专题04 函数与方程、不等式之间的关系（高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题04函数与方程、不等式之间的关系 题型一：解二次（可化为二次）函数不等式 题型二：求函数零点 题型三：求函数零点个数 题型四：判断函数零点所在区间 题型五：根据函数零点（零点个数）求参数 题型六：用二分法求零点近似值 题型一：解二次（可化为二次）函数不等式 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 5．解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 题型二：求函数零点 6．函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 7．函数的零点是 . 8．求下列函数的零点． (1)； (2)． 9．求下列函数的零点. (1)； (2). 10．求函数的零点． 题型三：求函数零点个数 11．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．函数的零点个数为 . 14．已知函数． (1)在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)设，讨论的零点个数． 15．判断下列函数的零点个数． (1)； (2)． 题型四：判断函数零点所在区间 16．方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 17．已知函数．下列区间中包含零点的是（    ） A． B． C． D． 18．函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 19．函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型五：根据函数零点（零点个数）求参数 20．已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．   21．已知函数，若函数f(x)恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上有三个零点，求的取值范围． 23．已知 . (1)判断的奇偶性； (2)判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由； (3)若方程有四个不同的实数根，求实数m的取值范围. 24．已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数，并作出函数的草图； (2)结合图象列出它的单调递增区间； (3)若方程有2个不等的实数根，求实数的取值范围. 题型六：用二分法求零点近似值 25．设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（    ） A． B． C． D． 26．设函数．则在区间内零点的近似解为 ．（精确到0.1） 27．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算. 28．求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是 ． 29．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04函数与方程、不等式之间的关系 题型一：解二次（可化为二次）函数不等式 题型二：求函数零点 题型三：求函数零点个数 题型四：判断函数零点所在区间 题型五：根据函数零点（零点个数）求参数 题型六：用二分法求零点近似值 题型一：解二次（可化为二次）函数不等式 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将不等式化为，应用一元二次不等式、绝对值不等式解法求解集. 【详解】不等式可化为，即，解得． 故选：B 2．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解不等式，再根据充分，必要条件与集合的关系，即可判断选项. 【详解】，解得：， 不等式“”的一个充分不必要条件应是的真子集， 选项中只有是的真子集. 故选：D 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出不等式和，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得，解得； 由，得，得， 当时，一定可以推出，而当时，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集； （3）由分式不等式得，解不含参的一元二次不等式求解集. 【详解】（1）由，得不等式的解集为． （2），得不等式的解集为或 （3）不等式等价于，解得，解集为. 5．解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示） (1)； (2) (3)． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解， （3）根据分式不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，解得或， 故不等式的解为或， （2）由可得， 即，解得， 故不等式的解为 （3）由得， 故或， 故不等式的解为或 题型二：求函数零点 6．函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 【答案】B 【分析】解一元二次方程，利用方程根与零点的关系即可求解. 【详解】令，即，解得：，， 所以函数的零点为和. 故选：B 7．函数的零点是 . 【答案】 【分析】令解得，从而即为的零点. 【详解】由题意可知的定义域为， 令，可得，解得（舍去）或，所以. 故答案为：. 8．求下列函数的零点． (1)； (2)． 【答案】(1)和2． (2)答案见解析． 【分析】（1）解一元二次方程求零点即可； （2）分类讨论函数的零点即可. 【详解】（1）由得， ∴或． 所以函数 的零点为和2． （2）①当时，，由得， 所以函数的零点为． ②当时，由得， 当，即时，相应的方程无实数根，函数无零点； 当，即时，，函数有唯一的零点． 当，即且时， 由得或， 函数有两个零点和． 综上，当时，函数的零点为； 当时，函数无零点； 当时，函数的零点为； 当且时，函数有两个零点和． 9．求下列函数的零点. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】根据一元二次方程的根，结合求根公式或者因式分解即可求解. 【详解】（1）令，， 所以方程有两个不相等的实数根为， 所以函数的零点为. （2）令，即， 得或， 当即时，方程有两个相等的实数根， 当时，方程有两个不相等的实数根和， 所以当时，函数的零点为，当时，函数的零点为和． 10．求函数的零点． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，令，通过解方程，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 由，得到，两边平方并化简得到，解得（舍）或， 所以函数的零点为. 题型三：求函数零点个数 11．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分解因式求解方程的根即可. 【详解】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数的零点个数是. 故选：D 12．已知分段函数，则方程的解的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据给定函数，分段解方程即可得解. 【详解】函数，由，得或， 解得或，解得， 所以方程有3个解. 故选：B 13．函数的零点个数为 . 【答案】1 【分析】判断函数的单调性，分类讨论k的取值范围，结合零点存在定理，即可求得答案. 【详解】由题意知在上单调递减， 当时，，此时函数有1个零点； 当时，， ，此时函数在上有唯一零点， 当时，， ，此时函数在上有唯一零点， 综合可得函数的零点个数为1， 故答案为：1 14．已知函数． (1)在图中的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)设，讨论的零点个数． 【答案】(1)图象见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意结合函数图象变换分析作图； （2）根据题意分析可得的零点个数即为与两图象的交点个数，进而结合图象求解即可. 【详解】（1）将的图象向下平移2个单位，得到， 再将位于x轴下方的部分对称至x轴上方，得到. 所以函数的图象如图所示： （2）令，可得， 可得的零点个数即为与两图象的交点个数． 由（1）中图可知：当，即时，两图象无交点； 当或，即或时，有一个交点； 当，即时，有两个交点． 综上所述：当时，无零点； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为2． 15．判断下列函数的零点个数． (1)； (2)． 【答案】(1)两个零点 (2)只有一个零点 【分析】（1）由，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数； （2）方法一：由，解方程，利用方程根的个数判断函数零点的个数；方法二：由，得，令，，在同一坐标系中画出和的图象，由图象交点的个数判断零点的个数. 【详解】（1）由，即得， ∴方程有两个不相等的实数根，分别为3、4， ∴函数有两个零点，分别是3、4． （2）（方法一）由，得，∴，∴且， ∴．故函数只有一个零点． （方法二）由，得．令，， 在同一坐标系中画出和的图象，由图可知两函数图象只有一个交点， 故函数只有一个零点． 题型四：判断函数零点所在区间 16．方程的根所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令， 故函数为定义在上的连续函数，且显然为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为. 故选：C. 17．已知函数．下列区间中包含零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数， 当时，，则，， ，因此在区间内有函数的零点， 当时，，， 当时，，， 所以数的零点在区间内. 故选：B 18．函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出、、与、，根据零点存在定理即可求解. 【详解】由题意知函数在R上单调递增， ，， ，，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选：C. 199．函数的一个零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断在上的单调性，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，，所以，所以在上存在一个零点. 故选：B 题型五：根据函数零点（零点个数）求参数 20．已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的范围，又即可将问题转化为， 共有四个零点，结合函数的图象即可求解. 【详解】当时，则，此时，则或， 当时，则，此时，则， 故问题转为， 共有四个零点， 画出函数图象如下可知：则， 故选：D    21．已知函数，若函数f(x)恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象进行分析，由的零点个数确定的取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 依题意有个零点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 22．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性以及时的表达式，即可求出函数的解析式； （2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得的取值范围是． 【详解】（1）令，则，又是定义在上的奇函数， 所以可得． 又， 故函数的解析式为 （2）根据题意作出的图象如下图所示：   ，， 若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根， 所以函数与有三个不同的交点， 由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点． 故的取值范围是． 23．已知 . (1)判断的奇偶性； (2)判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由； (3)若方程有四个不同的实数根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)偶函数 (2)增函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断， （2）根据单调性的定义即可判断， （3）利用函数图象，即可由图象求解. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ∵ ∴为偶函数. （2）上是增函数，理由如下： 设 ，且 ，则 ， ∵；，， ∴＞ ∴在上是增函数 （3）∵有四个不同的实数根， 当时，，故对称轴为，且当时， 取最小值 ， ，又 为偶函数， ∴图象与直线有四个不同的交点，作出的草图如下.    如图可得：直线与图象有四个不同交点时m的取值范围为： 24．已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数，并作出函数的草图； (2)结合图象列出它的单调递增区间； (3)若方程有2个不等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)和. (3)或 【分析】（1）将函数解析式写成分段函数，即可画出函数图象； （2）结合图象得到函数的单调递增区间； （3）依题意函数的图象与直线有个交点，结合函数图象即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以， 所以函数图象如图： （2）因为函数的图象对称轴为，开口向上， 函数的图象的对称轴为，开口向上， 由函数图象可知，函数的单调递增区间为和. （3）因为方程有2个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有个交点， 又，所以或， 所以实数的取值范围是或. 题型六：用二分法求零点近似值 25．设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数，且，可得， 所以，根据零点的存在性定理， 可得方程的近似解落在区间为. 故选：A. 26．设函数．则在区间内零点的近似解为 ．（精确到0.1） 【答案】（不唯一） 【分析】应用二分法求零点的近似解区间，即可得答案. 【详解】由，而，则， ，则， ，则， ，则， 由，所以区间内零点的近似解为. 故答案为： 27．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算. 【答案】4 【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的，根据精度要求即可求解. 【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1， 第1次计算后区间长度为； 第2次计算后区间长度为； 第3次计算后区间长度为； 第4次计算后区间长度为； 故至少计算4次. 故答案为：4. 28．求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是 ． 【答案】 【分析】利用零点存在定理可得出结果. 【详解】令，则，， 由因为， 因此，下一个有根的区间为. 故答案为：. 29．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 【答案】/0.625 【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】设， 则，， ∴第一次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第二次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第三次取区间的中点. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $