专题2.6 直线与圆锥曲线的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题2.6 直线与圆锥曲线的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线与椭圆的交点坐标 题型二 求椭圆的切线方程 题型三 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型四 根据韦达定理求参数 题型五 求椭圆中的弦长 题型六 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型七 椭圆的焦半径与焦点弦问题 题型八 由弦中点求弦方程或斜率 题型九 求弦中点所在的直线方程或斜率 题型十 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 题型十一 求椭圆中的最值问题 题型十二 椭圆中的定值问题 题型十三 求直线与双曲线的交点坐标 题型十四 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型十五 求抛物线的切线方程 拓展训练一 直线与椭圆位置关系相关问题 拓展训练二 椭圆相关求解问题 拓展训练三 弦中点、中点弦坐标的应用 拓展训练四 直线与双曲线相关问题 知识点一：直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的三种位置关系 当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆位置关系的判定 将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式. 当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解，直线与椭圆相交; 当Δ=0时，方程组有唯一实数解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程组没有实数解，直线与椭圆相离. 【知识剖析】 1．将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零. 2.直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系. 【即时训练】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则 . 知识点二：圆锥曲线的弦长、切线、切点弦问题 1． 圆锥曲线的弦长 当直线与圆锥曲线相交时，连接两交点所得的线段叫做圆锥曲线的弦，其长度叫做圆锥曲线的弦长. 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 3.圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 4.圆锥曲线的切点弦方程 (1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：. (2)椭圆的切点弦方程为； (3)双曲线的切点弦方程为； (4)的切点弦方程为. 【巧妙记忆】 上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出， ，，，. 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为（   ） A． B． C．3 D．4 2．（2024高三·全国·专题练习）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为 ． 知识点三：点差法 以椭圆为例： 直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，① ＋＝1，② ①—②，得＋＝0， 即＋＝0③ 设M(x0，y0)为AB的中点，则有 同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥ 将④⑤⑥代入③得kAB＝. 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”，同学们自己推导． 【即时训练】 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ． 【经典例题一 求直线与椭圆的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为. (1)求椭圆的方程. (2)已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 1．（2024高三下·全国·专题练习）直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（24-25高二上·江西南昌·期末）已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（   ） A．若D是的中点，则 B．若M是C的左焦点，则G是的中点 C． D．若M是的中点，则 3．（23-24高二上·湖南郴州·期末）设曲线上的动点与定点的距离和点到定直线的距离的比为.倾斜角为的直线经过点与曲线交于两点（点位于轴上方），则 . 4．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【经典例题二 求椭圆的切线方程】 【例1】（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B．2 C．3 D． 【例2】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且． (1)求点的坐标； (2)若直线与平行，且与相切，求的一般式方程． 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，椭圆，点A为椭圆在第一象限上的点，轴，若线段与x轴垂直，直线与椭圆只有一个交点，则，的大小关系是（     ）    A． B． C． D．不能确定 3．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为 ．    4．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点且与椭圆相切，求直线的方程． 【经典例题三 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 【例1】（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线与椭圆相切，则实数m的值等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点．若椭圆内有一点Q满足，则Q的横坐标可能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，是椭圆的左、右焦点，，是以为直径的圆上关于轴对称的两个动点．    (1)设直线的斜率分别为，求． (2)直线和与椭圆的交点分别为和．问：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 根据韦达定理求参数】 【例1】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知曲线，过点的直线交曲线于，两点，设为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知椭圆，点. (1)求椭圆的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围. 1．（2022高二·全国·竞赛）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，过其左焦点作一条斜率为的直线，与椭圆交于，两点，满足，则实数的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，直线交轴于点，点在直线上的射影分别是点．设直线与的交点为，是否存在实常数，使得恒成立？ 【经典例题五 求椭圆中的弦长】 【例1】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【例2】（24-25高二上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 1．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·吉林白山·期末）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆恰过原点，求弦长的取值范围． 【经典例题六 椭圆中三角形(四边形)的面积】 【例1】（24-25高二下·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·新疆喀什·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. (1)求弦长； (2)求的面积. 1．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A． B． C．4 D．6 2．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．长方形的面积的最大值为14 3．（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 4．（23-24高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【经典例题七 椭圆的焦半径与焦点弦问题】 【例1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设为坐标原点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高三上·河南驻马店·期末）动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为. (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求的方程. 1．（23-24高二·全国·课后作业）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（    ） A． B． C． D．与弦斜率有关 2．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 4．（2024·全国·模拟预测）已知圆的圆心是椭圆的左焦点，圆与轴的两个交点是，其中是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与圆在点处的切线分别交于两点，求证：． 【经典例题八 由弦中点求弦方程或斜率】 【例1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆：上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且为的中点，求直线的方程. 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西柳州·期中）已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为 . 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：过点，且离心率． (1)椭圆的方程； (2)过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 【经典例题九 求弦中点所在的直线方程或斜率】 【例1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 1．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北·期中）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若C上存在一点N，使得ON与AB互相平分（O为坐标原点），求k． 【经典例题十 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数】 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·北京·专题练习）已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 1．（22-23高二上·江西赣州·期末）椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过点的直线（斜率存在）与交于两点，线段的中点为（不与重合），直线与的斜率之积为．证明：. 【经典例题十一 求椭圆中的最值问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东茂名·二模）已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆长轴的两端点，P，Q是椭圆上关于轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为．若椭圆的离心率，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选题）（2025·河北保定·三模）已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（   ） A．均关于轴对称 B．面积的最大值为 C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 3．（2025高三·全国·专题练习）为椭圆上一点，为长轴所在直线上一定点，若取最小值时，点恰在椭圆长轴端点处，则的取值范围是 ． 4．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，. (1)求的方程； (2)若点为线段的中点，求面积的最大值. 【经典例题十二 椭圆中的定值问题】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）已知A，B为椭圆上两点，为坐标原点且，过点作直线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值． 1．（2023·贵州贵阳·三模）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左､右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点，则直线与的斜率乘积为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024·河南·三模）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点（非长轴端点），连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则（    ）    A．为定值 B． C． D．的最大值为 3．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆为其任意一点，从原点引圆的两条切线，分别交椭圆于两点，则 ． 4．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【经典例题十三 求直线与双曲线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等腰直角三角形，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）设双曲线的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从点A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP交于Q，R两点．求证：. 1．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线左、右焦点分别为，直线与双曲线右支交于点，过点作平分线的垂线，垂足是，则=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F，A分别是双曲线的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若，则双曲线的离心率为 . 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）如图，双曲线C：－＝1的中心O为坐标原点，离心率，点 在双曲线C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，求＋的值． 【经典例题十四 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）双曲线，，两点在双曲线上，且．若线段的垂直平分线经过点，求中点的横坐标． 1．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·吉林长春·模拟预测）已知双曲线，直线m与双曲线的右支交于点A，B（A在x轴上方），与双曲线的两条渐近线交于点M，N（M在x轴上方），O为坐标原点．当直线m的斜率存在时，下列结论中正确的是（） A．恒成立 B．的面积的最小值为1 C．若，则 D．若，则的面积为定值 3．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设点，分别为，的内心，则的取值范围是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）设分别为双曲线的左右顶点，为双曲线左支上一点，记直线的斜率分别为，若. (1)求双曲线的离心率； (2)直线与轴交于点，求证：. 【经典例题十五 求抛物线的切线方程】 【例1】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【例2】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 1．（2025·河南周口·二模）已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知过抛物线（）的焦点的直线交抛物线C于，两点，且，直线OA和OB的斜率分别为，则（    ） A． B． C．线段长的最小值为4 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）证明抛物线的焦点关于切线的对称点的轨迹为准线． 【拓展训练一 直线与椭圆位置关系相关问题】 【例1】（2025·江苏南通·一模）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）离心率为的椭圆交轴负半轴和轴负半轴分别于点A，B，点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作直线l与椭圆C的一个交点为M，与直线的交点为N，若P为MN的中点，求直线l的方程． 1．（24-25高二上·甘肃武威·期中）已知点和点， 若直线上存在点， 可使， 则称该直线为“D型直线”． 下列四条直线中：①； ② ；   ③；    ④．“D型直线”的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（2025·河北秦皇岛·一模）已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若，则 3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：与椭圆C：交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）试确定的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称． 【拓展训练二 椭圆相关求解问题】 【例1】（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：的焦点，直线l：，点，线段AF交C于点B，若，则等于（    ） A． B．2 C． D．3 2．（多选题）（24-25高二上·海南·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．当时，的面积为 D．椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，D为线段AB的中点，且，（O为坐标原点）. (1)求的面积； (2)过F的直线交C于P，Q两点，记点O，A到直线PQ的距离分别为，，则是否存在最大值？若存在，求出最大值及PQ的方程；若不存在，请说明理由. 【拓展训练三 弦中点、中点弦坐标的应用】 【例1】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．2 D．-2 2．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为 . 4．（24-25高二上·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求弦长. 【拓展训练四 直线与双曲线相关问题】 【例1】（2024·全国·模拟预测）过双曲线的左焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于两点，在第二象限，在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）试确定的取值范围，使得双曲线上有不同的两点关于直线对称． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（多选题）（24-25高三下·广东清远·开学考试）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 3．（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 4．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 1．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江金华·模拟预测）经过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（多选题）（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　） A．四边形为平行四边形 B．可能为直角 C．四边形面积最大为4 D．直线的斜率为 7．（多选题）（24-25高二上·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（   ） A．椭圆的标准方程为 B． C． D．若直线与椭圆相交于，两点，则 8．（多选题）（24-25高二·上海·随堂练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 9．（多选题）（24-25高二上·黑龙江黑河·阶段练习）椭圆左右焦点分别为是上任意一点，则正确的有（    ） A．的周长为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．的最大值为12 10．（多选题）（2025·陕西西安·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（   ） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为 D．过点能作4条直线与C仅有一个交点 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程 . 12．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为 ． 13．（22-23高二上·河南焦作·期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是 . 14．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= 15．（2025高三·全国·专题练习）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是为坐标原点）的重心．记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 ． 16．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C:的面积为，椭圆的焦距为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点，，，分别为椭圆的上、下顶点，设为直线上一点，且直线，的斜率的积为，证明:点在轴上. 17．（2025·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 18．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）设椭圆的上顶点为，直线与椭圆相交于、两点 (1)若，直线斜率的取值范围； (2)设三角形的重心为，若，求直线的方程 19．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 20．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线外一定点的直线交抛物线于两点，过两点分别作切线，且的交点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点且平行于抛物线对称轴的直线交弦于点，求证：为弦的中点； (3)设过定点且平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点，求点处的切线方程； (4)求证：点处的切线与点的轨迹所在直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 直线与圆锥曲线的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线与椭圆的交点坐标 题型二 求椭圆的切线方程 题型三 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型四 根据韦达定理求参数 题型五 求椭圆中的弦长 题型六 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型七 椭圆的焦半径与焦点弦问题 题型八 由弦中点求弦方程或斜率 题型九 求弦中点所在的直线方程或斜率 题型十 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 题型十一 求椭圆中的最值问题 题型十二 椭圆中的定值问题 题型十三 求直线与双曲线的交点坐标 题型十四 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型十五 求抛物线的切线方程 拓展训练一 直线与椭圆位置关系相关问题 拓展训练二 椭圆相关求解问题 拓展训练三 弦中点、中点弦坐标的应用 拓展训练四 直线与双曲线相关问题 知识点一：直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的三种位置关系 当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆相切;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆相离. 2.直线与椭圆位置关系的判定 将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式. 当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解，直线与椭圆相交; 当Δ=0时，方程组有唯一实数解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程组没有实数解，直线与椭圆相离. 【知识剖析】 1．将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零. 2.直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系. 【即时训练】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行直线系，联立直线与椭圆方程，利用判别式可求解相切时的直线，即可根据平行线间距离公式求解，或者利用三角换元，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解. 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 2．（23-24高二上·辽宁·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则 . 【答案】/0.5 【分析】根据三角形的面积比得再结合的坐标,得然后代入直线方程运算即可. 【详解】设直线与轴交于点, 则△的面积,△的面积 又 由椭圆,得,, 在直线上, 故答案为:. 知识点二：圆锥曲线的弦长、切线、切点弦问题 1． 圆锥曲线的弦长 当直线与圆锥曲线相交时，连接两交点所得的线段叫做圆锥曲线的弦，其长度叫做圆锥曲线的弦长. 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 3.圆锥曲线的切线方程 (1)过椭圆的切线方程为：； (2) 过双曲线的切线方程为：； (3)过. 4.圆锥曲线的切点弦方程 (1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：. (2)椭圆的切点弦方程为； (3)双曲线的切点弦方程为； (4)的切点弦方程为. 【巧妙记忆】 上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出， ，，，. 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设直线交于点，不妨设在第一象限，则，，求得直线方程与椭圆联立得，根据韦达定理解得，最后根据弦长公式计算弦长． 【详解】易知，设直线交于点， 因为，为上关于原点对称的两点，且，令，得， 如图，不妨设在第一象限，则，，则， 所以直线：，联立，得， 则，解得， 所以根据弦长公式可得． 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，则可得切线为，从而可求出直线的斜率，再由题意可得，则得，进而可求出双曲线的离心率. 【详解】设，由于双曲线在点处的切线方程为， 故切线的斜率， 因为，则，则， 即双曲线的离心率． 故答案为：. 知识点三：点差法 以椭圆为例： 直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，① ＋＝1，② ①—②，得＋＝0， 即＋＝0③ 设M(x0，y0)为AB的中点，则有 同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥ 将④⑤⑥代入③得kAB＝. 直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”，同学们自己推导． 【即时训练】 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率 ． 【答案】/ 【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】设, 则，相减可得， 故答案为： 【经典例题一 求直线与椭圆的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】分析可知直线和均过，结合图象即可判断. 【详解】直线和均过， 结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个. 故选：C. 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为. (1)求椭圆的方程. (2)已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的相关计算，建立方程，可得答案； （2）由已知点求得直线方程，联立椭圆方程求得交点，根据题意求得直线方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题意可作图如下： 由（1）可得，，则由得直线的方程为， 联立，化简可得，解得，， 将代入，可得，由题意可得在直线上， 直线的斜率，则直线的方程为， 将代入，可得，则. 1．（2024高三下·全国·专题练习）直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】不妨取，得到，是两个椭圆，分别与有2个交点，得到答案. 【详解】不妨取，原方程变为， 这是两个椭圆，分别为和， 其中的上下顶点为，故与有2个交点， 同理与有2个交点， 故共有4个公共点. 故选：D 2．（多选题）（24-25高二上·江西南昌·期末）已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（   ） A．若D是的中点，则 B．若M是C的左焦点，则G是的中点 C． D．若M是的中点，则 【答案】AC 【分析】对A：求出直线的方程，与椭圆联立，求出点及的坐标，即可求解；对B：求出直线的方程，可得点的坐标，即可判断；对C：设，求出直线，的方程，求出点及的坐标，即可判断；对于D：利用三角形相似得，结合C选项，可得，即可求解. 【详解】由是的中点，则，又，则直线的方程为， 与联立可得，解得或， 将代入，可得，， 即，则，故，A正确. 若是的左焦点，则，直线的方程为. 令，得，所以.令，得， 即当时，是的中点，B错误. 设，直线，的斜率分别为，， 则，，. 直线，的方程分别为，， 分别令，可得，，所以，. ，C正确. 由∽得，由∽得， 可得. 因为是的中点，所以. 结合，可得， 所以，D错误. 故选：AC    3．（23-24高二上·湖南郴州·期末）设曲线上的动点与定点的距离和点到定直线的距离的比为.倾斜角为的直线经过点与曲线交于两点（点位于轴上方），则 . 【答案】/ 【分析】根据两点距离公式以及点到直线距离公式，建立并整理可得轨迹方程，根据倾斜角与已知点，写出直线方程，联立方程，求得交点的坐标，结合图象，可得答案. 【详解】 设，则，点到直线的距离， 由题意可知，则，化简得， 直线的斜率，由，则直线的方程为. 设， ，消去可得，解得， ， . 故答案为：. 4．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点的轨迹是圆，该圆的方程为 【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程； (2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点； (3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解. 解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 ，从而得到点的轨迹和轨迹方程. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为， 得，所以椭圆方程为. （2）由，得直线斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 得，， ，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时或； 当时，的垂直平分线方程为， 联立， 得， 即 因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故， 即， 则， 即， ， 即， ， 而，也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P， 则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线， 也为的角平分线，      作的角平分线，根据椭圆的光学性质得， ，则， 故， 所以三点共线，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为或也满足， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为. 【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是： (1)首先根据题意得到直线和椭圆方程； (2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程； (3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数. 【经典例题二 求椭圆的切线方程】 【例1】（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求得直线的方程，然后求得直线的方程，进而求得点坐标，从而求得. 【详解】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入得， 整理得， 由于直线和椭圆相切，则， 整理得， 所以直线的方程为， 对于椭圆，，所以， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A    【例2】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且． (1)求点的坐标； (2)若直线与平行，且与相切，求的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆的顶点可得，求得即可得解； （2）根据直线得平行设，联立得，再利用即可得解. 【详解】（1）由题意得， 得，又，所以， 所以． （2）由题意得．因为与平行，所以的斜率为2． 设，联立得． 因为与相切，所以， 得， 故的一般式方程为或． 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 2．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，椭圆，点A为椭圆在第一象限上的点，轴，若线段与x轴垂直，直线与椭圆只有一个交点，则，的大小关系是（     ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】求出切线方程，得出点坐标，计算出比较可得． 【详解】由已知，，，，，∴， 设直线的方程为， 由，得， ∴，解得， 直线方程为，即，直线方程为， 由得，即， ，， 故选：A． 3．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为 ．    【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，分别求得、的方程，再利用切线长定理求得切线长的表达式，进而求得该切线长的最大值. 【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．    因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆， 其方程为． 设点，，， 依题意，，且， 所以，且， 即，且． 由于t不恒等于0，于是，故，， 代入，可得， 故曲线的方程为．设上的点， 则， 则切线长为，故切线长的最大值为． 故答案为：. 4．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点且与椭圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）由椭圆的焦点，可得，根据椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，得，求解的值，即可得椭圆的方程；（2）当直线的斜率不存在是不符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆的方程，利用，求解斜率的值，即可得到直线的方程． 试题解析：（1）由题意得，椭圆的焦点，得，又椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，得，联立解得，则，所以． （2）由题意，显然设直线必存在斜率，又直线过点， 设所求直线的方程为：，联立：， 消元化简得：， 要使直线与此椭圆相切，只需：， 解得， 所以所求直线方程为：， 即：． 【经典例题三 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 【例1】（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线与椭圆相切，则实数m的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线与椭圆联立，根据判别式为0求解即可. 【详解】将直线与椭圆联立，得，由题意可知. 故选：B 【例2】（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设直线的方程为，，，的中点为，联立直线与椭圆方程，可得，结合韦达定理可得，代入直线可得，进而求解即可. 【详解】根据题意可设直线的方程为， 设，，的中点为， 联立方程组，得， 则，解得， 由韦达定理得，则，所以． 又点在直线上，即，则， 而，则. 所以实数的取值范围是. 故选：B． 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点．若椭圆内有一点Q满足，则Q的横坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先由过已知点及焦距求得椭圆方程，设直线的斜率，得的方程并与椭圆联立求得点，得到直线的斜率，再由，得到直线的方程并联立求得，利用基本不等式求其范围即得解. 【详解】由题意得，，所以， 故椭圆方程为． 由题意知直线PA，PB的斜率存在且不为零， 设直线PA，PB的斜率分别为k，n（，）， 故直线PA的方程为， ，∴直线AQ的方程为， 联立，得， 因为点P不与A，B重合，所以，， 则， 因为，所以直线BQ的方程为． 联立，得， 当时，，当且仅当时取等号，此时， 根据椭圆的对称性可得，当时，， 综上，点Q横坐标的取值范围是， 结合各选项可得点Q的横坐标可能为，，． 故选：BCD 3．（24-25高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】直线与椭圆联立方程进行消元, ，求解即可. 【详解】由，可得， 因为直线与椭圆没有公共点， 故，故或， 则的取值范围为， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，是椭圆的左、右焦点，，是以为直径的圆上关于轴对称的两个动点．    (1)设直线的斜率分别为，求． (2)直线和与椭圆的交点分别为和．问：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)是，． 【分析】（1）根据是椭圆的左、右焦点，可得以为直径的圆的方程，再求出直线的斜率，即可求得的值； （2）设直线和的方程代入椭圆方程，分别求得，利用，可得，由此可求实数的值． 【详解】（1）由椭圆知， 故以为直径的圆的方程为． 设，则，且． 所以直线的斜率，直线的斜率， 故． （2）存在实数，使得恒成立. 设直线的方程为，直线的方程为． 将代入，整理得． 设，则由韦达定理得． 所以． 同理． 由， 得． 所以，所求实数的值为． 【经典例题四 根据韦达定理求参数】 【例1】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知曲线，过点的直线交曲线于，两点，设为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用分割法以及基本不等式，可得答案. 【详解】   显然直线的斜率是存在的，设直线方程为， 代入曲线的方程并整理得， 设，，则，， ， 当且仅当或时取等号，此时，符合题意， 所以面积的最大值为， 故选：C． 【例2】（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知椭圆，点. (1)求椭圆的离心率和短轴长； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)离心率为，短轴长为， (2) 【分析】（1）根据题意可得，进而可得，根据离心率以及短轴的定义即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理形式求解出中点的坐标，再根据位置关系得到，由此可求得关于的表示，结合求解出的取值范围. 【详解】（1）依题意得，故，进而 故离心率为，短轴长为， （2）由得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，即（*）， 设，，则， 所以， 所以线段的中点．易知, 直线的斜率， 由，得，所以，解得 将代入到（*）中，得，即，且 解得， 综上所述，实数的取值范围是．    1．（2022高二·全国·竞赛）已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心坐标公式结合韦达定理计算即可. 【详解】设点，椭圆右焦点为, ∴， 设的方程为，代入椭圆方程， 得：， ①，②， 联立①②得，即的方程为，满足. 故选：A． 2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 【答案】C 【分析】已知焦距和过A的两个相互垂直的射线，通过AB的反向延长得到D点，则，根据面积得到线段的关系，通过方程的联立，代入线段关系即可求解. 【详解】由焦距为2知，， 设直线与的另外一个交点为，，， 则，关于轴对称，即， 由的面积为，得，即， 将直线代入的方程整理，得， 显然判别式大于0，，， 因为，所以，即， 所以，解得或（舍去），所以． 故选：C． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，过其左焦点作一条斜率为的直线，与椭圆交于，两点，满足，则实数的值为 . 【答案】 【分析】设出直线方程与椭圆方程联立，由可得到A、B两点的纵坐标的关系，结合韦达定理进而得到方程，求出实数k的值. 【详解】由离心率为，可得，， 设直线方程为，，不妨设， 由，可得，得， 与椭圆联立，化简整理得， 则，，结合，可得， ，从而，解得，又， 所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，直线交轴于点，点在直线上的射影分别是点．设直线与的交点为，是否存在实常数，使得恒成立？ 【答案】存在 【分析】根据题意设，．将直线方程代入椭圆方程化简得，与轴交于点有，当为中点时，，可得根据韦达定理计算验证此等式成立，所以为的中点．同理可得交轴于点与三点重合，得到为的中点可得的值． 【详解】存在实常数，使恒成立. 椭圆，如图，设，．    将代入，得． 所以， 与轴交于点，得①， 当为中点时，，代入①得 即 所以，根据韦达定理计算验证此等式成立，所以为的中点． 同理，连接，交轴于点，可得，所以点与点重合． 因为为交点，所以三点重合， 所以存在实常数，使恒成立． 【经典例题五 求椭圆中的弦长】 【例1】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 【例2】（24-25高二上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可. 【详解】（1）设 得 （2）设，得， 所以有 得 由题可知 两式求差化简得 即 因为 所以 所以直线的方程为 联立解得或 所以 1．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果. 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 2．（多选题）（23-24高二上·吉林白山·期末）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】讨论直线斜率存在性，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求的范围，即可得答案. 【详解】由，即点在椭圆内， 若直线斜率存在，设直线为，联立椭圆， 整理得，且， 所以， 则， 若直线斜率不存在，则为长轴长，即， 综上，.    故选：BCD 3．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】设出直线方程，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理即可求出长度 【详解】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是． 设此直线与椭圆的交点为，． 联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得， 故，． 所以 ． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆恰过原点，求弦长的取值范围． 【答案】 【分析】解法1：设直线的方程为，联立椭圆方程化简，最后根据弦长公式求出的取值范围； 解法2：设两点坐标，分别代入椭圆方程，两式相加，利用均值不等式进行求解. 【详解】.解法1 ： 联立方程 消去得， 整理得，直线与椭圆交于两点， 所以 设， 由过原点得根据向量垂直的性质，即， 把代入，展开得到， 根据韦达定理，代入上式化简得到， 根据弦长公式， 所以 ． 令， 则上式化为． 再令， 则上式化为． 即； 解法2 ：由题可知：以为直径的圆过原点，所以，令, 所以，则 设，， 将其代入椭圆方程（这里），得到 ，进一步变形为， 两式相加得， 由基本不等式，已知，由，可得， 又因为，根据基本不等式，所以，即， 综上，； 故本题答案为：. 【经典例题六 椭圆中三角形(四边形)的面积】 【例1】（24-25高二下·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知面积关系可得，即可求解. 【详解】如下图示，若的面积是面积的2倍，则， 由题设知，且，故， 所以. 故选：D 【例2】（24-25高二上·新疆喀什·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. (1)求弦长； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值； （2）求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）在椭圆中，，，所以，，则点， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. （2）原点到直线的距离为， 故的面积为. 1．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】设的中点为，确定为等边三角形即可求解； 【详解】设的中点为， 则， 于是， 又，则为正三角形，即． 故选：A． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若为正方形，则的边长为 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．长方形的面积的最大值为14 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确. 【详解】对于A，由椭圆的方程知，则， 椭圆的离心率，A正确； 对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确； 对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径， 正方形的边长为，B错误； 对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径， 长方形的面积（当且仅当时取等号）， 即长方形的面积的最大值为14，D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是的面积的3倍，则 ． 【答案】 【分析】由三角形面积比可得两焦点到AB距离之比，列方程求解即可. 【详解】如图， 联立，消去y可得， 则，解得， 设到的距离为，到的距离为， 由椭圆方程知，，则，， ，解得或（舍去）． 故答案为：． 4．（23-24高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形. （i）证明：四边形为菱形； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由长轴长为短轴长的倍得，由焦距为4得，进而，求得，，即可得解； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明. （ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值. 【详解】（1）由题意可知，，则， 又，则，所以，解得，， 故椭圆的方程为； （2）（i）当直线的斜率不存在或为零时，圆内切于正方形， 四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意， 此时四边形为菱形； 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，， 由得， 则， ，， 所以， 因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为， 则，整理得， 所以， 则，此时平行四边形为菱形. 综上可知，四边形为菱形. （ii）由（i）知，当四边形为正方形时，； 当四边形不为正方形，而为菱形时， 因为， 所以的面积为， 令，则，， 所以， 当，即时，取得最大值. 因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为， 因为，所以菱形的面积最大为. 【经典例题七 椭圆的焦半径与焦点弦问题】 【例1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设为坐标原点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，斜率相等列等式即可求解. 【详解】如图所示：    因为是椭圆的左焦点，所以， 因为是椭圆上的一点，轴，将代入得，所以， 又，所以，即，整理得， 所以. 故选：C. 【例2】（23-24高三上·河南驻马店·期末）动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹为. (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求的方程. 【答案】(1)，曲线是焦点在轴上的椭圆 (2) 【分析】（1）由距离公式列方程化简求解； （2）设直线与椭圆联立，由中垂线得Q坐标，结合，，将韦达定理代入化简求解进而得解. 【详解】（1）由题意得， 化简得，即. 故曲线是焦点在轴上的椭圆. （2）设，，直线的方程为， 由题得：， 联立方程组整理得， 显然，所以， 所以线段的中点为， 所以线段的垂直平分线方程为. 令，可得，即. 因为 由，可得， 则，解得， 所以的方程为.    1．（23-24高二·全国·课后作业）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（    ） A． B． C． D．与弦斜率有关 【答案】B 【分析】不妨设为椭圆的右焦点，，，利用椭圆的右焦半径公式，， 联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得． 【详解】令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 所以，， 又，，所以， 综上，. 故选：B. 2．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】如图，由椭圆的对称性可知，根据相似三角形的性质和焦点弦的性质可得，，对化简计算即可求解. 【详解】如图，延长交椭圆于点．由椭圆的对称性，可知．    因为，所以． 设直线的倾斜角为．由焦点弦的推导公式，得，， 所以，即， 所以．因为直线的斜率为正， 所以，所以， 解得． 故选：ABC． 3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据点关于直线对称结合焦半径的范围化简得出离心率范围. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， ， ， ，即，又， 椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：.    4．（2024·全国·模拟预测）已知圆的圆心是椭圆的左焦点，圆与轴的两个交点是，其中是椭圆的右顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与圆在点处的切线分别交于两点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将圆转化为标准方程求出圆心，并求出与坐标轴的交点，代入椭圆中求解参数即可. （2）首先讨论斜率不存在的情况探路出答案，后讨论斜率存在的情况，正常联立求出关键点的坐标，后求直线的斜率，推出，，最后即可得证. 【详解】（1）圆的方程可化为， 所以圆心． 由解得或， 易得．因此， 于是， 故椭圆的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不妨设，，从而直线的方程分别为和，于是，则， 因此有，所以成立． 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立得，消去得． 设， 则，得． 易知直线的方程为，圆在点处的切线方程为， 设，则，于是， 同理可得． 则直线的斜率， 直线的斜率， ， 所以，即，因此， 即， 故成立． 综上，． 【经典例题八 由弦中点求弦方程或斜率】 【例1】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可. 【详解】设则 将点代入椭圆方程,两式作差得 即直线的斜率为 直线的方程为即. 故选：. 【例2】（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆：上的任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且为的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率即可求；（2）应用点差法即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 解得，，， 所以椭圆方程为. （2）因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点， 设，，则， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 所以直线为，即. 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设右焦点为，由椭圆的对称性，得四边形为平行四边形，推出，，，由椭圆的定义，解得，，在中由余弦定理可得，解得离心率，设,，,，,，把点，坐标代入椭圆的方程，两式相减得，即，即可得出答案． 【详解】    设右焦点为，由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， ， 而， 所以，， 在中，， ，则，解得， 设,，,，,， 所以，， 两式相减得， 所以， 所以， 即， 所以. 故选：AC． 3．（24-25高二上·广西柳州·期中）已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求， 故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故答案为： 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：过点，且离心率． (1)椭圆的方程； (2)过右焦点的直线交椭圆于两点，，AB的中点为．设原点为，射线OM交椭圆于点，已知四边形AOBD为平行四边形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率以及焦距即可求解方程， （2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解. 【详解】（1）椭圆过点， ，又，， 解得：， 椭圆的方程为； （2） 设直线的方程为， 由得， 设， 则.， 四边形为平行四边形. 设，则， 所以，， 因为点在椭圆上， 所以得，解得， 当直线的斜率不存在时，显然不成立 所以，直线的方程为或 【经典例题九 求弦中点所在的直线方程或斜率】 【例1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆，过点的直线与交于两点，且为的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入椭圆方程相减得直线斜率，从而得直线方程． 【详解】，在椭圆内部， 易得直线的斜率存在，设的斜率为， 由题意得，两式相减得 ，则，得. 故的方程为，即. 故选：C． 【例2】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）利用点差法求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 故椭圆C的方程为． （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，， 则两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以， 所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意. 1．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由设该弦与椭圆的两个交点分别为，，使用点差法，求出弦所在直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线方程，最后整理为一般方程的形式． 【详解】因为，可知点在椭圆内部， 设该弦与椭圆的两个交点分别为，，则， 且点为中点，则， 因为，两式作差可得， 则，即，可得， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 3．（23-24高二上·湖北·期中）已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为 ． 【答案】 【分析】 设，线段的中点为，利用点差法可得，设直线的方程为，得到的坐标，可得，进而可得，再利用求出，则可得到的方程. 【详解】 设，线段的中点为， 由，相减可得， 则， 设直线的方程为， ， ，解得， ， ，化为 ，，得， 的方程为，即. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点F，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，若C上存在一点N，使得ON与AB互相平分（O为坐标原点），求k． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率找到与的关系，再将点代入即可求出椭圆方程； （2）设出直线方程与椭圆联立，根据韦达定理表示出AB的中点坐标，进而表示点坐标，再根据点在椭圆上即可求出的值. 【详解】（1）由离心率，得，所以C的方程化为：， 将点代入C的方程得，解得，所以C的方程为． （2）由（1）得，则的方程为， 设，，AB的中点为， 联立消去得， 则，所以， 所以， 因为ON与AB互相平分，则四边形OANB为平行四边形，有， 所以，又N在C上，所以，解得． 【经典例题十 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数】 【例1】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 【例2】（2024高三·北京·专题练习）已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 【答案】（在椭圆内部的部分）. 【分析】设弦的中点坐标为，根据点差法，结合题意，即可求得其轨迹方程. 【详解】设弦的端点为，，其中点是， 则，，由于点，在椭圆上，则有：， 两式做差可得，所以， 化简得（在椭圆内部的部分）． 所以被截得的弦的中点轨迹方程为：（在椭圆内部的部分）. 1．（22-23高二上·江西赣州·期末）椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，求得的关系式，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， 而，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A 2．（多选题）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用点差法解方程求出，设点，得，计算并消元，将其整理成，结合，即可求得的取值范围即可. 【详解】如图， 设，因点在椭圆上，则有：， 两式相减，化简得：， 依题意，，代入上式，解得：，即椭圆方程为：. 设点，则，即， 则， 因，则，故. 故选：BCD. 3．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程． 【详解】由已知条件可知，， 联立，消去并整理得： 设，， 则， 则， 由，则， 又因为, 所以， 解得 所以椭圆方程为 故答案为：    4．（2025高三·全国·专题练习）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过点的直线（斜率存在）与交于两点，线段的中点为（不与重合），直线与的斜率之积为．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】设，代入椭圆方程，利用点差法两式相减可得坐标关系从而证得所求. 【详解】证明：设， 由于在椭圆上，故 两式相减得，即， 设，则有， 故，即，， 设直线的斜率为，则，直线的斜率为， 故直线与直线的斜率之积为，即，故． 【经典例题十一 求椭圆中的最值问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上除顶点以外的动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线，，相交于点，由三角形全等得到为的中点，，由中位线用表示，从而得到取值范围. 【详解】设直线，，相交于点，    因为，所以，即，又因为，是公共边， 所以与全等，所以为的中点，， 又为线段的中点，所以. 在中，， 因为存在，所以不共线，所以不能取等号， 又因为不是顶点，所以，即，所以， 所以. 故选：C. 【例2】（2024·广东茂名·二模）已知椭圆，右焦点为，过点的直线交于两点. (1)若直线的倾斜角为，求； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标，根据直线的点斜式，联立直线方程和椭圆方程，求得交点的坐标，根据两点之间距离公式可求得 ； （2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得|AB|，计算的中点，利用最大求得直线方程 【详解】（1）由题意可得， 因为直线的倾斜角为，所以， 因此，的方程为， 联立方程，消去得 解得 所以 因此，； （2）设，由题意得，直线的斜率不为0，故设为， 联立方程消去得，，， 因此， 所以， 设线段的中点为， 则， 所以， 所以 设，则， 当且仅当，即时等号成立， 当最大时，也最大，此时直线的方程为， 即或 1．（2025高三·全国·专题练习）已知A，B是椭圆长轴的两端点，P，Q是椭圆上关于轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为．若椭圆的离心率，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：设出点P，Q，A，B的坐标，表示出直线AP，BQ的斜率，作和后求最值，利用离心率求得与的关系，则答案可求． 解法二：利用椭圆的第三定义得到，进而得到，借助基本不等式得到答案. 【详解】解法一：由已知可得，则．    设点，则，由，可得 设点，则 ． 因为点在椭圆上，所以，所以当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 解法二（二级结论法）： 设，则，,   ，， ，且 将带入，， ， ， ，则， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：D． 2．（多选题）（2025·河北保定·三模）已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（   ） A．均关于轴对称 B．面积的最大值为 C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 【答案】ACD 【分析】A根据条件求出点的轨迹方程即可判断；B当为的上、下顶点时，的面积最大；C取特殊点即可；D联立的两个方程得出，即，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】设，由，得， 将代入得 ， 所以关于轴对称； 由，知为椭圆，易得其方程为， 所以关于轴对称，故A正确； 当为的上、下顶点时，的面积最大， 故，故B错误； 当时，， 令，得，解得，即， 故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 由椭圆的方程，得， 代入， 得，所以， 因为，所以，解得或（舍去），D正确. 故选：ACD. 3．（2025高三·全国·专题练习）为椭圆上一点，为长轴所在直线上一定点，若取最小值时，点恰在椭圆长轴端点处，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，则，利用二次函数取最值的条件求解即可. 【详解】由点为椭圆上一点，可设， 则， 令，则， 又点恰在椭圆长轴端点处时，取最小值，即要使最小值在处取得， 故二次函数的对称轴不能在区间内，即或. 故答案为： 4．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线与交于，两点（点在轴上方）.当的方程为时，. (1)求的方程； (2)若点为线段的中点，求面积的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）当的方程为时，，进而可得为等边三角形，进而由椭圆定义可得，由此求出，进而可求； （2）设点的坐标为，，，联立直线方程得到韦达定理，进而可求，由三角形面积公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）当的方程为时，，则，， 故为等边三角形，则，解得， 则，故的方程为. （2）设点的坐标为，，， 由题意知：直线斜率存在且不为，设直线的方程为：（）， 联立，消得，且， 故， 故，所以， 当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为. 【经典例题十二 椭圆中的定值问题】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）已知A，B为椭圆上两点，为坐标原点且，过点作直线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若直线的斜率不存在时，则在轴上，设的坐标为，求得；同理可得，若直线的斜率为零时，；若直线的斜率存在时，设直线，联立方程组，求得，由，列出方程，得到，再由直线的方程为，联立方程组，求得，进而得到，即，结合圆的定义，即可求解. 【详解】若直线的斜率不存在时，则点在轴上， 设的坐标为，不妨设， 因为两点在椭圆上，可得，解得，此时； 同理可得，若直线的斜率为零时，； 若直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得，， 设，则且， 因为，可得， 则， 所以，整理得， 又由，可得过原点的直线的方程为， 联立方程组，解得，即, 则， 综上可得，点的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆， 且该圆的方程为. 故选：D. 【例2】（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据椭圆的离心率和顶点，可求，进而确定的值，可得椭圆的标准方程. （2）表示出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再用两点式写出直线，的方程，进而得到，的纵坐标，表示出，化简即可. 【详解】（1）由题意：， 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 直线的方程为：，代入得： ， 整理得：. 设，，则，. 又直线：，令得； 直线：，令得. 所以 . 1．（2023·贵州贵阳·三模）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左､右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点，则直线与的斜率乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出；根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】直线过原点，可设，则， ； ，，，. 故选：B. 2．（多选题）（2024·河南·三模）如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点（非长轴端点），连接交直线于点，连接交于点（是坐标原点），则（    ）    A．为定值 B． C． D．的最大值为 【答案】AC 【分析】设点的坐标为，，而，对于A，求出直线的斜率进行判断；对于B，C，求出直线的方程，令，求出的值，可得点的坐标，然后可求出的斜率进行判断；对于D，求出直线，的方程，两方程联立可求出点的坐标，从而可表示出的长，进而可判断其最值 【详解】由题意知，因为点在椭圆上， 所以设点的坐标为，，． 对于A，，故A正确； 对于B，因为，直线的方程为，令，得，故， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，的方程为，的方程为， 联立直线的方程可求得，，故点，又， 所以， 当，时，，故，故D错误． 故选：AC． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆为其任意一点，从原点引圆的两条切线，分别交椭圆于两点，则 ． 【答案】24 【分析】根据从原点引圆的两条切线，分别交椭圆于两点，得是方程的两根，利用韦达定理得，设，，得，即，最后利用两点间距离公式和同角三角函数平方关系即可求解. 【详解】根据题意，得直线的方程为， 因为直线与圆相切，则， 整理得，， 方程的判别式， 故方程有两个根， 设方程的根为， 则， 即，设，， 所以， 即，，， 其中 ， 故答案为：24．    4．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程； （2）设，由，关于原点对称得，联立得，然后求出，，利用两点斜率公式并化简得为定值，即可得解. 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值.    【经典例题十三 求直线与双曲线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等腰直角三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等腰直角三角形求出即可． 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，， 准线方程与双曲线联立可得， 解得. 因为为等腰直角三角形， 所以，即，解得， 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·单元测试）设双曲线的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从点A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP交于Q，R两点．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程为，点的坐标为.则即可求得；设直线的方程为，点的坐标为.设直线的方程为，设点的坐标为，求出即可得证. 【详解】 双曲线的右顶点为， 两条渐近线方程为. 设直线的方程为， 点的坐标为. 由得 则. 由题可设直线的方程为，点的坐标为. 由得 则直线的方程为，设点的坐标为， 由得 所以＝， 从而|. 1．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线左、右焦点分别为，直线与双曲线右支交于点，过点作平分线的垂线，垂足是，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过联立直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，从而求得，利用二倍角公式、余弦定理等知识求得. 【详解】双曲线对应， 所以，，直线过点， 由解得，则， 所以， 所以， 直线的斜率为，倾斜角为，即， ， 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得： . 故选：B 2．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的几何性质可得准线方程为：，即可与双曲线联立得，即可根据等边三角形的性质求解. 【详解】解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为：， 准线方程与双曲线联立可得：，解得，故, 因为为等边三角形，所以， 即有，解得 故选：C 3．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F，A分别是双曲线的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】由条件根据双曲线的对称性可得，从而可求离心率. 【详解】设，将代入，得，所以， 因为，且，由双曲线的对称性可知，, 所以，即,即， 所以，即， ， 所以双曲线的离心率为2， 故答案为：2. 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）如图，双曲线C：－＝1的中心O为坐标原点，离心率，点 在双曲线C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，求＋的值． 【答案】(1)－＝1 (2) 【分析】（1）依题意双曲线的离心率，且点在双曲线上，所以可以得到两个关于的方程，再根据，就可解出，求出双曲线的方程．（2）因为，所以，设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，分别代入双曲线方程，即可得的坐标用含的式子表示，再代入＋，化简即得. 【详解】（1）因为，所以，从而，所以双曲线C的标准方程为－＝1， 即，.因为点在双曲线C上，所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为－＝1 （2）设， 设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， .联立与－＝1，得， 所以，同理有， 所以. 【经典例题十四 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 【例1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的渐近线和直线经过的定点，根据定点在双曲线的一条渐近线上知直线与另一条渐近线平行即可求解. 【详解】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为， 则点在渐近线上， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以． 故选：A． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）双曲线，，两点在双曲线上，且．若线段的垂直平分线经过点，求中点的横坐标． 【答案】2 【分析】利用点差法可知，然后得到的中垂线方程，最后代入点计算即可. 【详解】设，，中点为， ，两式作差可知， 则，所以的中垂线方程为， 代入，得，所以中点的横坐标为2． 1．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【详解】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A 2．（多选题）（2025·吉林长春·模拟预测）已知双曲线，直线m与双曲线的右支交于点A，B（A在x轴上方），与双曲线的两条渐近线交于点M，N（M在x轴上方），O为坐标原点．当直线m的斜率存在时，下列结论中正确的是（） A．恒成立 B．的面积的最小值为1 C．若，则 D．若，则的面积为定值 【答案】ACD 【分析】对于A选项，设直线方程为，分别与双曲线方程以及双曲线的渐近线方程联立，求出中点坐标，并判断是否相等即可；对于B选项，设直线方程为，直线分别与渐近线方程联立，求出坐标，进而求出的面积，根据的范围，求出的面积的范围即可；对于C选项，由，得到，结合A选项的结果，即可判断选项C是否正确；对于D选项，由已知可得，利用选项A的方程，得到关系，求出的面积即可． 【详解】对于A，设，代入得，① 显然，即， 设，则是方程①的两个根， 有， 设， 由得，由，得； 所以，所以和的中点重合， 所以，所以恒成立．故A正确． 对于B，设直线方程为， 由得,由得， ，，故B错误． 对于C，因为和的中点重合为，所以， 又，所以，所以，故C正确． 对于D，因为，所以， 得，即， 所以，又， 所以是定值．故D正确． 故选：ACD． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设点，分别为，的内心，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用平面几何图形的性质可得的横坐标相等，都为,得到轴且过双曲线的右顶点,设直线的倾斜角为，求解三角形可得, 由，即可得所求范围. 【详解】如图，设的内切圆与边,,的切点分别为,,, 则,,,    由,得, 即． 记点的横坐标为, 则,于是,得． 同理，内心的横坐标也为，则有轴． 设直线的倾斜角为， 则，，所以 ． 由双曲线可得，，，所以， 由于，为双曲线右支上的点，且一条渐近线的斜率为，则，可得的取值范围是． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）设分别为双曲线的左右顶点，为双曲线左支上一点，记直线的斜率分别为，若. (1)求双曲线的离心率； (2)直线与轴交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，由，及点在双曲线上，列出等式，化简即可求解； （2）通过方程求得的坐标，再由斜率公式即可求证； 【详解】（1） 设，则，即， 又，所以，于是， 所以，离心率. （2）直线的方程为，令，则， 所以， 由（1）知，所以，， 故. 【经典例题十五 求抛物线的切线方程】 【例1】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【详解】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C 【例2】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】，，. 【分析】考虑直线与对称轴平行、斜率不存在和斜率存在三种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，由根的判别式为0，求出斜率，得到直线方程. 【详解】因为，所以点在抛物线外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，为抛物线的切线，满足题意； 当直线斜率为0时，直线方程为，与抛物线对称轴平行，满足题意； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，消去整理可得， 因为只有一个公共点， 所以，解得，所以直线为， 综上，直线方程为，，. 1．（2025·河南周口·二模）已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程利用判别式为零求出斜率，求出B，C坐标，进而可得答案. 【详解】设点，易知切线的斜率存在，设切线斜率为，则方程为， 联立，， 由可得， 解得， 切线的方程为，令可得， 不妨设, 则 . 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知过抛物线（）的焦点的直线交抛物线C于，两点，且，直线OA和OB的斜率分别为，则（    ） A． B． C．线段长的最小值为4 D． 【答案】BC 【分析】直接由特殊值（）求得，及判断AD，并验证BC选项，然后在斜率存在时，设其方程为，代入抛物线方程得出，由焦点弦长公式得判断C，利用计算后判断C． 【详解】当时，，，，，A错； 当斜率存在时，设直线方程为， 代入抛物线方程得，，解得（负值舍去）， 焦点为，抛物线方程为，当与轴垂直时，，， 可取，此时，，，，D错； ， ，，，而异号，所以， ，B正确； ， 综上，，当轴时，取得最小值4，C正确， 故选：BC． 3．（2025高三·全国·专题练习）阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则 ． 【答案】 【分析】求出直线与直线的方程，联立两直线方程即可求得P点坐标，则可求；也可以使用二级结论“过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上”快速推导结果. 【详解】依题意，，直线， 由得，得或， 不妨设． 因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为， 与联立得关于的方程， 即， 令，得， 故直线的斜率，即直线， 同理可得直线的斜率，直线． 由得即，则． 二级结论法： 直线，由得出或， 不妨设， 由抛物线焦点弦的性质可得，过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上， 且交点的纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，所以，所以． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）证明抛物线的焦点关于切线的对称点的轨迹为准线． 【答案】证明见解析 【分析】设点，求出切线的方程,由对称性可得对称点的轨迹方程,即可得证. 【详解】如图，设点，    对求导得过点的切线的斜率为， 又，则， 则切线的方程为． 根据抛物线的性质，切点为的切线与轴的交点为，则， 所以． 由，得， 由，得，即， 于是，得． 由，得． 设，由于点与点关于直线对称， 所以． 即抛物线的焦点关于切线的对称点的轨迹为准线． 【拓展训练一 直线与椭圆位置关系相关问题】 【例1】（2025·江苏南通·一模）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 【例2】（24-25高三下·海南海口·阶段练习）离心率为的椭圆交轴负半轴和轴负半轴分别于点A，B，点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点P作直线l与椭圆C的一个交点为M，与直线的交点为N，若P为MN的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由离心率及的面积列出等式求解即可； （2）法一：联立求得N，结合中点坐标公式求得M坐标，代入椭圆方程即可求解；法二：设，则，所以，联立椭圆方程求解即可； 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，因为，，所以， 因为，， 所以直线，， 所以点到直线AB的距离为， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以椭圆的方程为． （2） 方法一：当，则，，P不是MN的中点（舍去）； 当，联立得，所以， 代入椭圆整理可得，解得，或， 所以直线的方程为或． 方法二：设，则，所以， 联立消去整理可得，所以或， 所以，或， 所以直线的方程为或． 1．（24-25高二上·甘肃武威·期中）已知点和点， 若直线上存在点， 可使， 则称该直线为“D型直线”． 下列四条直线中：①； ② ；   ③；    ④．“D型直线”的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意点在椭圆上，再逐项分析直线是否与椭圆有公共点即可得解. 【详解】由可知，点轨迹为椭圆， 由，可得，又焦点在轴上， 故椭圆的方程为， 由题意，直线与椭圆有公共点即为“D型直线”， 由过点，知直线过椭圆内的点，故相交，是“D型直线”， 由可知，与椭圆相交，是“D型直线”，与椭圆没有公共点，不是“D型直线”， 由知与椭圆没有公共点，不是“D型直线”. 故选：B 2．（多选题）（2025·河北秦皇岛·一模）已知椭圆为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，延长，交椭圆于点，且为椭圆的左顶点，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若，则椭圆的离心率为 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，则，故，则利用与离心率公式即可得解；对于B，设，，接着利用和结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解. 【详解】因为， ，所以与全等， 所以，且为的中点， 连接，所以与全等， 所以，， 对于A，若，则， 所以，则，所以， 所以，故A错误； 对于B，设，则，且即， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由题意可知是的中位线，故，故C正确； 对于D，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即， 因此，故D错误. 故选：BC 3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l：与椭圆C：交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，则 ． 【答案】 【分析】根据直线与椭圆相交即可求解. 【详解】设，， 联立得， 因为直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为， 由于直线过点在椭圆内， 所以，，所以，即，所以， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）试确定的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称． 【答案】 【分析】设，中点，将两点代入椭圆方程两式做差结合中点坐标可得，由题意可知，代入计算可得，由中点必在椭圆内建立不等式计算即可求解. 【详解】设，中点， 则，可得， 因为， 所以，即， 即， 因为，所以，即， 因为，所以， 由于中点必在椭圆内，故有，解得， 所以实数的取值范围为. 【拓展训练二 椭圆相关求解问题】 【例1】（2023高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆，根据弦长公式即可. 【详解】联立直线与椭圆方程， 消可得：，， 设， 则，，根据弦长公式有： . 故选：B. 【例2】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； 【详解】（1）由焦点在直线上，令，解得， 已知椭圆过点， 所以， 所以 所以椭圆的方程为 （2）    当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：的焦点，直线l：，点，线段AF交C于点B，若，则等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用给定条件求出关键点坐标，结合平面向量模长公式求解即可. 【详解】设，，又， 所以，， 由，即，所以 又点B在椭圆C上，所以，解得， 所以A点坐标为， 所以，故C正确. 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·海南·期末）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ） A．的周长为 B．的最大值为 C．当时，的面积为 D．椭圆上存在个不同的点，使得为直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可判断A选项；由基本不等式结合椭圆的定义，即可判断B选项；根据焦点三角形面积公式得出面积，即可判断C选项；设，求出满足的点的个数，即可判断D项. 【详解】对于A，由得， ∴ 的周长为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，的面积为，故C正确； 对于D，设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如上图，当点位于短轴顶点时有， 所以，当时，点P为椭圆的上下两顶点，则点有2个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点， 即满足以及的点有4个. 综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D正确. 故选：ACD． 3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知点，椭圆上的两点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，由及点差法可得，结合点在椭圆上可得，由求解即可. 【详解】由题意知，，，故点在椭圆内，、、三点共线，如图所示， 设，则， 由，可得，解得. 又， 可得，即，⑤ 将①②代入⑤可得，⑥ 联立①⑥，即，解得， 将点带入椭圆方程可得，整理得， 由可得，解得， 又，所以，故实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，D为线段AB的中点，且，（O为坐标原点）. (1)求的面积； (2)过F的直线交C于P，Q两点，记点O，A到直线PQ的距离分别为，，则是否存在最大值？若存在，求出最大值及PQ的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，最大值为，的方程为 【分析】（1）根据题意得，，，结合，，解得即可得到的面积； （2）由（1）得椭圆C：，设PQ的方程为，，，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式得，由，得，得，求得取最大值时的的值即可得解. 【详解】（1）因为，所以，① 因为为右顶点，为上顶点， 所以，，. 因为为线段的中点，所以，. 又，所以.② 联立①②并结合，解得，，， 故. （2）存在最大值. 由（1）得椭圆C：. 易知直线PQ斜率不为0，（当直线PQ斜率为0时，点O，A到PQ的距离均为0，此时无意义） 设PQ的方程为，，， 联立 消去得， 则，， 故， 由（1）得，， 所以，即，（分别过点O，A作PQ的垂线，垂足为M，N，则，故由弦长的数量关系得，间的数量关系） 所以， 当且仅当时等号成立， 所以存在最大值，最大值为，此时的方程为. 【拓展训练三 弦中点、中点弦坐标的应用】 【例1】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 【答案】(1)的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为.      1．（24-25高二上·北京·阶段练习）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】利用点差法计算即可. 【详解】设，则 由题易知 两式求差可得， 故选：B 2．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意，是的中点，可得，， 则，两式相减可得， 所以，，解得， 因此，直线的斜率为，经验证此时直线与椭圆有两个交点， 故选：A. 3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】代入直线，求得直线斜率，然后利用点差法化简计算即可得出结果． 【详解】代入直线，可得：，， 所以直线方程为：. 设，代入椭圆方程得， 两式相减得：， 即,又， 所以， 又因为直线的斜率为，所以，解得：. 所以椭圆的方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·四川攀枝花·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与椭圆，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意，化简， 又因为直线PA、PB的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有， 又为线段AB的中点， 则有，，代A即得直线的斜率为， 直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为. （3）， 设，，则，， 故. 【拓展训练四 直线与双曲线相关问题】 【例1】（2024·全国·模拟预测）过双曲线的左焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于两点，在第二象限，在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】直线的方程分别与与联立可得、点坐标，从而求出的坐标，根据得，结合可得答案． 【详解】由题意知，直线的方程为， 由，可得， 由可得， 则， 因为，所以， 整理得，故双曲线的离心率． 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）试确定的取值范围，使得双曲线上有不同的两点关于直线对称． 【答案】 【分析】设出对称的两点的坐标， 通过中点在对称轴上及两点连线与对称轴垂直，结合双曲线方程利用点差法求解即可. 【详解】设关于直线对称的两点为中点． 已知，则，且， 两式相减得，即． 从而，故， 若点在同支上，则中点在双曲线焦点所在区域，即，于是，无解； 若点在异支上，则中点位于双曲线两支之间的区域，即，于是，得． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得. 【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高三下·广东清远·开学考试）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（    ） A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2 B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或 C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是 D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，则线段AB中点的轨迹是直线 【答案】ACD 【分析】设，联立双曲线求相切时参数，注意直线与渐近线平行的情况，数形结合分析不同区间直线与双曲线的交点情况判断A、B、C；求出交点的坐标，进而确定其中点坐标得到轨迹方程判断D. 【详解】由双曲线方程知，渐近线为，显然时直线与双曲线只有一个交点， 若与双曲线相切时，联立双曲线有， 整理得，此时，可得， 综上，若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或，A错，B对； 如下图示，当时，直线与双曲线的两支各有一个交点，共两个交点， 当时，直线与双曲线的一支有两个交点， 当时，直线与双曲线无交点， 综上，C错； 若直线l与双曲线C的渐近线相交于A、B两点，即， 联立，可得，同理，可得， 所以线段AB中点坐标为，易知中点轨迹方程为， 所以轨迹为双曲线，D错. 故选：ACD 3．（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，设过左焦点的直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理，求得，结合，列出方程，即可求得的值，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的左焦点为， 设过左焦点且斜率为的直线的方程为， 联立方程组，整理得，其中不等于， 设，且 则，则， 可得，即， 因为，所以，可得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义及已知条件列出方程组来求解和. （2）利用三角形面积关系得到直线平行关系，进而得出直线方程，再通过联立直线方程与双曲线方程求解点的坐标. 【详解】（1）由题设条件，可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因为，所以点 到直线的距离相等. 又点位于轴下方，所以 由（1）可知， 所以，则直线的方程为 联立 整理得解得或. 当时，点；当时，点， 综上，点的坐标为或.    1．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，曲线由三部分构成：半圆，半圆，半椭圆，直线交于，动点在曲线上，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再求点到直线的距离，表示出的最大面积. 【详解】如图： ， 故. 显然当点在半圆上且时，面积最大. 因为点到直线：的距离为：. 所以点到直线的距离 故. 故选：B 2．（2025高二·全国·专题练习）已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的中点坐标为，讨论、，结合，，，由点在直线上得，点在椭圆内有，即可得. 【详解】设直线的中点坐标为，直线的垂直平分线为直线， ①当时，，符合题意； ②当时，因为，而，则， 所以，即， 因为点在直线上，故，可得， 又因为点在椭圆内，故，解得且； 综上，. 故选：B 3．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过且斜率为3直线交于，两点，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点斜式求出直线的方程与椭圆联立可以两交点纵坐标，根据椭圆的性质以及三角形面积公式可求的半径. 【详解】依题意，直线的方程为即， 联立解得，所以，从而， 的周长为，面积为， 又，所以. 故选：A 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 5．（2024·浙江金华·模拟预测）经过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分直线斜率存在与不存在进行讨论，斜率存在时联立曲线借助计算即可得. 【详解】设过点的直线为，当该直线斜率不存在时，，则， 即其与抛物线有唯一公共点，符合要求； 当该直线斜率存在时，设， 联立有，即， ，因为， 故有两个不同的实数解， 即有两条不同的直线，与抛物线有且仅有一个公共点， 综上所述，共3条. 故选：C. 6．（多选题）（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（　　） A．四边形为平行四边形 B．可能为直角 C．四边形面积最大为4 D．直线的斜率为 【答案】AD 【分析】根据对称性判断A，用反证法判断B，由面积为4确定点位置，从而确定直线位置后判断C，设，计算斜率判断D． 【详解】由椭圆方程得，，， 选项A，由椭圆的对称性得，又，所以四边形AF1BF2为平行四边形，A正确； 选项B，若为直角，则，所以是椭圆短轴顶点，即椭圆与的轴交点，此时，直线与轴重合，不存在，B错； 选项C，四边形面积为，，则是短轴顶点，此时直线直线与轴重合，不存在，C错； 选项D，设，则，，，，D正确． 故选：AD．    7．（多选题）（24-25高二上·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（   ） A．椭圆的标准方程为 B． C． D．若直线与椭圆相交于，两点，则 【答案】ACD 【分析】由已知列出关于方程组求得后再求得，从而得椭圆方程；设，依题意得，化简并把用表示后得关于的恒等式，由恒等式知识可求得；将与椭圆方程联立，解出交点坐标后可得距离，从而判断各选项． 【详解】由题意，所以， 所以椭圆的标准方程为，A正确； 设，依题意得， 又，所以， 所以恒成立， 可得且，且，显然， 解得，B不正确，C正确； 由，解得，， 所以交点为，，D正确． 故选：ACD 8．（多选题）（24-25高二·上海·随堂练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 【答案】BD 【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC；对于D，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误． 【详解】由题意可知：， 对于选项A：设， 则，且， 因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得， 整理可得，即， 所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误； 对于选项B：因为， 若点M坐标为，则，可得， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于选项C：若直线方程为，点，则， 可得，所以C错误； 对于选项D：若直线方程为， 联立方程，消去y整理得：，解得， 所以，故D正确； 故选：BD． 9．（多选题）（24-25高二上·黑龙江黑河·阶段练习）椭圆左右焦点分别为是上任意一点，则正确的有（    ） A．的周长为 B．的最小值为2 C．的最大值为16 D．的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义、三角换元法、基本不等式、向量运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于椭圆，， 根据椭圆的定义可知，的周长为，A选项错误. 设，， ， 所以当时，取得最小值为，所以B选项正确. ，当且仅当时等号成立， 所以C选项正确. ， 所以当或时，取得最大值为， 所以D选项正确. 故选：BCD 10．（多选题）（2025·陕西西安·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（   ） A．C的虚轴长为 B．C的离心率为 C．的最小值为 D．过点能作4条直线与C仅有一个交点 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断ABC，D选项，分过点P斜率存在和不存在两种情况研究问题即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，解得，所以双曲线， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离为， 即的最小值为，C正确； 对于D，过点垂直于轴的直线为，此直线与双曲线相切与点，符合题意， 设过点斜率存在的直线为， 联立方程组，得， 当时，即时，直线平行于渐近线，与双曲线只有一个交点，符合题意， 当时，， 解得，此时直线与双曲线相切， 故过点能作4条直线与C仅有一个交点，D正确. 故选：ACD 11．（24-25高三上·山东潍坊·期末）写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程 . 【答案】或（只需写出其中一个） 【分析】先说明所求直线的斜率存在，再设 所求直线为，联立方程组结合切线性质列方程求，由此可得所求直线方程. 【详解】抛物线的对称轴为， 所以抛物线的切线的斜率一定存在，故所求直线的斜率存在， 设所求直线的方程为， 因为直线与抛物线相切， 所以方程组只有一组解， 所以方程只有一个根， 所以方程的判别式，即， 因为直线与椭圆相切， 所以方程组只有一组解， 所以方程只有一个根， 方程的判别式， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或（只需写出其中一个即可）. 12．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为 ． 【答案】2 【分析】设，联立方程组求出面积为，令，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率不为0，， 故设，， 联立得，， 则， 则， 故的面积， 令，则，等号成立时，， 故的面积的最大值为2. 故答案为：2 13．（22-23高二上·河南焦作·期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】利用点差法即可求得过点且被点P平分的弦所在直线的方程. 【详解】设该直线与椭圆的两个交点分别为， 则 又，，两式相减得 则，则， 则所求直线方程为，即 经检验符合题意. 故答案为： 14．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= 【答案】/0.25 【分析】根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程；设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值. 【详解】由题意得：且，得， 所以椭圆的方程为. 由椭圆方程可知，，，设，则，其中且； 则，，则，所以为定值. 故答案为: 15．（2025高三·全国·专题练习）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是为坐标原点）的重心．记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】分别取的中点，连接，通过点差法，，进而可求解. 【详解】分别取的中点，连接，    则点分别在直线上．设，， 由，两式相减得， 直线斜率，直线斜率， 则，设直线的斜率分别为， 同理，又， 因此，得， 所以椭圆的离心率． 故答案为： 16．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）阿基米德(公元前287年-公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知在平面直角坐标系中，椭圆C:的面积为，椭圆的焦距为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点，，，分别为椭圆的上、下顶点，设为直线上一点，且直线，的斜率的积为，证明:点在轴上. 【答案】(1)+y2=1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到椭圆方程； （2）设坐标，根据直线BD，BM的斜率的积得到直线BD的斜率，然后联立直线的方程得到，再结合得到即可证明. 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程是. （2） 设，则，，，且，， 所以直线BM的斜率为， 因为直线BD，BM的斜率的积为， 所以直线BD的斜率为， 所以直线BD的方程为， 又直线AN的方程为， 联立方程组，解得， 因为点M在椭圆C上，所以， 则，所以点D在x轴上. 17．（2025·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件确定的值，可求椭圆的方程. （2）把直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出，，再表示出直线和的斜率，利用列式，求的值即可. 【详解】（1）由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）如图：    联立，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 18．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）设椭圆的上顶点为，直线与椭圆相交于、两点 (1)若，直线斜率的取值范围； (2)设三角形的重心为，若，求直线的方程 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）先由向量的重心表达式可得点中点的坐标，再由点差法代入计算，即可得到直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1） 设直线：，， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则， 则， 得，即， 解得； （2）由题意，，设边上的中点为， 由重心的定义，，得， 将代入椭圆方程可得， 两式作差可得，化简可得， 即，即得， 因此直线的方程为. 19．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的定义求的方程； （2）把直线方程分别与曲线的方程和曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得与的中点重合，，为线段的三等分点等价于，结合弦长公式证明结论. 【详解】（1）因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线. 设的方程为. 由，可得，所以， 所以的方程为. （2）证明：设，，，的坐标分别为，，，. 由消去得. 因为直线与双曲线相交，所以，化简得， 所以，. 由消去得， 所以，， 所以，则与的中点重合， 所以，为线段的三等分点等价于. 又， 同理可得， 所以，即，所以， 显然当时，. 故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”. 20．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线外一定点的直线交抛物线于两点，过两点分别作切线，且的交点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点且平行于抛物线对称轴的直线交弦于点，求证：为弦的中点； (3)设过定点且平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点，求点处的切线方程； (4)求证：点处的切线与点的轨迹所在直线平行． 【答案】(1)或． (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）设，设直线方程为，代入抛物线方程并应用韦达定理得，注意由得的范围，写出过两点的切线方程，联立求得点坐标，消去参数得点轨迹方程（注意范围限制）； （2）在（1）的证明过程中可得，从而得证； （3）求出点坐标，后由（1）可得切线方程； （4）由（1）（3）结论可证． 【详解】（1）设，显然直线的斜率存在，可设其方程为， 由得， 且，解得且， ，， 设点处的切线方程为， 由得 ， 则，，，解得， 所以点处的切线方程为，即，即， 同理点处切线方程为， ， 又，则得， 又因，， 代入得，消去得， 又且，所以或， 点的轨迹方程是或． （2）由（1）知，因轴，故， 即中点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以为弦的中点． （3）代入得，即， 由（1）知点处的切线方程，即． （4）由（1）知点的轨迹所在直线方程是，它与直线平行． 学科网（北京）股份有限公司 $