第二章 圆锥曲线（单元测试·基础卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆 的一个焦点为，则（   ） A． B． C．5 D．6 3．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（   ）． A． B． C． D． 5．已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 8．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 11．已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 ． 13．已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为 ． 14．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； (2)设点是上第一象限内的点，，求x的值． 16．（15分） 已知椭圆的左焦点为，点在E上． (1)求椭圆E的离心率； (2)若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 17． （15分） 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. (1)求平面内动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 18．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足. (1)证明：直线过定点； (2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆 的一个焦点为，则（   ） A． B． C．5 D．6 3．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（   ）． A． B． C． D． 5．已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 8．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 11．已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 ． 13．已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为 ． 14．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； (2)设点是上第一象限内的点，，求x的值． 16．（15分） 已知椭圆的左焦点为，点在E上． (1)求椭圆E的离心率； (2)若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 17． （15分） 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. (1)求平面内动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 18．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足. (1)证明：直线过定点； (2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·基础通关（参考答案） 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C B A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程 (2) 【分析】（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值. 【详解】（1）由题意得， ………（1分） 可得，，， ………（2分） 故顶点坐标为，，焦点坐标，， ………（4分） 离心率为，渐近线为； ………（6分） （2）设，则， ………（7分） 点Q在第一象限，，且，， ………（9分） ， ………（11分） 解得， ． ………（13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程中即可； （2）利用椭圆的对称性得出坐标，再分别求出的面积，结合即可求出的值，最后利用即可. 【详解】（1）因点在E上，所以，即，所以椭圆E的离心率为． ………（3分） （2）因，结合椭圆的对称性可得，，， ………（5分） 因，轴， ………（6分） 则，， ………（8分） 四边形的面积为，则， ………（10分） 则， ………（11分） 由（1）可得，，则，则， ………（13分） 则． ………（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题设得到结合椭圆定义即可求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理结合和数量积定义求出参数m即可得解. 【详解】（1）由题意知，，， ………（2分） 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（去掉长轴的两个端点）， ………（3分） 所以，，， ………（4分） ，动点的轨迹方程为. ………（5分） （2）椭圆（去掉长轴的两个端点）的右焦点为， 当时，,则，此时或，此时不满足， 故过点的直线的斜率存在且不为0. ………（7分） 设直线的方程为， ………（8分） 代入方程中，消去得. ………（9分） 设，，则，， ………（10分） ，即，，， 则 ， ………（13分） 解得， ………（14分） 所以直线的方程为或. ………（15分）    18．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相切，理由见解析 【分析】（1）直线，与抛物线方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得，即可求解定点. （2）利用几何关系得 ，则，即可求解面积最大值. （3）设点，则直线，利用与相切得，同理，最后通过的圆心到直线的距离等于半径即可判断. 【详解】（1）由题意可得，点和点在抛物线上，设， ………（1分） 则，得. ………（2分） 因为直线的斜率一定存在，所以设直线 联立得，则，即， ………（4分） 所以直线过定点 ………（5分） （2）因为直线过定点，点分别在上， 所以，则 ， ………（6分） 所以. ………（7分） 又因为，所以. ………（8分） （3）设点， 则. 同理可得，. ………（10分） 令直线，整理得. ………（11分） 因为与相切，所以， ………（12分） 整理得. 同理可得， 观察结构可得，直线， ………（14分） 所以的圆心到直线的距离为. 故直线与相切. ………（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设，根据向量关系及，推导出x、y的关系式即可得到C的方程； （2）（i）设，求出直线与的斜率之积即可得证；（ii）利用韦达定理求出的面积表达式，通过研究表达式的单调性即可得到面积的最大值． 【详解】（1）设，，，则， ………（1分） ，，联立可得， ………（3分） 的方程为． ………（4分） （2）（i）设直线， 联立，得，， …（6分） 由韦达定理，得， ………（7分） 则直线与的斜率之积为， ， ………（10分） ． ………（11分） （ii）由（i）知得， 且， ………（13分） 则的面积为， ………（14分） 令，则， ………（15分） 由于函数在上单调递增，则， 则， 面积的最大值． ………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二选择性必修第一册数学单元检测卷 第二章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 2．已知椭圆 的一个焦点为，则（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知焦点在轴上， 由题意知：，解得：. 故选：C. 3．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 4．已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得为等边三角形，继而得到即可求解． 【详解】由已知，故， ∵以点为圆心的圆经过点， ∴，则为等边三角形， 故，，所以双曲线的离心率． 故选：B． 5．已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 6．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，可设，，，结合已知夹角及向量夹角的坐标表示列方程得，进而求离心率. 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 7．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 8．设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 11．已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点.若椭圆内有一点满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆方程为 C．若，分别是直线，的斜率，则有 D．当直线的斜率时，点落在轴上 【答案】ACD 【分析】由勾股定理可判断A，由椭圆方程可判断B，设直线，联立直线和椭圆方程可得点坐标，由直线斜率公式得到，计算可判断C，由可得直线方程，联立直线和椭圆方程求出点坐标，从而得到方程，最后联立方程可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 即，故A正确； 对于B，由题意可得，，，， 所以椭圆方程为，故B错误； 对于C，设直线， 联立，可得，从而， 则，则， 则，所以，故C正确； 对于D，若，则， 联立，可得，所以，，，则， 由，可得，， 联立，解得，所以当直线的斜率时，点落在轴上，故D正确. 故选：ACD.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 【答案】/ 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 13．已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 14．已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，由题意可得，分，两种情况，结合余弦定理可得的关系式求得的离心率的取值范围. 【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限， 因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 又，所以， 因为是钝角三角形，所以或为钝角， 若是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 当是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 所以的离心率的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点． (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； (2)设点是上第一象限内的点，，求x的值． 【答案】(1)顶点坐标为，；焦点坐标，；离心率为；渐近线方程 (2) 【分析】（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程； （2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值. 【详解】（1）由题意得， ………（1分） 可得，，， ………（2分） 故顶点坐标为，，焦点坐标，， ………（4分） 离心率为，渐近线为； ………（6分） （2）设，则， ………（7分） 点Q在第一象限，，且，， ………（9分） ， ………（11分） 解得， ． ………（13分） 16．（15分） 已知椭圆的左焦点为，点在E上． (1)求椭圆E的离心率； (2)若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程中即可； （2）利用椭圆的对称性得出坐标，再分别求出的面积，结合即可求出的值，最后利用即可. 【详解】（1）因点在E上，所以，即，所以椭圆E的离心率为． ………（3分） （2）因，结合椭圆的对称性可得，，， ………（5分） 因，轴， ………（6分） 则，， ………（8分） 四边形的面积为，则， ………（10分） 则， ………（11分） 由（1）可得，，则，则， ………（13分） 则． ………（15分） 17． （15分） 已知在平面直角坐标系内，三角形的两个顶点，，且三角形的周长为. (1)求平面内动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题设得到结合椭圆定义即可求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理结合和数量积定义求出参数m即可得解. 【详解】（1）由题意知，，， ………（2分） 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（去掉长轴的两个端点）， ………（3分） 所以，，， ………（4分） ，动点的轨迹方程为. ………（5分） （2）椭圆（去掉长轴的两个端点）的右焦点为， 当时，,则，此时或，此时不满足， 故过点的直线的斜率存在且不为0. ………（7分） 设直线的方程为， ………（8分） 代入方程中，消去得. ………（9分） 设，，则，， ………（10分） ，即，，， 则 ， ………（13分） 解得， ………（14分） 所以直线的方程为或. ………（15分）    18．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足. (1)证明：直线过定点； (2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相切，理由见解析 【分析】（1）直线，与抛物线方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得，即可求解定点. （2）利用几何关系得 ，则，即可求解面积最大值. （3）设点，则直线，利用与相切得，同理，最后通过的圆心到直线的距离等于半径即可判断. 【详解】（1）由题意可得，点和点在抛物线上，设， ………（1分） 则，得. ………（2分） 因为直线的斜率一定存在，所以设直线 联立得，则，即， ………（4分） 所以直线过定点 ………（5分） （2）因为直线过定点，点分别在上， 所以，则 ， ………（6分） 所以. ………（7分） 又因为，所以. ………（8分） （3）设点， 则. 同理可得，. ………（10分） 令直线，整理得. ………（11分） 因为与相切，所以， ………（12分） 整理得. 同理可得， 观察结构可得，直线， ………（14分） 所以的圆心到直线的距离为. 故直线与相切. ………（17分） 19．（17分） 在平面直角坐标系中，动点分别在轴和轴上，满足，点满足的轨迹记为． (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的直线与交于两点． （i）证明：； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设，根据向量关系及，推导出x、y的关系式即可得到C的方程； （2）（i）设，求出直线与的斜率之积即可得证；（ii）利用韦达定理求出的面积表达式，通过研究表达式的单调性即可得到面积的最大值． 【详解】（1）设，，，则， ………（1分） ，，联立可得， ………（3分） 的方程为． ………（4分） （2）（i）设直线， 联立，得，， …（6分） 由韦达定理，得， ………（7分） 则直线与的斜率之积为， ， ………（10分） ． ………（11分） （ii）由（i）知得， 且， ………（13分） 则的面积为， ………（14分） 令，则， ………（15分） 由于函数在上单调递增，则， 则， 面积的最大值． ………（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $