第九单元 椭圆及其方程单元卷A卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第九单元 椭圆及其方程 A卷 基础达标卷 一、单选题 1．椭圆的短轴长为（ ） A． B．2 C．4 D． 2．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（    ） A．16 B．20 C．18 D．14 5．“方程表示的曲线为椭圆”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 7．已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 8．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有4个公共点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 10．已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 11．已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（    ） A． B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为 三、填空题 12．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 13．勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段，且恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为 . (写出满足条件的一个即可) 14．已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题-问答题 15．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)焦点在轴上，短轴长为，离心率. 16．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 17．已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为， (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积. 18．已知点是离心率为的椭圆上的一点． (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由． 19．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为C上一点. (1)已知，且点在C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求的最大值. (2)若为坐标原点，，且的面积等于9，求的值和的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九单元 椭圆及其方程 A卷 基础达标卷 一、单选题 1．椭圆的短轴长为（ ） A． B．2 C．4 D． 【详解】对于椭圆，，所以，所以短轴长为.故选：D 2．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设知，所以动点的轨迹是椭圆，且焦点在轴上， 设椭圆方程为，则，， 所以，，故所求轨迹方程为.故选：A 3．已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2，所以，解得， 所以椭圆的离心率.故选：B. 4．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（    ） A．16 B．20 C．18 D．14 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 由椭圆定义知，焦距，所以的周长等于.故选：A 5．“方程表示的曲线为椭圆”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若方程表示的曲线为椭圆， 则，解得且， 则“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件． 6．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为.故选：A. 7．已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（    ） A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80] 【详解】若是左焦点，连接，又关于原点对称，    所以为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则 ，开口向上且对称轴为，又， 所以. 故选：C 8．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此．故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即．故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B． 二、多选题 9．已知两椭圆和，则（    ） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有4个公共点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【详解】设椭圆，则；设椭圆，则． 对于A，椭圆的焦点分别在x，y轴上．故A不正确； 对于B，的离心率的离心率．故B正确； 对于C，联立，解得，所以与有2个公共点．故C不正确； 对于D，两椭圆都关于x，y轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，故D正确.故选：BD 10．已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 【详解】由题意可知：，解得，∴，A选项正确； ∴∴椭圆：，B选项正确；∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确；故选：ABD 11．已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（    ） A． B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为 【详解】对于A，由椭圆的定义可得，，，又，所以，故A正确；对于B，如图，连接，，设（），则.因为，， 所以，.因为为圆的直径，所以，在中，， 即，整理得，所以，故B错误； 对于C，在中，，. 所以，即， 解得；，即，故C正确； 对于D，在中，在中， 所以， 所以直线的斜率为．故D正确；故选：ACD 三、填空题 12．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 【详解】设，，，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为8. 13．勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段，且恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为 . (写出满足条件的一个即可) 【详解】含10的勾股数有，不妨令，则有或， 解得或当时，; 当时，. 故椭圆的标准方程为或或或. 故答案为：或或或(答案不唯一，写出一个即可) 14．已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ． 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是.    四、解答题-问答题 15．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)焦点在轴上，短轴长为，离心率. 【详解】（1）因为椭圆经过点和，所以，又因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为； （2）由题意，得，解得，又因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 16．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 【详解】（1）由已知得，，，，， 同理，，，，椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ．由椭圆方程可得， 整理得，所以，即点的横坐标的取值范围是． 17．已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为， (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积. 【详解】（1）设点，点到直线的距离为，依题意有，即，而， 所以，两边平方化简整理得，所以点的轨迹方程为. （2）由（1）得，，，， 又，所以在中，， 即，所以. 18．已知点是离心率为的椭圆上的一点． (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由，可得，即①，将点代入椭圆方程可得②， 由①②可得，所以椭圆方程为. （2）由题意可得在椭圆上，直线和的斜率分别为均存在，设， 则，，则①，又因为点在椭圆上，所以，即， 代入①可得，，所以直线AP和BP的斜率之积为定值. 19．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为C上一点. (1)已知，且点在C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求的最大值. (2)若为坐标原点，，且的面积等于9，求的值和的取值范围. 【详解】（1）（Ⅰ）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为； （Ⅱ）设，则，则， 所以当时，取得最大值，所以的最大值为； （2）取得中点，连接，则，因为为的中点， 所以，所以，则，所以， 由，得，即，所以， 即，所以，因为P为C上一点，且，则的最大值要大于等于， 当取得最大值时，点位于椭圆的上下顶点，设椭圆的上顶点为， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $