专题04 函数的概念及其表示9考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题04 函数的概念及其表示9考点复习指南 知识1：函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识2：函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识3：求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 常用解题技巧 1.根据函数的定义，直线是常数）与函数的图象至多有1个交点.同一函数要求定义域和对应关系都相同. 2.函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 （1）函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. （2）两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数. 3.求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在轴上的投影所对应的实数的集合；当函数用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合，一般通过列不等式（组）求其解集.常见的限制条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等. 4.求抽象函数的定义域常用转移法.若的定义域为，则解不等式即可求出的定义域；若的定义域为，则求出在上的值域即得的定义域. 5.函数解析式的求法如下.①待定系数法.已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.②换元法.已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.③配凑法.由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式.④消去法（即函数方程法）.已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出. 6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 考点1 函数关系的判断 1．【多选】（2025高一·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 2．（2025高一·四川成都·期中）定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像，即可判断r的取值范围． 【详解】由图像可知，若满足唯一的p与r对应， 则. 故选：A. 3．（2025高一·江苏淮安·期中）设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】A中中的x没有对应的象，不符合； B符合函数定义， C也符合函数定义， D中对于的x有两个象与之对应，不符合． 所以有2个满足． 故选：B 4．（2025高一·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 考点2 相同函数的判断 5．【多选】（25-26高一·新疆·期中）下列函数与函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需要从函数的定义域和对应法则两方面进行分析；如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么它们就是同一函数，否则不是. 【详解】的定义域为， A、的定义域为，不是同一函数； B、，解析式不同，不是同一函数； C、的定义域为，对应关系相同，是同一函数； D、的定义域为，定义域不同，不是同一函数. 故选：ABD. 6．（2025高一·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 7．（2025高一·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 8．（2025高一·河北衡水·期中）下列各组函数中，表示同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由定义域和对应关系逐项判断即可； 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故B错误； 对于C：的定义域均为，且，定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确； 对于D：的定义域均为，且，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：C. 9．（2025高一·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 10．（2025高一·陕西渭南·期中）下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】通过定义域和解析式都相同来判断是否是同一函数即可. 【详解】对于A．的定义域为，而定义域为R．故二者不是同一函数； 对于B．的定义域为R，的定义域为，故二者不是同一函数； 对于C．,的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数； 对于D．的值域为，的值域为R．故二者不是同一函数． 故选:C． 考点3 已知函数值求自变量或参数 11．（2025高一·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，， 则， 解得或. 故答案为：或 12．（2025高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 13．（2025高一·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 14．（2025高一·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 15．（2025高二·浙江宁波·期中）设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则 ． 【答案】 【分析】应用赋值法及已知等式计算求解函数值. 【详解】令，因为，所以，所以， 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以. 故答案为：. 16．（2025高一·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令，则，根据递推关系，可以求解. 【详解】当时，，所以； 令，得，所以； ，，……，. 故选：B 【点睛】方法点睛：根据函数方程，采用“赋值法”，探索函数值之间的递推关系，再求出，根据递推关系可最终求解. 考点4 求函数的定义域 17．（25-26高一·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】函数有意义， 则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：C 18．（2025高一·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 19．（2025高三·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 20．（25-26高一·新疆·期中）函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】根据函数，可列出不等式组，得，解得且， 故函数的定义域为且. 故答案为：且. 21．（2025高一·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 22．（2025高一·湖北荆门·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 23．（25-26高一·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 24．（2025高一·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 在中，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点5 已知定义域求参数 25．（2025高一·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 26．（2025高一·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 27．（2025高一·广东·期中）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意可知：在上恒成立，进而可得，结合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】若函数的定义域为，则在上恒成立， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 28．（2025高一·广东汕头·期中）若函数的定义域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，可得不等式在上恒成立，根据参数的取值分类讨论即得. 【详解】依题意，在上恒成立， 当时，不等式显然不成立； 当时，要使不等式恒成立，需使，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 29．（2025高一·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 30．（2025高一·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 31．（2025高一·河北衡水·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或， 综上可得或， 考点6 求函数解析式 32．（2025高三·甘肃庆阳·期中）定义在上的一次函数满足，且，则 . 【答案】4050 【分析】根据函数奇偶性，待定系数求出函数解析式，求得函数值. 【详解】由题意可得为奇函数，可设，其中为常数，因为，故，解得，故，于是. 故答案为：4050. 33．（2025高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 34．（2025高一·辽宁铁岭·期中）已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设出，将三点代入解出即可； （2）根据函数解析式直接代入求解即可. 【详解】（1）设函数， 因为经过，，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以，， ，. 35．（25-26高一·江西·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求函数解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 36．（2025高一·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 37．（2025高一·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 38．（2025高一·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 39．（2025高一·河北张家口·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将已知等式中的与替换，列出方程组求得函数解析式，再赋值代入计算即得. 【详解】在中， 用替换，可得：，解得, 故 故选：A. 40．（2025高一·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 41．（2025高二·广东深圳·期中）定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则 . 【答案】4050 【分析】令，则，再令，即可求得，再代入解析式即可求得. 【详解】令，则可变形为，则， 又，解得， 于是. 故答案为：4050. 42．（2025高一·福建莆田·期中）函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 【答案】 【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式. 【详解】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对、进行赋值，求出特殊函数值，然后再结合已知等式求解. 43．（2025高一·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用赋值法求出函数的解析式，再代入，转化不等式为在上有解，参变分离转化为求函数的最值问题即可求解. 【详解】令，则， 令，则，则， 所以在上有解，即在上有解， 即存在，使得即， 而函数在上单调递减， 当时，取得最小值，因此， 所以a的取值范围为. 故答案为：. 考点7 求函数的值域 44．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简，再由交集运算即可求解； 【详解】根据题意，由，得， 所以集合， 易知， ， 故选：B. 45．（2025高一·江苏·课后作业）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 46．（2025高一·广东广州·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 47．（2025高一·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 48．（2025高二·浙江宁波·期中）函数的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用柯西不等式，即可求得原函数的最大值. 【详解】由有意义，可得，解得， 由柯西不等式，可得：， 当且仅当时，即时等号成立， 此时函数取得最大值为. 故答案为：. 下面证明柯西不等式：，当且仅当时等号成立. 证明：由 ， 则得，当且仅当时等号成立. 49．（2025高二·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 考点8 已知函数的值域求参数 50．（2025高三·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 51．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 52．（2025高一·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 53．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 54．（2025高一·江苏南京·期中）已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 55．（2025高一·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 56．（2025高一·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得函数和交点坐标，然后分别画出两个函数图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 考点9 分段函数的图像和性质 57．（25-26高一·辽宁·期中）已知函数，则 . 【答案】5 【分析】根据分段函数解析式，先求出的值，再代入求出即可. 【详解】根据题意知， 则. 故答案为：5 58．（2025高一·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 59．【多选】（2025高一·山东临沂·期中）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称 【答案】ABD 【分析】根据分段函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等概念.分别对每个选项进行分析判断即可. 【详解】对于选项A：对于分段函数，当， 时有意义，所以的定义域为，选项A正确.   对于选项B：当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 综合起来，的值域为，选项B正确.   对于选项C：当时，是单调递增的. 当时，是单调递增的. 但是在处不连续，例如取，，，，当时，，并不满足对于任意的都有，所以不是增函数，选项C错误.   对于选项D：对于奇函数，有. 当时，，，. 当时，，，. 所以是奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项D正确.   故选：ABD. 60．【多选】（2025高一·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 【答案】AD 【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解. 【详解】对于A，的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以不是偶函数，故C错误； 对于D，当时，，表示的小数部分， 作出函数图象如图所示：    所以的单调递增区间为，故D正确. 故选：AD. 61．（2025高一·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 62．（2025高一·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0； (2)或或 (3)图像见解析 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）由解析式分类讨论求解即可； （3）由解析式即可直接作图； 【详解】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上的值为：或或 （3） 63．（2025高一·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由，结合函数解析式解方程即可； （2）可得或，解之即可求解. 【详解】（1）由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； （2）由可得： （i）； （ii）. 综上可得． 1．（2025高一·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 2．（2025高一·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．（2025高一·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 4．（2025高一·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 5．（2025高一·全国·课后作业）已知是一次函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】依题意，设，则有，解得， 所以. 故选：D 6．（2025高一·江西宜春·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 7．（2025高一·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 8．（2025高一·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 9．【多选】（2025高一·四川成都·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用配凑法可得函数解析式，进而判断各选项. 【详解】由， 所以，C选项错误，D选项正确； ，A选项错误； ，B选项正确； 故选：BD. 10．【多选】（2025高一·江西·期末）下列说法错误的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若是一次函数，且，则 C．函数的图象与轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：对于，有，解得， 则的定义域为， 对于，有，解得或， 则的定义域为， 即与的定义域不一致， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确； D：函数在上是单调递减函数，故D错误. 故选：ABD 11．【多选】（2025高一·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确． 故选：BD． 12．（2025高一·山东临沂·期中）已知函数的值域为，则它的定义域可以是 ．（写出其中一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】，取，则，取，则，得到答案. 【详解】，取，则；取，则； 故定义域可以为：或或. 故答案为：. 13．（福建省德化第二中学2025-2026学年高二学期5月月考数学试题）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域，分求解. 【详解】若，则无解； 若，则，所以. 若，则无解． 综上：. 故答案为：. 14．（2025高一·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【详解】函数的定义域为， 则，则或 则函数的定义域为. 故答案为： 15．（2025高一·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 16．（2025高一·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，有且，列方程组解出，的值； （2）设，作差比较和的大小，定义法证明函数单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，则，. 时，，满足函数为奇函数， 又，解得. 所以， （2）由（1）得，. 设， 则， ，， ，即， 所以函数在区间上单调递增. 17．（重庆市第七中学校2025-2026学年高一学期期中数学试题）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 18．（2025高一·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题04 函数的概念及其表示9考点复习指南 知识1：函数的定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识2：函数的三要素 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识3：求函数解析式 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 常用解题技巧 1.根据函数的定义，直线是常数）与函数的图象至多有1个交点.同一函数要求定义域和对应关系都相同. 2.函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 （1）函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. （2）两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数. 3.求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在轴上的投影所对应的实数的集合；当函数用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合，一般通过列不等式（组）求其解集.常见的限制条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等. 4.求抽象函数的定义域常用转移法.若的定义域为，则解不等式即可求出的定义域；若的定义域为，则求出在上的值域即得的定义域. 5.函数解析式的求法如下.①待定系数法.已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.②换元法.已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.③配凑法.由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式.④消去法（即函数方程法）.已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出. 6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 考点1 函数关系的判断 1．【多选】（2025高一·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A．B． C．D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 2．（2025高一·四川成都·期中）定义在区间上的函数的图象如图所示.若只有唯一的p值对应，则r的取值范围为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像，即可判断r的取值范围． 【详解】由图像可知，若满足唯一的p与r对应， 则. 故选：A. 3．（2025高一·江苏淮安·期中）设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】A中中的x没有对应的象，不符合； B符合函数定义， C也符合函数定义， D中对于的x有两个象与之对应，不符合． 所以有2个满足． 故选：B 4．（2025高一·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 考点2 相同函数的判断 5．【多选】（25-26高一·新疆·期中）下列函数与函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需要从函数的定义域和对应法则两方面进行分析；如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么它们就是同一函数，否则不是. 【详解】的定义域为， A、的定义域为，不是同一函数； B、，解析式不同，不是同一函数； C、的定义域为，对应关系相同，是同一函数； D、的定义域为，定义域不同，不是同一函数. 故选：ABD. 6．（2025高一·四川资阳·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相等，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域为,的定义域为，两个函数的定义域不相同， 故不是同一个函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 与的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相等， 故不是同一个函数，D错误， 故选：B 7．（2025高一·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 8．（2025高一·河北衡水·期中）下列各组函数中，表示同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由定义域和对应关系逐项判断即可； 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；故B错误； 对于C：的定义域均为，且，定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确； 对于D：的定义域均为，且，对应关系不同，不是同一函数，故D错误； 故选：C. 9．（2025高一·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 10．（2025高一·陕西渭南·期中）下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】通过定义域和解析式都相同来判断是否是同一函数即可. 【详解】对于A．的定义域为，而定义域为R．故二者不是同一函数； 对于B．的定义域为R，的定义域为，故二者不是同一函数； 对于C．,的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数； 对于D．的值域为，的值域为R．故二者不是同一函数． 故选:C． 考点3 已知函数值求自变量或参数 11．（2025高一·北京通州·期中）已知函数，当时，则的值为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值. 【详解】依题意，， 则， 解得或. 故答案为：或 12．（2025高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 13．（2025高一·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 14．（2025高一·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 15．（2025高二·浙江宁波·期中）设函数在上有定义，且满足以下性质：①，②．则 ． 【答案】 【分析】应用赋值法及已知等式计算求解函数值. 【详解】令，因为，所以，所以， 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以, 令，因为，所以，所以. 故答案为：. 16．（2025高一·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令，则，根据递推关系，可以求解. 【详解】当时，，所以； 令，得，所以； ，，……，. 故选：B 【点睛】方法点睛：根据函数方程，采用“赋值法”，探索函数值之间的递推关系，再求出，根据递推关系可最终求解. 考点4 求函数的定义域 17．（25-26高一·天津·期中）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】函数有意义， 则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：C 18．（2025高一·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 19．（2025高三·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【详解】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 20．（25-26高一·新疆·期中）函数的定义域是 . 【答案】且 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】根据函数，可列出不等式组，得，解得且， 故函数的定义域为且. 故答案为：且. 21．（2025高一·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 22．（2025高一·湖北荆门·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】这是由复合函数的定义域求函数的定义域，转化为求内层函数的值域问题即可. 【详解】由函数的定义域为，得， 令，则，所以的定义域为， 故的定义域为. 故答案为：. 23．（25-26高一·吉林·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 24．（2025高一·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，得，则， 在中，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点5 已知定义域求参数 25．（2025高一·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 26．（2025高一·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 27．（2025高一·广东·期中）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意可知：在上恒成立，进而可得，结合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】若函数的定义域为，则在上恒成立， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 28．（2025高一·广东汕头·期中）若函数的定义域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，可得不等式在上恒成立，根据参数的取值分类讨论即得. 【详解】依题意，在上恒成立， 当时，不等式显然不成立； 当时，要使不等式恒成立，需使，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 29．（2025高一·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 30．（2025高一·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 31．（2025高一·河北衡水·期中）函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或， 综上可得或， 考点6 求函数解析式 32．（2025高三·甘肃庆阳·期中）定义在上的一次函数满足，且，则 . 【答案】4050 【分析】根据函数奇偶性，待定系数求出函数解析式，求得函数值. 【详解】由题意可得为奇函数，可设，其中为常数，因为，故，解得，故，于是. 故答案为：4050. 33．（2025高一·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 34．（2025高一·辽宁铁岭·期中）已知二次函数经过，，. (1)求函数的解析式； (2)求，，. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设出，将三点代入解出即可； （2）根据函数解析式直接代入求解即可. 【详解】（1）设函数， 因为经过，，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得， 所以，， ，. 35．（25-26高一·江西·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，求函数解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 36．（2025高一·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 37．（2025高一·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 38．（2025高一·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 39．（2025高一·河北张家口·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将已知等式中的与替换，列出方程组求得函数解析式，再赋值代入计算即得. 【详解】在中， 用替换，可得：，解得, 故 故选：A. 40．（2025高一·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 41．（2025高二·广东深圳·期中）定义在R上的函数满足对于任意实数均有，且，则 . 【答案】4050 【分析】令，则，再令，即可求得，再代入解析式即可求得. 【详解】令，则可变形为，则， 又，解得， 于是. 故答案为：4050. 42．（2025高一·福建莆田·期中）函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 【答案】 【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式. 【详解】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对、进行赋值，求出特殊函数值，然后再结合已知等式求解. 43．（2025高一·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用赋值法求出函数的解析式，再代入，转化不等式为在上有解，参变分离转化为求函数的最值问题即可求解. 【详解】令，则， 令，则，则， 所以在上有解，即在上有解， 即存在，使得即， 而函数在上单调递减， 当时，取得最小值，因此， 所以a的取值范围为. 故答案为：. 考点7 求函数的值域 44．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简，再由交集运算即可求解； 【详解】根据题意，由，得， 所以集合， 易知， ， 故选：B. 45．（2025高一·江苏·课后作业）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 46．（2025高一·广东广州·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 47．（2025高一·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 48．（2025高二·浙江宁波·期中）函数的最大值为 . 【答案】. 【分析】利用柯西不等式，即可求得原函数的最大值. 【详解】由有意义，可得，解得， 由柯西不等式，可得：， 当且仅当时，即时等号成立， 此时函数取得最大值为. 故答案为：. 下面证明柯西不等式：，当且仅当时等号成立. 证明：由 ， 则得，当且仅当时等号成立. 49．（2025高二·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 考点8 已知函数的值域求参数 50．（2025高三·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 51．（2025高一·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 52．（2025高一·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 53．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 54．（2025高一·江苏南京·期中）已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 55．（2025高一·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 56．（2025高一·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得函数和交点坐标，然后分别画出两个函数图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 考点9 分段函数的图像和性质 57．（25-26高一·辽宁·期中）已知函数，则 . 【答案】5 【分析】根据分段函数解析式，先求出的值，再代入求出即可. 【详解】根据题意知， 则. 故答案为：5 58．（2025高一·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 59．【多选】（2025高一·山东临沂·期中）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称 【答案】ABD 【分析】根据分段函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等概念.分别对每个选项进行分析判断即可. 【详解】对于选项A：对于分段函数，当， 时有意义，所以的定义域为，选项A正确.   对于选项B：当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 综合起来，的值域为，选项B正确.   对于选项C：当时，是单调递增的. 当时，是单调递增的. 但是在处不连续，例如取，，，，当时，，并不满足对于任意的都有，所以不是增函数，选项C错误.   对于选项D：对于奇函数，有. 当时，，，. 当时，，，. 所以是奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项D正确.   故选：ABD. 60．【多选】（2025高一·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 【答案】AD 【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解. 【详解】对于A，的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以不是偶函数，故C错误； 对于D，当时，，表示的小数部分， 作出函数图象如图所示：    所以的单调递增区间为，故D正确. 故选：AD. 61．（2025高一·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 62．（2025高一·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0； (2)或或 (3)图像见解析 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）由解析式分类讨论求解即可； （3）由解析式即可直接作图； 【详解】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上的值为：或或 （3） 63．（2025高一·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由，结合函数解析式解方程即可； （2）可得或，解之即可求解. 【详解】（1）由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； （2）由可得： （i）； （ii）. 综上可得． 1．（2025高一·贵州六盘水·期末）下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 2．（2025高一·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3．（2025高一·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过化简即可得出函数的解析式. 【详解】因为，∴， 故选：A. 4．（2025高一·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 5．（2025高一·全国·课后作业）已知是一次函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】依题意，设，则有，解得， 所以. 故选：D 6．（2025高一·江西宜春·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 7．（2025高一·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【详解】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 8．（2025高一·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 9．【多选】（2025高一·四川成都·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用配凑法可得函数解析式，进而判断各选项. 【详解】由， 所以，C选项错误，D选项正确； ，A选项错误； ，B选项正确； 故选：BD. 10．【多选】（2025高一·江西·期末）下列说法错误的是（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．若是一次函数，且，则 C．函数的图象与轴最多有一个交点 D．函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【分析】根据相等函数的概念判断A；利用待定系数法求出函数的解析式，即可判断B；根据函数的定义即可判断C；根据单调区间的定义即可判断D. 【详解】A：对于，有，解得， 则的定义域为， 对于，有，解得或， 则的定义域为， 即与的定义域不一致， 所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误； B：设，则， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确； D：函数在上是单调递减函数，故D错误. 故选：ABD 11．【多选】（2025高一·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确． 故选：BD． 12．（2025高一·山东临沂·期中）已知函数的值域为，则它的定义域可以是 ．（写出其中一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】，取，则，取，则，得到答案. 【详解】，取，则；取，则； 故定义域可以为：或或. 故答案为：. 13．（福建省德化第二中学2025-2026学年高二学期5月月考数学试题）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域，分求解. 【详解】若，则无解； 若，则，所以. 若，则无解． 综上：. 故答案为：. 14．（2025高一·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【详解】函数的定义域为， 则，则或 则函数的定义域为. 故答案为： 15．（2025高一·安徽马鞍山·期中）已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 16．（2025高一·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，有且，列方程组解出，的值； （2）设，作差比较和的大小，定义法证明函数单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，则，. 时，，满足函数为奇函数， 又，解得. 所以， （2）由（1）得，. 设， 则， ，， ，即， 所以函数在区间上单调递增. 17．（重庆市第七中学校2025-2026学年高一学期期中数学试题）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 18．（2025高一·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $