2.2有理数的乘法与除法知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版七年级数学上册

2.2有理数的乘法与除法知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级上册（九类题型） 知识归纳： 知识点一：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 知识点二：有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 知识点四：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 题型突破： 题型一：有理数的乘法法则 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 2．下列式子中计算结果与相等的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列算式中，积为负数的是（　　）. A． B． C． D． 4．在﹣6，﹣3，﹣2，1，6五个数中，任意取两个数相乘，能够得到的最大的乘积是（ ） A．﹣36 B．﹣18 C．18 D．36 5.若，则必有（    ） A．， B．， C．， D．，或者， 题型二：倒数 1．有理数的倒数为（    ） A． B．5 C． D． 2.的倒数的相反数是(　　) A． B． C．2 D． 3.下列说法中正确的是（    ） A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1 B．数的倒数是 C．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1 D．如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1 4.绝对值等于本身的数是______，倒数等于它本身的数是______． 题型三：多个有理数相乘 1.计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2.若，则下列选项正确的是（　　） A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0 3．如果abcd < 0，那么这四数中，负因数的个数 至多有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四：有理数的乘法运算律 1．算式﹣25×14+18×14﹣39×（﹣14）=（﹣25+18+39）×14是逆用了（　　） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 2.在算式1.25××（－8）＝1.25×（－8）×＝[1.25×（－8）]×中，应用了（　 　） A．分配律 B．分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律和分配律 3．这步运算运用了（ ） A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 4．计算 (-+)x(-12)=　 　 5.用你喜欢的方法计算．          题型五：有理数的除法法则 1.两个互为相反数的有理数相除，商为（     ） A．正数 B．负数 C．不存在 D．负数或不存在 2.下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都得0； B．若，则； C．同号两数相除，取原来的符号，并把两数的绝对值相除； D．若，则． 3.两个有理数的商为负数，则这两个有理数（    ） A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数 题型六：应用有理数的除法法则计算 1.计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 2．下面是马小跳同学计算的四道题，其中错误的是(   ) A．0÷2＝0 B．(－5)÷(－)＝(－5)×(－2)＝10 C．÷(－5)＝5×(－5)＝－25 D．(－)÷(－)＝1 有理数的乘除混合运算 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 2.计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 3．_____． 4．计算的结果是_____． 5．计算： (1)；(2)． 6.计算： (1)；(2)． 题型七：有理数的加减乘除混合运算 1.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2.（ ）． A． B． C． D． 3．计算4＋(－8)÷(－4)－(－1) 的结果是（  ） A．2 B．3 C．7 D． 4．计算的结果是（    ） A．0 B．1 C． D． 5．计算：__________ 6.计算：． 7.用你喜欢的方法计算．         题型八： 与有理数乘除法有关的新定义问题 1.对有理数，规定运算★如下：，如：，计算：？ 2.对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 题型九：利用有理数的加减乘除，解决实际问题 1.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少? 2.有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 【答案】 2.2有理数的乘法与除法知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级上册（九类题型） 知识归纳： 知识点一：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 知识点二：有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点三：有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 知识点四：有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 题型突破： 题型一：有理数的乘法法则 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 2．下列式子中计算结果与相等的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 3．下列算式中，积为负数的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 4．在﹣6，﹣3，﹣2，1，6五个数中，任意取两个数相乘，能够得到的最大的乘积是（ ） A．﹣36 B．﹣18 C．18 D．36 【答案】C 5.若，则必有（    ） A．， B．， C．， D．，或者， 【答案】D 题型二：倒数 1．有理数的倒数为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 2.的倒数的相反数是(　　) A． B． C．2 D． 【答案】D 3.下列说法中正确的是（    ） A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1 B．数的倒数是 C．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1 D．如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1 【答案】D 4.绝对值等于本身的数是______，倒数等于它本身的数是______． 【答案】 0和正数 题型三：多个有理数相乘 1.计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.若，则下列选项正确的是（　　） A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0 【答案】C 3．如果abcd < 0，那么这四数中，负因数的个数 至多有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 题型四：有理数的乘法运算律 1．算式﹣25×14+18×14﹣39×（﹣14）=（﹣25+18+39）×14是逆用了（　　） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 2.在算式1.25××（－8）＝1.25×（－8）×＝[1.25×（－8）]×中，应用了（　 　） A．分配律 B．分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 3．这步运算运用了（ ） A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 4．计算 (-+)x(-12)=　 　 【答案】-5 5.用你喜欢的方法计算．          【答案】解：（1） = = = =； （2） = = = =20； 题型五：有理数的除法法则 1.两个互为相反数的有理数相除，商为（     ） A．正数 B．负数 C．不存在 D．负数或不存在 【答案】D 2.下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都得0； B．若，则； C．同号两数相除，取原来的符号，并把两数的绝对值相除； D．若，则． 【答案】D 3.两个有理数的商为负数，则这两个有理数（    ） A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数 【答案】B 题型六：应用有理数的除法法则计算 1.计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 2．下面是马小跳同学计算的四道题，其中错误的是(   ) A．0÷2＝0 B．(－5)÷(－)＝(－5)×(－2)＝10 C．÷(－5)＝5×(－5)＝－25 D．(－)÷(－)＝1 【答案】C 有理数的乘除混合运算 1.计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 2.计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3．_____． 【答案】 4．计算的结果是_____． 【答案】9 5．计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 6.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：； （2）解： 题型七：有理数的加减乘除混合运算 1.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 3．计算4＋(－8)÷(－4)－(－1) 的结果是（  ） A．2 B．3 C．7 D． 【答案】C 4．计算的结果是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 5．计算：__________ 【答案】 6.计算：． 【解答】解：原式． 7.用你喜欢的方法计算．         【答案】解：（1） = = = =； （2） = = = =20； 题型八： 与有理数乘除法有关的新定义问题 1.对有理数，规定运算★如下：，如：，计算：？ 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 2.对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1)(2)9 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 题型九：利用有理数的加减乘除，解决实际问题 1.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少? 【答案】 解：(℃) 因此8000米的高空的气温大约是-21℃． 2.有小姜、小仪、小琳三个小朋友，小姜行走的速度为每分钟80米，小仪的速度为小姜速度的，小琳的速度为小仪速度的．现在小姜从A地，小仪和小琳从B地同时出发相向而行． (1)求小仪和小琳行走的速度分别为每分钟多少米？ (2)若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距多少米？ (3)在（2）的条件下，小姜与小琳相遇后，又过了10分钟小姜开始原路返回，速度是原来的，当小姜与小琳再次相遇时，求小姜与A地的距离． 【答案】(1)70米；60米(2)10500米(3)3300米 【详解】（1）解：小仪： 小琳：， 答：小仪行走的速度为每分钟70米，小琳行走的速度60米． （2）解： ； ； 答：若小姜和小仪相遇后，过了5分钟又与小琳相遇，那么A、B两地相距10500米． （3）解： ； ； 答：小姜与A地的距离3300米． 学科网（北京）股份有限公司 $