第十二单元 直线与圆锥曲线的位置关系单元卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第十二单元 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1．已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆和双曲线的左、右顶点为，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 11．已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 三、填空题 12．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 13．已知直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），则的面积为 ． 14．椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为，则C的长轴长为 ；直线l：与C交于M，N两点，若以为直径的圆过点，则k的值为 . 四、解答题-问答题 15．已知椭圆的短轴长和焦距均为. (1)求的方程； (2)若直线与没有公共点，求的取值范围. 16．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 17．已知拋物线的方程为. (1)求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程； (2)已知直线过焦点，且与抛物线交于A，两点，点为该抛物线准线上一点，求证： 18．如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.    (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 19．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二单元 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1．已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【详解】由题意知l：（）恒过点，因为，所以点（0,1）在椭圆内部， 所以直线l与椭圆相交．故选：C 2．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【详解】方法一：由可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为，易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点．故选：C 3．已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由题意，联立可得，消去整理可得：， 则恒成立，则直线与抛物线必定有两个交点， 则显然成立，不成立，故选：A. 4．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为．由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3，则线段的中点到准线的距离为．故选：B 5．已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以，又，所以，即， 解得或（舍去），则，所以的实轴长为与虚轴长的比值为.选：A. 6．已知椭圆和双曲线的左、右顶点为，过作斜率为的直线交于另一点，交于另一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，点,直线的方程为，将其代入椭圆方程，整理得：,依题意，,即得, 再将代入双曲线方程，整理得：， 依题意，,即得， 由，可知是的中点，则，即，解得.故选：B. 7．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【详解】抛物线的焦点的坐标为，由已知可设直线的方程为，， 因为直线与抛物线相切，所以只有一组解，所以方程有且只有一个根， 故，又，所以， 联立，消，得，方程的判别式， 设，则，所以，故选：C. 8．瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）､重心（中线的交点）､垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，由等腰三角形的性质可得欧拉线一定过点, 当斜率不存在时，被椭圆截得的弦长为2； 当斜率存在时，设方程为，直线与椭圆的交点为, 与椭圆方程联立可得，则，； 令，则，且；， 因为，所以，所以当时，即，取到最大值，最大值为.故选：C 二、多选题 9．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确；的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误故选：BC. 10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【详解】A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，， 不满足；于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 11．已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（   ） A．四边形周长为8 B．的最小值为 C．直线BE的斜率为2k D． 【详解】由已知，，A正确；， 则， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 设，则，，，则，C错； 直线方程为，由，消去得， 显然是此方程的一个解，则，， 因此， ，，所以与垂直，D正确．ABD． 三、填空题 12．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：（或，答案不唯一）. 13．已知直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），则的面积为 ． 【详解】设点，，联立可得，， 由根与系数的关系可得，. 因为，所以，解得. 所以，，则. 如图，直线交轴于点 （二级结论    在抛物线中，若是抛物线上异于原点的两点， 且，则直线恒过定点，本题也可利用此结论得，从而）， 所以. 一题多解    多方法解题 设点，，联立可得，， 由根与系数的关系可得，. 因为，所以 ，解得， 所以，，. 因为，所以 .故答案为：. 14．椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为，则C的长轴长为 ；直线l：与C交于M，N两点，若以为直径的圆过点，则k的值为 . 【详解】依题意，解得，所以长轴长，椭圆方程为， 由消去并化简得，，解得或，设，则， 由于以为直径的圆过点， 所以，即， 即， ，， ，，解得，符合题意. 所以的值为故答案为：； 四、解答题-问答题 15．已知椭圆的短轴长和焦距均为. (1)求的方程； (2)若直线与没有公共点，求的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得，得，则，所以的方程为. （2）解：联立得， 因为与没有公共点，所以， 得或，即的取值范围为. 16．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 17．已知拋物线的方程为. (1)求过点且与抛物线只有一个公共点的直线的方程； (2)已知直线过焦点，且与抛物线交于A，两点，点为该抛物线准线上一点，求证： 【答案】(1)，和； (2)证明见解析． 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和与抛物线对称轴平行的直线，再在斜率存在时，设方程，由它与抛物线相切得结论． （2）直线方程为，设，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，代入计算可得． 【详解】（1）显然直线和直线都是与抛物线只有一个公共点， 再设直线方程为，代入抛物线方程得， 由得，直线方程为，它与抛物线相切．只有一个公共点． 所以所求直线方程为，和； （2）由已知抛物线焦点为，设直线方程为，设， 由得，，， 准线方程是，设， 所以 ． 18．如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【详解】（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 结合椭圆的几何性质，得， 解得，则， 故椭圆的方程为. （2）解：设直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 则，. ，解得或. 当时，直线的方程为，此时直线过点； 当时，直线的方程为，满足题目条件. 所以直线的方程为. （3）证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且， 由（2）可知，， ，为定值. 19．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，，解得，，所以的方程为． （2）解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，，故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故．所以. 所以，所以，所以． （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $