培优03 轴对称章末14题型归类（专项训练）数学人教版2024八年级上册

培优03 轴对称章末14题型归类 题型1 判断轴对称图形 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（25-26八年级上·全国·期中）下列月饼简笔画中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断/求解 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，（1）如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；（3）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ， 根据现有条件无法得到， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由题意可得，由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，是一个左右对称的风筝，图是其几何示意图，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质得，得出， ，即可推出结果． 【详解】与关于对称 ， 故选：C． 8．（23-24八年级上·陕西延安·期中）已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分， 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， 点与点关于对称， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，、为，的中点， ，， ． 又点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 平分． 题型3 镜面对称 镜面对称的核心是轴对称性质，不同场景只需找准 “对称轴”，再结合 “对应点 / 数字 / 时间” 的规律，就能快速解决. 9．（20-21八年级上·广东广州·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】解：实际车牌号是， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 11．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的特点，掌握其特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键． 根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的轴对称， 注意镜子中的2实际应为5，电子表的实际时刻是． 故答案为：． 题型4 画轴对称图形 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点， 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 12．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请写出关于x轴对称的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握变化规律是解题的关键：关于x轴对称的坐标变化规律-横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的坐标变化规律-纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）根据题意画出图象，读出点的坐标即可； （2）根据题意画出图象即可． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴； （2）如图所示，即为所求 13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）连接，与直线l的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，点P即为所求． ； （3）解：如图，点Q即为所求． ． 14．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标． (2)将向右平移个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标． (3)在（1）（2）的条件下，观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，则在图中画出这条对称轴． 【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析，，， (3)是，图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、平移作图、画对称轴、点的坐标，熟练掌握轴对称图形和平移作图的方法是解题关键． （1）根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得，然后根据在平面直角坐标系中的位置写出它们的坐标即可得； （2）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得，然后根据在平面直角坐标系中的位置写出它们的坐标即可得； （3）根据轴对称的性质画出对称轴即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 则，，． （2）解：如图，即为所求， 则，，． （3）解：由图可知，与，它们是关于某条直线对称， 如图，直线即为对称轴． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．在图中作出△ABC关于轴对称的图形，点，，的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．分别作出点，，关于轴对称的点，，，然后顺次连接，并写出的坐标． 【详解】解：如图，即为所求， 由作图可知，点的坐标为． 题型5 根据点的对称性判断坐标中的参数 根据关于坐标轴或原点对称的点的坐标的关系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称点的坐标；在点的坐标不是单一的数字时，例如用字母表示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数. 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）若点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再求和即可； 【详解】解：由题意得：，， 解得，； ∴， 故选：B． 17．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知点关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，各象限的符号特征，解不等式组，先求出点关于轴的对称点，再由第三象限的点的坐标特征列出不等式组，再解不等式组即可，根据象限的符号特征列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由点关于轴的对称点为， ∵对称点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 18．（25-26八年级上·全国·期中）已知点和点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得m、n的值，再代入，进行求值即可． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 题型6 折叠问题 在折叠问题中，解题的关键是理解折痕所在的直线是折叠前后的两个图形的对称轴，折叠前后的两个图形是全等图形，利用对应边相等、对应角相等进行条件的转化，将题目中的已知条件与要求的结论联系起来. 20．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠问题，直角三角形的性质，关键是由折叠的性质得到． 由长方形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 故选：D． 21．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，由折叠的性质可得出的度数；②当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由，可得，由折叠前后对应角相等，可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： ，，， ， 由折叠得，， ， ， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 题型7 垂直平分线的判定与性质 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 24．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 25．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 26．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 27．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 【答案】（1）11；（2）2 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）本题需要利用线段垂直平分线的性质，将的周长转化为已知线段的和来求解； （2）本题要根据线段垂直平分线的判定与性质，确定是的垂直平分线，从而得出的长度． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为：． （2）∵，根据线段垂直平分线的判定，可知点都在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 28．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 题型8 角平分线与垂直平分线综合 运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质均能得到等线段，往往能推出其他结论，常结合全等三角形等知识解决问题. 29．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，AI平分，BI平分，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若，则的大小为 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出. 【详解】解：连接并延长至D， ∵点O是的垂直平分线的交点， ， ， ∵是的一个外角， ， 同理，， ， ， ， 平分，平分， ， ， . 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 30．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H. (1)求证：∠PBH=∠PCG； (2)如果∠BAC=90°，求证：点E在AP的垂直平分线上. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据角平分线的性质可得PG=PH，再根据垂直平分线的性质可得PB=PC，即可证明Rt△PHB≌Rt△PGC，即结论得证； （2）连接AE，先证明四边形PGAH是正方形，结合（1）的结论可得∠BPC是直角，则可得△BPC是直角三角形，根据E点为BC中点，即有PE=BC，再在Rt△ABC中，同理有，AE=BC即有PE=AE，即结论得证． 【详解】（1）∵AP平分∠BAD，PG⊥AD，PH⊥AB， ∴PH=PG，∠PHB=∠PGC=90°， ∵PE垂直平分BC， ∴PB=PC， ∴Rt△PHB≌Rt△PGC， ∴∠PBH=∠PGC； （2）连接AE，如图， ∵PE垂直平分BC， ∴BE=EC，即E点为BC中点， 在（1）已有∠PHB=∠PGC=90°，PG=PH， ∵∠BAC=90°， ∴∠HAG=90°， ∴四边形PGAH是正方形， ∴∠HPG=90°， ∴∠GPC+∠HPC=90°， ∵在（1）中已证明Rt△PHB≌Rt△PGC， ∴∠BPH=∠CPG， ∴∠BPH+∠HPC=90°=∠BPC， ∴△BPC是直角三角形， ∵E点为BC中点， ∴在Rt△BPC中，PE=BC， ∵∠BAC=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∵E点为BC中点， ∴AE=BC， ∴AE=PE， ∴E点在AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、正方形的判定与性质等知识，证明Rt△PHB≌Rt△PGC是解答本题的关键． 31．（24-25八年级下·全国·期末）已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．根据角平分线的性质可以证得，然后根据线段的垂直平分线的性质证得，则可以证明，根据全等三角形的对应边相等证明． 【详解】证明：连接， 平分，，，即， ． 是垂直平分线， ， 在和中， ， ， ． 32．（2023·湖北襄阳·一模）如图，中，平分于点D．    (1)请用尺规作图作边的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)设与交于点E，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）按照尺规作图作线段垂直平分线的方法进行即可； （2）延长交于点F，则可证得，则，再由垂直平分线的性质得，则可得是的中位线，由已知可求得的长度，从而可得的长度． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：延长交于点F， ∵平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是的中位线 ∴， 又∵， ∴， ∴，             答：的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，作线段垂直平分线及线段垂直平分线的性质等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 33．（21-22七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，平分交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)BG=CG，理由见详解 (2)27° 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，，则，由垂直平分线的性质得出，则可得出结论； （2）由直角三角形的性质求出的度数，由等腰三角形的性质求出，根据三角形外角的性质可求出答案． 【详解】（1）解：，理由： ，平分， ，， ， 的垂直平分线交于， ， ． （2）， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 34．（25-26八年级上·全国·期中）在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 【答案】(1) (2)当时，．理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得．得．由三角形内角和定理得．由 计算即得； （2）同（1）得 ，由，得，得； （3）由，可得周长为，即得． 【详解】（1）解：∵分别是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ． （2）解：当时，． 理由如下： 如图，由(1)，得． ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴时，． （3）解：周长． ∵， ∴的 周长． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，角与线段的和差计算，是解题的关键． 题型9 等腰三角形性质与判定综合 35．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 36．（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E． (1)当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2)2，理由见解析 (3)当或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况． （2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案． （3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． 【详解】（1）解：； 从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小； 故答案为：；小； （2）解：，， ， ， 当时，； （3）解：， ， ①当时，， ， 此时不符合； ②当时，即， ， ； ； ③当时，， ， ； 当或时，是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 37．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 题型10 等边三角形性质与判定综合 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 38．（24-25七年级下·重庆·期末）已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； (3)在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 【答案】(1) (2)见详解 (3)4 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出． （2）延长到，使，先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，即可得出． （3）过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，设，和，根据等边三角形得，即，由得，即有，则有，进一步证得，则，由（2），有，即可求得，结合，解得即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图， 设，和， ∵为等边三角形， ∴，即， 由， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 由（2）， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点A到的距离与点N到的距离之和4． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法． 39．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于H． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键． （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： 由（2）知，， 是等边三角形． 40．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)的大小为或或 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小，值为． （4）根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； （3）解：是等边三角形， ，． ， ，． 由（2）知， ． 当时，最小， 最小值为； （4）解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 41．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证．得，，再由三角形的外角性质得即可； （2）证是等边三角形，得，，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分． 42．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图1，在中，，为线段上一动点（不与点、重合）．连接，作，且，连接． (1)求证： (2)延长至点，当平分时， ①求证：是等边三角形； ②若，则______________（直接写出，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②25 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）先证，再由证即可； （2）①根据，可得，根据角平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质可证是等边三角形，②由是等边三角形，得，再由是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ∴， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； ②∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在中，， ； 故答案为：25． 题型11 规律探索问题 要求根据一些已知条件，找出其中隐藏的规律，并用规律解题. 43．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 【详解】在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 44．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于，在x轴正半轴上，纵坐标是0，再根据横坐标变化找到规律即可解． 【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上， ∵，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形， ∴，，…， ∵， ∴点在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是， ∴的坐标为． 故选：B． 45．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【详解】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理得到，总结规律，根据规律即可解答． 【分析】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，， …， ∴， ∴的边长， 故答案为： 题型12 含30°角的直角三角形的应用 1）在直角三角形中求线段的长度时，经常考虑30°的角所对的直角边等于斜边的一半这个性质. 2）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍数关系的重要依据. 46．（25-26八年级上·全国·期中）如图．在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可． 【详解】解：连接，作于点， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 47．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，平分，点为上的一动点，，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质，可得，在，，，结合30度所对的直角边等于斜边的一半，可知，又，从而得到的长度，由，可知的最小值为，从而求得答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 平分，， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， 当点与重合时，的最小值为，且最小值为1， 故答案为：1． 48．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角的性质． 根据等边对等角得到，根据30度角的性质得到，根据等角对等边得到，进而可求的长． 【详解】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为 【答案】5 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键； 利用含角的直角三角形的性质，可得，求得，利用含角的直角三角形的性质，可得，求得，所以． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ，， 由题知，， 又，， ，， ． 故答案为：5． 50．（19-20八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在等边中，点D、 E分别在边、上，且，与相交于点P，于点Q． (1)求证：； (2)请问与有何关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等边三角形的性质得到，，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到．再根据三角形的外角性质求得，则，再根据含30度角的直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：． 理由如下：由（1）知， ． 的外角， ． ， ， ， ． 题型13 多结论问题 51．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤由，通过，可证，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接OB.   ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ，，， ， ， ，， ，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 52．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 53．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点F，连接．给出下列结论∶①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】首先，结合等腰三角形的性质先证明，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形对应高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：∵和都是等腰三角形，， ∴，，，即， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴，故②正确； 作交于点P，交于点Q   ∵，   ∴， 即， ∴， ∴点A在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又∵， ∴，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤可知，，， ∴，， 即， ∵在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，推出， 由题意可知，不一定等于，故③错误。 综上可知正确的有①②④⑤ 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 54．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等边中，为线段上一点（不与端点重合），平分，交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：；② ；③是等腰三角形；④连接．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用，通过三角形的全等得出对应角相等，对应边相等． 通过证明，即可判断①；根据等边三角形的性质可得，，则，即可判断②；根据可得，再根据等边三角形的性质可得，即可判断③；设，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理可得，求出x，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ②∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴和不全等， 故②不正确； ③由①可得， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故③正确； ④连接，设，则， 由③可得是等腰三角形； ∴， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的有：①③④， 故选：C． 55．（20-21八年级上·江苏·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；利用平行线的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出，求得，则可证明是的中垂线，再根据含的直角三角形性质求出中边上的高，即可求得，即结论④正确；证明，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ， ， ，， 设， ， ， ， ， 解得：， ， ， 是的中垂线 ，， 边上的高为， ， 结论④正确； ，， ， ， 又 ， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③④正确，共3个结论正确， 故选C． 题型14 将军饮马问题 56．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 57．（辽宁省沈阳市私立联合体2024-2025学年七年级下学期阶段练习（二）数学试题）【问题起源】 如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】 （1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是 ． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是 ． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是 ． 【数学思考】 （2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由； （3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）方案3；（2）①见解析；②见解析；（3） 【分析】本题考查轴对称，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握将军饮马模型，是解题的关键： （1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是 ，进行判断即可； （2）①连接交于点，在上截取，即可；②证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，连接，即可得到点，再根据，确定点即可； （3）作关于的对称点，作关于的对称点，连接，证明为等边三角形，得到，根据的周长，当四点共线时，的周长最小为的长，即的长，再根据垂线段最短，得到时，的周长最小，即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是 ，最短． 即最短的铺设路径方案是方案3； 故答案为：方案3； （2）①连接交于点，在上截取，如图所示； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小； ∴连接，即可得到点，再根据，确定点即可； （3）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小为的长，即的长， ∴当时，的周长最小， 由题意，点到的距离为， ∴的最小值为，即：的周长的最小值为． 58．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 59．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)①12②， 【分析】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点A关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【详解】（1）解：作图如下： （2）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； 故答案为：12； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∵是上的中线，即， ， 点在射线上运动（）， 作点A关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时点E和点重合，， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 60．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 轴对称章末14题型归类 题型1 判断轴对称图形 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（25-26八年级上·全国·期中）下列月饼简笔画中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断/求解 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 6．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在中，，于D，点B关于的对称点在上，若，则 ． 7．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，是一个左右对称的风筝，图是其几何示意图，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·陕西延安·期中）已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分， 题型3 镜面对称 镜面对称的核心是轴对称性质，不同场景只需找准 “对称轴”，再结合 “对应点 / 数字 / 时间” 的规律，就能快速解决. 9．（20-21八年级上·广东广州·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是： ． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 11．（20-21八年级上·河南驻马店·期中）李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 题型4 画轴对称图形 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点， 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 12．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请写出关于x轴对称的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的． 13．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 14．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标． (2)将向右平移个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标． (3)在（1）（2）的条件下，观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，则在图中画出这条对称轴． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．在图中作出△ABC关于轴对称的图形，点，，的对应点分别为点，，，并写出点的坐标． 题型5 根据点的对称性判断坐标中的参数 根据关于坐标轴或原点对称的点的坐标的关系特点，可以利用轴对称找到特定点的对称点的坐标；在点的坐标不是单一的数字时，例如用字母表示，用各种形式的代数式表示的点的坐标仍然满足轴对称的特定关系，可以利用这种关系，列出满足题意的方程或不等式，从而求出坐标中的参数. 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）若点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 17．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知点关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．不存在 18．（25-26八年级上·全国·期中）已知点和点关于y轴对称，则的值为 ． 19．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 题型6 折叠问题 在折叠问题中，解题的关键是理解折痕所在的直线是折叠前后的两个图形的对称轴，折叠前后的两个图形是全等图形，利用对应边相等、对应角相等进行条件的转化，将题目中的已知条件与要求的结论联系起来. 20．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 22．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ． 23．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 题型7 垂直平分线的判定与性质 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 24．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 25．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 26．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 27．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 28．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 题型8 角平分线与垂直平分线综合 运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质均能得到等线段，往往能推出其他结论，常结合全等三角形等知识解决问题. 29．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，AI平分，BI平分，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若，则的大小为 （用含α的代数式表示）． 30．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点H. (1)求证：∠PBH=∠PCG； (2)如果∠BAC=90°，求证：点E在AP的垂直平分线上. 31．（24-25八年级下·全国·期末）已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 32．（2023·湖北襄阳·一模）如图，中，平分于点D．    (1)请用尺规作图作边的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)设与交于点E，连接，若，求的长．   33．（21-22七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，平分交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 34．（25-26八年级上·全国·期中）在 中，的垂直平分线分别交线段 于点M，P，的垂直平分线分别交线段于点 N，Q． (1)如图，当 时，求 的度数． (2)当 满足什么条件时，？说明理由． (3)在（2）的条件下，，求 的周长． 题型9 等腰三角形性质与判定综合 35．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 36．（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E． (1)当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 37．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 题型10 等边三角形性质与判定综合 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 38．（24-25七年级下·重庆·期末）已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； (3)在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 39．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于H． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 40．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 41．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 42．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图1，在中，，为线段上一动点（不与点、重合）．连接，作，且，连接． (1)求证： (2)延长至点，当平分时， ①求证：是等边三角形； ②若，则______________（直接写出，无需证明） 题型11 规律探索问题 要求根据一些已知条件，找出其中隐藏的规律，并用规律解题. 43．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 44．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 题型12 含30°角的直角三角形的应用 1）在直角三角形中求线段的长度时，经常考虑30°的角所对的直角边等于斜边的一半这个性质. 2）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍数关系的重要依据. 46．（25-26八年级上·全国·期中）如图．在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则的长为 ． 47．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，，平分，点为上的一动点，，则的最小值为 ． 48．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在上，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 49．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为 50．（19-20八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在等边中，点D、 E分别在边、上，且，与相交于点P，于点Q． (1)求证：； (2)请问与有何关系？并说明理由． 题型13 多结论问题 51．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 53．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，和都是等腰三角形，．，相交于点F，连接．给出下列结论∶①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 54．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，在等边中，为线段上一点（不与端点重合），平分，交于点，与的延长线交于点，连接，且，以下结论：；② ；③是等腰三角形；④连接．其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 55．（20-21八年级上·江苏·期中）如图，在等边三角形中，，D为内一点，且，E为外一点，且，连接，，有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14 将军饮马问题 56．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 57．（辽宁省沈阳市私立联合体2024-2025学年七年级下学期阶段练习（二）数学试题）【问题起源】 如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】 （1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是 ． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是 ． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是 ． 【数学思考】 （2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由； （3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 58．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 59．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 60．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $