2.2有理数的乘法与除法【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

2.2有理数的乘法与除法 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 知识点二.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 技巧归纳： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 知识点三.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 知识点四：有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 知识点五：有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 【题型归纳】 题型一：倒数 【例1】．（2024·江苏扬州·三模）2024的倒数是（ ） A． B． C．2024 D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C．2025 D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）在数轴上，点A对应的数是．将点A到原点的距离记为m，那么m的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 题型二：两个有理数的乘法运算 【例2】．（24-25七年级上）计算： ① ； (2) ② ； (3)③ ； (4)④ ； (5)⑤ ； (6)⑥ ． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型三：多个有理数的乘法运算 【例3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型四：有理数乘法运算律 【例4】．（23-24七年级上·广东深圳）怎样算简便就怎样算（写出主要过程） (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 题型五：有理数的除法运算 【例5】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】．（22-23七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 题型六：有理数的乘除法实际应用 【例6】．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） [情境题 生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米． (3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？ 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南·开学考试）典典给外省的朋友邮寄了一封信函，邮寄费是14元，这封信函最重是多少克？最轻是多少克？ 业务种类 计费单位 资费标准/元 本省资费 外省资费 信函 首重及以内，每加收（不足按计算） 续重～，每加收（不足按计算） 【跟踪训练2】．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）某养殖厂饲养一种特色山鸡，经过一个月的饲养，该厂技术人员随机抽测只山鸡的重量，考查这批山鸡的成长情况，记录数据如下（单位：）： 序号 称重 序号 称重 (1)若这种山鸡经过一个月的成长，体重在之间表示达标，则抽查的这只山鸡中，达标率是多少？ (2)运用正负数的知识，通过计算说明抽查的这只山鸡的总重量是超过还是不足标准重量（标准重量按每只计算），超过或不足标准重量多少克． 题型七：有理数的乘除法的混合计算 【例7】．（23-24七年级上·湖北黄石）脱式计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便计算） 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型八：有理数乘除的简便运算 【例8】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（　　） A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个 4．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列计算：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③ B．①③④ C．①④ D．②④ 5．（25-26七年级上·广东阳江·阶段练习）如图，两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·四川广元·模拟预测）下列式子中的计算结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）游泳馆收取门票，一次30元，现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元：B卡收费200元，办理后每次门票20元； C卡收费400元，办理后每次门票15元． 某人一年游泳次数45~55次，他选择下列（   ）方案最合算． A．不办理会员年卡 B．办理A卡 C．办理B卡 D．办理C卡 9．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若与互为倒数，则 ． 12．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克( )元，芒果每千克( )元． 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“#”，，如，那么 ． 14．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）我们规定有理数和两数中较小的数用符号来表示，较大的数用符号表示．则： （1） ． （2） ． 15．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）计算下面共1926个式子的乘积： ． 16．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填写序号）． 三、解答题 17．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 19（25-26七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算． (1) (2) (3) (4) 20．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）我们知道乘法有分配律：，有时，逆向运用分配律，即，可以简便运算一些算式，例如：． (1)请逆向运用乘法分配律计算：； (2)请运用乘法分配律计算：； (3)在计算时，方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 21．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油6升，汽油价元/升，而新能源车每行驶耗电量为11度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2有理数的乘法与除法 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 知识点二.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 技巧归纳： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 知识点三.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 知识点四：有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 知识点五：有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 【题型归纳】 题型一：倒数 【例1】．（2024·江苏扬州·三模）2024的倒数是（ ） A． B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解． 本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数定义是关键． 【详解】解：∵． ∴2024的倒数是． 故选：A． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：B 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）在数轴上，点A对应的数是．将点A到原点的距离记为m，那么m的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上各点到原点距离的定义，倒数的定义．根据点A对应的数是，得出点A到原点的距离为，根据倒数定义得出答案即可． 【详解】解：∵点A对应的数是， ∴点A到原点的距离为， ∴m的倒数是． 故选：C． 题型二：两个有理数的乘法运算 【例2】．（24-25七年级上）计算： ① ； (2) ② ； (3)③ ； (4)④ ； (5)⑤ ； (6)⑥ ． 【答案】 1 1 0 【分析】（1）两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘． （2）两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘． （3）两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘． （4）一个数乘以0，结果为0． （5）两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘． （6）两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则. 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)28 (2) (3) (4)5100 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法法则和乘法交换律是解题的关键． 本题需要根据有理数乘法法则进行计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解∶原式； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式； （6）解∶原式 ． 题型三：多个有理数的乘法运算 【例3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法法则，以及乘法交换律、结合律、分配律在有理数乘法运算中的应用，利用这些运算律可简化计算是解题的关键． （1）本题考查多个有理数的乘法运算，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再结合乘法结合律简化计算； （2）本题可利用乘法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起，简化多个有理数的乘法运算； （3）本题适合运用乘法分配律，把括号外的数分别与括号内的每一项相乘，再进行计算； （4）本题需要先将带分数变形为一个整数与一个分数的差，然后利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)26 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，乘法运算律，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则． （1）先确定积的符号，再利用乘法运算法则进行计算即可； （2）先确定积的符号，再利用乘法运算法则进行计算即可； （3）利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. （1）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. （2）先将绝对值求出并将带分数化成假分数后进行运算. （3）先将绝对值求出并将小数化成分数，带分数化成假分数后进行运算. （4）先将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 （4）解：原式 题型四：有理数乘法运算律 【例4】．（23-24七年级上·广东深圳）怎样算简便就怎样算（写出主要过程） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）利用乘法分配律将原式化为，然后计算括号内的加法，再进行乘法即可； （2）利用乘法分配律将原式转化为，然后计算乘法，再进行加减运算； （3）利用交换律和结合律将原式化为，然后计算括号内的加法，最后进行加法运算； （4）先将带分数化为假分数，然后进行乘法运算，再进行加法运算即可； 掌握相应的运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数乘法的简便运算． （1）先分别计算和，再计算乘法即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先将化为，再根据乘法分配律计算即可； （4）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3）解： ； （4）解： ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）下面是七年级同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律 我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而使运算简便．例如，计算： ，若利用先乘后减显然很繁琐，可以注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多． 根据以上信息，解答下列问题． (1)计算：． (2)计算：． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题主要查乘法分配律的逆用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型五：有理数的除法运算 【例5】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把除法变成乘法，再计算乘法即可； （2）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）根据除法计算法则求解即可； （4）先将除法化为乘法，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【跟踪训练1】．（22-23七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数除法运算法则计算； （2）利用有理数除法运算法则计算； （3）利用有理数乘除混合运算法则计算； （4）利用有理数除法运算法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 利用有理数的除法法则计算各题即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 题型六：有理数的乘除法实际应用 【例6】．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） [情境题 生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米． (3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)小明家一个月共用升汽油 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，即得小明家一个月用的汽油． 【详解】（1）解：， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米． （2）解： 则 答：这七天中平均每天行驶千米， （3）解：（升）， 答：小明家一个月共用升汽油． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·河南·开学考试）典典给外省的朋友邮寄了一封信函，邮寄费是14元，这封信函最重是多少克？最轻是多少克？ 业务种类 计费单位 资费标准/元 本省资费 外省资费 信函 首重及以内，每加收（不足按计算） 续重～，每加收（不足按计算） 【答案】这封信函最重是，最轻是 【分析】本题考查了分段收费问题，解题关键是理解题目意思，正确列出算式，本题根据题意先求出续重的最大重量，即可完成最重多少克与最轻多少克的求解． 【详解】解：首重的费用为（元）， 则续重费用为（元），续重的计费单位数为（个）； 因此，信函总重量在以上，且不超过． 所以这封信函最重是，最轻是． 【跟踪训练2】．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）某养殖厂饲养一种特色山鸡，经过一个月的饲养，该厂技术人员随机抽测只山鸡的重量，考查这批山鸡的成长情况，记录数据如下（单位：）： 序号 称重 序号 称重 (1)若这种山鸡经过一个月的成长，体重在之间表示达标，则抽查的这只山鸡中，达标率是多少？ (2)运用正负数的知识，通过计算说明抽查的这只山鸡的总重量是超过还是不足标准重量（标准重量按每只计算），超过或不足标准重量多少克． 【答案】(1) (2)不足标准重量，不足标准重量克 【分析】（）用达标的数量除以即可求解； （）以为标准重量，超过部分用正数表示，不足部分用负数表示，求出个数的和即可判断求解； 本题考查了有理数除法的应用，正负数的意义，有理数加法的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：由数据可知，抽查的这只山鸡中，有只山鸡的重量不达标， ∴达标率是； （2）解：以为标准重量，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，则这只山鸡的重量记为（单位：）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∵ ， ∴抽查的这只山鸡的总重量不足标准重量，不足标准重量克． 题型七：有理数的乘除法的混合计算 【例7】．（23-24七年级上·湖北黄石）脱式计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题目选择正确的方法求解是解题的关键． 各题均需观察结构形式，寻找简便计算方法： （1）利用加减法性质重组括号； （2）分解乘除关系约分； （3）运用乘法分配律逆运算计算； （4）拆分为分数差求和． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便计算） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是绝对值，有理数的加减混合运算，用运算律简化运算相关知识． 利用有理数的加减混合运算法则计算； 利用有理数的加减混合运算法则计算； 先计算乘除，然后计算加减； 利用乘法分配律对该式变形，然后再计算； 先将除法变为乘法，然后再计算； 首先对该式变形，然后再利用乘法分配律计算． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． （5）原式． （6）原式． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)1 (2)3 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及加减混合运算，有理数的乘法，乘法分配律，熟练掌握其运算规则及方法是解题的关键． （1）先将原式转化成，然后再相加即可求解； （2）根据乘法分配律逆运算计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）将转化成，然后根据乘法分配律计算即可； （5）先将原式拆项成，再抵消法计算； （6）变形为，再抵消法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 题型八：有理数乘除的简便运算 【例8】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【跟踪训练1】．（23-24七年级上·贵州遵义·开学考试）怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法； （2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可； （3）用乘法分配律的逆运算简便计算； （4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【跟踪训练2】．．（25-26七年级上·重庆·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4)10 【分析】该题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式化为，再计算即可． （2）根据有理数加减法简便运算法则计算即可． （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律逆运用即可解答． （4）先将除法转化为乘法，百分数和小数转化为分数，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的计算，根据有理数的加、减、乘、除法则逐项计算即可判断． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选：D． 3．（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（　　） A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 根据有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：五个有理数的积为负数， 这五个有理数中有奇数个负因数，即1个或3个或5个， 故选：D． 4．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）下列计算：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．②③ B．①③④ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的加、减、乘、除运算法则逐个算式分析即可． 【详解】解：①，故正确； ②，故不正确； ③，故不正确； ④，故正确． 故选C． 5．（25-26七年级上·广东阳江·阶段练习）如图，两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的式子正确，符合题意， 故选：C． 6．（2025·四川广元·模拟预测）下列式子中的计算结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，准确计算是解题的前提． 对已知乘法算式进行变形，把带分数写成整数加真分数的形式，即可得到结果． 【详解】； 故选． 7．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的运算，先观察整理得，，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 故选：C． 8．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）游泳馆收取门票，一次30元，现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元：B卡收费200元，办理后每次门票20元； C卡收费400元，办理后每次门票15元． 某人一年游泳次数45~55次，他选择下列（   ）方案最合算． A．不办理会员年卡 B．办理A卡 C．办理B卡 D．办理C卡 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，根据题意分别对三种情况进行计算是解题的关键． 需分别计算办理会员年卡的费用，然后比较各种方案的费用，选择最低方案即可． 【详解】不办卡：（元），（元）， 卡：（元），（元）； 卡：（元），（元）； 卡：（元），（元）； 他选择办理卡方案最划算． 故选：． 9．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，倒数等知识，设，则根据倒数的定义可得出，，，，进而可得答案． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若与互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的性质，由题意得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为： 12．（24-25七年级上·湖南怀化·开学考试）买千克葡萄和千克芒果，共付款元．已知千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，那么葡萄每千克( )元，芒果每千克( )元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的应用，由千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱，可得葡萄每千克（元），从而可求芒果每千克得价钱，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为千克葡萄的价钱等于千克芒果的价钱， 所以葡萄每千克（元）， 所以芒果每千克（元）， 故答案为：，． 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）定义一种新运算“#”，，如，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了阅读理解能力．根据新定义先运算，再运算即可． 【详解】解：根据题中新定义可得， 则， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）我们规定有理数和两数中较小的数用符号来表示，较大的数用符号表示．则： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数比较大小，有理数的乘除运算，理解新定义，根据新定义得出正确的式子并计算是解题的关键． （1）根据新定义及有理数比较大小的方法得出算式并计算即可； （2）先根据新定义及有理数比较大小的方法得出，，再根据新定义、有理数比较大小的方法及有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ． 15．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）计算下面共1926个式子的乘积： ． 【答案】 【分析】本题考查多个有理数的乘法计算，将原式变形为，根据共有1926个式子，可得原式等于，化简即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减，乘除运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各式子与0的大小即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴， ∴，故③正确； 则，故④正确． 故答案为：①②③④ 三、解答题 17．（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）利用加法交换律和结合律，进行简算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先将小数、带分数化为假分数，并将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 19（25-26七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算； （3）根据有理数的乘除混合运算法则计算； （4）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）我们知道乘法有分配律：，有时，逆向运用分配律，即，可以简便运算一些算式，例如：． (1)请逆向运用乘法分配律计算：； (2)请运用乘法分配律计算：； (3)在计算时，方方同学的计算过程如下： 原式． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】(1) (2) (3)方方的计算过程不正确，正确的计算过程见解析 【分析】本题考查了乘法分配律的运算. （1）逆向运用分配律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）除法没有分配律，先计算括号里的减法，再计算除法即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：除法没有分配律，方方的计算过程不正确. 原式． 21．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油6升，汽油价元/升，而新能源车每行驶耗电量为11度，每度电为元．请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)49 (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； (3)小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，四则混合运算的应用． （1）根据有理数的减法列式计算即可； （2）将天的里程求和即可得解； （3）用汽油车的费用减去电车的费用即可得解． 【详解】（1）解：（）， 即这天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）解： （千米）， 即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； （3）解： （元）， 即小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $