精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期月质量检测卷 高二数学 一、选择题（共8小题） 1. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 7. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 如果，那么直线不经过第四象限 C. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. （多选）下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 三、填空题（共3小题） 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 13. 已知直线与平行，则实数的取值是_____. 14. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 四、解答题（共5小题） 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； 16. 如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面， 为的中点，是棱上的点，，，. （1）求证: 平面平面 （2）若二面角大小为，求的值 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期月质量检测卷 高二数学 一、选择题（共8小题） 1. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 2. 已知向量，，且，那么实数等于（　　） A. 3 B. -3 C. 9 D. -9 【答案】D 【解析】 【分析】运用空间向量共线列式计算即可. 【详解】∵，，且， ∴， 解得，， ∴． 故选：D． 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 4. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 5. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，共面，设，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面， 所以，，共面，设， 因为，，， 所以， 则，解得． 故选：C. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解A，根据向量垂直可判断B，根据线面角的定义，结合向量夹角即可求解C，根据共面的推论即可求解D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误， 对于B，由于，故，则或，故B错误， 对于C，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，C正确， 对于D，由于，，，四点共面，故，故，D错误， 故选：C 7. 已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 8. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 二、多选题（共3小题） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 如果，那么直线不经过第四象限 C. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线化为确定定点判断A；由，直线为判定B；注意直线过原点的情况判断C；根据平移得，整理后有即可判断D. 【详解】A：由，显然直线恒过，对； B：由，则， 而直线可化为，所以直线不经过第四象限，对； C：若直线过原点时，直线为，即，错； D：令原直线为，根据平移有， 所以与为同一直线， 所以，对. 故选：ABD 10. （多选）下列四个结论正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 空间中任意向量，，都满足 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A由数量积定义可判断；B利用四点共面的二级结论即可；C根据数量积的定义可判断；D举反例. 【详解】对A：因为，则或或， 即或或，故A正确； 对B：若对空间中任意一点O，有， 因，则四点共面，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，则，为实数， 故是与共线的向量，是与共线的向量， 因与不一定共线，所以不一定成立，故C错误； 对D：当时，不一定成立，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 三、填空题（共3小题） 12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知直线与平行，则实数的取值是_____. 【答案】或2 【解析】 【分析】由直线平行的条件可求. 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 14. 已知，直线，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 四、解答题（共5小题） 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出中点，和 ，运用点斜式得方程；（2）求出，运用点斜式得方程. 【小问1详解】 设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. 【小问2详解】 由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 16. 如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等面积法即可求出点到直线的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 解：连接，，过点作于，如图所示 在直角三角形中， 在直角三角形中， 直线平面，平面 故点到直线的距离为. 【小问2详解】 解：在正方体中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，，， ，，, 设平面的一个法向量为： 则，即，令得 点到平面的距离为. 17. 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接， AI    在中，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到线面角的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以． 18. 如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面， 为的中点，是棱上的点，，，. （1）求证: 平面平面 （2）若二面角大小为，求的值 【答案】（1） ∵，，为的中点， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴，即. 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的大小列方程，化简求得的比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面. 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，， ∴设，， ， 又，设平面的法向量为， ，取， ∵二面角为， ∴，解得，即 ∴ 19. 如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为，则为锐角， 故， ， 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $