精品解析：山东省昌乐二中2025-2026学年高二上学期9月模拟监测数学试题

高二数学9月模拟监测 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，用符号语言可表达为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 2. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性. 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 以下四个命题中，正确命题是（ ） A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线 B. 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C. 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D. 依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】A 【解析】 【分析】根据点共线、共面以及线共面等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，反证法：如果四个点中，有个点共线，第个点不在这条直线上， 根据基本事实的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，所以A选项正确. B选项，如下图，共面，共面，但不共面，所以B选项错误. C选项，如下图，共面，共面，但异面，所以C选项错误. D选项，如下图，四条线段首尾相接，但不共面，所以D选项错误. 故选：A 4. 已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、， 在正方体中，，，分别是，，的中点， ，，， 六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形． 故选：D 5. 球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球的半径，可求表面积. 【详解】令外接圆的半径为，球的半径为， 由，得， 所以为直角三角形，则，即， 因为球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半， 所以，解得，所以球的表面积为. 故选：A. 6. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 7. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得. 故选：C 8. 定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】B 【解析】 【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断. 【详解】 做出容器的轴截面，如图所示， 则，，， 则为中点， 则，， 由已知在直径为的圆柱内的降雨总体积， 则降雨高度为， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定判断A；确定线线位置关系判断B；利用平面基本事实判断C；利用线面垂直的性质、面面平行的性质判断D. 【详解】对于A，显然，又，则，A正确； 对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误； 对于C，由，，知点在平面内， 即为平面的公共点，而，因此，C正确； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：ACD 10. 如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与是异面直线 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理和线面平行的概念及异面直线的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以平面，所以A正确； 对于选项B，因为平面， 所以与平面也有交点，所以B错误； 对于选项C，因为与相交，所以与异面，所以C正确； 对于选项D，因为平面，平面， 所以且， 所以平面，平面，所以， 同理，所以平面，所以D正确. 故选：ACD． 11. 已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 C. 平面与平面的交线记为，则直线平面 D. 平面与平面的交线记为，则直线平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断AD；利用线面平行的判定性质推理判断C；利用锥体积体公式求出体积比判断B. 【详解】对于A，连接，连接，由且，为中点， 得，则是中点，而是中点，于是， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，，由是中点，得到平面的距离是到此平面距离的2倍， 而，因此，B错误； 对于C，平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，于是，而平面， 平面，因此直线平面，C正确； 对于D，延长交于点，连接，直线直线，由且， 得为中点，而是中点，则平面，平面， 因此直线平面，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可. 【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ， 设母线长为，高为. 则，解得. 如图所示圆台的轴截面， 在中，， 由勾股定理得：圆台的高. 故答案为：3. 13. 已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 14. 如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为______． 【答案】45° 【解析】 【详解】解法一：如图2，作于E，由题意，平面，∴， 作于O，连接，则平面， ∴，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中，，，， ∴，而，∴，那么在图2中也有， 从而，故，即直线与平面所成的角为45°． 解法二：如图2，作于E，由题意，平面， 故即为与平面所成的角， 由三余弦公式，， ∴，故， 从而，∴直线与平面所成的角为45°． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，点D是AB的中点． （1）求证：∥平面． （2）若平面ABC，，求证：平面． 【答案】（1） 连接，交于点，连接 ∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点. ∵点是的中点，∴是的中位线，∴， 又平面，平面，∴∥平面. （2） ∵平面，平面，∴， ∵，，∴， ∵，平面， ∴平面. 【解析】 【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可； (2)证明CD⊥AB，CD⊥即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且． （1）求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1） 设是的中点，由于是的中点， 所以, 由于是的中点，四边形是矩形, 所以. 所以, 所以四边形是平行四边形, 所以, 因为平面,平面, 所以平面. （2） 由于平面， 平面，所以, 因为,,平面， 所以平面, 因为平面,所以, 因为是的中点,所以, 因为,平面, 以平面, 又因为平面,所以. 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得线面平行； （2）结合线面垂直的判定定理来证得平面，进而可证明线线垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱台中，平面ABC，，． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解． （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证． （3）利用线面角的定义求解． 【小问1详解】 在三棱台中，平面，平面，则， 在直角梯形中，由，得， 而，则，， 所以 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 由（2）知，平面，则与平面所成角即为， 在中，，，， 则，即与平面所成角的正弦值为． 18. 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． （1）求证：平面． （2）求三棱柱的体积． （3）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明: ∵，∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面． 又∵平面，∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． （2）； （3）存在，为的中点，证明如下： 取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． 【解析】 【分析】（1）由，可得平面，进而得，在等腰梯形中，可证得，从而得证； （2）由即可得解； （3）取的中点，的中点，连结，，，可证得四边形为平行四边形，从而得证，进而得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵，平面， ∴． 【小问3详解】 存在，为的中点，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学9月模拟监测 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，用符号语言可表达为（ ） A. ，， B. ，， C. ，，， D. ，，， 2. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 以下四个命题中，正确命题是（ ） A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线 B. 若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面 C. 若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面 D. 依次首尾相接的四条线段必共面 4. 已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 5. 球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 与是异面直线 D. 平面 11. 已知四棱锥如图，且，，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 C. 平面与平面的交线记为，则直线平面 D. 平面与平面的交线记为，则直线平面 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 13. 已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为__________． 14. 如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，点D是AB的中点． （1）求证：∥平面． （2）若平面ABC，，求证：平面． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且． （1）求证：平面； （2）求证：． 17. 如图，在三棱台中，平面ABC，，． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 18. 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． （1）求证：平面． （2）求三棱柱的体积． （3）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $