专题02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系五大题型 （高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型一：一元二次方程的解 题型二：判别一元二次方程的根的个数 题型三：利用根与系数的关系计算 题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 题型五：实根分布 题型一：一元二次方程的解 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解下列方程： (1) ； (2) ． 4．解方程：． 5．解方程： (1) (2) 题型二：一元二次方程的根的个数 6．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 9．关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 10．已知一元二次方程，必有两个实数根，求的取值范围． 题型三：利用根与系数的关系计算 11．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 12．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 13．设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 14．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 15．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 16．已知，是一元二次方程的两个实数根： (1)填空：_____； _____． (2)求代数式的值． 17．已知是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 21．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 22．已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 23．已知关于的一元二次方程的两个根为，若，求的值． 24．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 25．关于的一元二次方程的两根，满足，求的值． 26．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 题型五：实根分布 27．已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 29．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 30．已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 31．已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型一：一元二次方程的解 题型二：判别一元二次方程的根的个数 题型三：利用根与系数的关系计算 题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 题型五：实根分布 题型一：一元二次方程的解 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）先将方程变形为，再利用直接开平方法解方程即可得； （2）利用公式法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为． （2）解：方程中的， 方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解∶∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 ． 配方，得 ， 即 ， ， ， ． （2）解：解： ， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， ， ， ． 4．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）通过移项、因式分解将方程转化为乘积形式求解； （2）直接配方法求解． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，． 题型二：一元二次方程的根的个数 6．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 7．当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：由题知，， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即 解得， 故答案为：． 9．关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，方程有实数根，得到判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故答案为：且． 10．已知一元二次方程，必有两个实数根，求的取值范围． 【答案】的取值范围是． 【分析】此题考查了根的判别式，由方程整理为，然后根据确定参数的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：， ， ， ∵一元二次方程，必有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 题型三：利用根与系数的关系计算 11．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 12．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 13．设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式和分式的求值， （1）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式变形，即可求解； （2）将通分得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ； （2） ． 14．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式运算和完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，把所给代数式经过恒等变形为含的形式后，整体代入的值是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系：如果的两个实数根是，那么，得到的值． （1）把原式通分后运算得到，然后利用整体代入法计算即可； （2）利用完全平方公式的变形得到，然后利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）方程中，，已知有两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得． ； （2）． 15．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 16．已知，是一元二次方程的两个实数根： (1)填空：_____； _____． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）由，是一元二次方程的两个实数根，则根据，求值即可． （2）将化成，即可求解． 【详解】（1）由一元二次方程可知， ， ． （2）． 17．已知是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据即可求解； 【详解】（1）解：是方程的两个实数根， ． ； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型四：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，，再将其代入得出，求解即可 【详解】（1）证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 19．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系是解题的关键： （1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据根与系数的关系可得、，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴方程总有2个实数根； （2）解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 21．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 22．已知关于的方程， (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意得：， ∴， 解得：． 23．已知关于的一元二次方程的两个根为，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，代入得出，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意，得． ， ， 解得． 且此时符合题意. 24．已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)详见解析 (2)k的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 25．关于的一元二次方程的两根，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与根的判别式是解题的关键；由题意易得，，然后根据可建立方程进行求解 【详解】解：由题意知，，． 因为， 所以． 解得，． 因为， 所以． 26．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵的两个实数根、，满足， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五：实根分布 27．已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出，，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的不等式是解题的关键． 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 28．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 29．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 30．已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 31．已知a，，证明：“且”是“关于x的方程有实数根，且两根均小于2”的充分条件． 【答案】证明见解析 【分析】由且得到a与b的范围，以此讨论方程的根的情况，从而得到答案﹒ 【详解】由且，得，， 则方程的判别式，所以该方程有两根，不妨设方程两根分别为、， 因为，，所以且﹒ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$