精品解析：黑龙江省鹤岗市绥滨县第五中学、第八中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025-2026学年上绥滨县第五中学、第八中学九月质量联合检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟，满分：120 分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 用配方法解方程，配方后正确的是（  ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（  ） A. 向上， B. 向下， C. 向下， D. 向上， 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 某商品原价为100元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现价为81元，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（  ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线 的图像经过点 ，则 c 的值为（  ） A. 0 B. 3 C. D. 无法确定 10. 若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程的解是__________． 12. 抛物线与x轴的交点坐标是____． 13. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则 m = ___． 14. 抛物线的顶点坐标是_______． 15. 某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到144辆，若年平均增长率为 x ，则可列方程为______________． 16. 已知抛物线的对称轴为，且过点，则它一定经过点____． 三、解答题（共66分） 17. 解下列方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） 18. 已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 19. 画出抛物线 的图像，标出顶点、对称轴和与坐标轴的交点，并写出函数的最小值． 20. 某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可销售件．市场调查发现：售价每上涨元，月销量减少件．设售价上涨 x 元． （1）求月销量y（件）与 x 的函数关系式； （2）求月利润 w 元与 x 的函数关系式； （3）当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ 21. 已知抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点 C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 23. 探究题：已知一元二次方程 ． （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上绥滨县第五中学、第八中学九月质量联合检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟，满分：120 分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 一元二次方程需满足：①整式方程；②一个未知数；③最高次数为2． 【详解】A． ，次数不是2次，不符合题意； B． ，有两个未知数，不符合题意； C．不是整式方程，不符合题意； D． ，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线 的对称轴是直线 ． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 故选：A． 3. 用配方法解方程，配方后正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 先移项，再两边都加9，然后配方即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 4. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 5. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（  ） A. 向上， B. 向下， C. 向下， D. 向上， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据可知开口向下，将化为顶点式，可知顶点坐标． 【详解】解：，开口向下； ，顶点为． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，直接计算得出k的取值范围． 【详解】由方程有两个实数根， 得△=b2-4ac≥0，即4-4k≥0， 解得k≤1． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握根的判别式的值与方程解的个数的关系是解决本题的关键． 7. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8. 某商品原价为100元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现价为81元，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据商品原价为100元，故第一次降价后的价格为（元），第二次降价后的价格为（元），结合连续两次降价后售价为81元，列方程，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x， ∴可列方程为， 故选：B． 9. 已知抛物线 的图像经过点 ，则 c 的值为（  ） A. 0 B. 3 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将)代入解析式，即可求解． 【详解】解：把代入，得． 故选B． 10. 若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，将代入方程求出m的值，再求解方程即可． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∴方程为， 化为， 故根为， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 12. 抛物线与x轴的交点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标问题． 令，解即可． 【详解】解：令，解，得， 即抛物线与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 13. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，则 m = ___． 【答案】 【解析】 【分析】由于已知方程有两个相等的实数根，所以利用一元二次方程的根的判别式，建立关于m的方程，解方程即可求出m的取值．本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为的形式，即为抛物线的顶点坐标．本题主要考查二次函数的特点，牢记二次函数的特点是解题的关键． 【详解】解：变形，得 ． ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 15. 某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到144辆，若年平均增长率为 x ，则可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，掌握有关增长率的求解公式． 根据2023年私家车数量（增长率）2025年私家车数量建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 16. 已知抛物线的对称轴为，且过点，则它一定经过点____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，熟知抛物线关于对称轴对称的两点的函数值相同是解题的关键． 根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时与当时的函数值相同， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 17. 解下列方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）直接根据配方法求解即可； （2）直接根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： ， 18. 已知关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】k＜2． 【解析】 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知△＝4﹣4（k﹣1）＝8﹣4k， 令△＞0，得8﹣4k＞0， 解得k＜2， ∴所求k的取值范围是k＜2． 【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根； (3)△<0⇔方程没有实数根． 19. 画出抛物线 的图像，标出顶点、对称轴和与坐标轴的交点，并写出函数的最小值． 【答案】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为；对称轴为， ∴当时，函数的最小值为. 在中，当时，，当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为， 列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 … 函数图像如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数的顶点坐标，先把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再求出函数值为0时的自变量的值，自变量为0时的函数值即可得到二次函数与坐标轴的交点，接着列表，描点并连线画出对应的函数图像即可． 【详解】略 20. 某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可销售件．市场调查发现：售价每上涨元，月销量减少件．设售价上涨 x 元． （1）求月销量y（件）与 x 的函数关系式； （2）求月利润 w 元与 x 的函数关系式； （3）当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）售价为50元，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨元，即可得月销量（件）； （2）设售价上涨元，则单件利润为为，销量为，再根据月利润每件商品的利润每月销售量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨元， 所以月销量（件） 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 ∵，， ∴当时，由最大值为，此时售价为元， 故当售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元． 21. 已知抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将二次函数一般式化为顶点式； （1）将点、、代入解析式中即可求出a，b，c； （2）将二次函数一般式化为顶点式即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：点、、代入解析式中得 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将抛物线解析式化为顶点式 ， ∴抛物线的对称轴直线，顶点坐标． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点 C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，正确求出点A、B、C的坐标是解答本题的关键． （1）分别令，即可求出点A、B、C的坐标； （2）求出，运用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：令，即， 解得或， 因为点A在点B左侧，所以，， 令，得， 所以； 【小问2详解】 解：∵，， ∴, ∵， ∴， ∴． 23. 探究题：已知一元二次方程 ． （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根． 【答案】（1） 证明：∵ 对于一元二次方程（），根的判别式为, 又∵ 原方程为，其中，，, ∴ , ∵ 无论取何值，, ∴ ，即. ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根； （2），另一个根是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式（判断方程根的个数）及一元二次方程的解（已知根求参数），解题的关键是熟练掌握判别式的计算公式及“方程的根满足方程等式”的性质． （1）计算方程的判别式，将其化简为关于的代数式，证明该代数式恒大于等于； （2）将根代入原方程，解关于的一元一次方程，再将的值代入原方程，求解另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 方程有一个根为，将代入原方程, ∴ . 即, 整理得, 解得. 将代入原方程，得, 化简为，两边同乘得, 因式分解得, 解得，. ∴ 的值为，另一个根为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $