专题01 勾股定理（期中复习课件）八年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学课件聚焦八年级勾股定理及应用，涵盖定理及逆定理、实际应用、最短路径等核心知识点。通过考情分析明确考点，梳理必备知识及易错点，为突破重难题型搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层设计与素养导向，以梯子靠墙、蚂蚁爬行等实例培养数学眼光，通过建模、分类讨论等技巧发展数学思维，分层验收与变式练习提升应用能力。学生能分层提升，教师可直接用于教学，提高效率。

专题01 勾股定理 八年级数学上学期 期中复习大串讲 北师大版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理 能熟练掌握勾股定理公式（a² + b² =c²），并准确应用于直角三角形边长计算 基础必考点，在选择、填空、解答题中均有涉及，常结合实际场景或几何图形考查 勾股定理的逆定理 能根据三角形三边长度，利用逆定理判断是否为直角三角形 高频考点，易与勾股定理结合考查，易错点在于对最长边的判断 勾股定理的实际应用 能将实际问题（如测量距离、高度，路径规划等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解 常以应用题形式出现，考查建模能力，需注意单位及实际意义的验证 勾股定理与网格、折叠、最短路径问题的综合 能结合网格特性、折叠性质、立体图形展开图，灵活运用勾股定理解决复杂几何问题 难点考点，综合性强，常出现在中档题或压轴题中，考查知识迁移和综合运用能力 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 勾股定理 知识点01 混淆直角边与斜边，计算时误将斜边当作角边代入公式 如：错算为c² + a² = b²。 - 知识点： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 即a² + b² = c²（a、b为直角边，c为斜边）。 示例： 若直角三角形两直角边为3和4，斜边c满足： 3² + 4² = c²， 即9 + 16 = c²， 解得c = 5 - 易错点： 勾股定理的逆定理 知识点02 未明确最长边为斜边，直接任意选两边平方和与第三边比较（如用5² + 13²与12²比较，导致判断错误）。 - 知识点： 若三角形三边长a、b、c满足a² + b² = c²， 则该三角形为直角三角形，且c为斜边所对的直角。 示 例 三角形三边长为5、12、13， ∵5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²， ∴该三角形是直角三角形。 - 易错点： 勾股定理的实际应用 知识点03 建模时错判直角边与斜边 （如将梯子底部距墙距离当作斜边）。 - 知识点： 将实际场景（如梯子靠墙、测距）转化为直角三角形模型，用定理求未知边长 示 例 梯子长10米，底部距墙6米，设梯子顶端距地高为h， 由h² + 6² = 10²， 得h = 8米。 - 易错点： 10米 6米 h=？ 最短路径问题（立体图形表面） 知识点04 展开方式错误（如圆柱未沿高展开），或误算底面周长。 - 知识点： 展开立体图形（圆柱、长方体）侧面为平面，用勾股定理求直角三角形斜边（即最短路径）。 示 例 圆柱高8cm，底面半径3cm （周长18.84cm）， 展开侧面后直角边为8cm和18.84cm， 最短路径 ≈ ≈20.5cm。 - 易错点： 18.84cm 8cm 最短路径 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 勾股定理解三角形 题型一 解｜题｜技｜巧 勾股定理解三角形解题技巧 1. 明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形为直角三角形。 2. 锁定三边关系：牢记核心公式 a² + b² = c²（c为斜边），已知任意两边，直接代入公式求第三边；若遇平方差，可变形为 c² - a² = b² 计算。 3. 结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=ab=ch）联动求解。 4. 规范解题步骤：先标注直角、已知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数），避免计算错误。 【典例1】（24-25八年级下•河南商丘•期中）如图， 中， ，过斜边中点作 交于点，若， 则的长为 ． 解：如图，连接， ，为的中点， 垂直平分， ， ， 在 中， 9， ， ， 勾股定理解三角形 题型一 3 【变式1】（24-25八年级下•湖北孝感•期中）如图， ， 过点P作 且 ，得 ； 再过点 作 且 ，得 ； 又过点 作 且 ，得； …依此法继续作下去，得 ． 解：由勾股定理得 ， ， ， …… 勾股定理解三角形 题型一 依此类推， （为正整数）， 当 时， ， ∴． 【变式2】（24-25八年级下•河北唐山•期中） 如图，在中，． (1)求AB 的长； (2)求AB 边上高线 h的长． （1）解：在 中， 勾股定理解三角形 题型一 G ∟ （2）解：由面积得， ， 即： ， 解得， ． 勾股定理与网格问题 题型二 解｜题｜技｜巧 勾股定理与网格问题解题技巧 1. 定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差”构成直角边。 2. 计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3. 解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“×直角边1×直角边2”；判断三角形形状，算三边长度后验证是否满足勾股定理。 【典例1】（24-25八年级下•安徽合肥•期中）如图，小正方形的边长为1，三角形ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点上： (1) AB= ；BC= ；AC= ； (2)求出BD 的长 勾股定理与网格问题 题型二 （1）解：由题意得， ； 解：由题意得， ， 由网格的特点可得点D为AC 的中点， ∴ ， 如图所示，过点D作于H， 则 ， ∴， ∴， ∴ ， ∴． H ∟ 【变式1】（24-25八年级下·新疆伊犁·期中）如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在网格的格点上． (1)求ACABBC 的长；(2)求△ABC 的面积；(3)点c到AB 边的距离． 勾股定理与网格问题 题型二 （1） ， ， ； （2）解： 的面积 ； （3）解：设点C到AB 边的距离为h， 则 ， 即 ， 解得， ． H ∟ 解： 【变式2】（23-24八年级下•湖北武汉•期中）如图，在一个 的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)如图1， ①直接写出线段AB= ________，线段CD= ________． ②求四边形 ABCD的面积． (2)在图2中，画一个三边长分别为 ， ， 的三角形，并直接写出这个三角形的面积是__________． 勾股定理与网格问题 题型二 （1）解：①． ②S四边形ABCD ； （2）解：如图， 是所求的三角形： 勾股定理与折叠问题 题型三 解｜题｜技｜巧 勾股定理与折叠问题解题技巧 1. 抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合，二者长度一致），标注在图中。 2. 设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x，结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段，尤其注意直角三角形的三边。 3. 构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理公式列方程，解方程即可求出x的值。 4. 验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合理数值。 【典例1】（23-24八年级上•河南郑州•期中）如图，在长方形ABCD 中，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，将 沿AE 折叠，使点 B落在点F 处，当 为直角三角形时，BE 的长为 。 勾股定理与网格问题 题型二 解：如图，当 时， 矩形 ABCD中， ， ∴AC= =17 ， 由折叠性质可得： ， ， ， ， A 、F 、 C三点共线， ， 设 则， ， 在中， ∵ ， ∴ ， 解得， ； 【典例1】（23-24八年级上•河南郑州•期中）如图，在长方形ABCD 中，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，将 沿AE 折叠，使点 B落在点F 处，当 为直角三角形时，BE 的长为 。 勾股定理与网格问题 题型二 如图，当 时， ， 由折叠性质可得： ， ， 四边形 ABEF为正方形， ， 【变式1】（24-25八年级上•广东深圳•期中） 如图，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上 F点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知AD=15 ， AB=9． (1)求 BF 的长 (2)求阴影部分的面积． 勾股定理与网格问题 题型二 （1）解：∵ 四边形ABCD 是长方形， ∴， ， 由折叠得 ， 在 中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得， 则 设 ，则 在 中，根据勾股定理可得 即 解得，即 【变式2】（24-25八年级上•广东深圳•期中）如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点 B落到点 B＇位置， AB＇与 CD交于点E ，且AB=8 ， AD=4． (1)求证： AE=EC； (2)求 EC的长； (3)点 P为线段AC 上任一点， PG⊥AE于 G，PH⊥EC 于 H．请直接写出PG＋PH 的值． 勾股定理与网格问题 题型二 （1）证明：由长方形的性质可得：， 由折叠的性质可得：， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴； 【变式2】（24-25八年级上•广东深圳•期中）如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点 B落到点 B＇位置， AB＇与 CD交于点E ，且AB=8 ， AD=4． (1)求证： AE=EC； (2)求 EC的长； (3)点 P为线段AC 上任一点， PG⊥AE于 G，PH⊥EC 于 H．请直接写出PG＋PH 的值． 勾股定理与网格问题 题型二 （2）解：∵ ，∴， 设，则 ， 在 中，由勾股定理得， ∴ ， 解得=3，∴CE=5 ； 【变式2】（24-25八年级上•广东深圳•期中）如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点 B落到点 B＇位置， AB＇与 CD交于点E ，且AB=8 ， AD=4． (1)求证： AE=EC； (2)求 EC的长； (3)点 P为线段AC 上任一点， PG⊥AE于 G，PH⊥EC 于 H．请直接写出PG＋PH 的值． 勾股定理与网格问题 题型二 （3）解：如图所示，连接PE ，由（1） （2）得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 勾股定理的实际应用问题 题型四 解｜题｜技｜巧 勾股定理实际应用解题技巧 1. 建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2. 提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量，设为x。 3. 套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a² + b² = c²（或变形公式）列方程，求解未知量。 4. 结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知线段长度，避免逻辑矛盾。 【典例1】（24-25八年级上•甘肃兰州•期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈=10 尺) 解：设水深为x尺，由题意可得， =. 解得 ， 答：水深为 尺，芦苇的长是 13尺． 勾股定理的实际应用问题 题型四 x 【变式1】（24-25八年级下•广西河池•期中）随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离 BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度 CE； (2)如果小明想风筝沿 CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 勾股定理的实际应用问题 题型四 （1）解：由题意可知： 米， 米， 米， 在 中，由勾股定理得， ， ∴ （负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度CE 为17.65米； 【变式1】（24-25八年级下•广西河池•期中）随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度 CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离 BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度 CE； (2)如果小明想风筝沿 CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 勾股定理的实际应用问题 题型四 （2）解：∵风筝沿 CD方向下降11米， DE保持不变，如图， ∴此时的 （米）， 即此时在 中，米， 有 （米）， 相比下降之前，BC 缩短长度为（米）， ∴他应该往回收线7米． 28 【变式2】（24-25七年级上•山东泰安•期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m 的云梯 AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7 m，∠DCE=90 °． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离AC 有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A’ 位置上（云梯长度不改变），AA’=4m ，云梯的底部B在水平方向滑动到 B’的距离BB’ 也是4m 吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB’ 的长度． 问题解决： （3）在演练中，高24.3m 的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m 高的墙头进行救援？ 勾股定理的实际应用问题 题型四 【变式2】（24-25七年级上•山东泰安•期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m 的云梯 AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7 m，∠DCE=90 °． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离AC 有多高？ 勾股定理的实际应用问题 题型四 解：（1）在 中， ， ∴ ， 答：这架云梯顶端距地面的距离 AC有24m ； 【变式2】（24-25七年级上•山东泰安•期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m 的云梯 AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7 m，∠DCE=90 °． 勾股定理的实际应用问题 题型四 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A’ 位置上（云梯长度不改变），AA′=4m ，云梯的底部B在水平方向滑动到 B’的距离BB′ 也是4m 吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度． （2）云梯的底部B在水平方向滑动到B′ 的距离 BB′，不是4m ， 由（1）可知， ∴ 在 中， ， ， ∴； 【变式2】（24-25七年级上•山东泰安•期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m 的云梯 AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7 m，∠DCE=90 °． 勾股定理的实际应用问题 题型四 问题解决： （3）在演练中，高24.3m 的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m 高的墙头进行救援？ （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ， 则能够到达墙面的最大高度为 ． ， ∴， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达 高的墙头去救援被困人员． 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 解｜题｜技｜巧 勾股定理求最短路径解题技巧 1. 化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2. 确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边是剩余棱长。 3. 用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式 c = √(a² + b²)，计算出的斜边长度即为最短路径。 4. 验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 【典例1】（24-25八年级下•四川自贡•期中）如图，圆柱的高为 12cm，底面圆的周长为 18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 解：如解图，圆柱体的展开图为长方形 ACDE， ∴ ， 由题意可知， ， ∴在 中，由勾股定理得， ， ∴ ， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 【变式1】（23-24八年级下•河北沧州•期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为12cm ，底面圆的周长为 18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 AB的长． 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm ，底面周长为 60cm，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长 ，，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【变式1】（23-24八年级下•河北沧州•期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为12cm ，底面圆的周长为 18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF 就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ， ∴ ， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm ，底面周长为 60cm，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． 【变式1】（23-24八年级下•河北沧州•期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为12cm ，底面圆的周长为 18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 （2）如图4，长方体的棱长 ，，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ （2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．如图2，在 中， ∵长方体的棱长， ∴ ， ∴ ，解得． 答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲． 【变式2】（24-25八年级上•广东佛山•期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 5、3 、1 ，A 和B 是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若 A点处有一只蚂蚁要到B 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB 长度即为最短路程，则 AB= ；（直接写出答案） 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是 7厘米，一只蚂蚁从点A 出发沿着玻璃杯的侧面到点 B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高 10厘米，底面周长为24 厘米，在杯内壁离杯底2 厘米的点A 处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1 厘米，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁 B处到内壁A 处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式2】（24-25八年级上•广东佛山•期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 5、3 、1 ，A 和B 是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若 A点处有一只蚂蚁要到B 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB 长度即为最短路程，则 AB= ；（直接写出答案） 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 解：（1）由题意得： ， ， ， 13 【变式2】（24-25八年级上•广东佛山•期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为 5、3 、1 ，A 和B 是一个台阶两个相对的端点． 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是 7厘米，一只蚂蚁从点A 出发沿着玻璃杯的侧面到点 B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得： ， ∴该蚂蚁爬行的最短路程 厘米25； 【变式2】（24-25八年级上•广东佛山•期中）综合与实践 利用勾股定理求最短路径问题 题型五 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高 10厘米，底面周长为24 厘米，在杯内壁离杯底2 厘米的点A 处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1 厘米，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁 B处到内壁A 处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作 B关于EF 的对称点 B′，作B′D⊥AE ，交AE 延长线于点D ，连接AB′ ， 由题意得： ， ， ∵底面周长为 ， ∴ ， ∴ ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所爬行的最短路程是厘米． 勾股定理及逆定理的综合问题 题型六 解｜题｜技｜巧 勾股定理及逆定理综合问题解题技巧 1. 明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（已知三边，判断是否为直角三角形），题干无直角时，优先用逆定理验证。 2. 双向联动分析：若先通过逆定理（验证a²+b²=c²）判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边；若已知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。 3. 标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段）标注在图中，理清多三角形间的关联（如公共边、互补角）。 4. 分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入下一步验证，避免逻辑漏洞。 【典例1】（24-25八年级下•安徽阜阳•期中）如图，在四边形 ABCD中，AB=24 ，BC=26 ，AD=8 ，CD=6 ，∠ADC=90 °． (1)连接AC ，求AC 的长；(2)求四边形ABCD 的面积． （1）解：如图，连接AC ． ， ． （2）解：由（1）可知 AC=10． ， ． ． 是直角三角形， ． 勾股定理及逆定理的综合问题 题型六 ． 【变式1】（24-25八年级下•广西钦州•期中）如图，在 △ABC中， AB=13， AC=12，BC=5 ， DE是 AB的垂直平分线，DE 分别交AC ， AB于点E,D ． (1)求证： △ABC 是直角三角形； (2)求CE 的长． 勾股定理及逆定理的综合问题 题型六 （1）证明：在 △ABC中， AB=13， AC=12，BC=5 ， ， ． ∴， ∴ △ABC是直角三角形； （2）解：如图，连接 BE． 是AB 的垂直平分线， ． 由（1）可得△ABC 是直角三角形， 即 ． 设， 则， 在 中，由勾股定理得 ， 即 ． 解得． 即CE 的长为 ． 【变式2】（23-24八年级下•云南昭通•期中）如图，在 中，，垂足为． (1)求AC 的长；(2)判断 的形状，并说明理由． （1）解： ∵， 是直角三角形， ． ． （2） 是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形， ． ， ． ， 是直角三角形， 是直角． 勾股定理及逆定理的综合问题 题型六 勾股定理验证及应用问题 题型七 解｜题｜技｜巧 勾股定理验证与应用解题技巧 1. 验证技巧：常用“面积法”，通过割补图形（如赵爽弦图、总统证法），使直角三角形三边构成的正方形/多边形面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”，从而推导a²+b²=c²；验证时需明确图形分割后的全等关系。 2. 应用技巧：先建立直角三角形模型，确定已知边（直角边/斜边），未知量设为x；若遇非直角场景，先通过逆定理判定直角，再代入勾股定理公式计算；结果需结合实际（如长度为正），复杂问题可分步拆解图形关联。 【典例1】（24-25七年级下•江苏徐州•期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ） 【探究发现】 （1）代数式1： .代数式2：________； （2）这个等式为　 　 　（直接写化简后的结果）， 用文字语言表达为 ； 【学以致用】 （3）在直角三角形ABC 中，∠C=90° ，AC=3 ，BC=4 .求AB 的长. 勾股定理验证及应用问题 题型七 在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方 （3）在直角三角形ABC中， ，， ． 【变式1】（24-25八年级下•安徽亳州•期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ． 勾股定理验证及应用问题 题型七 (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在 中，，当是钝角三角形时，猜想 与 之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足 ，求的斜边的长． 【变式2】（24-25八年级下•内蒙古鄂尔多斯•期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a ， b，斜边长为c ，则 ． (1)如图②， 与按如图所示位置放置，连接CD ，其中 ，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB=AC ，由于某种原因，由 C到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 条直线上），并新修一条路 CH，且CH⊥AB ．测得CH=6 千米， HB=4千米，求原路 CA长多少千米？ 勾股定理验证及应用问题 题型七 【变式1】（24-25八年级下•安徽亳州•期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ． 勾股定理验证及应用问题 题型七 (1)请你利用图1证明勾股定理； （1）证明：根据题意，由图1可知： ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴ ， ∴ ； 【变式1】（24-25八年级下•安徽亳州•期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ． 勾股定理验证及应用问题 题型七 (2)如图2，在 中，，当是钝角三角形时，猜想 与 之间的关系，并说明理由； H ∟ （2）解： ，理由如下： 过点A作 交延长线于H，设 ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 化简得， ， ∵ ∴ ， ∴ ； 【变式1】（24-25八年级下•安徽亳州•期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ． 勾股定理验证及应用问题 题型七 (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足 ，求的斜边的长． （3）解：在 中， ， ∵ ∴ ， ∴ ， 解得， ， , ∵ ∴ ， ∴（负值舍去） ∴ 的斜边的长为 ． 【变式2】（24-25八年级下•内蒙古鄂尔多斯•期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a ， b，斜边长为c ，则 ． (1)如图②， 与按如图所示位置放置，连接CD ，其中 ，请你利用图②推导勾股定理． 勾股定理验证及应用问题 题型七 （1）解：∵ ， ∴S梯形ABCD 的面积= 或S梯形ABCD 的面积= ， ∴ ， ∴ ， 即 ； 【变式2】（24-25八年级下•内蒙古鄂尔多斯•期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a ， b，斜边长为c ，则 ． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB=AC ，由于某种原因，由 C到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 条直线上），并新修一条路 CH，且CH⊥AB ．测得CH=6 千米， HB=4千米，求原路 CA长多少千米？ 勾股定理验证及应用问题 题型七 2）解：设千米，则千米， 在 中， ， 即 ， 解得，即， 答：原路 CA长 6.5千米． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练 1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别是 6，8 ，现将△ ABC按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为 DE，则DE 的长是（ ） A．3 B． C．4 D． 解：∵在 中， BC=6，AC=8 ， ∠C=90°， ∴ AB=， 由折叠的性质可得： BE=AE 设 BE=AE =x，则CE=8-x ， 在 中，由勾股定理得 ∴ 解得 x=，∴ B 期中基础通关练 2．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m ，将它往前推 4m至C处时（即水平距离CD=4m ，CD⊥AB ），踏板离地的垂直高度CF=DE=3m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是 . 解：设 AC =x，则 AB =x， 又∵CF=DE=3m ， 在 中: 解得： = 5 5m 期中重难突破练 1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和 ab×4+（b-a）²，从而得到等式ab×4+（b-a）²，化简便得结论+．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】 （1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1： ____________；方法2： ____________；根据以上信息，可以得到等式：____________； 【方法迁移】 （2）如图3，在△ABC 中，∠BAC=90° ， AB=3，AC=4 ，且AD 是BC 边上的高．求AD 的长． （3）如图4，在 △ABC中，AD⊥BC ， AB=4，AC=5 ， BC=6 ， ，设 BD=x ，求 x的值． 期中重难突破练 1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和 ab×4+（b-a）²，从而得到等式ab×4+（b-a）²，化简便得结论+．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法迁移】 （2）如图3，在△ABC 中，∠BAC=90° ， AB=3，AC=4 ，且AD 是BC 边上的高．求AD 的长． 解：∵∠BAC=90° ， AB=3，AC=4 ∴BC==5 ∵ AD 是BC 边上的高 ∴ ∴ ∴ 期中重难突破练 1．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和 ab×4+（b-a）²，从而得到等式ab×4+（b-a）²，化简便得结论+．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法迁移】 （3）如图4，在 △ABC中，AD⊥BC ， AB=4，AC=5 ， BC=6 ， 设 BD=x ，求 x的值． 解：∵AD⊥BC ∴ ∵BC=6 ， 设 BD=x ∴ ∵AB=4，AC=5 在Rt △ABC中,由勾股定理，得： 在Rt △ADC中,由勾股定理，得： 解得：= 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $