精品解析： 福建省福州第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

2025-2026学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各分式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 4. 数据8，7，6，7，6，5，4，5，8，6的中位数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 不等式组，的解集可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，内错角相等 B. 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D. 相等的角是对顶角 7. 已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点A的对应点C的坐标为，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 9. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的6倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 扩大为原来的3倍 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：；；；．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 是方程的解，那么____； 12. 把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 若a、b、c是的三边的长，则化简______． 14. 已知函数与x轴只有一个交点，则________． 15. 在正方形中，点P是射线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．若，则______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简：_______________． 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 人工智能（简称AI）作为第四次工业革命的核心技术之一，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，将对经济发展、社会治理、国家安全产生重大而深远的影响．某校进行了“人工智能与人类未来”的演讲比赛，10位评委分别对甲、乙两名参赛队员进行打分（满分10分），赛后对数据进行收集、整理、描述和分析，信息如下： Ⅰ．甲的分数：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10； Ⅱ．乙的分数折线统计图： Ⅳ．分析上述数据，得到下表： 参赛人员 平均数 众数 中位数 方差 甲 8.4 8.5 0.84 乙 9 1.36 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______，______． （2）学校准备从甲、乙两名同学中选取一名参加区演讲比赛，你认为应该选择哪名同学参赛？请判断并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 22. 市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． （1）求该超市两次购进这款玩具各多少个？ （2）第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 23. 如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线与y轴的交点为，直线与直线交于点P． （1）求直线的解析式； （2）若点C在y轴负半轴上，点M在射线上，点N在射线上，且四边形为菱形，使用无刻度的直尺和圆规作出该菱形，并求出点C的坐标． 24. 在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动． （1）如图①，连接对角线AC，沿着DE折叠，使得点A落在对角线上，点A的对应点记为，与的交点记为O．求证：； （2）如图②，将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合，折痕与交点为G．展开后再沿直线EF折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为，连接， ①若该纸片长，宽，求折痕的长度； ②若，求证：该纸片为正方形纸片． 25. 抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为x轴上一动点，以和为边作平行四边形，当点E恰好在抛物线上时，求点D坐标； （3）点P为直线上一动点，过点P的直线，与抛物线均只有一个公共点F、G，求点C到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴2024的倒数是 ， 故选A． 2. 在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质．根据非负数有平方根即可求得答案． 【详解】解：0，，2006，20.80有平方根，没有平方根， 则有平方根的数有4个， 故选：D． 3. 下列各分式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其他的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 4. 数据8，7，6，7，6，5，4，5，8，6的中位数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数，求中位数的方法是：把数据按顺序排列，如果是奇数个数据，则取中间的数；如果是偶数个数据，则取中间两个数的平均数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排序为4，5，5，6，6，6，7，7，8，8， 所以中位数是． 故选：C． 5. 不等式组，的解集可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组解集的表示，解题关键是熟练运用解一元一次不等式组的方法进行准确计算．根据解不等式组的方法求解后判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 把不等式组的解集表示在数轴上： 故选：B． 6. 下列命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，内错角相等 B. 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D. 相等的角是对顶角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行公理、等边三角形的判定等知识，难度不大． 利用对顶角的性质、平行公理、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，是真命题，故本选项不符合题意； B、在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，是真命题，故本选项不符合题意； C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故本选项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项符合题意； 故选：D 7. 已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点A的对应点C的坐标为，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标系内线段的平移，根据A点平移前后坐标判断出平移方式，进而可得点D的坐标． 【详解】解：与对应， 平移方式为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 点B的坐标为， 点D的坐标是，即， 故选D． 8. 在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 9. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的6倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的3倍后，变为： 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：；；；．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系等知识，熟知二次函数的性质是解题关键﹒根据抛物线开口得到，根据抛物线对称轴得到，根据抛物线与y轴交点得到，即可得到①正确；当时，，可得，结合，，，即可得到②正确；根据，，得到，得到③错误；根据对称轴得到，根据当时，，当时，，分别代入，得到，，得到④正确，问题得解﹒ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在左侧， ∴同号，， ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图象得当时，， ∴， ∵，，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确﹒ 故选：C 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 是方程的解，那么____； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 12. 把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 13. 若a、b、c是的三边的长，则化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得，再化简绝对值并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵a、b、c是的三边的长， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 已知函数与x轴只有一个交点，则________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【详解】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 15. 在正方形中，点P是射线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质． 当点P是线段延长线上时，先证明，则，然后证明，则，则由勾股定理得，由面积法求出，则，再由勾股定理得，然后由求解即可；当点在线段上时，这种情况不成立． 【详解】解：当点P是线段延长线上时， ∵四边形是正方形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： ∵， ∴ ∴， ∴这种情况不成立， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先化简方程，再利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴ 则， 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ∴ 则或， 解得，． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把x、y的值计算即可． 【详解】解：原式， 将，代入，得： 原式 ． 20. 人工智能（简称AI）作为第四次工业革命的核心技术之一，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，将对经济发展、社会治理、国家安全产生重大而深远的影响．某校进行了“人工智能与人类未来”的演讲比赛，10位评委分别对甲、乙两名参赛队员进行打分（满分10分），赛后对数据进行收集、整理、描述和分析，信息如下： Ⅰ．甲的分数：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10； Ⅱ．乙的分数折线统计图： Ⅳ．分析上述数据，得到下表： 参赛人员 平均数 众数 中位数 方差 甲 8.4 8.5 0.84 乙 9 1.36 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______，______． （2）学校准备从甲、乙两名同学中选取一名参加区演讲比赛，你认为应该选择哪名同学参赛？请判断并说明理由． 【答案】（1）9，8.2，8.5 （2）选择甲参赛， 理由：甲、乙平均数相差不大，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、众数、算术平均数、中位数、方差等知识． （1）分别根据众数、算术平均数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差和平均数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：甲的分数中9出现次数最多，所以； 乙的分数从小到大排列为6，7，7，8，8，9，9，9，9，10，中位数， 乙的分数平均数； 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，即为所求，点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 的面积． 22. 市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． （1）求该超市两次购进这款玩具各多少个？ （2）第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 【答案】（1）该超市第一次购进200个，第二次购进400个 （2）第一次销售时每个玩具的售价是8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该超市第一次购进这款玩具x个，则第二次购进这款玩具个，根据每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个玩具的售价是m元，根据要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设该超市第一次购进这款玩具x个，则第二次购进这款玩具个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该超市第一次购进200个，第二次购进400个； 【小问2详解】 解：设第一次销售时每个玩具的售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次销售时每个玩具的售价是8元． 23. 如图，已知直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，，直线与y轴的交点为，直线与直线交于点P． （1）求直线的解析式； （2）若点C在y轴负半轴上，点M在射线上，点N在射线上，且四边形为菱形，使用无刻度的直尺和圆规作出该菱形，并求出点C的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）或． 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可求抽出直线的解析式； (2)利用菱形的性质建立方程，分两种情况：当为菱形对角线时，当为菱形边时，分别利用菱形性质求得点C的坐标即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 直线在y轴上的截距为2， ， 直线的解析式为， ， 在中，， ， ， ， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形， 当是对角线时，与互相垂直平分，设， 的中点坐标为， 点M，N的纵坐标都是， ，， ， ， ， 当为边时，，，设， ， ， 或， 或（舍）， ， 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式、菱形的性质，掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 24. 在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动． （1）如图①，连接对角线AC，沿着DE折叠，使得点A落在对角线上，点A的对应点记为，与的交点记为O．求证：； （2）如图②，将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合，折痕与交点为G．展开后再沿直线EF折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为，连接， ①若该纸片长，宽，求折痕的长度； ②若，求证：该纸片为正方形纸片． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】利用折叠的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可； ①设交于点，的中点为点，利用折叠的性质得到边与重合，边与重合，点是长方形对角线的中点，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定和性质求得，，再利用相似三角形的判定和性质解答即可； ②由折叠的性质和全等三角形的性质证得，得出E与G重合，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵是由折叠得到的， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴（三线合一）， 即； 【小问2详解】 ①解：∵长方形对折后，边与重合，边与重合， ∴点是长方形对角线的中点， 设交于点，的中点为点，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵展开后再沿直线折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E与G重合， 同理F与H重合， ∴四边形为正方形， 由折叠知，， ∴， ∴矩形为正方形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键． 25. 抛物线交x轴于O，两点，顶点为，点C为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为x轴上一动点，以和为边作平行四边形，当点E恰好在抛物线上时，求点D坐标； （3）点P为直线上一动点，过点P的直线，与抛物线均只有一个公共点F、G，求点C到直线的距离的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)设抛物线的表达式为，再把点代入即可求出a； (2)根据中点坐标确定C为，设，，再根据平行四边形的对角线互相平分的性质，确定点E，再代入抛物线解析式即可求出m； (3)先设过点P的直线解析式，联立抛物线解析式并利用求出和关于n的表达式；然后设直线的解析式，再联立抛物线解析式求出和关于n的表达式，进而可求出直线的解析式为，最后根据直线过定点，则点C到该定点的距离即为所求． 【小问1详解】 解：抛物线交x轴于O，两点，顶点为，设抛物线的表达式为， 把点代入得，解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 点，，点C为的中点， ∴点C的坐标为， 设，， 四边形是平行四边形， ，，解得：，， ， ∵点E恰好在抛物线上， ，解得：，（不合题意，舍去）， 点D坐标为； 【小问3详解】 设点P坐标为，过点P的直线方程式为：， 联立解得：， 设直线与抛物线只有一个公共点，则， 可设直线的方程式为，直线的方程式为，而、是方程的两个根， ，， 则，同理， ，， 设直线的解析式，F、G两点均在抛物线上，联立解得：， ，， ，， 直线的解析式为： ， 令，即时，，则直线通过定点， 点到直线的距离d满足：点C到定点的距离， 点C到直线的距离的最大时，就是点C到定点的距离， 点C到定点的距离， 点C到直线的距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系等内容，判定直线过定点是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $