专题03 方程组的解集七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题03 方程组的解集 题型一：不含参二元一次方程组 题型二：含参二元一次方程组 题型三：三元一次方程组 题型四：二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 题型五：二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 题型六：根据解集求参数 题型七：方程组在实际问题中的应用 题型一：不含参二元一次方程组 1．解方程组： 2．解方程组：． 3．解方程组： 4．解方程组 5．解方程组： (1)； (2)． 题型二：含参二元一次方程组 6．若关于的方程组的解，也是方程的解，则 ． 7．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 8．当正整数 时，关于的方程组有正整数解． 9．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是 ． 10．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 ． 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 题型三：三元一次方程组 12．已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 14．解方程组： 15．解方程组：． 16．解方程组：． 题型四：二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 17．解方程组： 18．解方程组： 19．解方程组： 20．解方程组：． 21．解方程组： 22．解方程组： 题型五：二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 23．把方程组，化成两个二元二次方程组是 ． 24．解方程组：． 25．解方程组： 26．解方程组： 27．解方程组： 题型六：根据解集求参数 28．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 29．已知是方程的一个解，那么的值是（　　） A． B． C． D． 30．若方程组的解也是的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 31．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 32．已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 33．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 题型七：方程组在实际问题中的应用 34．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 35．《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒：下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 36．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 37．如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（    ）    A． B． C． D． 38．为丰富同学们的校园生活，某校教务处计划制作一面文化墙，具体工作是在墙上绘制风景和人物（绘制风景和绘制人物的面积相同）．已知每名同学只负责绘制风景或绘制人物，完成文化墙的制作一共需要7名同学．若设绘制风景的同学名，绘制人物的同学名，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 39．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程组的解集 题型一：不含参二元一次方程组 题型二：含参二元一次方程组 题型三：三元一次方程组 题型四：二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 题型五：二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 题型六：根据解集求参数 题型七：方程组在实际问题中的应用 题型一：不含参二元一次方程组 1．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 把①代入②，得，解得． 把代入①，解得， 所以，原方程组的解是． 2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法计算即可． 【详解】解： ，得． 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以这个方程组的解是． 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 4．解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． 直接运用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：，解得：． 所以该不等式组的解集为：． 5．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)方程组的解为 (2)方程组的解为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法； （1）把①代入②得：求解，再求解即可； （2）得：可得，再求解即可； 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， ∴， 故方程组的解为； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 题型二：含参二元一次方程组 6．若关于的方程组的解，也是方程的解，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，解一元一次方程，掌握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键．利用加减消元法解方程组，可得，把分别代入方程，得出关于k的一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∵关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识，正确解二元一次方程组是解题的关键；先解方程组，再根据题意将方程组的解代入方程中即可求出的值． 【详解】解：解方程组，得， 根据题意把代入方程中，得， 解得， 故答案为：． 8．当正整数 时，关于的方程组有正整数解． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的正整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关键． 利用代入消元法先消去未知数x，求解y，再根据m为正整数，x是正整数可得m的值，再进行检验即可． 【详解】解： 把②代入①得： 解得： 为正整数，m为正整数， 或， 此时也为整数， 故答案为：1或2． 9．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：依题意， 得：， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，根据方程组的解x，y互为相反数，得到，代入方程组转化为的二元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴原方程组化为：，即： ， ∴， ∴； 故答案为：3． 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键． 将两个方程相加，整理得，再结合题中条件求的值． 【详解】解：将两方程相加得， 整理得， 由题知， ， 解得． 题型三：三元一次方程组 12．已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得，解得，解答即可． 本题考查了三元一次方程组的整体解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把三个方程相加，得， 解得． 故选：B． 13．解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【详解】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 14．解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法，从而得出答案．由得，进而再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：④， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为． 15．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，对于三个方程的系数都相等的三元一次方程组，可以先将这三个方程相加，用化简后的方程分别减去原方程组中的三个方程即可求解．把这三个方程相加后，分别减去每一个方程则可求解． 【详解】解：，得， ∴，④ ，得， ，得， ，得， ∴原方程组的解为． 16．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．得出，得出，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把，代入③求出y即可． 【详解】解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 题型四：二元二次方程组的解（二次幂+一次幂） 17．解方程组： 【答案】， 【分析】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组，也可以利用代入消元法进行求解． 先将第一个二元二次方程因式方程成两个二元一次方程，再根第二个方程组成两个新的方程组求解即可． 【详解】解： 由①得，， ∴或， ∴原方程组可化为或， 分别解得：或， ∴原方程组的解为，． 18．解方程组： 【答案】：， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，掌握消元的方法是解题的关键． 先将②式进行因式分解为两个二元一次方程，再与①式组合成两个新的方程组，分别求解即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴或， 原方程组可化为：或， 分别解得：或 ∴原方程组的解为：，． 19．解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组．先利用因式分解，由①得到或，再分别与②组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组，即可求得原方程组的解． 【详解】解：， 由①得， ∴或， 把这两个方程与②组成方程组得：，， 解得，， 故原方程组的解为，． 20．解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程，将原方程变形为或，分别求解即可，正确变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 解可得， 解可得， ∴方程组的解为或． 21．解方程组： 【答案】或 【分析】本题主要考查的是解二元二次方程组．先将第①个方程变形为或，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可． 【详解】解：由方程①得则：或， 原方程组可化为或， 解这两个二元一次方程组，得或， 所以，原方程组的解为或． 22．解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 题型五：二元二次方程组的解（二次幂+二次幂） 23．把方程组，化成两个二元二次方程组是 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】可以把①×2得到③，用③和②组成一个新的二元二次方程组，把②×2得到④，用①和④组成一个新的二元二次方程组即可 【详解】解： 用①×2得：，②×2得， ∴②③组成新方程组为： ； ∴①④组成新的方程组为：， 故答案为：，（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二元二次方程组，熟知相关知识是解题的关键． 24．解方程组：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，掌握解二元二次方程组的步骤是解题的关键． 先分别将①②两个二元二次方程化为两个二元一次方程，再组合成四个二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由①得，， ∴或， 由②得，， ∴或， ∴原方程组可化为：或或或， 分别解得：或或或 ∴原方程组的解为：，，，． 25．解方程组： 【答案】或或或 【分析】本题考查解二元二次方程组，将每个二次方程因式分解，降次化为两个一次方程是解题的关键．将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案． 【详解】解：可化为， ∴或， 可化为， 或， 原方程组相当于以下四个方程组： ，，， 解得①②③④分别得：，，，， ∴原方程组的解是：或或或． 26．解方程组： 【答案】， 【分析】把方程①因式分解得出x与y的关系式，分别带入方程②即可解得． 【详解】 由①得 x=-y，x=6y 把x=-y带入②得 ， 整理得 解得 得 把x=6y带入②得 【点睛】此题考查了求方程组的解，解题的关键是对方程用十字交叉法进行因式分解． 27．解方程组： 【答案】 【分析】根据①可得或，分别代入②，解关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解： 由①得或 将代入②得， 解得 将代入②得， 解得 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 题型六：根据解集求参数 28．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 29．已知是方程的一个解，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，把代入，然后解元一次方程即可，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ 解得：， 故选：． 30．若方程组的解也是的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组、由二元一次方程的解求参数等知识，先由加减消元法求出方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次方程求解即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法、一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：方程组为， 由①②得：， 则，解得； 将代入①得：， 解得； 方程组的解为， 将代入得：， 解得， 故选：D． 31．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过联立方程求解的值． 【详解】解：由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，， 那么将，代入 得到， ①②，得， 化简得：， 两边同时除以7，得：． 故选：B． 32．已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入二元一次方程可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得， 故答案为：4． 33．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，的：， 解得：； 故答案为：． 题型七：方程组在实际问题中的应用 34．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设竿长尺，绳索长尺，根据“索比竿子长一托”可得；对折绳索后长度为，此时“比竿子短一托”，即，由此建立方程组． 【详解】解：∵绳索比竿长5尺， 即，对应方程。 ∵对折后的绳索长度为，比竿短5尺， 即， 对应方程， 联立方程：， 故选：A 35．《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒：下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，设上等稻每捆出谷粒x升，下等稻每捆出谷粒y升，通过分析题目中的两个条件，分别建立方程，再与选项匹配即可作答． 【详解】解：∵今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒： ∴ ∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒． ∴ 则可列出方程组为， 故选：B 36．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该店有客房间、房客人，每间住7人，多7人无房住．此时总人数等于所有房间住满7人后再加上7人，即；每间住9人，空出一间客房．此时实际使用房间数为间，总人数等于，即，即可求解． 【详解】解：设该店有客房间、房客人． 根据题意，得 ， 故选：A． 37．如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键 根据题意列出方程组即可求解 【详解】解：设苹果的质量为，每个梨的质量为， 根据题意得： 故选：D 38．为丰富同学们的校园生活，某校教务处计划制作一面文化墙，具体工作是在墙上绘制风景和人物（绘制风景和绘制人物的面积相同）．已知每名同学只负责绘制风景或绘制人物，完成文化墙的制作一共需要7名同学．若设绘制风景的同学名，绘制人物的同学名，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据共7名同学可得，根据绘制风景和绘制人物的面积相同，可得，由此可解． 【详解】解：共有7名同学， ， 绘制风景和绘制人物的面积相同， ， 可列方程组为， 故选A． 39．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$