云南省昆明市云南民族大学附属高级中学2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题

绝密★启用前 云南民族大学附属高级中学2026届高三联考卷（二） 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 硫 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的楚洁。考试结束后，请将答题卡交回。 中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知集合A=|4,7,10l,B={x|x-2|≤5引，则A∩B的真子集个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知复数z1=a+2i,z2=1+3ai,其中a∈R,若|z|=|z2|,则a= 5 A.士 6 D. 毁孕 2 B.4 4 3.记向量a=(2,3),b=(0,I),设甲：向量a与向量a+xb的夹角为锐角：乙：x>- 13 ,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4,已知椭圆C号三1的一个焦点为P,过点下且垂直于椭圆C长轴的直线1与C的一个交点 器 为A,则|AF= 7迈 A. 2 C.42 D.2√2 5.设|a.|为公差不为0的等差数列，且a2,a1,a4成等比数列，则该等比数列的公比为 A.-3 B.-2 C.2 D.3 云南·高三数学第1页（共4页） 6.在对某中学高三年级学生体重（单位：kg)的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法 抽取部分学生进行测量.已知抽取的男生有60人，其体重的平均数和方差分别为65,32，抽取的 女生有40人，其体重的平均数和方差分别为55,12，则估计该校高三年级学生体重的方差为 A.24 B.27 C.48 D.54 7.若函数代x)=an2+与函数g(e)=c0s(ax+p)(w>0,0p<m图象的对称中心完全一致，则p= A 3 83x 5π 3 C. 6 D若 &已知函数：)=a6宁在区间（0，+o)上单调，则a的取值范围为 A.[1,+oo) B.(-o,0]U[1,+o) c民回 D.(-,0]u[2+ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知α，B,y为三个两两垂直的平面.若平面，B的交线为L,则下列结论中一定不成立的有 A.l⊥y B.L//y C.lUy=Y D.lny=☑ 10已知函数)=g生，则 A.f(x)在定义域上单调递减 B.曲线y)关于点2,0对称 C当xeN时(x)<2 D.f(2)>2(4) 11.某小组拟进行敏感性问题调查.受访者从有除颜色外完全相同的20个白球和30个红球的箱子 内任取1个球，根据球上的标识写下回答的对应序号并回答“Y”或“N”后放回，白球上的标识为 “①Y,②N”,红球上的标识为“①N,②Y”.“Y”代表做过该敏感行为，“N”代表没做过该敏感行 为.事件1为“受访者写下①”，事件J为“受访者回答Y",则 A.若P(J)=0.5,调查100人，事件I的发生次数的期望值接近50 B.若P(I)=0.5,调查100人，事件J的发生次数的期望值接近50 C任取1人若P(刀e0.Q8剧，则P(Un-P(U0的最大直为9 D.任取1人，若P(J)e(0.2,1),则P(J1)-P(J1i)的最小值为-0.2 云南·高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设点A(3,yo)在抛物线C:y2=4x上，F为C的焦点，则|AF= 13.为了鼓励某高三年级实验班月考成绩前3名的同学，班主任购买了4个文具礼盒全部分给这3 名同学，若购买的4个文具礼盒仅有两个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共 有■ 种分法.（用数字作答） 14在长方体ABC0-A,8C,D中，M=8,MB=4,AD=2,M,N为棱DD,上两点，且Dm=河=孤，动 点P,Q在长方体内（含边界），且点P到M的距离与到平面ABCD的距离之比、点Q到N的距离与 到平面AB,C,D,的距离之比均为)，则四面体MWPQ棱长之和的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A<B,且1-cosB=2 sin Asin B.. a (1)证明：B=2A; (2)当b=√2a时，b2=a2+ac,求A 16(15分)已知数列1a,1满足a,=1,aa,=t n2+2n (1者京成等发数列，求 (2)求a. 云南·高三数学第3页（共4页） 17.(15分)在平面直角坐标系0中，已知双曲线C:2千-1(0>1)的两条渐近线将圆G,y 70)分为四段孤长分别为，，，的圆弧 (1)求C,与C2的方程； (2)过C2上一动点T作C2的切线交C,于不同的P,Q两点，证明：0P⊥0Q. 18.（17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,AB∥CD,AB⊥BC,E为AP的中点，PA=AB=BC=2, CD=CE=3,点F在线段CD上 密 (1)证明：PA⊥平面ABCD; (2)已知E,A,B,C四点均在球O的球面上 (i)证明：C,E,0三点共线； ()若直线OF与平面PBD所成角的正弦值为4 85,求DR 封 D 19.(17分)已知函数)=hx2x(aeR). (1)证明：曲线y=f代x)在点(1f(1))处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)若存在1<x2<3使得f八x)=(x2)=f八x3),记f八x)的导函数为f(x) (i)求a的取值范围； (i)证明：f(x)f'(x2)>0. 云南·高三数学第4页（共4页）云南民族大学附属高级中学 云南民族大学附属高级中学2026届高三联考卷（二） 数学参考答案 1.【答案】C 【解析】由题意可得B={x-3≤x≤7，故AnB=4,7,故集合A∩B的真子集个数为22-1=3.故选C 2.【答案】B 【解折]易得：上不，V,令16，=，解得公-名即a=年故适B 3.【答案】A 【解析】由题意可得a+xb=(2,3+x),对于充分性：若a与a+xb的夹角为锐角，则a·(a+xb)>0,且2(3+x)-3× 辩9+D写D用0=x乐管：孙盗士以孙些辨`0≠x日`-<x能揭`0≠x百0<I+xE怕`0子 满足题意，故甲是乙的充分不必要条件故选A. 4.【答案】B rx=1, 【解析】不妨设F(c,0)为右焦点，则c=√8-7=1，联立 (87=1 解得)=放4-7华赦击 4 5.【答案】A 【解析】设数列1an的公差为d(d≠0)，则a2=a,+d,a4=a,+3d,由题a=(a,+d)(a,+3d),化简得4a1d+32=0, 由于4≠0，故d:亭则a,=-山，也即该等比数列的公比为2=-3放选A 6.【答案】C +700*5=61,所以总样本的方差子=60x[32+(61-65)9]+0 100*65+40 【解析】记总样本的平均数为元，则x=60x 0￥ [12+(61-55)2]=48,所以估计该校高三年级学生体重的方差为48.故选C. 7.【答案】D 【解折1冷2+号经ke刀.故=名行（e刀，故雨数g)的周期为号放w任=4，令4+0=子+T T 2 c刀周=号行学e0放日号号得e为得g店(-0e.因为 7π 0g<,所以=看放选D 8.【答案】B 【解析】由题意可得∫'(x)=ae-x2-1,八x)在区间(0，+oo)上单调等价于∫(x)=ae-x2-1≥0或f(x)=ae-x2 ≤0在区间(0，+m)上恒成立，也即等价于a≥或ast 在区同0，切)上相成立设-g) -x2+2x-1-(x-1) ≤0恒成立，故g(x)在区间(0，+o)上单调递减.又g(0)=1,当x趋近于正无穷时，g(x)趋 e 近于0，故若要a≥+或 2+1 er或as 。在区间(0，+0)上恒成立，则ae(-o,0]U[1,+o).故选B. 云南·高三数学第1页（共7页） 云南民族大学附属高级中学 9.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】由α∩B=l,a⊥y且B⊥y,根据若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平 面，可得1⊥y,故A成立，B一定不成立；Uy=y等价于1Cy,即直线I在平面y内，但1⊥y,故C一定不成立； lny=O等价于直线I与平面y无交点，由lLy可知D一定不成立.故选BCD. 10.【答案】BC(每选对1个得3分)》 【解折1对于A-2)=g21)g2-2)<1),放A错误：对于B,注意到>0的解为(-0，-1)U (0,+o),此时/(-1-x)+x)=g 0，可知线关于点（分0对称，故 +g*1 B正确：对于C.易知)=1+)在赵间(0，+o)上单调速减故当eN时)<=g2g而=分 3 故C正确：对于D2)=g224)=2g 与瓷2).故D错误放选C 4 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】设受访者共m名，受访者中做过该敏感行为的人数为，则P()=片由于调查过程均为理想状态，故 可认为=号·云P(0=·台则曲公式可得P=P0P=号·台号· 51 5m 上P(00当P小0.5时，二三0.5，代人可得P(0=0,5,此时事件1的发生次数近似 分布B(100,0.5),其期望值为50，故A正确：当P(D=0.5时，3m-=0.5,解得”=0.5，即P(J)=0.5,同理， 5m n 故B正确：P(J1)-PJ1)=P0.2n.3n2片3，分 =m-m =-5+6n 5 P(0P(D3m-n2m+n3-n2+2 3- m m 30 日 当PDe0.08时，PJ0-PUIc5,在PU)=品处取最小值，无最大值同理当 P刀e(Q2,1时，PU刀-PU0e写，在PU》=日处取最小值，无最大值放C错误放D正确故 选ABD. 12.【答案】4 【解析】由题意知抛物线C:y2=4x,则p=1,准线x=-1,又点A(3,yo)在C上，则点A到焦点F的距离等于该点 到准线的距离，所以AF=x-(-1)=4. 13.【答案】21 【解析】记这4个礼盒分别为A,A,B,C,当两个A在一组时，共有A号=6种分法；当两个A不在一组时，若AB或 AC在同一组，共有CA=12种分法；当BC在同一组时，共3种分法，则总共有6+12+3=21种分法。 14.【答案】(10,14) 【解析1由题意得MN=2,MD=D,=3,点P到点M的距离与到平面ABCD的距离之比为2，点Q到点N的距 离与到平面AB,C,D,的距离之比为2，根据椭圆第二定义，可得P,Q的轨迹构成了以M,N为两焦点、离心率 云南·高三数学第2页（共7页） 云南民族大学附属高很中学 为)的椭圆沿MN旋转)形成的四分之一个旋转椭球面如图所示.又由椭圆第一定义可得QM+|QN= |PM+PW=2a=4,则四面体MNPQ的棱长之和为4a+|MN|+|PQ,观察可得|PQ|的取值范围是(0,4)，则 其四面体MNPQ棱长之和的取值范围是(10,14). -“D 15.(1)证明：由1-csB=2 2sin Asin B及正弦定理得， a sinB(1-cosB=2 sin Asin B..(2分） sinA 因为0<B<r,sinB≠0. 所以1-cosB=2sin2A,即cosB=1-2sin2A=cos2A,(4分) 因为A<B,所以2A,B∈(0，)，y=cosx在区间(0，π)上单调递减， 所以B=2A.(6分) (2)解：由题意，当b=√2a时，b2=a2+ac,则a(a-c)=0, 因为a≠0，所以a=c,即A=C.(10分)》 由A+B+C=A+21+A=4M=m,得A=子(13分) 16解：(1)因为京4成等差数列，所以空a=a,(2分 251 25 125.11=0,(5分) 所以00：241+k+2)24k(k+2)24 整理得2+2k-24=0,解得k=4(负值舍去).(7分) (2)因为an+1-a -(n+1)2 n(n+2) 所以n≥2时，an=a1+(a2-a)+(a3-a2)+…+(a。-aa-) n-1n+1 .1/ .1111 ,32nt1 =n+21+2nn+=n+42n2+2 ,(13分) n=1时也满足上式， 32n+1 所以a=n+42n+2n（15分) 17.(1)解：四段圆弧的弧长之比为2：1：2：1，故圆心角之比为2：1：2：1， 则各段圆弧对位的圆心角分别为宁号罗号，则可得圆的羊径为汽(2分) 云南·高三数学第3页（共7页） 云南民族大学附属高级中学 又Cx22 =1(6>1)的渐近线倾斜角的正切值为>1， 故渐近线倾斜角为号号-号放可得6=5.(4分) 故C:的方程为-苦=1，G:的方程为=子(6分) 3 (2)证明：当直线PQ的斜率不存在时，可知直线PQ的方程为=±5】 2 当PQ的直线方程为=时，不妨设P点在第一象限」 P,Q两点的坐标为5利5，，可得0币.0d=0 2’22’2 同理可得，当PQ的直线方程为x=- 2时，0示.0=0：(8分) 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m(k≠±3)，P(x1,y),Q(x2,2). 庙题，点0到直线P0的距离为dm则片 2+1 区直线P0为C,的线放即2m=3+3(10分 [y=kx+m, 联立{ /42y可得(3-k)x2-2kmx-m2-3=0 31, 故x1+2=3-2,七南=03 2km 3-k2,(12分) 3-gtm'=3m-32 3-3 tmk.2km y:=(kx+m)(kx:m)tmk(x)mm-3 3-k21 -m2-33m2-32m2-3-3（14分)） 则0.00=x+y=3-kt3-k 3-k2 将2m2=3k2+3代入，可得0P.00=0,即0P10Q.(15分) 18.(1)证明：如图1，连接EB,因为PA⊥AB,所以EB2=EA?+AB=5, 又BC=2,EC=3,则EB+BC2=EC2, 故BE⊥BC,(1分) 由BC⊥AB,AB∩BE=B,ABC平面PAB,BEC平面PAB,可知BC⊥平面PAB,(3分) 由PAC平面PAB可知PA⊥BC,(4分) 又PA⊥AB,AB∩BC=B,ABC平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.(5分) D 图1 云南·高三数学第4页（共7页） 云南民族大学附属高很中学 (2)()证明：解法一：如图2，以A为坐标原点，B元，AB,A产的正方向分别为x,y,轴的正方向，建立空间直角坐 标系A-xyz,(6分) 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),D(2,-1,0).(7分) 设0(x0,y0,), 则由0A=0B=0C=0E得x6+y+品=x号+(yo-2)2+品=(x0-2)2+(0-2)2+号=x+y+(0-1)2,(9分) 解得x0=y0=1,=2, 于是011，）d=(2,2.-1).d11,)=武，又E为元，动的公共点， 故C,E,0三点共线.(11分)》 A 图2 解法二：不妨记M为EC的中点，N为AC的中点，连接MW, 由EA⊥平面ABC,MN∥EA知MN⊥平面ABC.(7分) 由AB⊥BC可知NB=NA=NC,(8分) 易知直线MN上任一点到A,B,C三点的距离相等，故O∈MN,(9分) 同理由EA⊥AC可知过点M且垂直于平面EAC的直线1上任一点到A,E,C三点的距离相等，故OeL,(10分) 由InMW=M知点0即为点M,于是C,E,O三点共线.(11分) (i)解：如图3，连接0F,不妨设F(2,入，0)，入∈[-1,2]， 则=(0,2-2)，励=(2,30)，亦1A-1,(13分) 设平面PBD的法向量为n=(x,y,z), ·PB=0,2y-2z=0, 则1 即 可取n=(3,2,2),(14分) n·Bi=0,2x-3y=0, 记直线OF与平面PBD所成的角为0， simg=ln·0亦 |3+2λ-2-1 4x InoFl V3+2+2·1+(A-1+√万·4-8A+9 0.6分 即2+8入-9=0，解得A=1或A=-9(舍去)，故DF=A+1=2.(17分) 图3 云南·高三数学第5页（共7页） 云南民族大学附属高级中学 19.（1)证明：易得r(x)=lnx-1+,(1分) 故f'(1)=a-1,同时f八1)=-2-a,(2分)》 因此切线方程为y=(a-1)x-2a-1,即a(x-2)=x+y+1,(3分) 令x=2,得y=-3,故切线过定点(2，-3).(4分) (2)(i)解：记∫()的导函数为f(x),则r(x)=120.-20 tx(>0), 若a≤0，则"(x)>0,∫'(x)单调递增（也可由复合函数单调性直接得到∫(x)单调递增），(5分) 当1时-1+学c0,当且u时(0. 由零点存在定理可知∫(x)存在唯一零点xo,且当0<x<x时∫'(x)<0,当x>xo时，'(x)>0, 故八x)先单调递减后单调递增，对任意实数t,方程八x)=1至多有2个实根，不符合题意；(7分) 当a>0时，"(x)有唯-零点2a,且当0<x<√2a时"(x)<0,当x>√2a时，"(x)>0, 则'(x)在区间(0，√2a)上单调递减，在区间(2a,+o)上单调递增， 故f(x)≥f(2a)=h2a-l 2—(9分) 若r(2a)-也2≥0，即a≥号则r()≥0，此时x)单调递增，不合题意：(10分 2 设m(x)=lnx+一-1，m'(x)=一 化 文=，m(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，故 1_1-x-1 m(x)≥m(1)=0,即lnx-1≥-一 若0<兮，当x<a时，()≥>0，当0时(x)>>0, r2 x 则.f(x)在区间(0，√2a)和（√2a,+o)上分别存在零点p,9,且(x)在区间(0，p)和(q,+o)上为正，在区间 (p,9)上为负，(11分) 则f八x)先单调递增后单调递减再单调递增，且x→+o时，(x)→+o, 取x,使得x印且/(x)>g),则直线y=(x)与x)的图象有三个交点，满足题意，故a∈0，)(I2分) (国)证明：令m宁（国+)，构造函数a()=水u)水=)e0,2 、1 ,记'(x)的导函数为h”(x), h"(x)的导函数为h"(x)"(x)的导函数为"(x), 则e)a)ra0.作2）=r).(3分) 同时(0)=作2）=0.h()=ra)fa=. 易得h"(0)=0,则h"(x)="(m+x)+"(m-x), 时时广(：京会(x0)在区间0，v而上恒为正.14分) 16a6a-x2 若，≤6a,则()在区间(0，x)上恒为正，则'()在区间0,2 x21 上单调递增， 云南·高三数学第6页（共7页） 医云南氏族大学附属高福中学 此时h'”(x)≥h"(0)=0,故h'(x)单调递增 若A2）≤0，则A(x)≤0，A()单调递减，得2<h(0),与题意矛盾，(15分) 2 故2到-f)f,0: 若x2>6a,由(i)取y=f(√2a)与f(x)在区间(0，√2a)上有唯一交点x4,且f八x)=f(x2)<f(√2a)=f(x), 故由单调性可得x,<4,(16分) 由上可得(x)+f'(2a)>0,而f(x)在区间(0，√2a)上单调递减，在区间(2a,+0)上单调递增， 故f(x)>f()∫(x)>f'(√2a), 故f'(x1)+f(x2)>(x4)+f'(2a)>0.(17分) 云南·高三数学第7页（共7页）