第二章 轴对称（复习课件）数学鲁教五四制2024版七年级上册

单元复习课件 第二章 轴对称 鲁教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 能准确识别轴对称图形与成轴对称的两个图形，明确二者区别与联系；掌握轴对称的性质；理解并运用垂直平分线的性质与角平分线的性质，能完成两种线的尺规作图；掌握等腰三角形、等边三角形的定义、性质；熟记含 30° 角的直角三角形的特殊性质并能应用。 掌握轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系；能够灵活应用等腰三角形 的性质；掌握几何综合题型的推理，将实际问题进行几何转化。 掌握垂直平分线与角平分线的性质以及尺规作图的方法；应用等腰三角形的性质与含 30° 角的直角三角形的特殊性质进行几何综合题型的推理。 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：轴对称现象 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫对称轴. 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 考点串讲 知识点一：轴对称现象 常见的几何图形中哪些是轴对称图形？ 图形 对称轴 条数 图形 对称轴 条数 长方形 正方形 平行 四边形 等腰 三角形 圆 等边 三角形 线段 角 2 4 0 1 无数 2 1 3 考点串讲 知识点一：轴对称现象 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 两个有特殊位置关系的全等图形 1.都是沿着某条直线折叠后能重合； 2.可以通过分割或整合互相转化. 一个图形具有的特殊形状 考点串讲 知识点二：轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 A B A′ B′ M N 考点串讲 知识点三：垂直平分线 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. P A B l C ∵ l⊥AB，AC = CB ∴ PA = PB． 几何语言： 考点串讲 知识点三：垂直平分线 画图：已知线段AB. 求作：线段 AB 的垂直平分线. A B C D 作法： (1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD. ∴CD 即为所求. 考点串讲 知识点四：角平分线 角的平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 几何格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 考点串讲 知识点四：角平分线 (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心。大于MN的长为半径作弧两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC. ∴ 射线OC 即为∠AOB的平分线. A B O M N C 画图：已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 考点串讲 知识点五：等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 考点串讲 知识点五：等腰三角形 归纳总结 ①等腰三角形是轴对称图形。 ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)。它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 ③等腰三角形的两个底角相等。 A B C D ( ( 1 2 考点串讲 知识点五：等腰三角形 名称 图形 概念 性质 判定 等腰 三角形 有两边相等的三角形是等腰三角形 两腰相等 两边相等 等边对等角 等角对等边 三线合一 A B C 考点串讲 归纳总结 知识点六：等边三角形 （1）等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴. （2）等边三角形三个角都相等,都是60°. （3）等边三角形三条边都相等. （4）等边三角形每条边上的中线，高和所对的角平分线都“三线合一”. A B C 三条对称轴 考点串讲 知识点六：含30°的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵∠A= 30°， ∴BC=AB. 考点串讲 角的平分线是射线，而对称轴是直线 下列说法错误的是（ ） A．关于某直线对称的两个三角形一定全等 B．轴对称图形至少有一条对称轴 C．正方形的一条对角线把它所分成的两个三角形成轴对称 D．角的对称轴是角的平分线 题型一、轴对称 例1 D 题型剖析 题型一、轴对称 例2 如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形. l l l 题型剖析 题型二、轴对称图形 先确定对称轴，注意分类讨论！ 如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，并画出相应的对称轴． 例3 画轴对称图形的方法 (1) 找特征点； (2) 作垂线； (3) 截取等长； (4) 依次连线 题型剖析 题型三、轴对称现象 MN垂直平分AA’和BB’ A.4个 B.1个 C.0个 D.2个 C 例4 题型剖析 题型四、垂直平分线的性质 AD+DE+AE 例5 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 于E，求△ADE 的周长． A B C D E 解：∵ DM为线段AB的垂直平分线， ∴DA =DB． 同理可得EA=EC ∴△ADE的周长=AD+DE+AE =BD+DE+EC =BC =8. M 题型剖析 题型四、垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质 例6 如图，某小区有 A，B，C 三个单元，现准备在小区内建一个纯净水取水点，要求取水点到三个单元的距离相等，请你确定取水点的位置. B C 分析：取水点在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处. A B C A 题型剖析 题型四、垂直平分线的性质 例7 题型剖析 =DE+DB+EB 题型五、角平分线的性质 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D， DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长. 例8 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm. 题型剖析 角的平分线的性质的标准条件 题型五、角平分线的性质 如图，在中，，是的一条角平分线.若，求的面积 要求的面积，现有可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可. 解：如图，过D作垂足为𝐸 ∵平分， ， . ∴的面积：. 例9 题型剖析 题型五、角平分线的性质 AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB B 例10 题型剖析 题型五、角平分线的性质 证明线段和差关系一般用截长补短法 例11 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. M 证明：作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， ∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， CM = CD， AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM（HL）. ∴ AD = AM. 同理， BE = BM. 又 AB=AM +BM， ∴ AB=AD +BE. 题型剖析 题型六、等腰三角形 看见等边主动寻找等角 例12 解：∵OA=AB， ∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°, ∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°. ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°. ∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°, ∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°. 如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数. ⌒ 15° 1 C D B O A ⌒ 题型剖析 题型六、等腰三角形 能够利用等腰三角形和外角构造出二倍角？ 例13 E ∵ED=BE, ∴∠EDB=∠B, ∴∠AED=∠EDB+∠B=2∠B， ∴∠C=∠AED, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠CAD, ∵AD=AD,∴△EAD≌△CAD(AAS), ∴ED=CD=3,AE=AC=5, ∴BE=DE=3，∴AB=BE+AE=8. 题型剖析 题型七、等边三角形 能否找到全等三角形？ 例14 如图，△ABC 为等边三角形，AE = CD,AD,BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3,PE=1.求证：AD=BE. 题型剖析 题型七、等边三角形 等边三角形有哪些性质？ 证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠DAB＝60°. ∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝180°－90°－30°＝60°． ∴∠FAE＝∠EBC． ∵ E 为 AB 的中点，∴ AE＝BE． 又∵∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC (ASA)． 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD，E 是 AB 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于 F． 求证：△AEF≌△BEC． B C D A F E 例15 题型剖析 题型八、含30°的直角三角形 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°. 求立柱BC，DE的长. 例16 解: ∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， ∴BC=AB，DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7(m) 又 AD=AB， ∴DE=AD=×3.7=1.85(m). 答：立柱BC的长是 3.7 m，DE的长是1.85 m. 题型剖析 1.一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？ MT7936 针对训练 2.在 3×3 的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出 4 个这样的△DEF. A B C A B C A B C A B C (F) (D) E (E) F D (F) D E (D) (E) F 针对训练 3. 如图，△ABC和△A1B1C1关于直线m对称，则下列结论: ①直线m是线段AA1的垂直平分线； ②直线m被线段BB1垂直平分; ③连接AC1，A1C，则AC1=A1C. 其中结论正确的是（     ） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ C 针对训练 等边三角形也叫正三角形. C 5.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为 C.若EC=2，则OD的长为( ) A.2 B. 2 C.4 D.4+2 C 针对训练 6.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD. A B C D E F 证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE. ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD. (2) ∵△ADE≌△FCE， ∴ AE＝FE. 又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝BF＝BC＋CF. ∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD. 针对训练 垂直平分线 7.如图，电信部门要在公路l旁修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在(　　) A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 C 针对训练 8.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； A B C P D (2) 求△PDB 的周长. ∴ AB · PD = 7m. 解：由角平分线的性质，可知 PD = PC = m， = 解：由题意可证 △ACP≌△ADP， ∴ AC = AD. 针对训练 9. 如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P， 求证:点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AD，PE⊥BC，PF⊥AE. ∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 针对训练 10.如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离较近且相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计. (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 解：如图所示： P 则P即为所要求作. 针对训练 垂直平分线的性质是什么？ 11.在 针对训练 11.在 针对训练 解：连接OC，过点O作OE⊥AB，过点O作ON⊥BC M E N A B C P O D 12.如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.若△ABC的周长为32， 求△ABC的面积. ∵AP平分∠BAC，BD平分∠ABC且AP，BD交于点O ∴点O是△ABC三角平分线交点 ∵OE⊥AB, ON⊥BC,OM⊥AC ∴OE＝ON＝OM＝4 ∴ 针对训练 13.如图，C是△ABE的边BE上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE.其中正确的结论有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 B 解析：∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 又∵AB＝AC， ∴直线AD是BC的垂直平分线．故①正确． ∵AB＝CE， ∴AB＋BD＝CE＋CD＝DE. 故④正确．②③不能得出．故选B. 针对训练 14. 针对训练 ∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠F， ∴∠GDF=∠F， ∴DG=FG, 由（1）得， 针对训练 （3）证明： 由（1）得， 针对训练 15.△ABC 为正三角形，点 M 是 BC 边上任意一点，点 N 是 CA 边上任意一点，且 BM＝CN，BN 与 AM 相交于 Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解：∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵ BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC (SAS). ∴∠BAM＝∠CBN. ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. A C B M N Q 针对训练 16.等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS). ∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ 是等边三角形. B C Q A P 针对训练 感谢聆听! $$