专题01 指数运算与对数运算中的三类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 指数运算与对数运算中的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、指数运算与对数运算中的求值问题 类型二、指数运算与对数运算中的最值问题 类型三、指数运算与对数运算中的新定义问题 压轴专练 类型一、指数运算与对数运算中的求值问题 一、根式与分数指数幂的互化及运算 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0,m,n∈N*,且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0,m,n∈N*,且n>1)； (3)对任意给定的正数、及实数、,有,, 二、对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 三、对数恒等式 四、换底公式 1. 换底公式： 2. 相关结论 (其中a,b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R,n∈R,m≠0). 【例1】已知,,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令,则,所以由得,等号两边同除得,整理得,令,则, 所以由得,等号两边同除得, 整理得,所以和是方程的根, 由解得,又因为,均大于,且函数单调递减,所以,,所以,故选B. 【变式1-1】已知 则 ． 【答案】1 【解析】由可得, 所以. 【变式1-2】已知,则的值为 ． 【答案】 【解析】因为,所以,所以. 【变式1-3】已知,且,则 ． 【答案】0 【解析】设,则有,,,得, 同理有,故原式． 【变式1-4】已知,,则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题意, 所以, 所以.故选D. 【变式1-5】设正数,满足,,则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对两边同时取自然对数可得,根据对数运算法则可得,故选项A正确；由选项A中,结合对数的运算法则可得,所以,故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得,根据对数运算法则可得,即. 所以,所以,故选项C错误； 由可得,即,根据对数运算法则可得,即,故选项D正确.故选C. 类型二、指数运算与对数运算中的最值问题 最值问题的求解策略 此类问题的解法通常是利用指数与对数的运算,把所给条件转化为代数式,再利用基本不等式或三个二次之间的关系求最值. 【例2】实数,满足,则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由可得,所以, 所以, 当且仅当,即,时等号成立. 【变式2-1】设且,记中较大的数为,则的最小值为 ． 【答案】 【解析】,, , 故,当且仅当时等号成立. 【变式2-2】已知正数a,b满足,则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为正数a,b满足,所以（*）, 当且仅当时,即,时等号成立.由（*）可得. 又, 当且仅当,时等号成立.所以的最大值为1.故选D. 【变式2-3】已知正数满足,则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【解析】,所以,因为a,b为正数, 所以,当且仅当时,即,时,等号成立,所以的最小值为.故选D. 【变式2-4】设,为正数,且且,则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【解析】由,所以,所以, 对A,,当且仅当,即时等号成立,故A正确； 对B,由,可得,当且仅当时取等号, 令,则,解得,即,当且仅当时取等号,故B错误； 对C,由,令,则,解得,即, 当且仅当时等号成立,故C正确；对D,由可得, 所以,令,由B知,则由可知当时,,故当时,有最大值,故D正确.故选B. 类型三、指数运算与对数运算中的新定义问题 新定义问题的特点及求解策略 1.新定义试题通过新定义一个数学对象或数学运算,以此为基础为学生搭建思维平台,设置试题.该题型形式新颖,考查功能显著,主要表现在四个方面：通过新定义创设数学新语境和话语体系；通过新情境搭建试题框架,创设解题条件；通过新设问设置思维梯度,逐步深入,准确区分不同层次的学生；通过解题过程展现学生数学思维和探究过程,实现对分析、推理、判断、论述等关键能力的考查. 2.通过给出一个新的定义,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题的情景,要求在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实心信息的迁移,达到灵活解题的目的. 3.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使得问题得以解决. 【例3】定义“正对数”:,若a>0,b>0,则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A,当,时,有,从而,, 所以；当,时,有,从而,, 所以．所以当,时,,故A错误．对B,当,时满足,,而,,所以,故B错误；对C,令,,则,,显然,故C错误；对D,由“正对数”的定义知,当时,有,当,时,有, 从而,, 所以；当,时,有, 从而,, 所以；当,时,有, 从而,, 所以；当,时,,,因为, 所以,所以．综上所述,当,时,,故D正确．故选D． 【变式3-1】设,表示不超过的最大整数,若存在实数,使得,,…,同时成立,则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】,,,,,当时,,, 因为,所以,即 当时,,,, 因为,所以, 当时,,,,, 因为,所以,所以若则,此时,,故不存在满足,, ,,同时成立,正整数的最大值为4,故选A． 一、填空题 1．若实数x,y满足,且,则的最小值为 . 【答案】8 【解析】由得：,又实数x,y满足, 则,当且仅当,即时取“=”, 由解得：, 所以当时,取最小值8. 2．已知实数,满足,,其中为自然对数的底数,则 【答案】e4 【解析】实数,满足,,,所以,, 即,,所以和是方程的根, 由于方程的根唯一,所以,所以,整理得, 所以． 3．设实数a、b、c满足a≥1,b≥1,c≥1,且abc＝10,alga•blgb•clgc≥10,则a+b+c＝ 【答案】12 【解析】由a≥1,b≥1,c≥1,且abc＝10,可得0≤lga≤1,0≤lgb≤1,0≤lgc≤1． 可得lg2a≤lga,lg2b≤lgb,lg2c≤lgc,又由alga•blgb•clgc≥10,可得lg（alga•blgb•clgc）≥lg10, 可得lg2a+lg2b+lg2c≥1又由lgabc＝lga+lgb+lgc =lg10=1,可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc, 所以lg2a＝lga,lg2b＝lgb,lg2c＝lgc,则a＝10或1,b＝10或1,c＝10或1, 由对称思想,不妨a＝10,则b＝1,c＝1,所以a+b+c＝12． 4．已知,则实数的最小值是 . 【答案】4 【解析】易得,故.由得,故, 所以,当且仅当,即时等号成立. 5．若,,且,则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为,所以 , ,所以 ,即,所以 , 当且仅当,即,此时时取等号,所以最小值为. 6．已知实数a,b满足,则a、b满足的关系有 .（填序号） ①；②；③；④. 【答案】①③ 【解析】,,, 对于①,, 所以（由于,所以不能取等）. 所以该命题正确； 对于②,由得,因为. ,所以,所以该命题错误； 对于③, ,所以,所以该命题正确； 对于④,, ,, 所以,所以, 所以, 所以,所以该命题错误.故答案为：①③ 7．卷积神经网络（Convolutional Neural Network,简称CNN）是人工神经网络的一种,它在图象识别中扮演关键角色,即使图象经历平移,旋转等变换也能准确识别.它的工作原理是用卷积核在原图上进行步长为1的运动扫描,卷积核与扫描部分的对应位置数字相乘并求和得出新的值,例如下图中卷积核对一个图象运算,图中虚线部分经过运算为,,依此规律完成第1阶段的卷积运算,同理完成第2阶段的卷积运算,得到卷积结果为. 根据以上信息卷积核按照步长为1进行运动扫描,一个的图象,记表示其第行,第列数据,满足,卷积核为,图象经历 个阶段卷积核运算后,卷积结果为一个数值；若满足（）,则 .（参考数据：） 【答案】 99 29 【解析】根据题意,图象经过第1阶段后得到图象,记,表示其第行,第列数据,满足,经过第2阶段后得到图象,记,表示其第行,第列数据,满足, 0 0 依次类推,经过第98阶段后得到图象,如图    经过第99阶段后得到, 则,解得,即,又,所以. 二、选择题 8．若,则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,可得,又,所以, 所以,故选C. 9．若,,则（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【解析】设,由换底公式可得,所以,解得或, 由于题干中a、b地位等价,不妨设 ,则,代入可得, 由于a在对数的底数上,所以且,由单调可得,解得, 则.故选C. 10．任何一个正实数N可以表示成的形式,这便是科学记数法,若N两边取常用对数,则有,当时,N是n＋1位数,则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 【答案】B 【解析】, 是610位数.故选B. 11．甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b,得两根为及；乙写错了常数c,得两根为及64,则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】原方程两边同时乘以,可变形为, ∵甲写错了b,得到两根为及,∴, 又∵乙写错了常数c,得到两根为及64,∴, ∴原方程为,即, ∴或,∴或8.故选C. 12．若,则的值为（   ） A． B． C． 【答案】A 【解析】因为,则.故选A. 13．若,,均为正数,且,记,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设,则,,, 所以. 因为,所以, 即,而,所以； 又因为,所以.故选B. 14．满足条件,且的一组为（   ） A．,, B．,, C．,, D．,, 【答案】D 【解析】设,,,, ,,结合选项,ABC不符合,D符合,故选D． 15．已知正实数,则“”是“”的（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】充分性： 当正实数时,,, 所以,充分性成立； 必要性： 当正实数满足时,两边同时取对数可得, 即, 即,变形为, 所以,所以, 已知正实数,则“”是“”的充要条件；故选C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指数运算与对数运算中的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、指数运算与对数运算中的求值问题 类型二、指数运算与对数运算中的最值问题 类型三、指数运算与对数运算中的新定义问题 压轴专练 类型一、指数运算与对数运算中的求值问题 一、根式与分数指数幂的互化及运算 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0,m,n∈N*,且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0,m,n∈N*,且n>1)； (3)对任意给定的正数、及实数、,有,, 二、对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 三、对数恒等式 四、换底公式 1. 换底公式： 2. 相关结论 (其中a,b均为不等于1的正数) (1)logab·logba=1； (2)lobn=logab(m∈R,n∈R,m≠0). 【例1】已知,,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令,则,所以由得,等号两边同除得,整理得,令,则, 所以由得,等号两边同除得, 整理得,所以和是方程的根, 由解得,又因为,均大于,且函数单调递减,所以,,所以,故选B. 【变式1-1】已知 则 ． 【变式1-2】已知,则的值为 ． 【变式1-3】已知,且,则 ． 【变式1-4】已知,,则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-5】设正数,满足,,则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【 类型二、指数运算与对数运算中的最值问题 最值问题的求解策略 此类问题的解法通常是利用指数与对数的运算,把所给条件转化为代数式,再利用基本不等式或三个二次之间的关系求最值. 【例2】实数,满足,则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由可得,所以, 所以, 当且仅当,即,时等号成立. 【变式2-1】设且,记中较大的数为,则的最小值为 ． 【变式2-2】已知正数a,b满足,则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】已知正数满足,则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式2-4】设,为正数,且且,则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 类型三、指数运算与对数运算中的新定义问题 新定义问题的特点及求解策略 1.新定义试题通过新定义一个数学对象或数学运算,以此为基础为学生搭建思维平台,设置试题.该题型形式新颖,考查功能显著,主要表现在四个方面：通过新定义创设数学新语境和话语体系；通过新情境搭建试题框架,创设解题条件；通过新设问设置思维梯度,逐步深入,准确区分不同层次的学生；通过解题过程展现学生数学思维和探究过程,实现对分析、推理、判断、论述等关键能力的考查. 2.通过给出一个新的定义,或约定一种新的运算,或给出几个新模型来创设新问题的情景,要求在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实心信息的迁移,达到灵活解题的目的. 3.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使得问题得以解决. 【例3】定义“正对数”:,若a>0,b>0,则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A,当,时,有,从而,, 所以；当,时,有,从而,, 所以．所以当,时,,故A错误．对B,当,时满足,,而,,所以,故B错误；对C,令,,则,,显然,故C错误；对D,由“正对数”的定义知,当时,有,当,时,有, 从而,, 所以；当,时,有, 从而,, 所以；当,时,有, 从而,, 所以；当,时,,,因为, 所以,所以．综上所述,当,时,,故D正确．故选D． 【变式3-1】设,表示不超过的最大整数,若存在实数,使得,,…,同时成立,则正整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 一、填空题 1．若实数x,y满足,且,则的最小值为 . 2．已知实数,满足,,其中为自然对数的底数,则 3．设实数a、b、c满足a≥1,b≥1,c≥1,且abc＝10,alga•blgb•clgc≥10,则a+b+c＝ 4．已知,则实数的最小值是 . 5．若,,且,则的最小值为 ． 6．已知实数a,b满足,则a、b满足的关系有 .（填序号） ①；②；③；④. 7．卷积神经网络（Convolutional Neural Network,简称CNN）是人工神经网络的一种,它在图象识别中扮演关键角色,即使图象经历平移,旋转等变换也能准确识别.它的工作原理是用卷积核在原图上进行步长为1的运动扫描,卷积核与扫描部分的对应位置数字相乘并求和得出新的值,例如下图中卷积核对一个图象运算,图中虚线部分经过运算为,,依此规律完成第1阶段的卷积运算,同理完成第2阶段的卷积运算,得到卷积结果为. 根据以上信息卷积核按照步长为1进行运动扫描,一个的图象,记表示其第行,第列数据,满足,卷积核为,图象经历 个阶段卷积核运算后,卷积结果为一个数值；若满足（）,则 .（参考数据：） 二、选择题 8．若,则（　　） A． B． C． D． 9．若,,则（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 10．任何一个正实数N可以表示成的形式,这便是科学记数法,若N两边取常用对数,则有,当时,N是n＋1位数,则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 11．甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b,得两根为及；乙写错了常数c,得两根为及64,则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 12．若,则的值为（   ） A． B． C． 13．若,,均为正数,且,记,则（    ） A． B． C． D． 14．满足条件,且的一组为（   ） A．,, B．,, C．,, D．,, 15．已知正实数,则“”是“”的（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $