专题02 轴对称20题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 轴对称 题型1轴对称图形的识别（热考） 题型11等腰三角形的分类讨论问题（易错） 题型2根据成轴对称的特征进行求解（重点） 题型12利用等腰三角形的性质求解（热考） 题型3台球路线/光线反射问题 题型13等腰三角形的判定 题型4求对称轴条数 题型14等腰三角形的存在性问题（难点） 题型5镜面反射问题 题型15等腰三角形的判定与性质综合（难点） 题型6画轴对称图形/轴对称图形的设计（热考） 题型16利用等边三角形的性质求解（热考） 题型7根据点的对称性确定坐标中的参数 题型17等边三角形的判定 题型8垂直平分线的性质/判定（热考） 题型18等边三角形的判定与性质综合（难点） 题型9角平分线的性质/判定（热考） 题型19折叠问题（重点） 题型10角平分线/垂直平分线的实际应用（重点） 题型20将军饮马问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形的识别（共3小题） 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项B，C，D的图形均不能找到一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义“沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐一判断解题． 【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 题型二 根据成轴对称的特征进行求解（共4小题） 4．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确， ∵和关于直线对称， 点与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴线段被直线垂直平分， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵和关于直线对称， ∴线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③． 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 题型三 台球路线/光线反射问题（共3小题） 8．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 9．（17-18八年级上·湖北随州·期中）资料：小球沿直线撞击水平格档反弹时（不考虑垂直撞击），撞击路线与水平格档所成的锐角等于反弹路线与水平格档所成的锐角．以图（1）为例，如果黑球沿从到方向在点处撞击边后将沿从到方向反弹，根据反弹原则可知，即．如图（2）和（3），是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球和，小球沿直线撞击各边反弹时遵循资料中的反弹原则．（回答以下问题时将黑白两球均看作几何图形中的点，不考虑其半径大小） (1)探究（1）：黑球沿直线撞击台边哪一点时，可以使黑球经台边反弹一次后撞击到白球？请在图（2）中画出黑球的路线图，标出撞击点，并简单证明所作路线是否符合反弹原则． (2)探究（2）：黑球沿直线撞击台边哪一点时，可以使黑球先撞击台边反弹一次后，再撞击台边反弹一次撞击到白球？请在图（3）中画出黑球的路线图，标出黑球撞击边的撞击点，简单说明作法，不用证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据反弹原则即可得出结论； （2）根据反弹原则即可得出结论． 【详解】（1）解：作法：如图1，以直线为对称轴作点的对称点， 连接交于点， 连接， 则点为撞击点，和为黑球的路线． 证明： 因为和关于直线对称，点在上， 所以和也关于对称， 因为和 是对应角， 所以， 又（对顶角相等）， 所以，即符合反弹原则， （2）解：如图2，以直线为对称轴作点的对称点， 再以为对称轴作点的对称点， 连接交于点， 连接 交于点， 连接． 则点为边的撞击点，，，为球的路线． 【点睛】此题考查了反弹原则的理解和掌握，灵活运用反弹原则解决问题是解本题的关键． 10．（25-26七年级上·山东·课后作业）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1），理由如下：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得：． 题型四 求对称轴条数（共3小题） 11．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最少的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的识别、求对称轴条数，解题关键是熟练掌握轴对称图形的识别． 根据轴对称图形的识别、求对称轴条数的方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 选项，该图形不是轴对称图形， 选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 综上，是轴对称图形且对称轴条数最少的是选项中的图形． 故选：． 12．（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 13．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 【答案】(1)1，2，3 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． （1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可； （2）仿照题意进行设计即可； （3）仿照题意进行设计即可； （4）仿照题意进行设计即可． 【详解】（1）解：非等边的等腰三角形有1条对称，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴， 故答案为：1，2，3； （2）解：恰好有1条对称轴的凸五边形，如图所示； （3）解：恰好有2条对称轴的凸六边形，如图所示； （4）解：恰好有3条对称轴的凸六边形，如图所示； 题型五 镜面反射问题（共3小题） 14．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 15．（23-24七年级上·山东烟台·期中）在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握两个成轴对称图形的性质． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 16．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆号码如图所示，则该汽车的号码是 ． 【答案】B6395 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395． 故答案为：B6395． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，理解轴对称的性质是解本题的关键． 题型六 画轴对称图形/轴对称图形的设计（共4小题） 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点P，使，说明主要依据； (3)在上找一点Q，使值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用轴对称变化的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）连接交于点，连接，点即为所求； （3）延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，点即为所求； 理由：∵关于对称， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长交于点，点即为所求． 理由：∵当不共线时，由三角形三边关系可得， 当共线时，， ∴当共线时，的值最大． 18．（24-25七年级上·山东东营·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请作出关于y轴对称的； (3)若点在过点C且与x轴平行的直线上，则点M的坐标为______． (4)求的面积． 【答案】(1)描点见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查的是根据坐标描点，画轴对称图形，坐标与图形，求解网格三角形的面积； （1）根据，再坐标系内描点即可； （2）分别确定关于y轴对称的对称点，再顺次连接即可； （3）根据点在过点C且与x轴平行的直线上，，可得，再进一步求解即可； （4）利用割补法求解三角形的面积即可. 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵点在过点C且与x轴平行的直线上，， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； （4）解：的面积为：. 19．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 【答案】(1)①轴对称图形；②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同． （1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑； （2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可． 【详解】（1）解：①都是轴对称图形； ②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和； （2）解：如图（答案不唯一）：    20．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作法，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，沿一条直线对折直线两旁部分完全重合．先找到合适的对称轴，然后再涂黑两个小正方形即可． 【详解】解∶如图，    题型七 根据点的对称性确定坐标中的参数（共3小题） 21．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点关于轴的对称点为，则的值是（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解答此题的关键．首先根据点关于轴的对称点为点求出，的值，进而可求出的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为点， ∴，， ∴． 故选：B． 22．（23-24七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，掌握关于轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 解得，， 所以． 故选：C． 23．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点O和B的坐标分别是，，且，，则顶点A关于x轴的对称点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，根据等腰直角三角形的性质得出的长是解题关键．过A作于D，根据等腰直角三角形的性质得出的长，进而利用关于x轴的对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：过A作于D，如图所示： ，， ， 点A的坐标为， 顶点A关于x轴的对称点的坐标， 故选：D． 题型八 垂直平分线的性质/判定（共5小题） 24．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， 的周长 ， 故选：． 25．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 26．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，再由，分别垂直平分和，求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，分别垂直平分和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴； （3）解：如图，连接、、， ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴． 27．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)．见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． （1）先根据是的平分线上一点，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线； （2）先根据是的平分线上一点，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论． 【详解】（1）证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； （2）是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ． 28．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，进而证明，进而证明，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含角的直角三角形的性质，即可求解的长度； 【详解】（1）解：是的角平分线，，， ， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：， ， ，， ， ； ， ． 题型九 角平分线的性质/判定（共4小题） 29．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）在上截取，连接，根据等边对等角，三角形的内角和定理可求出，，则，由（2）的结论得，根据三角形外角是性质求出，根据等角对等边得出，然后根据线段的和差即可得证． 【详解】（1）解： 理由：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）解：成立， 理由：如图，作交延长线于，于，    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 31．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分； (3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； （3）先由三角形内角和定理得到，则，再推出，，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，   ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 32．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 题型十 角平分线/垂直平分线的实际应用（共3小题） 33．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】见详解 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作的平分线两者交于点P，点P即为所求． 【详解】连接，作线段的垂直平分线，与的平分线交于点P，则点P到点，的距离相等，到，的距离相等，作图如下，点P即为所求，    【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，掌握其性质是解题的关键． 34．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 35．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，两个班的学生分别在两处参加植树劳动，现要在道路的交叉区域内设一个饮水供应点，使到两条道路的距离相等，且使有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个饮水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请用尺规作图找到饮水供应点P的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断这位同学说得对，然后分别作的平分线和线段的垂直平分线，则它们的交点为点． 【详解】解：这位同学说得对．理由如下： 当点为的角平分线与的垂直平分线的交点时，点为满足条件的点，因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图， 【点睛】本题考查了角平分线与线段垂直平分线的应用，作角平分线与线段的垂直平分线，解题的关键是弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 题型十一 等腰三角形的分类讨论问题（共5小题） 36．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 37．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得， 当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11， 能构成三角形； 当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5， ∵，故不能构成三角形． 综上所述，的底边长是5． 故答案为：5． 38．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 39．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】19或23 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解： ， ，， ，， 当a为腰，b为底时，三条边长为5，5，9，符合三角形三边关系，周长为：， 当a为底，b为腰时，三条边长为5，9，9，符合三角形三边关系，周长为：， 故答案为：19或23． 40．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长． 【详解】解：由题意得： ； 当时， 即， ， ， ； 当时， 即， ， ， ； 综上，底边的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论． 题型十二 利用等腰三角形的性质求解（共3小题） 41．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，，是边上的中线，平分交于点，交于点则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角，等边对等角，求出的度数，三线合一求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵中，，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴； 故选A． 42．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 由等腰三角形的性质可以求得，以及和的度数，从而可以求得、的长，从而可以求得的长，据此求解即可． 【详解】如图，连接， ∵在中，，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 43．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 题型十三 等腰三角形的判定（共3小题） 44．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质与判定进行证明是解决本题的关键． （1）先判定， 得出．再利用平分，平分，证明，再证明，得出，得出，，即可证明； （2）利用平分，得出，利用，得出，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 45．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键． （1）先求出，利用等角对等边得到，再根据三线合一得到即可； （2）根据条件可得是的垂直平分线，则有，利用即可得到结果． 【详解】（1）， ， 是的平分线， ， ， ， 是的中点， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 46．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）“”证明得到，，再利用得到，则可判断为等腰直角三角形； （2）由得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十四 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 47．（22-23七年级上·山东烟台·期末）如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ． 【答案】8 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点C在、、、位置上时，； 点C在、位置时，； 点C在、位置上时，， 即满足条件的点的个数为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形． 48．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，利用平面直角坐标系画图是解题的关键．利用图形结合等腰直角三角形的判定即可得出点A对应的坐标． 【详解】如图所示， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 49．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 50．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证为等腰三角形； (2)若，为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由得到，由得到，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得，即可得证； （2）取的中点，连接，由（1）得，利用三线合一性质得到，通过证明得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 为等腰三角形． （2）解：如图，取的中点，连接， 由（1）得，， 又点是的中点， ，， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， 的长为10． 题型十五 等腰三角形的判定与性质综合（共3小题） 51．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)不变，． 【分析】（1）连接，先证是等腰直角三角形，由是的中点，根据等腰三角形中的“三线合一”可推得，，最后由“边角边”证明后，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合中线平分三角形面积推得即可得解． 【详解】（1）证明：连接（如图）， 在中，， 是等腰直角三角形， ，即， 是的中点，且是等腰直角三角形， ，，平分， ， 即， 在和中， ， ， ，即． （2）解：在动点运动过程中，四边形面积不变， 由（1）可知：， ， ， ， 是的中点，且 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 答：四边形的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形中线平分三角形面积，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 52．（25-26七年级上·全国·期中）在长方形中，，点P从点A出发，沿着的路径以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积为长方形面积的一半？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24； (2)或或； (3)存在，，或，或． 【分析】（1）当时，，，P与点B重合，Q在上；的面积为24； （2）长方形的面积为，其一半为24；分①当时，②当时， ③当时, ④当时， ⑤当时， ⑥当时，六种情况讨论，求得符合条件的t值有或或； （3）分①当时， 当时,当时，三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：当时，点P运动的路程为， 此时点P在上，； 点Q运动的路程为， 此时点Q在上，，； ∴. （2）解：长方形的面积为，其一半为24； 当时，点P在上，点Q在上， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，P在上，Q在上， ∵； ； ； ； ∴， ∴， 即， 解得（超出此阶段，舍去）； 当时，P在上，Q在上， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，P在上，Q在上， ∵，， ∴， 解得，不合题意舍去； ⑤当时，P、D重合，Q在上， 不存在； 当时，P、D重合，Q在上， ∵， ∴， 解得． 综上，符合条件的t值有：或或． （3）解：存在，理由： 当时，此时P在上，Q在上， 过Q作于E， 则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，, ∵， ∴， 化简，得， 解得， ∵此时， ∴； 当时，， ∵， ∴， 化简，得， 解得 ∴． 故t值有：，或，或． 【点睛】本题考查了矩形与三角形综合题．熟练掌握矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积公式，分类讨论，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 题型十六 利用等边三角形的性质求解（共3小题） 53．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 54．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合，轴，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查等边三角形的性质及坐标与图形，根据题意得出，再由等边三角形的性质确定，利用勾股定理求解，结合图形即可得出结果． 【详解】解：如图所示：与y轴交于点H， ∵边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 55．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，由等边三角形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质推出，，即可求出BH的长． 【详解】解：是等边三角形，是角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 题型十七 等边三角形的判定（共3小题） 56．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，先利用等边对等角求出，根据垂直平分线的性质和等边对等角得到，，进一步即可得到结论， 【详解】证明：∵， ∴， ∵边的垂直平分线分别交于点E、D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 57．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 58．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 【答案】(1)是等边三角形； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等边三角形的判定，非负数的性质，熟知三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a，b，c满足， ∴，， ∴，， 解得， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数， ∴c是奇数， ∴； （3）解：由三边关系得， ，，， ∴原式 ． 题型十八 等边三角形的判定与性质综合（共3小题） 59．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)27 【分析】此题考查了等边三角形性质，含度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由是等边三角形和，求出，推出，即可得出等边三角形； （2）推出三个三角形全等．求出 ，进一步得出答案即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形； （2）由（1）可知：是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中 ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的周长为． 60．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，点和点在直线的同侧，，，，，连接，求的度数． 由特殊到一般是解决数学问题的重要方法．李老师给出了用特殊法解决问题的过程和思路：即当，时（如图1），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形，连接（如图2），然后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题． (1)请结合李老师给出的过程和思路，求出这种特殊情况下的度数； (2)请仿照（1）中研究特殊问题的启发，解决以上问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，根据题意分情况分析讨论是解题关键． （1）作，，连接，，再由各角之间的关系及全等三角形的判定和性质得出是等边三角形，继续利用全等三角形的判定和性质即可求解； （2）分两种情况分析：第一种情况：当时，第二种情况：当时，同（1）方法类似求解即可． 【详解】（1）解：如图，作，，连接，． ，， ． ， ． ，，， ． ，． ． ，， ． 是等边三角形． ，． ，， ． ． ． ． （2）解：第一种情况：当时， 如图，作，，连接，． ， ． ， ． ． ． 同（1）得． ，，． ． ， ． 同（1）可得． 第二种情况：当时， 如图，作，，连接，． ， ． ， ． ． ． 同（1）得． ，，． ． ， ． ，， ． 是等边三角形． ，． 同（1）得． ． ， ． ． ． 61．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （2）延长，作，过点D作于H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据等积法可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，作，过点D作于H，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，如图所示： ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∵面积为21且的长为8， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型． 题型十九 折叠问题（共5小题） 62．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故C错误，符合题意； ∵， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 故选：C． 63．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点B落在点处，点C落在点处，若，，则的度数为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ，， ． 故答案为：50． 64．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 65．（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则的度数为 【答案】 【分析】延长到点M，根据折叠的性质，得，根据折叠的性质，平行线的性质，邻补角的定义，角的和计算即可． 【详解】解：延长到点M，根据折叠的性质，得，， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ 根据折叠的性质，得， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，邻补角的定义，角的和，熟练掌握性质是解题的关键． 66．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）在学习《图形的轴对称》这一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．如图，点分别在边上．将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点落在点处，均是折痕． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点，，在同一条直线上，则的度数为_______． (3)如图，当点落在内时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用折叠的性质可得，，即得，，进而根据角的和差关系即可求解； （）利用折叠的性质可得，，进而得到，据此即可求解； （）由图可得，即得，又由折叠的性质得，，等量代换即可求解； 本题考查了折叠问题，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∴，， ∴； （2）解：由折叠可得，，， ∴，， ∵， ∴ ， 故答案为：； （3）解：由图可得，， ∴， 由折叠可得，，， ∴，， ∴． 题型二十 将军饮马问题（共5小题） 67．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 如图所示，作点关于的对称点，连接，，， 则，，， ∴， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， 在中， 的最小值为． 故选：D． 68．（17-18八年级上·北京东城·期末）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【点睛】本题是轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边对等角，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短．正确作出辅助线，在等腰中确定是解题的关键． 69．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴ ， ， ∴ ． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 70．（22-23七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【答案】探究（一）：见解析；探究（二）：见解析；探究（三）：见解析；拓展应用：6 【分析】探究（一）：作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； 探究（二）：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求； 探索（三）：延长交直线l于P，点P即为所求； 拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接，则当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合，根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而证明，得到，则的最小值为6． 【详解】解：探究（一）：如图所示，线段的垂直平分线与直线l的交点P即为所求；    探究（二）：如图所示，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求；    探索（三）：如图所示，延长交直线l于P，点P即为所求； 在直线l上任取一点不与点P重合的点， ∵， ∴， 又∵， ∴当点与点P重合时，， ∴直线l上任意一点一定满足， ∴点P即为所求；    拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合 ∵中，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，利用轴对称的性质去构造最短路径的情形是解题的关键． 71．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． $专题02 轴对称 题型1轴对称图形的识别（热考） 题型11等腰三角形的分类讨论问题（易错） 题型2根据成轴对称的特征进行求解（重点） 题型12利用等腰三角形的性质求解（热考） 题型3台球路线/光线反射问题 题型13等腰三角形的判定 题型4求对称轴条数 题型14等腰三角形的存在性问题（难点） 题型5镜面反射问题 题型15等腰三角形的判定与性质综合（难点） 题型6画轴对称图形/轴对称图形的设计（热考） 题型16利用等边三角形的性质求解（热考） 题型7根据点的对称性确定坐标中的参数 题型17等边三角形的判定 题型8垂直平分线的性质/判定（热考） 题型18等边三角形的判定与性质综合（难点） 题型9角平分线的性质/判定（热考） 题型19折叠问题（重点） 题型10角平分线/垂直平分线的实际应用（重点） 题型20将军饮马问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形的识别（共3小题） 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）第届世界乒乓球锦标赛于年月日至日在卡塔尔多哈举办，我国乒乓球运动员在比赛中取得优异成绩，下列世乒赛标识中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C．纳米 D．微云人工智能 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据成轴对称的特征进行求解（共4小题） 4．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 题型三 台球路线/光线反射问题（共3小题） 8．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 9．（17-18八年级上·湖北随州·期中）资料：小球沿直线撞击水平格档反弹时（不考虑垂直撞击），撞击路线与水平格档所成的锐角等于反弹路线与水平格档所成的锐角．以图（1）为例，如果黑球沿从到方向在点处撞击边后将沿从到方向反弹，根据反弹原则可知，即．如图（2）和（3），是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球和，小球沿直线撞击各边反弹时遵循资料中的反弹原则．（回答以下问题时将黑白两球均看作几何图形中的点，不考虑其半径大小） (1)探究（1）：黑球沿直线撞击台边哪一点时，可以使黑球经台边反弹一次后撞击到白球？请在图（2）中画出黑球的路线图，标出撞击点，并简单证明所作路线是否符合反弹原则． (2)探究（2）：黑球沿直线撞击台边哪一点时，可以使黑球先撞击台边反弹一次后，再撞击台边反弹一次撞击到白球？请在图（3）中画出黑球的路线图，标出黑球撞击边的撞击点，简单说明作法，不用证明． 10．（25-26七年级上·山东·课后作业）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） 题型四 求对称轴条数（共3小题） 11．（24-25七年级上·山东泰安·期末）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最少的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    13．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 题型五 镜面反射问题（共3小题） 14．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 15．（23-24七年级上·山东烟台·期中）在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　）    A． B． C． D． 16．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆号码如图所示，则该汽车的号码是 ． 题型六 画轴对称图形/轴对称图形的设计（共4小题） 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点P，使，说明主要依据； (3)在上找一点Q，使值最大，说明主要依据．（在图中标出点P、Q，保留作图痕迹，不写作法．） 18．（24-25七年级上·山东东营·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请作出关于y轴对称的； (3)若点在过点C且与x轴平行的直线上，则点M的坐标为______． (4)求的面积． 19．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 20．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑．请在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴．    题型七 根据点的对称性确定坐标中的参数（共3小题） 21．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点关于轴的对称点为，则的值是（    ） A．1 B． C． D．5 22．（23-24七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，值为（     ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点O和B的坐标分别是，，且，，则顶点A关于x轴的对称点的坐标是（  ） A． B． C． D． 题型八 垂直平分线的性质/判定（共5小题） 24．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 26．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接、、，的周长为，的周长为，求的长． 27．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 28．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，，求的长． 题型九 角平分线的性质/判定（共4小题） 29．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 30．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 31．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分； (3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示） 32．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 题型十 角平分线/垂直平分线的实际应用（共3小题） 33．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 34．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 35．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图，两个班的学生分别在两处参加植树劳动，现要在道路的交叉区域内设一个饮水供应点，使到两条道路的距离相等，且使有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个饮水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请用尺规作图找到饮水供应点P的位置，并说明理由． 题型十一 等腰三角形的分类讨论问题（共5小题） 36．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 37．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ． 38．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 39．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 40．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为 ． 题型十二 利用等腰三角形的性质求解（共3小题） 41．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，，是边上的中线，平分交于点，交于点则的度数为（        ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为 ． 43．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 题型十三 等腰三角形的判定（共3小题） 44．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且．平分交的延长线于点．，交于点． 求证： (1)； (2)是等腰三角形． 45．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 46．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 题型十四 等腰三角形的存在性问题（共3小题） 47．（22-23七年级上·山东烟台·期末）如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为 ． 48．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 49．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个．     50．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证为等腰三角形； (2)若，为中点，求的长． 题型十五 等腰三角形的判定与性质综合（共3小题） 51．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 52．（25-26七年级上·全国·期中）在长方形中，，点P从点A出发，沿着的路径以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积为长方形面积的一半？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十六 利用等边三角形的性质求解（共3小题） 53．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是 ． 54．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的六个等边三角形组成的正六边形的中心与原点重合，轴，则点的坐标为 ． 55．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在等边中，是角平分线，作，垂足为F，作，垂足为若等边的边长为16，求的长． 题型十七 等边三角形的判定（共3小题） 56．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，连接．求证：是等边三角形． 57．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 58．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 题型十八 等边三角形的判定与性质综合（共3小题） 59．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 60．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在中，，点和点在直线的同侧，，，，，连接，求的度数． 由特殊到一般是解决数学问题的重要方法．李老师给出了用特殊法解决问题的过程和思路：即当，时（如图1），利用轴对称知识，以为对称轴构造的轴对称图形，连接（如图2），然后利用，以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题． (1)请结合李老师给出的过程和思路，求出这种特殊情况下的度数； (2)请仿照（1）中研究特殊问题的启发，解决以上问题． 61．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 题型十九 折叠问题（共5小题） 62．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 63．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点B落在点处，点C落在点处，若，，则的度数为 ． 64．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 65．（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，将长方形纸片沿EF折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则的度数为 66．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）在学习《图形的轴对称》这一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．如图，点分别在边上．将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点落在点处，均是折痕． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点，，在同一条直线上，则的度数为_______． (3)如图，当点落在内时，直接写出，，之间的数量关系． 题型二十 将军饮马问题（共5小题） 67．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 68．（17-18八年级上·北京东城·期末）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 69．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 70．（22-23七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 71．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． $