题） 11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 12．（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)C； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 13．（24-25七年级上·山东泰安·期中） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c²，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 向常春在 2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， (1)求证： 四边形的面积为 (2)求梯形，的面积，再探究四边形的面积与这两个图形面积之间的关系，证明勾股定理 (3)如图3， 在中，是边上的高， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，根据三角形面积公式即可求解； （2）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， ∴，即 ∴ （2）证明：； ， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的长为x， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴ ∴， 即． 题型五 勾股定理与网格问题（共4小题） 14．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求出后，根据三角形面积即可求出边上的高． 【详解】解：依图得：， 由勾股定理得， 在边上的高为． 故选：． 15．（22-23九年级下·山东淄博·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据勾股定理用，表示出，用，表示出，再把,代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是直角三角形，，， ∴， ， ∴， 故选 D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 16．（2022·北京海淀·模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的 ．      【答案】点D 【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出的三边长，再计算出点M、F分别与A、B、C、D四点的距离，即可作出判断． 【详解】解：设图中小正方形的边长为1， ∵， 由勾股定理得：，， 由于，显然点A不可能是点Q； ∵， ∴， ∴，即点D是点Q； ∵， ∴点B不是点Q； 同理，点C不是点Q； ∴点可能是图中的点D； 故答案为：点D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键． 17．（24-25七年级上·山东淄博·期末）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： (1)如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，是边上的高，求的值； (3)如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴： （1）勾股定理求出的长，设边上的高为，等积法求出即可； （2）设，则，利用双求法，列出方程进行求解即可； （3）连接，勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ， ， ， ； （2）设，则， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ，解得，， ； （3）如图所示，连接， 四边形是长方形， ， 在中，， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ， 数轴上点表示的数是， 点表示的数为． 题型六 以弦图为背景的计算题（共3小题） 18．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理是解题的关键．如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，由勾股定理得，，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是， 故选：C． 19．（21-22七年级上·山东威海·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________ (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积． (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________． 【答案】(1) (2)28 (3)该风车状图案的面积是24． (4) 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （3）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意：，， ∴小正方形的面积为，大正方形的面积为， 小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：． （2）解：由题意得： 空白部分的面积为． （3）解：， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该风车状图案的面积是24． （4）解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 题型七 利用勾股定理证明线段的平方关系（共3小题） 21．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 23．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系_____； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意得到，再利用证明即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到，再根据全等的性质得到，，得到，利用勾股定理即可得到关系； （3）延长到点，使，连接，证明，得到，，进一步证明，可得，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ； （2）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型八 勾股数问题（共3小题） 24．（22-23七年级上·山东烟台·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（    ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．100 B．200 C．240 D．360 【答案】B 【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系． 25．（21-22八年级上·山西忻州·期中）观察下列各组勾股数 （1）3，4，5 （2）5，12，13； （3）7，24，25： （4）9，40，41 照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ． 【答案】/ 【分析】观察数据，题中数据第二个数和第三个数是连续的，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，根据完全平方公式展开即可求得中间的数． 【详解】解：观察数据可知，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：， ， ，，……，则第组勾股数为 设中间的数为，则第三个数为， 即 即中间的数为 故答案为： 【点睛】本题考查了数字类找规律，勾股数，整式的乘法运算，找到规律是解题的关键． 26．（23-24七年级上·山东淄博·期中）（1）大家知道等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 【答案】（1）观点正确，理由见解析；（2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）；（当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数） 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及平方差公式． （1）根据勾股定理和平方差公式即可求解； （2）根据勾股定理及平方差公式解答即可． 【详解】解：（1）观点正确，理由如下： 若是一组勾股数，则有，所以有， 利用平方差公式，可得， 若为偶数时，观点显然正确；若为奇数，则均为奇数，则和中必有一个偶数， 所以中必定有一个偶数． （2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）， （当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数）． 题型九 根据已知条件判断直角三角形（共4小题） 27．（22-23七年级上·山东淄博·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，3， B．9，， C．2，2，4 D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，能作为直角三角形三边长，符合题意； B、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可． 【详解】解：A．， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； B． ， 设， 则， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； C． ，， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； D． ， 设， ， 解得 故该选项不能判断为直角三角形，符合题意； 故选：D． 29．（23-24七年级上·山东泰安·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，有以下5个条件： ①；    ②； ③；        ④； ⑤． 其中能判断是直角三角形的是 （填序号）． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理对选项一一判定即可． 【详解】解：①， 设，则，， ∵ ∴， 则，，， 故①不是直角三角形． ②， 设，，， 则，， 则， 故②为直角三角形． ③∵， 设，则，， ∴， 故③为直角三角形． ④ 化简为：， 则：， 故④为直角三角形， ⑤， ∵， ∴， ∴， 故⑤为直角三角形， 故答案为：②③④⑤. 题型十 直接三角形的存在性问题（共3小题） 30．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形 (2)2 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理． （1）利用勾股定理和逆定理进行判断即可； （2）利用分割法求的面积即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， 所以， 所以是直角三角形； （2）的面积：． 31．（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 32．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    33．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答． 【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图 符合条件的格点C的个数是6个 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型十一 勾股定理逆定理与实际问题（共3小题） 34．（23-24七年级上·山东威海·期中）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    【答案】够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】    解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 35．（22-23七年级下·广东深圳·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．    (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． （2）∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 36．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 37．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． (1)请判断的形状？ (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形． （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：是直角三角形． ，，， ， ， ， 是直角三角形． （2）解：， ， ． 答：修建的公路的长是． 题型十二 求梯子滑落高度（共2小题） 38．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可； （2）首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 39．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 题型十三 求旗杆高度（共3小题） 40．（23-24七年级下·山东济南·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 【答案】(1)10.6米 (2)5米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，画出图形是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上即可； （2）根据题意，画出图形，求出的长，进而解决问题． 【详解】（1）由题意可得， 米，米，，米， ∴（米）， ∴（米）， 即风筝的垂直高度的长为10.6米； （2）由题意知，（米），米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该把线再放出5米， 故答案为：5． 41．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 【答案】小树的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， 解得：， 所以， 即小树的高度为． 42．（25-26八年级上·全国·单元测试）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 题型十四 求大树折断前高度（共2小题） 43．（22-23八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 44．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 题型十五 航海问题（共2小题） 45．（22-23八年级下·重庆潼南·期末）甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里． (1)求乙搜救艇的航行方向； (2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？ 【答案】(1)北偏东方向 (2)30海里 【分析】（1）由勾股定理的逆定理求得，再结合甲搜救艇的航行方向即可求解； （2）先求得和的长度，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：海里，海里， ∵海里， ∴，， ∵， ∴， 即乙搜救艇的航行方向是北偏东方向； （2）解：由题意，海里，海里， ∴海里，海里， ∵， ∴海里， 答：甲、乙两艘搜救艇相距30海里． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键． 46．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达N岛．求M岛与N岛之间的距离． 【答案】M岛与N岛之间的距离为20海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明为直角三角是解题的关键． 由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长即可． 【详解】解：由题意知，，（海里），（海里）， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 答：M岛与N岛之间的距离为20海里． 题型十六 影响问题（共3小题） 47．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，新路长度是80米 (2)该车没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． （2）解：该车没有超速．     理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 48．（23-24八年级下·广东中山·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 49．（22-23八年级·全国·单元测试）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． (1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 【答案】(1)村庄能听到宣传，理由详见解析 (2)村庄总共能听到4分钟的宣传 【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论； （2）根据勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到结论． 【详解】（1）解：村庄能听到宣传， 理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米， ∴村庄能听到宣传； （2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响， 则AP=AQ=1000米，AB=800米， ∴BP=BQ==600（米）， ∴PQ=1200米， ∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟）， ∴村庄总共能听到4分钟的宣传． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意． 题型十七 最短距离问题（共5小题） 50．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 51．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）    【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离，如图所示：   ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为． 52．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 53．（22-23八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 【答案】(1)方案2爬行距离更近 (2)方案1爬行距离更近 (3)，两种方式的爬行距离同样远 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）方案1：爬行距离，方案：爬行距离=， ∴方案爬行距离更近； （2）方案1：爬行距离，方案2：爬行距离 ， ∴方案爬行距离更近； （3）根据题意得， 解得： ∴，两种方式的爬行距离同样远． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 54．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． $专题03 勾股定理 题型1用勾股定理解三角形（热考） 题型10直接三角形的存在性问题（难点） 题型2已知两点坐标求两点距离（难点） 题型11勾股定理逆定理与实际问题 题型3以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 题型12求梯子滑落高度（热考） 题型4勾股定理的证明（重点） 题型13求旗杆高度 题型5勾股定理与网格问题 题型14求大树折断前高度 题型6以弦图为背景的计算题（重点） 题型15航海问题（热考） 题型7利用勾股定理证明线段的平方关系 题型16影响问题 题型8勾股数问题 题型17最短距离问题（热考） 题型9根据已知条件判断直角三角形（热考） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用勾股定理解三角形（共4小题） 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，那么数轴上点C表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）【易错】已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对 3．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．    4．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，，，，垂足分别为D，E，，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 题型二 已知两点坐标求两点距离（共3小题） 5．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知两个村庄的坐标分别为，一辆汽车从原点出发在轴上行驶．当汽车行驶到某一位置时，距离两村的和最短，此时汽车到两村距离的和为 ． 6．（23-24七年级上·山东威海·期末）在坐标系中，点，，的坐标分别为，，，那么点到直线的最短距离是 ． 7．（23-24七年级上·山东淄博·期末）【探索发现】：在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离可以记作：，轴上两点，的距离可以记作：． 【迁移应用】：如图1，在平面直角坐标系中． （1）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______； （2）直线（是常数）上两点，的距离可以记作：______． 【拓展应用】：在平面直角坐标系中． （1）已知，两点，请直接写出A，B两点的距离； （2）如图2，已知，两点，请求出C，D两点的距离；（用，，，表达） （3）如图3，直线与轴，轴分别交于点，，是射线上一动点，是轴上点右边的一动点，在第一象限取点，连接，，．问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．    题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 8．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．1 10．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）（1）如图，三个正方形围成了一个直角三角形，三个正方形的面积分别为，若，则___________   （2）如图，在中，，分别以为边在外侧作等边三角形，则之间的关系为___________ （3）①如图，在中，，分别以为边在外侧作等腰直角三角形，则（2）中的关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由． ②如图，在五边形中，，连接．求五边形的面积． 题型四 勾股定理的证明（共3小题） 11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C． D． 12．（24-25七年级上·山东烟台·期中）材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 13．（24-25七年级上·山东泰安·期中） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c²，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 向常春在 2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， (1)求证： 四边形的面积为 (2)求梯形，的面积，再探究四边形的面积与这两个图形面积之间的关系，证明勾股定理 (3)如图3， 在中，是边上的高， 求的长． 题型五 勾股定理与网格问题（共4小题） 14．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23九年级下·山东淄博·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 16．（2022·北京海淀·模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的 ．      17．（24-25七年级上·山东淄博·期末）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： (1)如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，是边上的高，求的值； (3)如图4，在长方形中，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 题型六 以弦图为背景的计算题（共3小题） 18．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 19．（21-22七年级上·山东威海·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积=________ (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，求空白部分的面积． (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，则__________． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 题型七 利用勾股定理证明线段的平方关系（共3小题） 21．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 23．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)请直接写出、和之间的数量关系_____； (3)求证：． 题型八 勾股数问题（共3小题） 24．（22-23七年级上·山东烟台·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（    ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．100 B．200 C．240 D．360 25．（21-22八年级上·山西忻州·期中）观察下列各组勾股数 （1）3，4，5 （2）5，12，13； （3）7，24，25： （4）9，40，41 照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ． 26．（23-24七年级上·山东淄博·期中）（1）大家知道等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 题型九 根据已知条件判断直角三角形（共4小题） 27．（22-23七年级上·山东淄博·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，3， B．9，， C．2，2，4 D．，， 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 29．（23-24七年级上·山东泰安·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，有以下5个条件： ①；    ②； ③；        ④； ⑤． 其中能判断是直角三角形的是 （填序号）． 题型十 直接三角形的存在性问题（共3小题） 30．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 31．（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 33．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 题型十一 勾股定理逆定理与实际问题（共3小题） 34．（23-24七年级上·山东威海·期中）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．      35．（22-23七年级下·广东深圳·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．    (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ (2)这片绿地的面积是多少？ 36．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 37．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． (1)请判断的形状？ (2)求修建的公路的长． 题型十二 求梯子滑落高度（共2小题） 38．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 39．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 题型十三 求旗杆高度（共3小题） 40．（23-24七年级下·山东济南·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米； ③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米． 41．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，用两根木棒、加固小树，木棒、与小树在同一平面内，且小树与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，，，求小树的高度． 42．（25-26八年级上·全国·单元测试）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 题型十四 求大树折断前高度（共2小题） 43．（22-23八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 44．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 题型十五 航海问题（共2小题） 45．（22-23八年级下·重庆潼南·期末）甲、乙两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A，B两地发出求救信号．甲搜救艇立即以15海里/时的速度离开港口O，沿北偏西50°的方向向A地出发，同时乙搜救艇也从港口O出发，以20海里/时的速度向B地出发，2小时后他们同时到达各自的目标位置，且相距50海里． (1)求乙搜救艇的航行方向； (2)成功救援后，甲、乙两艘搜救艇同时沿原路方向返回港口O，其速度分别是12海里/时、16海里/时，1小时后甲、乙两艘搜救艇分别在点E，F处，此时甲、乙两艘搜救艇相距多少海里？ 46．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达N岛．求M岛与N岛之间的距离． 题型十六 影响问题（共3小题） 47．（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． (1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． (2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 48．（23-24八年级下·广东中山·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 49．（22-23八年级·全国·单元测试）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶． (1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由； (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？ 题型十七 最短距离问题（共5小题） 50．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 51．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）    52．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 53．（22-23八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 54．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） $