专题2.3（1） 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.3（1） 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类讲解） 1、 【学习目标】 （1）知识技能：掌握有理数乘除运算法则、倒数概念及运算律，会算乘除、混合运算；​ （2）数学思考：提升观察归纳、逻辑推理能力，建立数感与符号意识； （3）问题解决：能用乘除知识解实际问题，掌握混合运算解题策略，善于合作交流；​ （4）情感态度：感受数学魅力，增强学习自信，体会数学与生活的联系. 2、 【考点题型目录】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数乘法运算..............................................................1 【题型2】倒数.......................................................................2 【题型3】有理数除法运算..............................................................2 【题型4】有理数乘除混合运算..........................................................2 【考点二】有理数加减乘除混合运算 【题型5】运用乘法交换律与结合律进行简便运算..........................................3 【题型6】有理数加减乘除混合运算......................................................4 【考点三】问题抽象与建模 【题型7】有理数乘除法实际应用........................................................5 【考点四】体会数学思想 【题型8】数轴、绝对值与有理数乘除运算问题.............................................5 三、【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数乘法运算 【知识储备1】有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型2】倒数 【知识储备2】倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 【例题2】（23-24六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【变式2】（24-25七年级上·北京东城·期中）若，互为倒数，，互为相反数，，则的值为 ． 【题型3】有理数除法运算 【知识储备3】 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型4】有理数乘除混合运算 【知识储备4】 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： （1） （2） （3）； （4）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） （2）； （3） （4）． 【考点二】有理数加减乘除混合运算 【题型5】运用乘法交换律与结合律进行简便运算 【知识储备5】乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： 【例题5】（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． （1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ （2）请选择你喜欢的解法计算：． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． （1）前后两部分存在的关系是______； （2）请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； （3）请求出原式的结果． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【题型6】有理数加减乘除混合运算 【知识储备6】有理数加减乘除运算法则： （1）先算乘除，再算加减； （2）有括号时先算小括号、中括号、大括号内的运算，同级运算从左到右依次进行； （3）可利用乘法分配律简化计算，注意符号处理（负号个数奇偶决定乘除结果符号）. 【例题6】（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： （1）÷5 （2） 【变式1】（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）计算下面各题（能简算的要简算） （1） （2） （3） （4） 【变式2】（24-25七年级上·西藏林芝·期中）加减乘除混合计算： （1）； （2）． 【考点三】问题抽象与建模 【题型7】有理数乘除法实际应用 【例题7】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． （1）通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； （2）如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【变式1】（24-25六年级上·上海金山·期中）某冷库的室温是，现有一批食品需要在的温度下冷冻保存．如果冷库的温度每小时降低，那么 小时后能降到所需温度． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 （1）求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ （2）外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ （3）小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【考点四】体会数学思想 【题型八】数轴、绝对值与有理数乘除运算问题 【例题8】（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【变式1】（24-25七年级上·山西大同·期中）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，10，某同学将刻度尺按如图2的方式放置，使刻度尺上的数字0与数轴上的点对齐，发现点与刻度尺上的对齐，点与刻度尺上对齐，则数轴上点所对应的数为 ． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3（1） 有理数的乘法与除法（知识梳理与题型分类讲解） 1、 【学习目标】 （1）知识技能：掌握有理数乘除运算法则、倒数概念及运算律，会算乘除、混合运算；​ （2）数学思考：提升观察归纳、逻辑推理能力，建立数感与符号意识； （3）问题解决：能用乘除知识解实际问题，掌握混合运算解题策略，善于合作交流；​ （4）情感态度：感受数学魅力，增强学习自信，体会数学与生活的联系. 2、 【考点题型目录】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数乘法运算..............................................................1 【题型2】倒数........................................................................3 【题型3】有理数除法运算..............................................................4 【题型4】有理数乘除混合运算..........................................................6 【考点二】有理数加减乘除混合运算 【题型5】运用乘法交换律与结合律进行简便运算...........................................8 【题型6】有理数加减乘除混合运算......................................................11 【考点三】问题抽象与建模 【题型7】有理数乘除法实际应用........................................................13 【考点四】体会数学思想 【题型8】数轴、绝对值与有理数乘除运算问题............................................15 三、【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数乘法运算 【知识储备1】有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2；（2）0；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）根据有理数乘法法则，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘即可解答； （2）根据有理数乘法法则，0乘以任何数都得0，即可解答； （3）先化简绝对值，然后根据有理数乘法法则即可解答； （4）先变形为分数形式，然后根据有理数乘法法则，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘即可解答； 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 解：（1） ； （2） ． 【题型2】倒数 【知识储备2】倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 【例题2】（23-24六年级上·黑龙江绥化·期末）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 解：因为，所以和互为倒数， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 解：由题可知， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·北京东城·期中）若，互为倒数，，互为相反数，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，互为倒数，，互为相反数，，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 解：，互为倒数，，互为相反数，， ，，， 当时， ； 当时， ； 故答案为：或． 【题型3】有理数除法运算 【知识储备3】 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）按照除法运算法则计算； （2）按照除法运算法则计算． 解：（1）； （2）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 解：（1） ． （2）． （3） ． 【题型4】有理数乘除混合运算 【知识储备4】 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【例题4】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据含0的有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 解：（1） ； （2） ； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）计算： （1） （2） （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）18；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数的运算律等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （2）按照有理数的乘除法运算方法进行计算即可； （3）认真审题不难发现：相邻两数之差为，整个计算式中共有2000个数据，所以可以得到1000个； （4）先将小数化成分数，然后计算乘法，再算减法即可． 解：（1） ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1） （2）； （3） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点二】有理数加减乘除混合运算 【题型5】运用乘法交换律与结合律进行简便运算 【知识储备5】乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： 【例题5】（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． （1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ （2）请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】（1）张明，见分析；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 解：（1）解：喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． ． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题： 计算： 小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看做是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题． （1）前后两部分存在的关系是______； （2）请选择比较简单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果______； （3）请求出原式的结果． 【答案】（1）互为倒数；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数； （2）根据乘法分配律进行计算得出答案,根据倒数的性质得出答案； （3）根据有理数的加法计算法则得出答案． 解：（1）解：∵， ∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数． 故答案为：互为倒数； （2）解： ； 由题意得另一部分的结果． 故答案为：； （3）解：． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】见分析 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 解： ． 【题型6】有理数加减乘除混合运算 【知识储备6】有理数加减乘除运算法则： （1）先算乘除，再算加减； （2）有括号时先算小括号、中括号、大括号内的运算，同级运算从左到右依次进行； （3）可利用乘法分配律简化计算，注意符号处理（负号个数奇偶决定乘除结果符号）. 【例题6】（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： （1）÷5 （2） 【答案】（1）；（2）11 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先计算乘除，然后计算加减即可； （2）先根据乘法的分配律展开，然后计算乘法，最后计算加减即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25六年级上·陕西咸阳·期中）计算下面各题（能简算的要简算） （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是： （1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先计算小括号内，再计算中括号内，最后计算除法即可； （3）根据结合律计算括号内，然后计算除法即可； （4）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·西藏林芝·期中）加减乘除混合计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则，即可求解； （1）本题先算除法，再算乘法，最后算加减，除以一个数等于乘以这个数的倒数，然后即可求解； （2）本题先算括号里的，再算乘除，最后算加减，即可求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点三】问题抽象与建模 【题型7】有理数乘除法实际应用 【例题7】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． （1）通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； （2）如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【答案】（1）小虫回到了起点P；（2）108秒 【分析】本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可， （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 解：（1）解：． 小虫能回到起点P； （2）解： （秒） 答：小虫共爬行了108秒. 【变式1】（24-25六年级上·上海金山·期中）某冷库的室温是，现有一批食品需要在的温度下冷冻保存．如果冷库的温度每小时降低，那么 小时后能降到所需温度． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键． 解：， ∴小时后能降到所需温度， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 （1）求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ （2）外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ （3）小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】（1）310单；（2）1760元；（3）够买扫地机器人． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 解：（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 【考点四】体会数学思想 【题型八】数轴、绝对值与有理数乘除运算问题 【例题8】（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4；（2）9，13；（3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，理由见分析 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，， 12，的值为； 故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：9，13； （3）如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）． ，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 【变式1】（24-25七年级上·山西大同·期中）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，10，某同学将刻度尺按如图2的方式放置，使刻度尺上的数字0与数轴上的点对齐，发现点与刻度尺上的对齐，点与刻度尺上对齐，则数轴上点所对应的数为 ． 【答案】0 【分析】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．由长度是求出数轴的单位长度是，再由的长度是，即可求解． 解：∵， ∴数轴的单位长度是， ∵， ∴在数轴上间距离是6个单位长度， ∴点所对应的数为． 故答案为：0． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【答案】③④ 【分析】根据绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义依次对各说法进行判断即可． 解：①若，则或，故①错误； ②两个数相加，若和为负数，则这两个数可能都是负数或者一正一负或者和负数，故②错误； ③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大，故③正确； ④一个数乘，积为这个数的相反数，故④正确． ∴正确的序号有③④． 故答案为：③④． 【点拨】本题考查绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义，解题的关键是明确它们各自的含义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$