专题3.3 函数的奇偶性（高效培优讲义）数学人教B版2019必修第一册

专题3.3 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 教学重难点 教学重点： 1.奇函数、偶函数的定义； 2.判断函数奇偶性的步骤； 教学难点： 奇函数、偶函数图象的对称性； 知识点01函数奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做 . 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 ，那么函数就叫做 . 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是 （3）若的图象关于 对称是 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 知识点02 奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练】已知奇函数的定义域为，且当时，，则 ． 知识点03对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练】已知函数关于点对称，且当时，，则 ． 题型01函数奇偶性的定义与判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【变式1】已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【变式2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【变式3】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【变式4】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． (3)． 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．　　 (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 题型02 由奇偶性求解析式 【典例1】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【变式1】已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【变式2】已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【变式3】已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【变式4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 题型03 由奇偶性求参数 【典例1】函数且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【变式2】设是偶函数，且定义域为，则 ． 【变式3】已知函数是奇函数，则实数 ． 【变式4】已知函数是奇函数，求a的值，并求的单调递增区间． 利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型． (1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． (2)解析式含参，需根据或列式，比较各项的系数求解．　 题型04由奇偶性求值 【典例1】已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【变式1】已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【变式2】已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【变式3】已知定义在上的奇函数，当时，， 由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 题型05 由奇偶性解不等式 【典例1】函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【变式1】已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)解不等式. 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式，再利用单调性脱掉“”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 题型06 抽象函数的奇偶性 【典例1】定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【变式1】已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 【变式2】已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 【变式3】定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 题型07函数奇偶性的应用 【典例1】已知实数，满足，则 . 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为 . 【变式2】已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 . 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，且对于，，时，都有，且，则不等式的解集为 ． 【变式4】已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围是 ． 题型08 奇偶函数对称性的应用 【典例1】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【变式1】已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】奇函数满足，则 . 1．某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，且点在函数的图象上，则函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 4．已知函数和定义域相同，是偶函数且不恒为零，，若函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知函数的定义域为R，且，在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 7．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 11．已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 12．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，当时，，则 ． 13．已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 14．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 15．已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 函数的奇偶性 教学目标 1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 教学重难点 教学重点： 1.奇函数、偶函数的定义； 2.判断函数奇偶性的步骤； 教学难点： 奇函数、偶函数图象的对称性； 知识点01函数奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 知识点02 奇偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练】已知奇函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】26 【分析】解法一：根据奇函数的定义域为及可得，再由可得结果；解法二：根据奇函数的定义域为及可得，再由奇函数的定义求出在的解析式，从而计算出结果. 【详解】解法一：因为奇函数的定义域为，所以，得， 所以． 解法二：因为奇函数的定义域为，所以，得， 当时，，所以， 所以． 故答案为：26. 知识点03对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 【即学即练】已知函数关于点对称，且当时，，则 ． 【答案】/ 【分析】由对称性有，结合已知解析式并代入，即可求函数值. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 题型01函数奇偶性的定义与判断 【典例1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【分析】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 【变式1】已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【答案】(1)，3； (2)偶函数，证明见解析. 【分析】（1）判断代入求出函数值. （2）利用函数奇偶性定义推理证明即可. 【详解】（1）函数，则，. （2）函数是偶函数. 当时，，， 当时，，， 而， 因此，所以函数是偶函数. 【变式2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数. (2)偶函数. (3)非奇非偶函数 【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义逐一判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 是奇函数. （2）函数的定义域是， ， 是偶函数. （3）函数的定义域是，不关于原点对称， 是非奇非偶函数. 【变式3】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数． (3)偶函数 【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为，所以． 又因为， 所以为奇函数． （2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以． 所以既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是， 对，都有． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，故为偶函数． 【变式4】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域，然后分别画出分段函数的图象，结合其图象即可判断奇偶性. 【详解】（1）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是抛物线的一部分，开口向下，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于y轴对称，故为偶函数； （3）函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图， 由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数． 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．　　 (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 题型02 由奇偶性求解析式 【典例1】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】取，可得，利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式. 【详解】当时，，且函数为偶函数， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式1】已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 【变式2】已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由偶函数对称性求出时的解，综上即可得出不等式解集. 【详解】当时，，解得， 因为是上的偶函数，故图象关于轴对称， 所以当时，， 令，解得， 综上，的解集为. 故答案为： 【变式3】已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解. 【详解】设，则， 所以， 又因为定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：． 【变式4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 故答案为：. 题型03 由奇偶性求参数 【典例1】函数且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，，然后由定义域讨论与0的大小可得答案. 【详解】由题可得为奇函数，. 当时，函数有意义，则， 所以定义域为：. 此时，则为奇函数满足题意， 此时，当且仅当取等号； 当时，函数有意义，则， 定义域为：. 由为奇函数，而，不满足题意. 综上，. 故选：A 【变式1】若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 【变式2】设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义域是关于原点对称求出，再结合求出即可. 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 故答案为：. 【变式3】已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得. 【详解】由题设，可得，即函数定义域为， 由函数为奇函数，则，故， 所以，满足题设. 所以. 故答案为：2 【变式4】已知函数是奇函数，求a的值，并求的单调递增区间． 【答案】，单调递增区间为，，． 【分析】由恒成立可求得a的值，再通过求导求得单调区间. 【详解】因为是奇函数，所以恒成立， ， ， 即，∴， 解得 ，定义域为. ， 所以的单调递增区间为，，． 利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型． (1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． (2)解析式含参，需根据或列式，比较各项的系数求解．　 题型04由奇偶性求值 【典例1】已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【答案】/-6.5 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，将原方程中的替换为，得到另一个方程，联立解出和，再代入计算的值. 【详解】因为①，所以②， ①+②得，，所以，则，所以， 所以． 故答案为： 【变式1】已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】根据偶函数定义，求等价于求，即可解出. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 当，，所以. 故选：B. 【变式2】已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 【变式3】已知定义在上的奇函数，当时，， 【答案】 【分析】利用函数性质得，再代入，即可求解. 【详解】因为定义在上的奇函数，则， 又当时，，则，所以， 故答案为：. 由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。 题型05 由奇偶性解不等式 【典例1】函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 【变式1】已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数过原点求参数，再检验是否满足奇函数即可； （2）利用定义法来证明函数的单调性； （3）利用定义在区间上的奇函数和单调递增，来解不等式即可. 【详解】（1）因为是定义在上是奇函数， ，解得：. 此时，所以函数为奇函数. 所以. （2）证明：设是区间上任意两个实数，且， 则 因为，所以， ， 是区间上的增函数. （3）因为是区间上的增函数且是奇函数， 由满足， 所以有， 解得：，即的范围是. 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，，故在上单调递增． （3）因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增，所以，解得， 综上． 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得到，求解并验证即可； （2）通过单调性的定义即可求解； （3）通过单调性、奇偶性去求解即可. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. （2）设，则， ∵，∴，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. （3）∵，∴， ∵是定义在上的增函数，∴，得， 所以不等式的解集为. 利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式，再利用单调性脱掉“”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 题型06 抽象函数的奇偶性 【典例1】定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【变式1】已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性； （2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案； （3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）在R上单调递减，理由如下： 任取，且， 因为，所以， 令， 则， 因为当时，恒成立， 又，所以， 所以，， 所以在R上单调递减； （2）令，则，解得， 令，因为， 故，所以， 所以是奇函数； （3）因为， 所以， 因为是奇函数，所以， 因为是R上的减函数，所以， 解得或，所以不等式的解集为或. 【变式2】已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）结合奇函数的定义证明即可； （3）利用函数单调性的定义证明单调性，即可由单调性求解； 【详解】（1）令，则有，解得． （2）证明：令，则有， 所以，故函数为奇函数； （3）是R上的减函数．证明如下： 设，所以， 由， 因为当时，，所以， 即，所以是R上的减函数； ，则，故， 故不等式的解为 【变式3】定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 题型07函数奇偶性的应用 【典例1】已知实数，满足，则 . 【答案】 【分析】由，可得，构造函数，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 令，则在上为单调递增的奇函数， 又，所以，所以. 故答案为：4 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先根据题意确定函数在定义域的单调性，再根据函数的定义域和单调性，列式求解抽象不等式的解集. 【详解】由题意得，函数在上单调递减，且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减， 由得，，解得： 故不等式的解集为. 故答案为: 【变式2】已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 . 【答案】 【分析】通过赋值，可得到函数是关于对称，利用对称性即可求解. 【详解】令，可得到， 令，可得到，所以， 所以该函数是关于对称， 假设当在处取得最大值，那么会在处取得最小值， 根据函数是关于对称， 所以． 故答案为：. 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，且对于，，时，都有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，可得在上单调递增，根据函数为奇函数，可得为偶函数，分类讨论，将变形，根据的单调性可解得结果. 【详解】令，由，，时，都有， 即，在上单调递增， 又函数为奇函数，所以， 所以， 所以为上的偶函数，所以在上单调递减； 当时，由，得，即，故； 当时，由，得，即，故， 综上所述：的解集为， 故答案为：. 【变式4】已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据是奇函数即可得出，而根据在定义域，上是减函数列出关于的不等式组，解出的范围即可． 【详解】在定义域，上是奇函数，又是减函数， 由得，， ，解得， 实数的范围为， 故答案为： 题型08 奇偶函数对称性的应用 【典例1】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【答案】C 【分析】由题可得的图象关于点成中心对称，得到即可求解. 【详解】若为奇函数， 则， 所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 则， 即，且， 所以 . 故选：C. 【变式1】已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性，结合函数图象变换逐项判断. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 令，其定义域为， 则，故函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， 对于A，函数的图象可在函数的图象上向右平移1个单位，则关于对称，故A正确； 对于B，函数的图象可在函数的图象上向左平移1个单位，则关于对称，故B错误； 对于C，函数的图象可在函数的图象上向上平移1个单位，则关于轴对称，故C错误； 对于D，函数的图象可在函数的图象上向下平移1个单位，则关于轴对称，故D错误. 故选：A. 【变式2】若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，且不等式对于一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上单调递增，对于一切恒成立，可转化为对于一切恒成立，设，，，，求与即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 所以在上单调递增， 因为不等式对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 所以对于一切恒成立， 即对于一切恒成立， 设，，，， 则， 因为，在上单调递增， 所以， 因为，在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 【变式3】已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 【变式4】奇函数满足，则 . 【答案】 【分析】直接由函数的对称性、奇函数的性质进行转换运算即可. 【详解】由可得的图象关于直线对称，所以. 故答案为：. 1．某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和的值，利用排除法即可求解. 【详解】因为，则是偶函数，故AD错误； 因为，故C错误，B正确． 故选：B 2．已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义可知区间应关于原点对称，从而可求出a的值，再根据函数图象即可得到其增区间． 【详解】由题意得，且，解得， 由题图得函数在内单调递增， 由奇函数的性质得函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C． 3．已知函数是定义在上的奇函数，且点在函数的图象上，则函数的图象必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数图象关于原点中心对称求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点中心对称， 因为点在函数的图象上， 故必在函数的图象上． 故选：D 4．已知函数和定义域相同，是偶函数且不恒为零，，若函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义求解. 【详解】因为定义域为， 所以函数、的定义域也是， 任取，得， 令，得， 所以，即， 因为不恒为零，所以. 故选：A. 5．已知函数的定义域为R，且，在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的对称轴为，结合在单调递减，可得，求解即可. 【详解】由得的对称轴为， 因为在单调递减，所以在单调递增， 则等价为，解得，不等式解集为. 故选：D. 6．已知函数为上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出周期，利用周期的性质可求答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 又为R上的奇函数，即，则， 所以是周期为4的周期函数，所以． 故选：B 7．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的奇偶性排除C，D，又根据正负性排除A. 【详解】易知，故的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，故是奇函数，排除C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 8．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可. 【详解】由当时得在单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增，故在上单调递增， 由得， 所以，解得， 故原不等式的解集为， 故选：A 9．（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 10．（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 【答案】BC 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 11．已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 12．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，当时，，则 ． 【答案】1 【分析】利用函数的奇偶性可得，进而计算可得的值. 【详解】为奇函数，，为偶函数，， 所以，，所以， 故是周期为4的周期函数，则． 故答案为：． 13．已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 14．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析． 【分析】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 15．已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $