函数及其表示方法单元卷-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第五单元 函数及其表示方法 一、单选题 1．设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．函数的定义域为集合，则下列各数不是集合中的元素的是（    ） A．4 B． C． D．3 3．下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A．B．C．D． 4．下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C． D． 7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 11．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多 D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元 三、填空题 12．一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 13．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3   14．定义，若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为 四、解答题-问答题 15．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 16．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 17．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 18．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 19．定义在上的函数满足，且. (1)求； (2)证明：； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 函数及其表示方法 一、单选题 1．设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【详解】.故选：B 2．函数的定义域为集合，则下列各数不是集合中的元素的是（    ） A．4 B． C． D．3 【详解】法一：根据题意，可得，解得且，故定义域，所以不是中的元素．法二：因为，所以，故A正确；因为，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确；因为，所以，故D正确．故选：B. 3．下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A．B．C．D． 【详解】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义.故选：C. 4．下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】对A：因为，因为，所以，与表示同一个函数，故A正确； 对B：由，所以函数的定义域为， 由或，所以的定义域为， 两个函数定义域不同，所以它们不是同一个函数，故B错误；对C：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，所以它们不是同一个函数，故C错误； 对D：，所以两函数的对应法则不同，故D错误.故选：A 5．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，则函数的定义域为，函数， 则，解得，故函数的定义域为.故选：A. 6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，令，则， 故有，解得，即.故选：A. 7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，排除选项A和D， 当时，， 但在选项C中，由于，所以，可排除选项C，故选：B 8．已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【详解】由关于的不等式的解集为，得，为方程的两根， 即，整理得， 所以函数的值域为.故选：D. 二、多选题 9．设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以， 列表解析： 选项 正误 原因 A √ ，． B × ，． C √ ，． D √ ，． 故选：ACD. 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【详解】对于A，法一：依题意，，则，，故A错误； 法二：设，则，且，则，所以，，故A错误；对于B，当时，，当且仅当时取等号，因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得，因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是，因此的值域为，故D错误．故选：BC. 11．（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多 D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元 【详解】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A错误； 对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲､乙方案均可，即B正确； 对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元），乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确； 对于D，由图可知，甲方案内（含）内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误；故选：BC 三、填空题 12．一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 【详解】设，则， 所以，解得或，即或． 13．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示，则的值为 ． x 1 2 3 4 3 【详解】由图可知，所以． 14．定义，若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为 【详解】当时，解得或，所以，作出的图象如下图所示： 由图可得当，即或时，或或， 所以当在区间上的值域为时，此时，所以， 四、解答题-问答题 15．求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 16．已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【详解】（1）因为，所以，． （2）当时，，解得；当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）．综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示： 当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 17．下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 【详解】（1）依题意，当时，；当时，； 当时，. 所以用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式是 （2）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 所以水资源费为（元），污水处理费为（元）， 所以该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元. 18．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【详解】（1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或，综上可得或， 19．定义在上的函数满足，且. (1)求； (2)证明：； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：由，令，得，因为不恒为0，所以. （2）法一：由（1）知当时，；又由题意，当时，； 而当时，，，令，可得，所以.综上所述，，. 法二：，若存在使，则有，这与题设矛盾，所以，. （3）在条件式中令，可得， 又由（2）知，，所以. 令，则对任意，，即恒成立. 记，，取时，有最大值1， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $