第九单元 椭圆及其方程单元卷B卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第九单元 椭圆及其方程 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，， 所以椭圆的标准方程为． 方法二：由题意，知椭圆长轴在轴上，则下面的分母数值大于下面的分母数值， 则排除C，D；选项B中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A正确.故选：A． 2．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【详解】当的焦点在轴上时，，易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得，所以的值为或.故选：D 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 4．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 【详解】解法1：由题意知，设，则由可得， 在中，，即，解得． 解法2：由题意知椭圆的长轴长，短轴长是椭圆通径长的一半，所以， 则．故选：C. 5．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，由，得，， ，，所以． 设的内切圆半径为r，因为， 所以，得．故选：B. 6．灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（    ） A． B． C．10cm D．20cm 【详解】设轴截面椭圆的方程为，由题意可知，，则． 记在距离最大横截面6cm处的横截面圆的半径为，则，解得， 所以点在椭圆上，即，解得，所以该灯笼的高为．故选：B. 7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【详解】由题意，，，则直线的方程为，即，    所以点到直线的距离①． 由的周长为16，得，即②． 联立①②，解得③．因为，所以④． 联立②④，解得，，所以．故选：D 8．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，由，得，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，由梯形的高为c，得， 在中，，则有，， 在中，设，则，， 即，解得，在中，，同理， 又，所以，即，所以离心率.故选：C 二、多选题 9．已知曲线，则（   ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 【详解】对于A项，当时，曲线可化为是圆，A正确； 对于B项，当时，曲线可化为是焦点在轴上的椭圆，B错误； 对于C项，当时，曲线是椭圆，且， 所以，故C正确； 对于D项，当时，曲线，为双曲线，即曲线不是椭圆，故D错误． 故选：AC． 10．已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【详解】椭圆的焦点分别为、，则，， ，可得，故， 对于A选项，椭圆的离心率为，A对； 对于B选项，假设在椭圆上存在点，使得，且， ，， 所以，， 解得，合乎题意， 所以，椭圆上存在点使得，B错； 对于C选项，设点、，由题意可得， 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 则，上述两个等式作差可得， 即，即， 所以，直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即，C对； 对于D选项，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以，的周长为，D对. 故选：ACD. 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，离心率为，点在上，则（    ） A．若的面积为，则 B．若直线的斜率之积为，则 C．若，则以为直径的圆与无交点 D．若，则的最大值为 【详解】对于A，椭圆中，，， 在中，由，解得， 所以， 又因为，所以，所以，故选项A错误； 对于B，椭圆左右顶点分别为，，所以， 又因为点在上，所以，即，所以， 因为，所以，故选项B正确； 对于C，根据，可得，所以圆与轴的交点之间的距离，可得以为直径的圆与无交点，故选项C正确； 对于D，因为，所以， 又因为点在上，所以，即， 所以， 因为，所以当时，，又因为，所以， 又因为，所以，即，解得， 所以的最大值为，故选项D正确.故选：BCD. 三、填空题 12．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为，最小值为， 联立，解得，，根据，得， 则椭圆方程是.故答案为： 13．加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则 ；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【详解】由椭圆的蒙日圆方程为，可得，于是． 椭圆的方程为，令为椭圆的左焦点，取椭圆的另一个焦点为，连接PE，EQ，如图所示， 由题意可知四边形EPFQ为平行四边形．设， 由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令，， 所以当时，．故答案为：2；8. 14．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    【详解】方法1：设，因为，所以 所以． 因为，所以． 因为存在点使得，即， 所以在上有解． 因为，且， 所以在上有解，即在上有解． 因为，所以即解得． 方法2：设，由题意存在点使得，即， 因为，所以 所以．因为，所以． 因为，所以即解得．故答案为：. 四、解答题-问答题 15．已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 【详解】（1）因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． （2）如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形． 所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 16．已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为： （2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即， 即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称， 则，， 由点到直线距离公式求得到的距离， 则，故的面积为． 17．如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 （1）若，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率 【详解】（1）由椭圆的定义， 设椭圆的半焦距为c，由已知，因此 即 从而 故所求椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的定义，,从而由，有 又由，知，因此, ,从而 由,知，因此 考点：考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力． 18．已知点Q是圆（圆心为M）上的动点，点，线段QN的垂直平分线交MQ于点P． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)已知点，S是轨迹E上一动点，求的最大值； (3)在轨迹E上是否存在点T，使？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）圆圆心， 连接PN，由线段QN的垂直平分线交MQ于点P，得， 那么， 所以动点P的轨迹是以N，M为焦点，以8为长轴长的椭圆， 即，，得，，所以． 故动点P的轨迹E的方程为． （2）易知N为椭圆的右焦点，由椭圆的定义知， 因此， 问题转化为“求椭圆上一点到B，M两点距离之差的最大值”． 连接BM，并延长BM交椭圆于点S， 此时，最大，最大值为， 故的最大值为． （3）假设存在点T满足题设． 由，可知，， 结合，得． 由，解得或． 由于且，而，， 故不存在这样的点T满足题设． 19．由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆，如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆．    (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”．若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”． (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等． (3)已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）． 【详解】（1）椭圆不是“相似椭圆”，理由如下： 椭圆中，，，． 椭圆中，，，． 因为，所以椭圆的“焦顶三角形”不相似，所以这两个椭圆不是“相似椭圆”． 椭圆与椭圆是“相似椭圆”，设椭圆的右焦点为，上、右顶点分别为， 因为椭圆中，，，， 所以，所以椭圆的“焦顶三角形”相似， 即这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为，因此椭圆的一个“相似椭圆”是椭圆（答案不唯一）． （2）不妨令两个椭圆均为焦点在轴上的椭圆， 椭圆方程为，． （必要性）若两个椭圆是“相似椭圆”，则其“焦顶三角形”的三个对应角相等． 由题图，知若，因为，，所以，又因为， ，所以． （充分性）若离心率相等，则，所以， 则，，则； 同理，，， 则，所以， 所以椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”． 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等． （3）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为． 因为的面积，， 所以的面积与的面积之比为，所以的面积为． 因为与的相似比为，所以的面积与的面积比为， 所以的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九单元 椭圆及其方程 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．若椭圆的短轴顶点为，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 4．椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（    ） A．2 B． C． D．3 5．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 6．灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（    ） A． B． C．10cm D．20cm 7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为，延长交椭圆于点．若点到直线的距离为，的周长为16，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 8．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线，则（   ） A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 10．已知椭圆的焦点分别为、，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，离心率为，点在上，则（    ） A．若的面积为，则 B．若直线的斜率之积为，则 C．若，则以为直径的圆与无交点 D．若，则的最大值为 三、填空题 12．已知椭圆方程为，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是 ． 13．加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则 ；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 14．已知半椭圆与半椭圆组成的曲线如图所示，其中．该曲线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在点使得，则半椭圆的离心率的取值范围为 ．    四、解答题-问答题 15．已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 16．已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积. 17．如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 （1）若，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率 18．已知点Q是圆（圆心为M）上的动点，点，线段QN的垂直平分线交MQ于点P． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)已知点，S是轨迹E上一动点，求的最大值； (3)在轨迹E上是否存在点T，使？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 19．由椭圆的一个焦点、长轴的一个顶点（焦点与顶点在坐标原点同一侧）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．如图1，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为A，B的椭圆，如图2，为左、右焦点分别为，，上、右顶点分别为，的椭圆． (1)判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”．若是，求出相似比；若不是，请说明理由，并找出椭圆的一个“相似椭圆”． (2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等． (3)已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $