专题3.4 向量在立体几何中的应用重难点题型讲义（2个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题3.4 向量在立体几何中的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 求平面的法向量 题型二 异面直线夹角的向量求法 题型三 已知线线角求其他量 题型四 线面角的向量求法 题型五 已知线面角求其他量 题型六 面面角的向量求法 题型七 已知面面角求其他量 题型八 点到平面距离的向量求法 题型九 平行平面距离的向量求法 题型十 点到直线距离的向量求法 题型十一 异面直线距离的向量求法 拓展训练一 线线角的向量求法及应用 拓展训练二 线面角的向量求法及应用 拓展训练三 二面角的向量求法及应用 拓展训练四 向量法求空间距离 知识点一：用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【即时训练】 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，求得，进而求得直线与直线所成的角，得到答案. 【详解】由空间四点，，，， 可得，则， 设直线与直线所成的角为，其中， 则，可得， 所以直线与直线所成的角为. 故选：A. 2．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 知识点二：用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为 .    【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，，， 所以，点到直线的距离为. 故答案为：. 【经典例题一 求平面的法向量】 【例1】（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）写出三点坐标，再利用法向量定义即可求得结果； （2）假设存在点满足题意，利用垂直关系的向量表示可得答案. 【详解】（1）由题得， 则， 设平面的法向量为，则; 令，则，则平面的一个法向量为. （2）由题意得， 则， 设，则. 因为平面，所以为平面的一个法向量， 则，解得 所以存在点，使得平面. 1．（2025·吉林长春·模拟预测）结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·重庆·期末）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 【答案】ABD 【分析】A：根据条件写出平面的方程并化简；B：先分析方程对应的一个法向量，然后根据法向量与之间的关系作出判断；C：与题设方程作对比，然后作出判断即可；D：设出三元一次方程的一般形式，然后与题设方程对比并作出判断. 【详解】对于A：根据题设可知平面的方程为， 即为，故A正确； 对于B：因为平面的方程为， 由题设可知平面的一个法向量为，且即共线， 所以是平面的法向量，故B正确； 对于C：， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误； 对于D：设，其等价于， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确； 故选：ABD. 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可. 【详解】根据题意可得：，设， 与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【经典例题二 异面直线夹角的向量求法】 【例1】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 【例2】（23-24高二上·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据异面直线所成角向量求法可求得结果. 【详解】（1）， . （2）， ； ，， ， ， 即与所成角的余弦值为. 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则    ，， ， ， 所以  ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 2．（多选题）（23-24高二上·四川广安·期中）三棱锥中，顶点M出发的三条棱，MA， MB， MC两两垂直，且， 点H为平面ABC内的动点，同时满足，记直线MH与直线AB所成角为，的余弦值可能是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件先确定出H在平面ABC内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围，进而判断选项即可. 【详解】因为MA， MB， MC两两垂直，且， 所以由勾股定理可知， 所以三棱锥为正三棱锥，记M在底面ABC内的投影为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以H的轨迹是以为圆心半径为的圆， 取中点，连接，可知经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系：    设，，， 所以， 所以， 设直线MH与直线的所成角为， 所以. 故选：ACD. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】设，分解向量，然后由数量积的运算律、向量夹角公式即可求解. 【详解】设， 棱长为1，则． 因为底面边长和侧棱长都相等，且， 所以，所以， ，． 设异面直线的夹角为， 所以． 故答案为：. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在正四棱锥中，，且的面积为2，点M为棱PD的中点. (1)证明：平面MAC； (2)求直线PA与直线BM所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理，证明，再由线线平行推导线面平行即可； （2）根据题意建系，利用的面积求长，写出相关点的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接， 因是正方形，则， 又点M为棱PD的中点，则 ，故， 因平面，平面，故平面MAC. （2）连接，则平面，因平面，故， 又，故可以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 由，解得， 故， 则， 设直线PA与直线BM的所成角为， 则. 【经典例题三 已知线线角求其他量】 【例1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成角之间相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】． 【分析】 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，根据所成角的正切值求得，再求所成角的余弦值即可. 【详解】 根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，设，    则，故， 设与所成的角为，则，∴， 于是，解得，故； 设与所成的角为，∵， ∴，∴与所成角的余弦值为． 1．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，根据两向量的夹角公式，得到，即可求解． 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、， 设，其中， 则，， 由已知可得，则， 因为，故的取值为、、、， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为， 故选：B． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 3．（24-25高三下·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求得点位置即可得解. 【详解】建立如图所示的空间直角生标系， 则，设， ，，设直线与所成的角为， 则 ，当时，， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，此时为最大，即角最小， 点与点重合，是以为直角的直角三角形，， 所以的面积为. 故答案为： 4．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用计算证明，结合面面垂直的判定定理来证得平面平面. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，由线线角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 【经典例题四 线面角的向量求法】 【例1】（24-25高一下·河北承德·期末）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线l的方向向量与平面的法向量的夹角后可得. 【详解】由已知，，所以l与α所成的角为， 故选：A. 【例2】（24-25高三下·广西·开学考试）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，与交于点为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明结果. （2）由（1）的结论建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用即可求的结果. 【详解】（1）证明：因为为直三棱柱， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为侧面为正方形，所以， 又，且平面， 所以平面. （2）解：依题意两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 令，则，平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式得，利用二次函数即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨取． ，，，， 设，，，，． 设平面的法向量是，则，取， 则． 故选：C． 2．（多选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意确定点的轨迹，利用线面角定义可得与平面所成角即为，利用圆的几何性质确定的范围，即可求出线面角正切值的范围，从而得出正确选项. 【详解】由题意建系如图，    因为底面是边长为2的正方形，， 则，，设， 可得，， 由题意得，故， 可得， 故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分（不含边界）， 由题可知为的中点，如图，    根据圆的几何性质可得： 当共线时，取得最小值为， 而，所以， 因为平面，所以与平面所成角即为， 所以， 所以正确选项有AD. 故选：AD． 3．（24-25高二上·四川·期末）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】确定平面的一个法向量，求出直线l的方向向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面一个法向量为， 平面一个法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 故，取，则， 设直线l与平面所成角，则， 故答案为： 4．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取AD中点记为E，先由直四棱柱的性质结合面面垂直的性质定理即可证得平面，则平面； （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形， 取AD中点记为E，连接CE， 因为 所以即四边形ABCE为平行四边形， 所以 由于所以又， 所以即， 因为为直四棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面, 所以平面，即平面； （2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：    因为由(1)知， 所以， 所以 设是平面的一个法向量， 则令，则， 所以， , 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【经典例题五 已知线面角求其他量】 【例1】（22-23高二上·湖南益阳·期末）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系求得，以及平面的一个法向量，根据线面夹角的坐标运算即可得P点坐标满足的等式关系. 【详解】解：由正三棱柱，且，根据坐标系可得： ，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以， 又平面，所以是平面的一个法向量， 因为直线和底面所成角为， 所以， 整理得，又，所以. 故选：A. 【例2】（2024·江苏·模拟预测）在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据矩形的性质、结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：延长交于点 四边形为矩形， 平面平面，平面平面 平面平面，即. （2）如图建系，    设平面的一个法向量， 或. 1．（23-24高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，得到线面角正弦值的表达式，再利用三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 2．（2023·新疆喀什·模拟预测）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值． 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得． 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【分析】运用线面垂直性质，结合题意建立空间直角坐标系，然后用向量法表示出线面角的正弦值，进而反求出. 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，设，则， 设平面BEF的法向量为，则即 令，则，所以， 解得，即． 故答案为：1. 4．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，在几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． (1)求证：EF平面BDM． (2)当直线BM与平面BEF所成的角为时，求DM的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，可求得，同理可证，由此可证得结论； （2）设，根据线面角的向量求法可构造方程求得，结合可得结论. 【详解】（1）四边形、四边形、四边形均为正方形， 两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，设， ，， ， ，同理可证，且，平面， 故平面. （2）设平面的法向量，又，， ， 令，解得，，. 假设存在点，使得直线与平面所成的角为，则， ，解得：， 在棱上，，， 当点在棱上，且时，直线与平面所成的角为． 【经典例题六 面面角的向量求法】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求解即可. 【详解】设平面的法向量，，， 则，得， 取，则，所以平面的法向量为． 又平面的法向量可取，所以， 故选：C． 【例2】（23-24高三上·重庆·开学考试）已知是正四棱柱. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到，⊥，从而平面，进而证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，求出两平面的法向量，求出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）由题意，平面，因为平面， 所以，在正方形中，⊥， 因为平面且，所以平面， 又平面，所以有平面平面； （2）以为坐标原点，为轴建立直角坐标系， 所以有， 则有， 设平面的法向量为，则有， 取法向量为， 又平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标并令，应用向量法求二面角的余弦值范围. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为等边三角形，不妨设，由，令， 当时四点共面，不能构成空间四边形，所以， 则，，，故，，， 设平面的法向量为，则，代入得， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则，代入得， 令，则，，所以， 由图知，二面角为锐二面角． 所以， 因为，所以，即， 故选：D 2．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据法向量方向和二面角定义作图即可分析得解. 【详解】根据题意作图：    设二面角为， 则根据二面角定义可知，， ，，. 故选：BC. 3．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 4．（23-24高三上·山西·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，可证四边形为平行四边形，可得∥，可证结论； （2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，， ∵，，点为中点， ∴， 又∥，∴四边形为平行四边形， ∴∥，，∵为正方形， ∴∥，，∴∥，， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面，平面，∴∥平面． （2）以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【经典例题七 已知面面角求其他量】 【例1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 【例2】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，，且. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点满足条件，是上靠近点的三等分点. 【分析】（1）由已知条件可证明平面，故，同理可得，可得平面. （2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求二面角的余弦值，解出得点的位置. 【详解】（1），，平面，， 故平面，平面，故， 同理可得，，平面， 故平面 （2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系. 则 设，则， 有，， 平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是， 则， 取得，即 ，解得， 即存在点满足条件，是上靠近点的三等分点. 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解. 【详解】如图所示，     由题意知， 又二面角的大小为，故， ， 又， ， , 即AD的长为， 故选：D 3．（2025高二·全国·专题练习）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，    因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点的轨迹长度. 故答案为： 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理及正方形的性质证明平面，然后根据线面垂直的性质定理和判定定理证明平面. （2）以为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得． 【详解】（1）底面，底面，， 又底面为正方形，， 又，平面，平面， 平面，又平面，， 由，为中点，， 又，平面，平面，平面． （2）以为原点，以为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 令， 则，，，，，， ，，，则， ，则， 设平面的法向量， 则，故可取， 设平面的法向量， 则故可取， 所以， 解得． 【经典例题八 点到平面距离的向量求法】 【例1】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求平面的法向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为，则有， 取，得， 所以点点平面的距离，即四棱锥的高为. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知在四面体中，，，，，求点到平面的距离.    【答案】 【分析】由点到面的距离得空间向量表示即可求解，设向量，对于任意实数，，的最小值即是点到平面的距离. 【详解】设向量，对于任意实数，，的最小值即是点到平面的距离. ， . 所以点到平面的距离为. 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 设平面的一个法向量，由，得，取，得， 又， 点到平面的距离为， 故选：D． 2．（多选题）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 【答案】AD 【分析】A，B选项，建立空间直角坐标系，过点P作交BC于点E，过E作交AD于点F，通过平行将PQ到平面的距离转化为PE到平面的距离即可求解C，D选项，用两点间的距离公式表示转化为函数求最值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，    过点作交于点，过作交于点， 则平面平面，故，过作交于点． 所以到平面的距离就是到平面的距离， 当与重合时，有最大距离为，无最小距离，故A正确B错误． 设，，则，所以， 故， 当时，，无最大值，故C错误D正确． 故选：AD 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为2，1，则顶点的对顶点到平面的距离是 . 【答案】/. 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设平面的法向量为，，从而由点到平面的距离公式得到方程，求出的坐标，从而求出答案. 【详解】以长方体顶点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，， 设平面的单位法向量，， 所以，即，解得， 设点到平面的距离为， 故. 故答案为：. 4．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，根据已知求得，构建空间直角坐标系，向量法求点面距离即可； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求二面角余弦值. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接， 由题意可知四棱台为正四棱台， 则平面，线面垂直的性质知，，， 则，且，则四边形为矩形． 所以，故为与侧面所成的一个角． 因为与侧面所成角为，所以， 如图所示，以点为坐标原点，建立的间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为，而， 所以点到平面的距离； （2）因为，设面的法向量为， 则， 令，则面的一个法向量为， 所以，易知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 【经典例题九 平行平面距离的向量求法】 【例1】（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 【例2】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【分析】先证得平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面的距离. 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 2．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      3．（23-24高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 4．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 【经典例题十 点到直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 【例2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图，在长方体中，，，点E为棱AB的中点，求点E到的距离．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线的单位方向向量，利用点到直线距离的向量公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，， ，， 与同方向的单位向量为：， 所以点E到的距离为．    故答案为： 1．（2025·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程，求出直线经过点，且为一个方向向量，再利用向量法求解即可． 【详解】由题意可得直线的方向向量， 直线经过点，又， 则， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得点到直线的距离的表达式，再由二次函数性质可求得最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 【答案】 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离向量求法即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； （2）由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【经典例题十一 异面直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知异面直线、，为、的公垂线段，、分别为、上的任意一点，为线段上的向量，求证：．    【答案】证明见解析. 【分析】由已知，得，可得，则，即可证出. 【详解】∵， ∴， 由，，为线段上的向量，得，， ∴， ∴，∴． 得证. 1．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 2．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 【答案】 【分析】以底面正方形的中心为原点建立空间直角坐标系，求出与公垂线的一个方向向量，最后由异面直线与之间的距离计算可得. 【详解】因为底面是边长为的正方形，侧棱， 所以四棱锥为正四棱锥， 如图，以底面正方形的中心为原点，以平行于底边的直线及为，，轴建立直角坐标系， 则，所以， 则，，，，    ∵，， 设为与公垂线的一个方向向量，则， 令，则，，所以， ∵， ∴异面直线与之间的距离． 【拓展训练一 线线角的向量求法及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，分类讨论位置，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】    建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则， 由知异面直线和所成的角即和所成的角，即，设． ①当在线段上时（包含端点），易知，则； ②当在线段上时（不含，包含），设，则， 则，当时，取得最大值； ③当在线段上时（不含，包含），设， 同理，则； ④当在线段上时（不含端点），显然． 综上所述，的最大值为， 故选：C． 【例2】（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先作出两平面的交线，再根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，代入向量所成角的余弦值公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接， 则平面和平面交线为，即 因为为直三棱柱，所以为平行四边形， 所以为中点，为中点，所以， 又平面平面， 所以平面，即平面. （2）直三棱柱中，，所以两两垂直. 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则， 所以 解得，所以线段长为. 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 2．（多选题）（23-24高二上·海南儋州·期末）正方体中和直线成角的直线有（  ） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 【答案】AB 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角即可得解. 【详解】正方体中，令棱长，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 对于A，，而， 因此，即直线与成角，A是； 对于B，，而， 因此，即直线与成角，B是； 对于C，，即，则直线与成角，C不是； 对于D，，即，则直线与成角，D不是. 故选：AB 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．    【答案】/ 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.    (1)求证平面； (2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为的中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线证明线线共线，从而利用线面平行的判定证明即可； （2）设出点的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式建立方程，即可求解点的位置. 【详解】（1）因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， 且平面平面，且，平面， 所以平面，又，如图建立空间直角坐标系.      设，连结，则，，， 又，. ，且与不共线，， 又平面，平面，平面. （2）设，，又，，， 则，. 又与所成的角为，， 解之得或（舍去），故点为的中点时满足题意. 【拓展训练二 线面角的向量求法及应用】 【例1】（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 【例2】（24-25高二下·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在，点为靠近的三等分点 【分析】（1）台补锥，根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 可得，， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【分析】A项，求出和面的法向量即可得出结论；B项，求出的坐标即可求出的长；C项，D项，求出和平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为2，，分别是，的中点 作空间直角坐标系如下图所示， , ， A项，， 面的一个法向量为， ∵， ∴平面，A正确； B项，，B正确； ∵，平面的一个法向量为， 设线与平面所成角为， ， ∴C正确，D错误. 故选：ABC. 3．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川广安·阶段练习）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得结论； （2）作，垂足为H，得平面，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出点坐标，然后用空间向量法求线面角的正弦值即可． 【详解】（1）由已知可得，，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）作，垂足为H，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， 因为，平面，所以平面，平面， 所以，又，所以，又， 故.可得， 则，，则， 易知平面的一个法向量为， 所以， 设与平面所成角为，则， 故与平面所成角的正弦值为. 【拓展训练三 二面角的向量求法及应用】 【例1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面的夹角. 【详解】因为两平面的法向量分别为，. 又，，. 所以. 所以两平面的夹角为. 故选：A. 【例2】（2025·湖北·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，，，. (1)证明：平面； (2)平面与平面所成角余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1或 【分析】（1）只需证明，即只需证明平面，且平面； （2）引入参数，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦的绝对值公式即可列式求解. 【详解】（1）由底面，因此， 因为，，平面，所以平面； 底面中，，，， 因此，得到，由底面，平面， 因此，，平面， 所以平面， 因此，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，设， 因此点的坐标为，，，， 易得平面的法向量为， ，，设平面的法向量为， 所以，令，得， 因此，化简得：，所以或. 因此的长为1或. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·山西运城·期中）在四面体中，，若四面体的体积为，则（    ） A．二面角的大小可能为 B．二面角的大小可能为 C．的值可能为5 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】利用体积先求点到平面的距离，然后可得二面角，再根据，结合二面角即可求出. 【详解】在四面体中，， 且体积， 解得，即点到平面的距离为， 由题可知，记为二面角的平面角， 则，即二面角的大小为或，故A正确，B错误；    ， ， 因为，所以， 当时，， 当时，故C错误，D正确． 故选：AD 3．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在一个锐二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，则该二面角的大小为 . 【答案】/ 【分析】将两边平方，利用数量积公式求解可得答案． 【详解】 ， ， ，解得， ，即， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，底面ABCD，，E是PC的中点． (1)证明：平面BDE； (2)在AP上是否存在一点F，使得二面角的正弦值为？若存在，求AF；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或． 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，可得，由线面平行的判断可证结论； （2）以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】（1）如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE， 因为E是PC的中点，所以． 又平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE． （2）存在点F，使得二面角的正弦值为． 因为底面是菱形，底面，平面， 所以，，， 故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，，， 故，，． 设，， 则，． 设平面的法向量为， 则， 则，令，则，故． 设平面BDF的法向量为， 则，即 则，令得，故． 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 令， 化简得，解得或． 因为，所以或． 【拓展训练四 向量法求空间距离】 【例1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以点到平面的距离是： . 故选：A. 【例2】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和在上的投影长，利用点到直线公式，即可求出点到直线的距离； (2)先求出平面的法向量，再利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 2．（多选题）（22-23高二上·吉林辽源·期末）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】BC 【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得. 【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，设， 所以，， 设为平面的法向量， 则有：，令，可得， 则点到平面的距离为， 因为，所以，所以. 故选：BC 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设点到直线的距离为，则 . 故答案为： 4．（22-23高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，然后用空间向量计算垂直，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用第一小问建立的空间直角坐标系计算即可；（3）利用向量的投影计算即可. 【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，即 因为， 所以，即 又因为，平面，平面 因此平面 （2）因为平面，所以为平面的一个法向量 由（1）知为平面的一个法向量. 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，其中，所以点到平面的距离. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设（），由题意结合法向量的定义得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意得，则， 设（），则， 因为是平面的一个法向量， 所以， 即， 对于A，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以A错误， 对于B，若在上，则，符合题意，所以在上，所以B正确， 对于C，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以C错误， 对于D，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以D错误， 故选：B 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 3．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在正方体中，点为棱上的一动点，记直线与平面所成的角为，则得最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，如图建立空间直角坐标系，不妨设，，求出平面的一个法向量，则，求出最大值即可求出得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，，则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，则， 所以，， 当时，， 当时，令，则， 由于函数，故当时，取最小值2， 故此时， 综上可知，，由于，故． 故选：C． 5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 6．（多选题）（24-25高二下·四川广安·期中）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B．若，则点到平面的距离为 C．存在，使得平面 D．若三棱柱存在内切球，则 【答案】AB 【分析】首先建立空间直角坐标系，根据向量法判断ABC，首先求等边三角形内切圆的半径，再根据三棱柱存在内切球，再计算. 【详解】如图，以点为原点，向量为轴的正方向，再作， 若，，，，， ，，，故A正确； ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为，且, 所以点到平面的距离为，故B正确；    C.设，则，， ，所以不存在，使得平面，故C错误； D. 等边三角形的内切圆的半径为，若三棱柱存在内切球，则，故D错误. 故选：AB 7．（多选题）（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是； C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是． 【答案】ABD 【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为，所以． 所以点到直线的距离为．正确， 对于B：因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离 ， 所以直线FC1到直线的距离为正确， 对于C：设平面的一个法向量为，． 由，令，则，即． 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误， 对于D：因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离． ，由C得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确， 故选：ABD 8．（多选题）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行、线线垂直判断A，B，运用异面直线向量距离公式求解判断C，根据向量法求解线面角判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； ，平面的法向量， 设直线BC与平面所成角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的正弦值为，故D正确； ，， 则， 所以不成立，故B错误； 因为，设，， 则，令，则， 又因为，所以直线与的距离为，故C正确. 故选：ACD 9．（多选题）（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知，根据题意，表示出各点坐标，然后假设平面的法向量为，将选项一一代入验证即可做出判断. 【详解】由已知，设正方体边长为， 因为为的中点，为的中点， 所以，，， 所以，，设平面的法向量为 选项A，假设，则需满足， 即，满足，该选项正确； 选项B，假设，则需满足， 即，不满足，该选项错误； 选项C，假设，则需满足， 即，不满足，该选项错误； 选项D，假设，则需满足， 即，不满足，该选项错误； 故选：BCD. 10．（多选题）（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】      如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，， 当时，， 所以，A正确. ，，当时，. 因为平面，平面，所以平面，B正确. 由， 当时，，，， 当时，的面积取得最小值，最小值为，C错误. 当时，，，， 可看作是平面内点到点，的距离之和， 点关于轴的对称点为， 则， 所以的最小值为，D正确. 故选：ABD 11．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 12．（23-24高二下·全国·随堂练习）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 13．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据二面角、空间向量运算等知识来求得点与点之间的距离. 【详解】分别作，，垂足为，，则 由已知可得，，，．因为， 则，所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛: 空间折叠与二面角的利用：通过将矩形沿对角线折叠，构造出了二面角，并利用垂线的位置关系，结合向量法来求解距离，这是一种有效的空间几何求解方法. 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 15．（2025高二·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】解法1：通过建立空间直角坐标系，将点、的坐标用参数表示，进而得到长度的平方的表达式，再根据二次函数的性质求最小值. 解法2：通过求异面直线与的法向量，再利用向量投影公式求出两异面直线间的距离，此距离即为长度的最小值. 【详解】解法1：如图，分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，，，则． 当，时，得到的最小值为． 解法2：同解法1建系，得，， 设的公共法向量，则. 取，则，，． 故答案为：. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【答案】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为(答案不唯一) 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 17．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 18．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先根据二面角的大小确定相关线段的关系，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，最后求其最大值. 【详解】（1）因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. （2）由平面，得，故  ， 设  ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 19．（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 20．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：先应用线面垂直得出平面PAB，应用边长关系得出，计算求解距离即可；方法二：建立空间直角坐标系设与和都垂直，应用异面直线的距离公式计算求解； （2）应用空间直角坐标系先求出平面PMN及平面AMN的一个法向量，最后应用面面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以．                     在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离．                    在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为．                     方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以．                         设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则．                       所以异面直线AB与PC间的距离． （2）因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则，                        设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                  设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                           设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则，                     所以二面角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 向量在立体几何中的应用重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 求平面的法向量 题型二 异面直线夹角的向量求法 题型三 已知线线角求其他量 题型四 线面角的向量求法 题型五 已知线面角求其他量 题型六 面面角的向量求法 题型七 已知面面角求其他量 题型八 点到平面距离的向量求法 题型九 平行平面距离的向量求法 题型十 点到直线距离的向量求法 题型十一 异面直线距离的向量求法 拓展训练一 线线角的向量求法及应用 拓展训练二 线面角的向量求法及应用 拓展训练三 二面角的向量求法及应用 拓展训练四 向量法求空间距离 知识点一：用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【即时训练】 1．（24-25高二下·广西河池·期末）已知空间四点，，，，则直线与直线所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 知识点二：用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. ②转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. ③等体积法. ④向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为 .    【经典例题一 求平面的法向量】 【例1】（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一个法向量； (2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1．（2025·吉林长春·模拟预测）结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·重庆·期末）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ． 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【经典例题二 异面直线夹角的向量求法】 【例1】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·四川广安·期中）三棱锥中，顶点M出发的三条棱，MA， MB， MC两两垂直，且， 点H为平面ABC内的动点，同时满足，记直线MH与直线AB所成角为，的余弦值可能是（    ） A． B． C．0 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在正四棱锥中，，且的面积为2，点M为棱PD的中点. (1)证明：平面MAC； (2)求直线PA与直线BM所成角的余弦值. 【经典例题三 已知线线角求其他量】 【例1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 【例2】（2024高三·全国·专题练习）四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 1．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）如图，二面角等于是棱上两点，，且，则的长等于（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为 ． 4．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【经典例题四 线面角的向量求法】 【例1】（24-25高一下·河北承德·期末）若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三下·广西·开学考试）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，与交于点为的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川·期末）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的大小为 ． 4．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱中，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【经典例题五 已知线面角求其他量】 【例1】（22-23高二上·湖南益阳·期末）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·江苏·模拟预测）在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 1．（23-24高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新疆喀什·模拟预测）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 4．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，在几何体EFG-ABCD中，四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上． (1)求证：EF平面BDM． (2)当直线BM与平面BEF所成的角为时，求DM的长 【经典例题六 面面角的向量求法】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高三上·重庆·开学考试）已知是正四棱柱. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·重庆·二模）在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 4．（23-24高三上·山西·阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【经典例题七 已知面面角求其他量】 【例1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【例2】（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，，且. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由. 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为 ． 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱中点． (1)求证：平面； (2)若为中点，，试确定的值，使二面角的余弦值为. 【经典例题八 点到平面距离的向量求法】 【例1】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知在四面体中，，，，，求点到平面的距离.    1．（2025高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为2，1，则顶点的对顶点到平面的距离是 . 4．（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【经典例题九 平行平面距离的向量求法】 【例1】（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 4．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【经典例题十 点到直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图，在长方体中，，，点E为棱AB的中点，求点E到的距离．    1．（2025·湖南长沙·三模）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 4．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【经典例题十一 异面直线距离的向量求法】 【例1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知异面直线、，为、的公垂线段，、分别为、上的任意一点，为线段上的向量，求证：．    1．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 4．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 【拓展训练一 线线角的向量求法及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·海南儋州·期末）正方体中和直线成角的直线有（  ） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．    4．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.    (1)求证平面； (2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是. 【拓展训练二 线面角的向量求法及应用】 【例1】（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）如图，正方体棱长为，，分别是，的中点，则（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 3．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 4．（23-24高二上·四川广安·阶段练习）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起.使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【拓展训练三 二面角的向量求法及应用】 【例1】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 【例2】（2025·湖北·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，，，. (1)证明：平面； (2)平面与平面所成角余弦值为，求的长. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·山西运城·期中）在四面体中，，若四面体的体积为，则（    ） A．二面角的大小可能为 B．二面角的大小可能为 C．的值可能为5 D．的值可能为 3．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）在一个锐二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，则该二面角的大小为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，底面ABCD，，E是PC的中点． (1)证明：平面BDE； (2)在AP上是否存在一点F，使得二面角的正弦值为？若存在，求AF；若不存在，请说明理由． 【拓展训练四 向量法求空间距离】 【例1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【例2】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 1．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·吉林辽源·期末）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为 . 4．（22-23高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 1．（24-25高三上·上海·期中）已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）在正方体中，点为棱上的一动点，记直线与平面所成的角为，则得最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高二下·四川广安·期中）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B．若，则点到平面的距离为 C．存在，使得平面 D．若三棱柱存在内切球，则 7．（多选题）（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离是； B．直线到直线的距离是； C．点到平面的距离是； D．直线到平面的距离是． 8．（多选题）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在棱长为1的正方体中，O为上底面的中心，则（   ） A．平面 B． C．直线与的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 9．（多选题）（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，且，，，则（   ） A．当时， B．当时，平面 C．当时，面积的最小值为 D．当时，的最小值为 11．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 12．（23-24高二下·全国·随堂练习）正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 13．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则此时点与点之间的距离是 ． 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为 . 15．（2025高二·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 17．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 18．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19．（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 20．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $