专题2.5 抛物线重难点题型讲义（4个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题2.5 抛物线重难点题型专训 （4个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用抛物线定义求动点轨迹 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型四 根据抛物线方程求焦点或准线 题型五 抛物线的焦半径公式 题型六 根据抛物线的方程求参数 题型七 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型八 根据定义求抛物线的标准方程 题型九 根据抛物线上的点求标准方程 题型十 求抛物线的轨迹方程 题型十一 求实际问题中的抛物线方程 题型十二 抛物线的范围 题型十三 求抛物线的对称轴 题型十四 抛物线的对称性的应用 题型十五 根据抛物线的对称性求相关的参数 拓展训练一 抛物线相关求解问题 拓展训练二 抛物线的特性及公式 拓展训练三 求抛物线方程 拓展训练四 抛物线的对称性 知识点一：抛物线的定义 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 【知识剖析】 （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【即时训练】 1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ，则点 到 轴的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南常德·期末）已知抛物线：（）上一点到其焦点的距离与到轴的距离之差为2，则 . 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 离心率 通径长 【知识剖析】 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （4）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 【即时训练】 1．（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点关于其准线对称点坐标为，则p的值为 . 知识点三：抛物线的焦半径公式 1．焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2．用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线， （2）抛物线，． （3）抛物线， （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【即时训练】 1．（2025·四川绵阳·三模）已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·山西朔州·模拟预测）抛物线上一点，焦点为，已知，则 ． 知识点四：抛物线的几何性质 以抛物线为例 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 【即时训练】 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 【经典例题一 利用抛物线定义求动点轨迹】 【例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 1．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·山东日照·期末）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作．已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为 C．直线的方程为 D．的面积为 3．（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）若点与点的距离比它到直线的距离小2，求点的轨迹方程． 【经典例题二 抛物线上的点到定点的距离及最值】 【例1】（23-24高三上·江西赣州·期末）若抛物线上的动点M到其焦点F的距离的最小值为1，则p的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知点P在抛物线上，求点P到椭圆左顶点的距离最小值． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 2．（多选题）（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为 ，距离＝ ， 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【经典例题三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 【例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（多选题）（2022·湖北荆州·模拟预测）已知为曲线上一动点，则（    ） A．的最小值为2 B．到直线的距离的最小值为 C．的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 3．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.    【经典例题四 根据抛物线方程求焦点或准线】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，过Γ上一点P作于A，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 1．（2025·山东济南·一模）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）抛物线的焦点坐标为 ． 4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点． (1)求点Q的轨迹方程； (2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标． 【经典例题五 抛物线的焦半径公式】 【例1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，若，则点的横坐标为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求． 1．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（    ） A． B．直线的倾斜角为 C． D．点的横坐标为 3．（2025·广东·二模）设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则 . 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【经典例题六 根据抛物线的方程求参数】 【例1】（2023·陕西渭南·二模）抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）若抛物线的焦点到点的距离等于5，求实数的值. 1．（2022·陕西西安·三模）已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·河北廊坊·期中）若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 4．（2023·四川巴中·模拟预测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 【经典例题七 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6. 1．（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（多选题）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北保定·期末）若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A、B、C为抛物线上相异三点． (1)求p的值； (2)若，求的值． 【经典例题八 根据定义求抛物线的标准方程】 【例1】（2023·河南新乡·三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上横坐标为4，且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5，过作垂直于轴于点，线段的中点为. (1)求此抛物线的方程； (2)已知，以点为圆心，为半径作圆，试判断直线与圆的位置关系并说明理由. 1．（2022·云南玉溪·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高二上·山东菏泽·期中）如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高三上·云南·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为： . 4．（24-25高二上·广西南宁·期中）分别求出适合下列条件的方程： (1)已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； (2)已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 【经典例题九 根据抛物线上的点求标准方程】 【例1】（24-25高二上·河北唐山·期末）唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）求焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5的抛物线的标准方程. 1．（2022高三·全国·专题练习）已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·河北石家庄·期末）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：求和的标准方程. 【经典例题十 求抛物线的轨迹方程】 【例1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·北京海淀·阶段练习）已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 4．（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【经典例题十一 求实际问题中的抛物线方程】 【例1】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    1．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（22-23高三上·辽宁营口·期末）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度 米． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2m, P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多长(精确到整数位)? 【经典例题十二 抛物线的范围】 【例1】（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【例2】（2025高二·全国·专题练习）如图，三条直线，，两两平行，直线与的距离为，直线与的距离为，，是直线上的两个定点，，是直线上的两个动点，且，设的外心为，点到直线的距离为． (1)求点的轨迹； (2)求的最小值． 1．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．若以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求点的轨迹方程； (2)若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的三边，，分别与曲线切于点．求梯形面积的最小值． 【经典例题十三 求抛物线的对称轴】 【例1】（23-24高二上·重庆大足·期末）抛物线的对称轴是直线 A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 1．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 2．（多选题）（23-24高二上·江苏镇江·期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 4．（23-24高二下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2. （1）求点的轨迹的方程； （2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由. 【经典例题十四 抛物线的对称性的应用】 【例1】（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程是； (3)对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4． 1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（多选题）（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 3．（22-23高二上·浙江宁波·期中）已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：，现在将一个半径为的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 ． 4．（2024高三·全国·专题练习）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长. 【经典例题十五 根据抛物线的对称性求相关的参数】 【例1】（2023·江西萍乡·二模）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 【例2】（2023高三·全国·专题练习）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点?若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围. 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 3．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 4．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【拓展训练一 抛物线相关求解问题】 【例1】（23-24高二下·湖南·期末）已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【例2】（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过点且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且，求的离心率． 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 3．（2025·福建漳州·模拟预测）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【拓展训练二 抛物线的特性及公式】 【例1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，、是上不同的两点，为坐标原点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    1．（2023·河北沧州·模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·甘肃白银·期末）抛物线的焦点为，点为上的一点，若，则直线的倾斜角可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01） 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【拓展训练三 求抛物线方程】 【例1】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，.求抛物线的方程和椭圆的标准方程. 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（多选题）（24-25高三上·广西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点； (4)焦点为直线与坐标轴的交点. 【拓展训练四 抛物线的对称性】 【例1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）（1）已知正的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点，在抛物线上，求这个三角形的边长． （2）已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程． 1．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知圆和抛物线，请问与可以取怎样的值使圆与抛物线只有一个公共点，要求写出的三个不同的值，其中一个值，另两个值都小于0． 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（22-23高三上·江苏南通·期中）已知圆：直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得 B．直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得 C．与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 D．与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 8．（多选题）（24-25高二上·甘肃白银·期末）设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为 C．若直线与曲线恰有一个公共点，则 D．从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为 9．（多选题）（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知抛物线，焦点，，动点满足，则（   ） A． B．若在上，则是等腰直角三角形 C． D．的轨迹长度为 10．（多选题）（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 12．（2024·陕西·二模）已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则 . 13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知抛物线，点为抛物线上的动点，点与点的距离的最小值为2，则 . 14．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的焦点为，准线为，点，圆过点且与相切，试写出点的一个可能坐标为 . 15．（2024·上海普陀·一模）设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 16．（24-25高二上·全国·单元测试）如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 17．（2023高三·全国·专题练习）某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案阴影区域”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．    (1)求抛物线方程； (2)求证：． 18．（24-25高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 19．（2025·上海·高考真题）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离为5，过A作轴，垂足为B，OB的中点为M． (1)求抛物线的方程； (2)过M作，垂足为N，求点N的坐标； (3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系． 20．（24-25高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标； （2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 抛物线重难点题型专训 （4个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 利用抛物线定义求动点轨迹 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 题型三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型四 根据抛物线方程求焦点或准线 题型五 抛物线的焦半径公式 题型六 根据抛物线的方程求参数 题型七 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型八 根据定义求抛物线的标准方程 题型九 根据抛物线上的点求标准方程 题型十 求抛物线的轨迹方程 题型十一 求实际问题中的抛物线方程 题型十二 抛物线的范围 题型十三 求抛物线的对称轴 题型十四 抛物线的对称性的应用 题型十五 根据抛物线的对称性求相关的参数 拓展训练一 抛物线相关求解问题 拓展训练二 抛物线的特性及公式 拓展训练三 求抛物线方程 拓展训练四 抛物线的对称性 知识点一：抛物线的定义 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 【知识剖析】 （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 【即时训练】 1．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ，则点 到 轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定专线方程，结合抛物线的定义确定点 的纵坐标，带入即可求解. 【详解】由题可知抛物线 的准线方程为 . 设点 ,根据抛物线的定义可知 ,即 . 由抛物线方程可得 ,即 ,所以点 到 轴的距离为 . 故选：D. 2．（24-25高二上·湖南常德·期末）已知抛物线：（）上一点到其焦点的距离与到轴的距离之差为2，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线定义即可求解. 【详解】由抛物线的定义得： 抛物线上的点到其焦点的距离等于点到准线的距离， 则，. 故答案为：4 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 离心率 通径长 【知识剖析】 （1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． （2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0． （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （4）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小． （6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线． 【即时训练】 1．（2025·山西·二模）若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程，代入可得结果. 【详解】由题意可知，抛物线C的方程为， 将代入，可得，故抛物线C的方程为. 故选：A. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点关于其准线对称点坐标为，则p的值为 . 【答案】2 【分析】利用焦点坐标关于准线对称后坐标为即可求p. 【详解】焦点坐标，准线方程，焦点关于准线方程对称点的坐标为，因此，∴. 故答案为：2. 知识点三：抛物线的焦半径公式 1．焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2．用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线， （2）抛物线，． （3）抛物线， （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【即时训练】 1．（2025·四川绵阳·三模）已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，结合的面积可得，进而求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意，，设， 则，则，即， 将代入，得， 根据抛物线的定义，. 故选：C. 2．（2025·山西朔州·模拟预测）抛物线上一点，焦点为，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义进行求解. 【详解】由抛物线的定义可得准线方程为：， 由在抛物线上，且, 则，解得. 故答案为： 知识点四：抛物线的几何性质 以抛物线为例 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 【即时训练】 1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 2．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知且轴，设设，，结合抛物线方程分析求解. 【详解】由题意可知，且轴， 设，，则，可知， 所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为． 故答案为：. 【经典例题一 利用抛物线定义求动点轨迹】 【例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【答案】 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】 由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 1．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A 2．（多选题）（22-23高二上·山东日照·期末）已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作．已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为 C．直线的方程为 D．的面积为 【答案】BCD 【分析】根据题中定义，结合抛物线的定义、直线斜率公式逐一判断即可. 【详解】为线段，：为线段， 又， 设， ①当时，由题意可得，点的轨迹； ②当时，，，点的轨迹； ③当时，为点到的距离，， 此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为， 所以，故抛物线的标准方程为； ④当时，，，此时点在的中垂线上， 而，，中点坐标为，所以， 所以点在上，故选项A错误； 设，又，所以，解得，故点A的坐标为，故选项B正确； 因为，又点在上， 联立方程组，可得， 所以点B的坐标为，，故直线AB的方程为，即． 故选项C正确；则直线与的交点坐标为， 所以，故选项D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合解方程组法是解题的关键. 3．（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】由题意可得，动圆的圆心到直线的距离与到点的距离相等，所以动圆的圆心是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则其方程为． 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）若点与点的距离比它到直线的距离小2，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】直接由题意列出方程，注意到要用分类讨论思想化简即可. 【详解】不妨设点，因为点与点的距离比它到直线的距离小2， 所以点的轨迹方程为，接下来我们分以下三种情形来化简该方程： 情形一：当时，方程变为，两边同时平方得， 化简并整理得点的轨迹方程为；如下图所示：    此时点对应的轨迹为顶点在原点，分别以点、直线为焦点和准线的一条抛物线. 情形二：当时，方程变为，此时方程左边非负且右边恒负，所以此时方程无解， 即此时点的轨迹不存在，就无轨迹方程可言了； 情形三：当时，方程变为，两边同时平方得， 化简并整理得，注意到且，此时产生了矛盾， 因此此时点的轨迹不存在，也无轨迹方程可言. 综上所述：满足题意的点的轨迹方程为，（其中）. 【经典例题二 抛物线上的点到定点的距离及最值】 【例1】（23-24高三上·江西赣州·期末）若抛物线上的动点M到其焦点F的距离的最小值为1，则p的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】结合抛物线的定义得，即可求解. 【详解】解：设点，则， 得， 故，得， 故选：C 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知点P在抛物线上，求点P到椭圆左顶点的距离最小值． 【答案】 【分析】由平面内两点间的距离公式计算后再求最值即可. 【详解】因为点P在抛物线上，设， 而由椭圆，可知其左顶点的坐标为， 记点P到左顶点的距离为，则 ，当时，即，时，有最小值. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可. 【详解】如图，抛物线上点到圆心的距离为，    因此，当最小时，最小， 而， 当时，，因此的最小值是． 故选：A. 2．（多选题）（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据抛物线的定义，结合点在抛物线上，对每个选项逐一求解即可. 【详解】对：由题意可知，由，可得，故A正确； 对B：当时，，解得，即，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：AD. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为 ，距离＝ ， 【答案】 【分析】设出点P的坐标，表达出，结合求出的最小值及此时点P的坐标，得到答案. 【详解】设抛物线上任一点P的坐标为，则， 则， 因为，且在此区间上随着x的增大而增大， 所以当x＝0时，取得最小值，最小值为，则的最小值为. 故距离点A最近的点P的坐标为，距离是. 故答案为：， 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 【经典例题三 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 【例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到点的距离之和最小，则该点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：，当三点共线时距离之和最小，进而先求出点纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值，从而得到答案. 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由定义可得， 所以， 由图可得，当三点共线时，最小，此时. 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为． 故选：C. 【例2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【详解】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又， 故的最小值为． 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义和性质，结合图象求出的最小值. 【详解】抛物线，即，其焦点为，准线方程为， 易知在抛物线的内部，点即为焦点， 如图所示，过点作于点，则，即， 显然当三点共线时最小，最小值为， 即的最小值为4， 故选：B. 2．（多选题）（2022·湖北荆州·模拟预测）已知为曲线上一动点，则（    ） A．的最小值为2 B．到直线的距离的最小值为 C．的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】BCD 【分析】化简曲线为，利用抛物线的定义及距离公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线，化简可得， 则曲线为抛物线的右班部分，如图所示， 因为抛物线，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，结合图象可得，原点到直线的距离取得最小值， 最小值为，所以B正确； 对于C中，由点到准线的距离为，点到准线的距离为， 则， 所以的最小值为，所以C正确； 对于D中，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以D正确. 故选：BCD. 3．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.    【答案】12 【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义将点P到点A的距离与到x轴的距离之和转化为点P到点A的距离与到焦点的距离之和减去1，继而利用几何意义求得答案. 【详解】由抛物线方程可知其焦点为，准线为， 点P是抛物线上的动点，则点P到x轴的距离为P到准线的距离减去1，    由抛物线定义知P到准线的距离等于P到焦点的距离， 设P到x轴的距离为d，则， 当且仅当三点共线时等号成立，而， 故，即点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为12. 【经典例题四 根据抛物线方程求焦点或准线】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，过Γ上一点P作于A，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求出交点坐标和准线方程，得出的坐标，即可求出的值. 【详解】由题意， 在抛物线Γ：中， ，Γ的准线方程为， 设， ，解得， ∵， ∴， 故的坐标为或，    由几何知识得，． 故选：D. 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)焦点坐标为，准线方程为． 【分析】（1）（2）（3）根据抛物线的焦点坐标和准线方程的求法即可得到答案. 【详解】（1）对于，焦点在轴正半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （2）对于，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （3）对于，即，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． 1．（2025·山东济南·一模）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点为，再利用抛物线平移即可得到答案. 【详解】，焦点为， 焦点为， 则焦点为， 故选：B． 2．（多选题）（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得抛物线的图象可由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为抛物线即的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以AC说法正确，BD说法错误； 故选：AC 3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】将抛物线方程化为，借助图形变换求出抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即可视为抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得， 而抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点． (1)求点Q的轨迹方程； (2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q的轨迹方程； （2）联立两曲线方程，解之即可得解. 【详解】（1）设点Q的坐标为， 因为抛物线C：，所以点F的坐标为， 又点Q为线段PF的中点，所以点P的坐标， 将点P的坐标代入抛物线C的方程，得，整理为， 故点Q的轨迹方程为； （2）联立方，解得， 故点Q的轨迹与双曲线的交点坐标为，． 【经典例题五 抛物线的焦半径公式】 【例1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，若，则点的横坐标为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用抛物线的焦半径公式列式即可得解. 【详解】因为抛物线，则，焦点在轴的正半轴， 又，设， 则由焦半径公式得，即，解得. 故选：B. 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求． 【答案】答案见解析 【分析】结合焦点坐标可求得点横坐标，利用焦半径公式可求得，进而得到结果. 【详解】 由抛物线方程得：，准线方程为： 为中点，点在轴上，点的横坐标为， 由抛物线定义知：，. 1．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点P，Q在的准线上且关于轴对称，，线段与分别相交于点，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出p的值，再作AN垂直的准线于点，由，解得，所以，即可求解． 【详解】解：如图所示： 设PQ与轴的交点为，则. 又， 即，解得， 所以. 作AN垂直的准线于点， 则， 解得， 所以， 所以的周长. 故选：C 2．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（    ） A． B．直线的倾斜角为 C． D．点的横坐标为 【答案】AC 【分析】计算焦点的坐标，从而可得的值，判断选项A，再由已知条件分析可得为等边三角形，从而得，即可判断选项B，在，计算的值，即可得，判断选项C，利用点到准线的距离列式计算点的横坐标判断选项D. 【详解】依题意，可得点的坐标为，从而得，A正确； 因为点在准线上，轴，， 又，为等边三角形，， 如图，当点在第一象限，得， 即直线的倾斜角为， 若点在第四象限，同理可得直线的倾斜角为，B错误； 在中，，，C正确； 所以点的横坐标为，D错误. 故选：AC． 3．（2025·广东·二模）设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则 . 【答案】2 【分析】根据题意，由条件可得为线段的中点，即可得到，再由焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，其准线方程为， 设，因为，则为线段的中点， 所以，即， 由抛物线的定义可得. 故答案为：2 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 【经典例题六 根据抛物线的方程求参数】 【例1】（2023·陕西渭南·二模）抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图象正好对应抛物线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转关系确定原抛物线所在位置，及旋转过程中图形形状不变得出原解析式，从而得结论． 【详解】抛物线的焦点在轴上，顶点为坐标原点， 其图象绕其顶点顺时针旋转之后，焦点在轴上， 因为形状不变，因此新图象解析式为， 变形为，所以， 故选：C． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）若抛物线的焦点到点的距离等于5，求实数的值. 【答案】m的值为11或. 【分析】讨论或，求出抛物线的焦点，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】解析当，即时，，， 所以焦点为， 依题意有，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以焦点为， 依题意有，解得（舍去）或. 综上，m的值为11或. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识，属于基础题. 1．（2022·陕西西安·三模）已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，利用中点坐标公式求出的值，可得出抛物线的方程，再将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，所以，，解得. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二上·河北廊坊·期中）若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据抛物线的定义，可得，结合点在抛物线上，联立方程组，即可得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得其准线方程为， 因为点到焦点的距离为m，根据抛物线的定义，可得， 又由点是抛物线上的点，可得， 联立方程组，解得. 故选：AC. 3．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【答案】或 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 4．（2023·四川巴中·模拟预测）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求a； (2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值； （2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标． 【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即， 因为的面积为4，所以，解得，所以． （2）由（1）得，． 当直线l斜率为0时，不适合题意； 当直线l斜率不为0时，设直线，设，， 由，得， 则，，， 因为直线PA，PB的斜率之和为， 所以，即， 所以，所以 ，整理得， 所以直线， 令，解之得，所以直线l过定点． 【经典例题七 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点即可求解抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 【例2】（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由准线方程，得的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程； （2）由焦点的位置和焦点到准线的距离，得的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，抛物线开口向上， 所以抛物线的方程是． （2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，抛物线开口向左或向右， 所以抛物线的方程是或． 1．（22-23高二下·河南洛阳·阶段练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 2．（多选题）（23-24高三上·云南·阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果. 【详解】由于焦点在直线上， 当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为； 当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为， 故选：BC． 3．（23-24高二上·河北保定·期末）若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据数列为等比数列，利用等比中项求得a即可. 【详解】解：因为数列为等比数列， 所以，， 则，， 所以以为焦点的抛物线标准方程为：， 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，且焦点F到其准线的距离为，A、B、C为抛物线上相异三点． (1)求p的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题，结合抛物线性质即可求； （2）由，在x轴方向上有，又由椭圆定义得，综上即可求 【详解】（1）由抛物线焦点F到其准线的距离为得 （2）设点、、， 由（1）知．因为，在x轴方向上有，即， 所以． 【经典例题八 根据定义求抛物线的标准方程】 【例1】（2023·河南新乡·三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：依题意得 ， 因为，所以. 又，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：D 【例2】（22-23高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上横坐标为4，且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5，过作垂直于轴于点，线段的中点为. (1)求此抛物线的方程； (2)已知，以点为圆心，为半径作圆，试判断直线与圆的位置关系并说明理由. 【答案】(1) (2)相离，理由见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，即可求得抛物线的方程； （2）先求出直线的方程，结合圆心 到直线的距离，判断出，从而可知直线与圆相离. 【详解】（1）因为是抛物线上横坐标为 4 、且位于 轴上方的点, 到抛物线准线的距离等于 5 , 所以 , 所以 , 所以抛物线方程为: . （2）由题意得,，点的坐标为，点的坐标为,圆的圆心是点, 半径为2 . 所以直线的方程为 ,即为 ， 圆心 到直线的距离 , 故直线与圆相离; 1．（2022·云南玉溪·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题知点A为的中点，结合已知得，过点B作，由抛物线的定义即可求解. 【详解】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点， 因为，所以． 过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知， 所以，则，所以． 故选：C 2．（22-23高二上·山东菏泽·期中）如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可. 【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、， 设，则由已知得，由抛物线的定义得， 故， 在直角三角形中，，， 又因为， 则，从而得， 又因为， 所以. 故选：B. 3．（23-24高三上·云南·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为： . 【答案】 【解析】如图作，，由抛物线定义知是等边三角形，再过焦点作，知为的中点，所以，即焦点到准线的距离是，即可求得抛物线方程. 【详解】抛物线：，焦点，准线 如图，，，，由抛物线定义知，故是等边三角形， 过焦点作，交于，则为的中点，所以，即焦点到准线的距离是 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知，再利用知是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题. 4．（24-25高二上·广西南宁·期中）分别求出适合下列条件的方程： (1)已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； (2)已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上，根据抛物线定义，确定值，即可求解. （2）由已知, 设出圆C方程，代入原点和，可得的值,即可求得圆C的方程. 【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为， 故，则， 故抛物线标准方程为. （2）因为圆C的圆心在轴上， 则设圆C方程为， 由已知，圆C过原点和， 由已知，解得， 所以圆C方程为. 【经典例题九 根据抛物线上的点求标准方程】 【例1】（24-25高二上·河北唐山·期末）唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程为，由在抛物线上求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：， 因为在抛物线上， 所以，解得， 则， 即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为， 故选：A 【例2】（2024高三·全国·专题练习）求焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5的抛物线的标准方程. 【答案】. 【分析】根据题意可设抛物线标准方程为，由已知可得，求解可得抛物线标准方程. 【详解】由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线的标准方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，解得， 故抛物线标准方程为. 1．（2022高三·全国·专题练习）已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据对称关系求出点坐标，代入抛物线方程即可求出值，从而得到抛物线方程. 【详解】设，由于点关于直线的对称点为， 所以，解得， 由于点在上，所以，解得或， 由于，所以，则抛物线方程为 故选：D 2．（多选题）（24-25高二上·河北石家庄·期末）经过点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第四象限，所以抛物线有开口向右或开口向下两种情况， 若抛物线开口向右，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向下，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以D正确. 故选：AD 3．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，若C恰过，，三点中的两点，则C的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到抛物线经过与两点，设抛物线的方程为，联立方程组，求得，即可得到C的方程. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， 且恰过，，三点中的两点， 因为点和不关于坐标轴对称，所以抛物线不可能过和两点， 又因为在第一象限，在第三象限， 即抛物线不可能同时过和两点， 所以抛物线经过与两点， 设抛物线的方程为，则，解得， 则C的方程为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：求和的标准方程. 【答案】， 【分析】结合椭圆的性质通过观察可得点在抛物线上，点在椭圆上，设标准方程代入点求解即可. 【详解】设抛物线的标准方程为， 则， 结合表格数据，因为， 所以点在抛物线上，且， 解得， 所以抛物线的标准方程为. 将点代入椭圆的标准方程中， 得， 解得， 所以椭圆的标准方程为. 【经典例题十 求抛物线的轨迹方程】 【例1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 【答案】，作图见解析 【分析】设M的坐标是，根据题已列出方程，化简可得答案，继而作出图象. 【详解】设M的坐标是，则根据题意可知， 化简得． 当时，方程可变为，这表示的是端点在原点方向为y轴正方向的射线， 且不包括端点， 当时，方程可变为，这表示的是焦点为的抛物线， 如图所示：    1．（2024高三·全国·专题练习）已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，的重心为，由定理1.1知，再由重心公式得到，，代入直线方程整理即可． 【详解】设，，的重心为． 由定理1.1知，则由三角形的重心坐标公式， 可得， ． 于是，，， 由点在直线上得，即． 其中定理1.1及证明：如图，抛物线上两个不同的点，的坐标分别为，， 以，为切点的切线，相交于点，我们称弦为阿基米德的底边． 定理1.1．点的坐标为； 证明：由，则， 所以过点的切线方程为， 过点的切线方程为，联立这两个方程， 消去，可得，再将代入点处的切线方程， 可得． 这表明，点的坐标为． 故选：B． 2．（22-23高三下·北京海淀·阶段练习）已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的轨迹为抛物线，抛物线方程为，当点与原点重合时，半径最小为，计算得到面积. 【详解】根据题意，设圆的圆心为，则圆心到的距离等于到直线的距离， 故的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 当点与原点重合时，半径最小为， 此时，圆心到直线的距离为， 直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为. 故选：B 3．（2022高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【答案】 【分析】设外心为，且，，， 根据外心的性质可求点G的轨迹方程. 【详解】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 4．（2023高二·全国·竞赛）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 【经典例题十一 求实际问题中的抛物线方程】 【例1】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（    ）    A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，利用点的坐标代入即可求解，由的几何意义即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入可得， 所以焦点到准线的距离为，即为2， 故选：B 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为， 把点代入方程中，得， 所以抛物线方程为 把代入方程中，得， 所以， 所以管柱OA的高度为.    1．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解. 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 2．（22-23高三上·辽宁营口·期末）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出． 【详解】如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线的标准方程为：，， ，代入抛物线方程可得：，解得， 由于，得或（舍） 又，化为：， 解得或（舍） . 故选：C. 3．（23-24高二·全国·期末）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度 米． 【答案】3.84./ 【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度. 【详解】建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：. 因为桥的跨度米，拱高米，所以, 代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为 把点的横坐标-2代入,得，解得：， 支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米). 故答案为：3.84. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2m, P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多长(精确到整数位)? 【答案】5 m. 【分析】以右侧抛物线顶点为坐标原点构建直角坐标系，设抛物线方程，由P(－1, －1)在抛物线上求参数，进而求得右侧水面落点坐标，根据对称性求水池的直径. 【详解】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则P(－1, －1)，代入方程得p＝， 所以抛物线的方程为x2＝－y，又B(x, －2)． 令y＝－2，则x＝±，故O′B＝＋1， 所以，根据对称性知：水池直径为2(＋1) m，约为5 m. 【经典例题十二 抛物线的范围】 【例1】（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 【例2】（2025高二·全国·专题练习）如图，三条直线，，两两平行，直线与的距离为，直线与的距离为，，是直线上的两个定点，，是直线上的两个动点，且，设的外心为，点到直线的距离为． (1)求点的轨迹； (2)求的最小值． 【答案】(1)点的轨迹是一条抛物线 (2) 【分析】(1)过点作，垂足为．以所在直线为轴、为原点建立平面直角坐标系，从而结合垂直平分线的性质得到点的方程，再代入求解即可.(2)结合抛物线的定义可知，进而得,当且仅当，，三点共线且点在点与点之间时等号成立，从而得到最小值. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为． 以所在直线为轴、为原点建立平面直角坐标系， 设，则． 设，因为点在线段的垂直平分线上， 所以， 又因为，得， 化简得， 将代入上式，得． 故点的轨迹方程为， 即点的轨迹是一条抛物线． （2）由（1）的方程可知：为抛物线的准线， , 如上图，过点作，垂足为，则，由抛物线的定义可知，所以，当且仅当，，三点共线且点在点与点之间时等号成立，故的最小值为． 1．（24-25高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 3．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．若以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求点的轨迹方程； (2)若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的三边，，分别与曲线切于点．求梯形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出M的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M的轨迹方程； （2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰的方程，分别令和求出与两底的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形面积，利用基本不等式求出其最小值． 【详解】（1）设，，又， 显然直线的斜率存在，故不妨设直线的方程为， 则． 而的中点在直线上， 故，① 由于 ，代入①即得．又， 点的轨迹方程． （2）设，，又， 显然直线的斜率存在，故不妨设直线的方程为， 则． 而的中点在直线上， 故，① 由于 代入①即得．又， 点的轨迹方程． （2）易知曲线的方程为， 设梯形的面积为，点的坐标为． 由题意得，点的坐标为，直线的方程为． ，，， 直线的方程为， 即：． 令，得，，． 令，得，，． ， 当且仅当，即时，取“”且， 时，有最小值为． 梯形的面积的最小值为． 【经典例题十三 求抛物线的对称轴】 【例1】（23-24高二上·重庆大足·期末）抛物线的对称轴是直线 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的简单几何性质即可求出． 【详解】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，属于基础题． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，对称轴为x轴，，； (2)，对称轴为y轴，， ； (3)，对称轴为y轴，， (4)，对称轴为x轴，，； 【分析】根据抛物线的标准方程即可得到答案. 【详解】（1）的焦点在x轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； （2）的焦点在y轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （3）即，焦点在y轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （4）即，焦点在x轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； 1．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 2．（多选题）（23-24高二上·江苏镇江·期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，结合抛物线，椭圆，圆的性质，依次讨论求解即可. 【详解】解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件； 对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足； 对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件； 对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件. 故选：AC 3．（23-24高二上·全国·课后作业）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是 ． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 4．（23-24高二下·上海静安·期末）在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2. （1）求点的轨迹的方程； （2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由. 【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析 【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果； （2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等， 设，则， 化简整理，可得， 所以点的轨迹的方程为； （2）由（1）得的方程为； 即由抛物线向右平移一个单位得到； 所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，以及轨迹的性质，熟记轨迹方程的求法，以及抛物线的性质即可，属于常考题型. 【经典例题十四 抛物线的对称性的应用】 【例1】（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的对称性可知两个顶点关于对称轴x轴对称，故存在正三角形的个数记为2个. 故选：C 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为； (2)准线方程是； (3)对称轴为x轴，焦点到准线的距离是4． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案. (2) 由题意设出抛物线的方程，再根据准线方程求出即可得出答案. (3) 由题意设出抛物线的方程，再根据的几何意义即可得出答案. 【详解】（1）由题意设抛物线的方程为 由焦点为，则，则 所以抛物线的方程为： （2）由题意设抛物线的方程为 由抛物线的准线方程是，即，则 所以抛物线的方程为： （3）由题意设抛物线的方程为或 由焦点到准线的距离是4，则 所以抛物线的方程为：或 1．（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，分①；②；③；三种情况进行讨论求解． 【详解】，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、； ，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、； ，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．    故选：C. 2．（多选题）（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 【答案】BCD 【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等， 所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；    对于选项C：任作一条直线垂直于抛物线的对称轴，交抛物线与两点，则， 再以圆心，为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点， 此时可得，符合题意，故C正确；    对于选项B：任作两条直线垂直于抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于和， 此时，即为梯形，故B正确；    对于选项D：如图，以为直径作圆，与抛物线交于，    此时，符合题意，故D正确； 故选：BCD. 3．（22-23高二上·浙江宁波·期中）已知一个玻璃杯内壁的轴截面是抛物线，其方程为：，现在将一个半径为的小球放入杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析轴截面，当小球圆心和点距离最小时，即点为时，分析圆心坐标符合的二次函数对称轴在轴左侧位置时的半径范围. 【详解】设小球的圆心为，抛物线上任意一点 满足.圆心到点的距离的平方 . 若的最小值在点为即时取到，则小球触及杯底， 所以此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧即，， . 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长. 【答案】 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为、，由图形的对称性可以得到，解此方程得到的值，从而可得结果. 【详解】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、，    则，， 又，∴，即， ∴，又∵，，， ∴，由此可得，即线段关于轴对称， ∵轴垂直于，且， ∴， ∵， ∴， ∴. 【经典例题十五 根据抛物线的对称性求相关的参数】 【例1】（2023·江西萍乡·二模）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值. 【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为, 由抛物线，得到抛物线关于x轴对称， 又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称， ∴它们的交点A,B关于x轴对称， 因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4， ∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值, 不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为, 又∵A在圆上，∴,解得, 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值. 【例2】（2023高三·全国·专题练习）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点?若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围. 【答案】存在，. 【分析】本题的解法有两种：一是如果存在对称的两点A、B满足题设要求，显然的中点在抛物线内部，构成一个含有a的不等式，从而确定a的取值范围； 二是按照对称问题的一般处理方法，即A、B两点连线与对称轴垂直，的中点在对称轴上，且直线与抛物线必有两个交点，消元后的一元二次方程必有两个不等的实根，判别式应大于0. 【详解】解法一：假设存在抛物线上两点，关于直线对称，记线段的中点为，则点在上，即.又由相减，得. 直线垂直于，. 又，由得，. （1）若，如果点在抛物线内部.则有关系式，由不等式组解得. （2）若，如果点在抛物线内部，则有关系.由不等式组整理，得此时无解. 综上所述，a的取值范围为. 解法二：设，是抛物线上关于直线对称的两个点，则即，① 又，即. ，，② 联立①②得即、为方程的两个实根，，解不等式，得. 故当时，抛物线上总存在关于直线对称的两个点. 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解． 【详解】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 3．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 4．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    【拓展训练一 抛物线相关求解问题】 【例1】（23-24高二下·湖南·期末）已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可. 【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为， 设圆心C到直线距离为d，， 当时，， 故选：D． 【例2】（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过点且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且，求的离心率． 【答案】 【分析】根据题意求出抛物线的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以抛物线的方程为，其中． 不妨设点，在第一象限，如图．    因为椭圆的方程为，所以当时，有，则． 因此点，的纵坐标分别为． 又因为抛物线的方程为，所以当时，有，则， 所以点，的纵坐标分别为．故，． 由，得，又， 即，解得（舍去）或． 所以的离心率为． 1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】依题意求得动点的轨迹方程为，再根据抛物线定义即可得出结果. 【详解】根据题意可得动点到的距离与到直线的距离相等， 所以动点的轨迹方程是以为焦点的抛物线，即， 过作垂直于准线，垂足为，如下图所示：    易知，所以， 当三点共线时，取得最小值，即为点到准线的距离； 所以的最小值为6. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用抛物线定义得出动点的轨迹方程，再由焦半径公式可得结果. 2．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】AC 【分析】根据抛物线定义求得，进而求出坐标判断A、B、C；根据抛物线方程得焦点判断D. 【详解】A：由抛物线的定义，得，所以，对； B：因为点在抛物线上，所以，所以，错； C：，对； D：由抛物线，可得，错； 故选：AC 3．（2025·福建漳州·模拟预测）已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】根据抛物线定义，利用数形结合，即可求解. 【详解】依题意知抛物线的焦点，连接， 则点到直线的距离，所以， 其中的最小值，即点F到直线的距离，即， 当且仅当点P在F到直线的垂线上且P在F和之间时，等号成立，即的最小值为5． 故答案为：5 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 【拓展训练二 抛物线的特性及公式】 【例1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，、是上不同的两点，为坐标原点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、，由平面向量数量积的运算可得，再利用焦半径公式结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设、，则， 即，解得， 所以，， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    【答案】不超过6米才能使货船通过拱桥． 【分析】根据题中条件建立适当的平面直角坐标系，确定出抛物线的方程后求解问题． 【详解】如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则．    设抛物线方程为． ∵B点在抛物线上，∴， ∴，∴抛物线的方程为． 当时，，即． ∴不超过6米才能使货船通过拱桥． 1．（2023·河北沧州·模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 将点的坐标代入抛物线中，解得，从而得到点和点的坐标，要满足，则只需点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，进而求解即可． 【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得， 则，所以的斜率为1，且的中点为， 则的垂直平分线方程为，即， 又的垂直平分线方程为， 又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点， 所以点的坐标为． 故选：B． 2．（多选题）（23-24高二上·甘肃白银·期末）抛物线的焦点为，点为上的一点，若，则直线的倾斜角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据得到，确定，再计算斜率得到倾斜角. 【详解】，设，则，解得， 故，解得，故直线的斜率为或， 直线倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为或． 故选：AC 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01） 【答案】 【分析】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系． 设抛物线的标准方程为， 由题意可得，代入得，得， 故抛物线的标准方程为， 设，则， 则，， 所以截面图中水面宽的长度约为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 【拓展训练三 求抛物线方程】 【例1】（23-24高二上·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】准线与直线的距离为，计算得到答案. 【详解】抛物线的准线为，准线与直线的距离为， 故，解得，故此抛物线的方程为. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，.求抛物线的方程和椭圆的标准方程. 【答案】，. 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，再由抛物线方程求出点，进而求出即可. 【详解】由椭圆：， 得右焦点， 而是抛物线的焦点， 则， 所以抛物线； 由对称性不妨令， 由，得， 解得， 即点， 则， 因此椭圆的长半轴长，短半轴， 所以椭圆的标准方程为. 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 2．（多选题）（24-25高三上·广西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程确定点的横坐标，再由抛物线的定义得方程，即可得的值. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或. 故选：AC. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥． 【答案】 【分析】以抛物线顶点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程后结合题意计算即可得. 【详解】 以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系， 则，由，拱顶距水面8米，故， 设该抛物线方程为，有， 解得，即， 由，令，则，即， ，故不超过米时，才能使货船通过拱桥. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点； (4)焦点为直线与坐标轴的交点. 【答案】(1) (2)和 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据条件可知抛物线开口向下，设方程为，由可得结果. （2）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果. （3）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果. （4）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）∵抛物线的准线交轴于正半轴，∴抛物线开口向下， 设方程为，由得，故所求抛物线的标准方程为. （2）由抛物线的焦点在轴上可设方程为， 由焦点到准线的距离为5得，， ∴抛物线的标准方程为或. （3）∵点在第三象限，∴抛物线开口向左或向下， 设所求抛物线的标准方程为或. 若抛物线的标准方程为，则，解得； 若抛物线的标准方程为，则，解得. ∴抛物线的标准方程为或. （4）∵直线与坐标轴交点坐标为或， ∴抛物线的焦点为或. 当焦点为时，，，此时抛物线的标准方程为， 当焦点为时，，，此时抛物线的标准方程为， ∴抛物线的标准方程为或. 【拓展训练四 抛物线的对称性】 【例1】（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）（1）已知正的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点，在抛物线上，求这个三角形的边长． （2）已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，两点关于轴对称，可得直线OA的倾斜角和方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长； （2）设点，，是的垂心，有，根据直线斜率的计算方法可得，又，解出得到直线AB的方程. 【详解】（1）如图所示，设，，则，． 又，所以，即， 整理得． 因为，，，所以，由此可得， 即线段关于轴对称，由此得， 所以，与联立，解得． 所以，即这个三角形的边长为． （2）由（1）知两点关于轴对称，如图，设点，点， 是的垂心，，， 即．， 又，． 直线的方程为． 1．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得点的坐标，进而可得抛物线方程，根据直线与抛物线方程联立可得交点，进而根据焦半径公式以及对称性即可求解. 【详解】由正方形ABCD的面积为64，得正方形ABCD的边长为8， 根据对称性可得，，，， 将代入，得，所以抛物线的方程为． 故， 故，，设，直线的方程为， 联立，得，解得或（舍）， 故，． 由对称性可知，． 故选:B． 2．（多选题）（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 【答案】ACD 【分析】先根据对称性求出抛物线的方程即可求出焦点坐标及准线，准线和焦点距离分别判断A，C，D，再代入判断函数的对称性判断B. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线为， 所以抛物线的焦点坐标是，抛物线的准线方程为， 抛物线的焦点到准线的距离为2，A,C,D选项正确； 代入抛物线为不成立，所以抛物线不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 4．（2024高三·全国·专题练习）已知圆和抛物线，请问与可以取怎样的值使圆与抛物线只有一个公共点，要求写出的三个不同的值，其中一个值，另两个值都小于0． 【答案】，a可取1，（答案不唯一） 【分析】根据题意结合曲线的对称性，可确定b的值，继而结合的解的情况可取符合题意的a的值，即得答案. 【详解】由题设知，圆和抛物线均关于y轴对称， 故要使得圆与抛物线只有一个公共点，必须有， 否则由两曲线的对称性知两曲线不可能只有一个公共点． 问题要求写出的三个不同的值，简单化，不妨取，联立方程组， 消去，得，∴（舍去），， 于是，因此两曲线只有一个公共点； 再回到一般化，由方程组， 消去，并整理得，，其判别式， 取，则，则，则两曲线只有一个公共点． 取，则由，解得（舍去，因），， 于是，∴两曲线只有一个公共点． 对上面的各种取值范围，作出这两条曲线只有一个公共点的证明如下： 上述探究中的方程的一个解为，另一个解为． 若，则，从而，方程无实根， ∴两曲线只有一个公共点； 若，则，当时，， 此时判别式，只有一个根， 即两曲线只有一个公共点； 当时，即，于是， 此时仍无实根，因此当时，两曲线只有一个公共点． 于是取等均符合题意． 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】如图，由抛物线的定义可得，解得，所以． 由题可得圆的圆心为，半径． 由抛物线方程可知焦点坐标为，准线为直线， 所以点到直线的距离． 所以， 所以当四点共线时取得最小值， 则． 故选：C.    3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 4．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示：    因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 6．（多选题）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据抛物线定义可知点满足，再根据两点间距离列方程，结合方程只有一解，分情况讨论. 【详解】因为点到点的距离等于它到直线的距离， 则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点， 所以，即， 可知方程只有一解， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上所述， 故选：CD. 7．（多选题）（22-23高三上·江苏南通·期中）已知圆：直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得 B．直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得 C．与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 D．与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 【答案】ABCD 【分析】AB选项考查直线与圆的位置关系，存在点P，故找到适合的一个点就可，CD选项因圆与圆内切，外切，则找到圆心距与两半径之间的关系就可以得到点的轨迹. 【详解】A选项， 因为，则,又因为为圆的两条切线，所以，且，则，，所以，因此存在点在直线上，且满足，故A正确． B选项，过点P作圆的割线，交圆与两点，过点P作圆的切线，切点为， 因为为圆的切线，所以，又，所以，则，，，所以存在点P，使得有解，故B正确． C选项，设动圆圆心设为，半径设为，因为动圆与圆内切，且与直线相切 则如图所示 ，，作的平行线与的距离为1，则到直线 的距离为，故到定直线与到定点Ｏ的距离相等，故Ａ点的轨迹为抛物线． 对于选项D，设动圆圆心设为，半径设为，因为动圆与圆外切，且与直线相切， 如图所示：，，作的平行线与的距离为1，则到直线 的距离为，则A到定点O的距离等于到定直线的距离． ∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对． 故选：ABCD 8．（多选题）（24-25高二上·甘肃白银·期末）设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为 C．若直线与曲线恰有一个公共点，则 D．从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为 【答案】AD 【分析】根据反函数的性质，抛物线方程的性质与圆的标准方程，结合举反例以及抛物线的定义，可得答案. 【详解】易得曲线的方程为，因而选项A正确； 曲线的焦点为，故圆的半径为1，其方程为，故选项B错误； 当时，直线与抛物线也只有一个公共点，故选项C错误； 由及抛物线的性质可知，， 所以的面积为，故选项D正确． 故选：AD. 9．（多选题）（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知抛物线，焦点，，动点满足，则（   ） A． B．若在上，则是等腰直角三角形 C． D．的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】根据焦点坐标得选项A正确；利用抛物线的定义转化条件可得选项B正确；根据条件可求得点的轨迹方程，利用的关系可得选项C正确；根据点的轨迹可得选项D错误. 【详解】A.由题意得，故，抛物线的方程为，A正确． B.由选项A得抛物线准线为直线，过点向准线作垂线，垂足为，则，故，， 不妨设点在第一象限，则，直线的方程为，与联立得， ∴轴，故是等腰直角三角形，B正确. C.由得，整理得， ∴，C正确． D.由得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故轨迹长度为，D错误． 故选：ABC. 10．（多选题）（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【分析】根据题意结合抛物线方程和定义分析逐项分析求解. 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 12．（2024·陕西·二模）已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则 . 【答案】/ 【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式建立关系，再借助二次函数求出最小值即可得解. 【详解】依题意，设，于是， 则当时，，所以. 故答案为： 13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知抛物线，点为抛物线上的动点，点与点的距离的最小值为2，则 . 【答案】 【分析】由题意得，对与0的大小关系分类讨论即可得解. 【详解】设 （i）当，即时，有最小值，即有最小值， 解得，由于，故. （ii）当，即时，有最小值，即有最小值，解得或12. 综上，的值为. 故答案为：. 14．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的焦点为，准线为，点，圆过点且与相切，试写出点的一个可能坐标为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件可知点到点的距离与到准线的距离相等，结合抛物线定义可得点在抛物线上，列方程计算可得结果. 【详解】方法一：∵圆过点且与相切， ∴点到点的距离与到准线的距离相等，故点在抛物线上， ∴，即，解得或， ∴点的坐标为或. 方法二：由题意得，，， ∴，点到准线的距离为， ∵圆过点且与相切， ∴， 整理得，解得或， ∴点的坐标为或. 故答案为：（答案不唯一）. 15．（2024·上海普陀·一模）设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 16．（24-25高二上·全国·单元测试）如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 【答案】(1)建系见解析， (2)位于地正南方且与地相距处，所用电线最短长度为6km 【分析】（1）取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系，方法一，根据抛物线的定义可得答案；方法二，设公路所在曲线上任意一点，利用化简可得答案； （2）过作，垂足为，，当三点共线时，最小，求出最小值可得答案. 【详解】（1）如图，取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合， 建立平面直角坐标系，则，． 方法一    因为公路上任意一点到地的距离等于到直线的距离， 所以所在的曲线是以为焦点，以为准线的抛物线． 设抛物线方程为， 则，所以公路所在曲线的方程为； 方法二    设公路所在曲线上任意一点，则， 故，化简得， 所以公路所在曲线的方程为； （2）要使架设电线长度最短，即最小．过作，垂足为， 如图，所以， 当三点共线时，最小，即取得最小值， 此时，位于地正南方且与地相距处， 所用电线最短长度为km． 17．（2023高三·全国·专题练习）某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案阴影区域”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．    (1)求抛物线方程； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】设出抛物线的标准方程，由焦点坐标算出焦参数，可得抛物线的方程； 过点作轴于点，设，在中利用三角函数的定义算出且，可得点的坐标为，代入抛物线的方程得到关于、的等式，将其看作是关于的一元二次方程，利用求根公式加以计算可得，即成立． 本题已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程并证明关于线段长的一个等式．着重考查了抛物线的标准方程、直角三角形中三角函数的定义与一元二次方程根的求法等知识，属于中档题． 【详解】设抛物线的方程为，抛物线焦点为，，解得， 因此，抛物线的方程为； 过点作轴于点，设， 则中，，可得，， 可得，， 由此可得点的坐标为， 点为抛物线上的点，， 整理得将其看作是关于的一元二次方程， 解得． 为锐角，可得，且，不符合题意，得， 即：成立． 18．（24-25高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    19．（2025·上海·高考真题）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离为5，过A作轴，垂足为B，OB的中点为M． (1)求抛物线的方程； (2)过M作，垂足为N，求点N的坐标； (3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系． 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线的定义有求p，即可得抛物线方程. （2）由题设可得、、，写出直线、直线，联立求它们的交点坐标即可. （3）讨论、两种情况下的直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离和半径的大小关系得出位置关系． 【详解】（1）由题设，，则，故抛物线的方程为. （2）由（1）及已知可得：，故，而， 所以直线为，故直线为， 则，解得，故. （3）由题意，圆M的圆心是，半径为2． 当时，直线AK为，此时直线AK与圆M相离， 当时，直线AK为，即， 圆心M到直线AK的距离， 当，即时直线AK与圆M相离； 当，即时直线AK与圆M相切； 当，即时直线AK与圆M相交． 20．（24-25高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标； （2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标. 【答案】（1）标准方程为，其焦点坐标为或，焦点坐标为；（2），其焦点坐标为. 【分析】（1）根据焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上分类讨论，设出抛物线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论； （2）根据焦点在x轴上，或在y轴上分类讨论，设出双曲线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上. 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则， ∴. 故抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 当焦点在y轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则， ∴. 故抛物线的标准方程为，焦点坐标为. （2）当双曲线的焦点在x轴上时，设其标准方程为（，）， 由得， ∴，焦点坐标为. 当双曲线的焦点在y轴上时，设其标准方程为（，）， 因无解，所以双曲线的焦点在y轴上不成立. 综上，双曲线的标准方程为，其焦点坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $