专题02 整式的乘除（必备知识+22题型+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 整式的乘除（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂的乘、除，幂的乘方，积的乘方） 掌握幂的各项运算法则，能准确进行幂的乘法、乘方、除法运算，解决相关计算与化简问题 基础运算题型，常出现在选择题、填空题，是整式运算的基石，易错点在于符号和指数的运算规则混淆 单项式乘单项式、单项式乘多项式 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则，能熟练进行整式乘法的基础运算，明确每一步的运算依据 基础运算题型，多在计算题中出现，属于整式乘法的入门考点，需注意系数与同底数幂的分别运算 多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式 掌握多项式乘多项式的运算法则，熟练运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，能准确识别公式应用的条件并解决化简、求值问题 中考高频考点，公式应用常出现在计算题、化简求值题中，平方差和完全平方公式是易错点，易出现符号错误和公式结构混淆 单项式除以单项式、多项式除以单项式 掌握整式除法的运算法则，能熟练进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，解决相关计算与化简问题 基础运算题型，常与整式乘法结合考查，出现在选择题、填空题或计算题中，需注意除法运算中的系数、同底数幂及余式（多项式除法）的处理 因式分解的概念 掌握因式分解的定义，能区分因式分解与整式乘法的区别，判断变形是否为因式分解 基础概念题型，常出现在选择题，考查对因式分解概念的理解，易与整式乘法混淆 提公因式法因式分解 掌握提公因式法的步骤，能准确找出多项式各项的公因式并完成分解，避免漏项或公因式提取不彻底 基础运算题型，多在计算题、化简题中出现，是因式分解的入门考点，易错点为公因式提取不完整 公式法因式分解（平方差、完全平方公式） 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能熟练运用公式对多项式进行因式分解，确保分解彻底 中考高频考点，常出现在计算题、化简求值题中，易错点为公式结构识别错误、符号错误及分解不彻底 十字相乘法因式分解 掌握十字相乘法的步骤，能识别可适用的二次三项式，准确分解二次项系数和常数项的因数并完成因式分解 重要方法题型，常出现在因式分解的计算题或综合化简题中，易错点为二次项系数、常数项的因数分解搭配错误 题型一 同底数幂的乘法及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★运用同底数幂的乘法时，遵循 “底数不变，指数相加” 计算； ★逆用时，将指数和拆分为两个指数之和，转化为同底数幂相乘的形式求解． 【典例1】若，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查同底数幂相乘，根据同底数幂相乘法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：7． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 题型二 幂的乘方运算及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★进行幂的乘方运算时，紧扣 “底数不变，指数相乘” 的法则计算； ★逆用时，将指数的乘积拆分为两个指数的倍数关系，转化为幂的乘方形式求解． 【典例1】规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【答案】128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则，弄懂定义是解题的关键． 由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：128． 【变式1】已知，，求的值 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题关键是熟练运用幂的乘方、同底数幂的乘法等运算法则．将等式两边的底数化为相同，然后根据指数相等列出方程组，进而求解、的值，代入即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 联立得：，解得： ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型三 积的乘方运算及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★进行积的乘方运算时，将积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘（注意系数与单独字母的乘方）； ★逆用时，把同指数的多个幂相乘，提取指数转化为这些幂的底数之积的乘方形式． 【典例1】计算的结果为（   ） A．0 B．0.1 C． D．0.2 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方和同底数幂相乘．逆用积的乘方法则和同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方运算以及科学记数法的应用，熟练掌握积的乘方法则（为正整数），并能正确运用该法则进行计算是解题的关键． （1）根据积的乘方法则，将积中每个因式的乘方分别进行计算，然后再将所得结果相乘． （2）先将底数看作一个整体进行乘方运算，再根据科学记数法的相关规则进行化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可； （2）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可； （3）对同底数幂的乘法和积的乘方的公式进行逆应用，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四 同底数幂的除法及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★进行同底数幂的除法时，紧扣 “底数不变、指数相减” 法则（注意底数不为 0）计算； ★逆用时，将指数差拆为两个指数相减，转化为同底数幂相除的形式求解（同样需保证底数不为 0）． 【典例1】若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法．根据同底数幂的除法求得，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】已知，则的值为（    ） A．25 B．5 C．10 D．2 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则及整体代入思想，解题关键是利用幂的性质对变形后，将作为整体代入求值 ． 根据幂的运算法则对进行化简得，然后由，可得，再代入求值即可解答 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：A． 【变式2】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)a； (2) (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂除法计算即可； （2）先运用同底数幂除法计算，然后再运用幂的乘方计算即可； （3）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂乘除混合运算法则计算即可； （4）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂除法计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4） ． 题型五 单项式乘以单项式 解｜题｜技｜巧 ★先将系数相乘（注意符号），再对同底数幂按 “底数不变、指数相加” 计算，最后把只在一个单项式中的字母连同其指数作为积的因式． 【典例1】计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的指数分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：原式， 故选：D． 【变式1】的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，先计算幂的乘方与积的乘方，再根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，单项式乘单项式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则求解即可； （2）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 题型六 单项式乘以多项式 解｜题｜技｜巧 ★用单项式依次乘多项式的每一项（注意保留每一项的符号），每一步按单项式乘单项式法则算，最后将所得积相加． 【典例1】下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原式错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘的运算法则．熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可求得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算积的乘方，再算单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型七 多项式乘以多项式 解｜题｜技｜巧 ★按顺序用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项（带符号运算避免漏项），每步按单项式乘单项式法则计算，最后合并所得积中的同类项． 【典例1】若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先进行多项式乘以多项式运算，再去括号，最后进行加减运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【变式2】有这样一道题，求代数式的值：，其中．小明做题时不小心把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请问这是怎么回事？请通过计算说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式以及单项式乘以单项式的运算，整式的加减计算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式以及单项式乘以单项式的运算法则计算化简，得到结果不含有，即可判断． 【详解】解： ， ∵化简结果不含有， ∴计算结果与无关， ∴计算结果正确． 题型八 整式乘法求字母的值 解｜题｜技｜巧 ★先按整式乘法法则将式子展开并合并同类项，再根据等式两边同类项系数相等（或不含某类项时其系数为 0）列方程，求解即可得到字母的值． 【典例1】若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【变式1】一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 【变式2】已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和同类项的定义，注意相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化，系数相乘作为积的系数，把相同字母的指数相加，再根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：∵ 又∵单项式和的积与是同类项， ∴   解得 ∴． ∴的值为． 题型九 整式乘法的应用 解｜题｜技｜巧 ★解题时先将实际问题（如面积计算、长度关系推导）转化为整式乘法模型，再按对应法则运算； ★注意带符号计算防符号错误，不遗漏多项式相乘的项，且运算后需合并同类项确保结果简洁． 【典例1】将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． 用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可． 【详解】解：∵ ， 整理，得：， ∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变， ∴ ， 解得：． 故选：B． 【变式1】陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米） (1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简） (2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？ 【答案】(1)（平方米）； (2)元． 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系． （1）根据题意，结合图形列式即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算，将结果与相乘即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）当米时， （平方米）， （元）， 即修建观赏台需要总费用元． 【变式2】当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：． (1)由图2可得等式：________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知且，求的值． 【答案】(1) (2)①45；②2 【分析】本题考查多项式的乘法与几何图形面积的关系： （1）利用大正方形面积等于小正方形和小长方形面积之和即可求解； （2）①结合（1）中的公式即可求解；②利用完全平方公式化简整理已知等式，将（1）中公式中的换为，c换为，对比两个等式即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积为， 大正方形可分割为一个边长为a的小正方形、两个边长为a和b的长方形，两个边长为a和c的长方形、一个边长为b和c的长方形、一个边长为b的小正方形、一个边长为c的小正方形， 故 （2）解：①， ， ∴， ∴． ② ， 由（1）可知， ， 即， ， ， ∴． 题型十 多项式乘法的规律问题 解｜题｜技｜巧 ★解题时先按多项式乘法法则算出前几个具体展开式，对比分析系数、项数或字母指数的变化规律； ★注意展开时不遗漏项、准确处理符号，且规律需用后续例子验证是否通用． 【典例1】请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，由题意可得，再将所求式子进行变形，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故答案为：． 【变式1】观察下列各式 ； ； ； …… (1)根据以上规律，计算：______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律请你求出：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索规律，根据规律答题． （1）运用多项式乘多项式法则展开，合并同类项即得； （2）根据所列等式得出规律：等号右边为x的幂，x的指数为左边第二个因式第一项指数加1，据此即可得出结论； （3）原式乘以(2－1)，然后利用（2）中结论解答即可． 【详解】（1）解：，理由： ， ． 故答案为：． （2）解：∵； ； ； ……， ∴根据规律可得：． 故答案为：． （3）解：∵， ∴ ． 【变式2】已知与所表示的数互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出以及裂项相消法的运用是解题的关键．由题意可知，，根据绝对值的非负性可得、，进而求出和的值，再代入所求式子即可得到答案． 【详解】解： 与所表示的数互为相反数， ， ，， ∴，， ∴， ， ∴ ． 题型十一 不含某项与某项取值无关求字母的值 解｜题｜技｜巧 ★先将式子展开并合并同类项，令不含的项或与取值无关项的系数等于 0 列方程求解；注意合并同类项需准确，且 “不含某项” 与 “某项取值无关” 本质均是该类项系数为 0，勿混淆条件． 【典例1】要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】已知的展开式中不含项和项． (1)求m，n的值； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式乘除及化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先将多项式展开，根据不含项和项，得出对应系数为0，列方程求解m，n的值； （2）先分别化简两个代数式，再合并同类项，最后代入m，n的值． 【详解】（1） 展开式中不含项和项， ，， ，， （2）原式 ，， 原式． 【变式2】【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 题型十二 平方差公式运算 解｜题｜技｜巧 ★解题时先识别两个二项式中的 “相同项” 与 “互为相反数的项” 确定公式中的a和b，复杂式子可通过整体代换适配公式；注意需满足 “一项相同、一项互为相反数” 的适用条件，运算中留意符号，结果要化简． 【典例1】计算：（    ） A．2018 B．2028 C．2038 D．2048 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，根据公式变形计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式1】下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特点找相同项和相反项，即可得到答案． 【详解】解： A、符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式进行计算，此选项正确； B、没有相同项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； C、没有相同项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； D、没有相反项，不能用平方差公式进行计算，此选项错误； 故选：A． 【变式2】已知实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟记是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 题型十三 平方差公式的应用 解｜题｜技｜巧 ★解题时先通过图形的整体与部分面积关系，用两种方式表示同一面积（一种含平方差形式），再借面积相等关联平方差公式；注意准确对应图形边长与公式中的a、b，确保图形拆分或组合合理，避免边长混淆导致公式应用错误． 【典例1】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 【变式1】【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【答案】(1) (2)①4；②1 (3)6 【分析】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正整数幂的尾数特征，准确识图，熟练掌握平方差公式的结构特征，正整数幂的尾数特征是解决问题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，再由图①，图②中阴影部分的面积相等即可得出答案； （2）①根据得，由（1）中的乘法公式得，将代入计算可得的值； ②变形得，再利用平方差公式求解即可； （3）先计算，再根据，，，，，，…，得到的个位数字为6，然后根据得的个位数字为6，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵图①中大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图①中阴影部分的面积为：， ∵图②中阴影部分是一个长为，宽为的长方形， ∴图②中阴影部分的面积为：， 由拼图可知：图①中阴影部分的面积图②中阴影部分的面积， ∴得到的一个乘法公式是：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， 即， 由（1）中的乘法公式得：， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ； （3）解： ， ∵，，，，，，…， ∴的个位数字为6， 又∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为6． 【变式2】【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的公式是 ； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 ； 【拓展应用】直接用你发现的公式计算： 【答案】[知识生成]，，；[知识迁移]；[拓展应用] 【分析】本题考查乘法公式与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． [知识生成]由于阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积，即，再根据阴影部分的面积由4个长为，宽为的小长方形构成，即，即可求得； [知识迁移]大正方体的棱长为，根据体积公式可得大正方形的体积．另大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，因此大正方体的体积也为8个小正方体或长方体的体积之和，即可得到公式； [拓展应用]由上的结论将已知代入即可求得值． 【详解】解：[知识生成]∵阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积，即：， 又阴影部分的面积由4个长为，宽为的小长方形构成，即， ∴． 故答案为：，，； [知识迁移]大正方体的体积是， 大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，它们的体积之和为： ． 故答案为：． [拓展应用]由上可知， ∴ ． 故答案为：． 题型十四 完全平方公式的运算 解｜题｜技｜巧 ★先识别式子是否符合 “二项式平方” 结构，确定公式中的a、b（复杂式子可将多项式整体看作a或b），再按公式展开，重点关注中间项 “±2ab” 的符号（a、b同号为正，异号为负）；注意避免遗漏中间项或算错中间项系数（勿将2ab简化为ab），运算后需合并同类项，确保结果为最简形式． 【典例1】要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质分别求出的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【变式2】先化简后求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】考查整式的化简求值，掌握合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式化简，再代入求值即可； （2）根据乘法分配律和完全平方公式化简，再代入求值即可． 【详解】（1） ， 当时，． （2） ， ，时，． 题型十五 完全平方公式的应用 解｜题｜技｜巧 ★先确定图形（如正方形）的边长与完全平方公式中的对应关系，比如大正方形边长对应或；再用“整体面积”（如、）和“部分面积和”（如、）两种方式表示同一图形面积，借面积相等建立与公式的关联；若边长是多项式，可将其整体看作或，适配公式完成推导或计算． 【典例1】我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A. 【变式1】对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式乘法与图形面积.根据图形面积总结规律，关键是运用规律解决问题． （1）直接根据图形写出等式； （2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可． 【详解】（1）由图形可得等式：； 故答案为：，； （2） ，，，且， ． 【变式2】阅读下列文字： 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：______________； (2)小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值； (3)已知：，求的值． 【答案】(1) (2)14 (3)-4 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得的值，计算，即可求解； （3）设，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1） （2） ； ． （3）令， ， ， ， ， ． 题型十六 单项式除以单项式 解｜题｜技｜巧 ★解题时先将系数相除（算准符号与商值），再对同底数幂按 “底数不变、指数相减” 计算，最后把被除式中独有的字母连同其指数作为商的因式；需注意除式的底数不能为 0，系数相除若得分数要化为最简形式，运算后需确认商是无同类项的最简整式． 【典例1】如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除单项式的计算法则进行求解是解决本题的关键．应用单项式除单项式计算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ． 故选：． 【变式1】化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握积的乘方，单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】若，求的值． 【答案】1 【分析】本题中考查了平方数和绝对值，掌握非负数的性质∶几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键．先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再将值代入代数式化简求值 【详解】解： 且任意有理数的平方是大于或等于零的，任意有理数的绝对值也是大于或等于零的， 解得 ； . 题型十七 多项式除以单项式 解｜题｜技｜巧 ★解题时将多项式的每一项分别除以单项式，每一步按 “系数相除、同底数幂指数相减、保留被除式独有的字母” 的单项式除法法则计算，最后把所得商相加；注意运算时要带着多项式每一项的符号计算以防符号错误，不能遗漏常数项等任何一项，且除式的底数必须不为 0 以保证运算有意义． 【典例1】已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式1】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘多项式，多项式除以单项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘多项式，最后运算多项式除以单项式，即可作答． （2）先运算多项式除以单项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所捂的多项式为A，将乘法转化为除法，用积的每一项除以单项式，再把所得的商相加即可；（2）将x、y的值代入多项式计算即可； 本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：设所捂的多项式为A， 则． （2）， ． 题型十八 因式分解 解｜题｜技｜巧 ★先看结果是否将多项式转化为几个整式相乘的形式，这是判断是否为因式分解的核心依据；再检查相乘的整式是否还能继续分解，确保因式分解达到彻底的程度（即每个因式均不能再分解为更简单的整式积）． 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选：C． 【变式1】下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，是因式分解，故不符合题意； B、，是因式分解，故不符合题意； C、，是因式分解，故不符合题意； D、的右边不是整式，不是因式分解，故符合题意； 故选：D． 【变式2】若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 题型十九 公式法进行因式分解 解｜题｜技｜巧 ★先判断多项式是否符合平方差、完全平方等公式的结构特征，复杂式子可通过整体代换确定公式中的“a”“b”；再逆用对应公式进行分解，分解后需检查每个因式是否还能进一步分解，确保因式分解彻底． 【典例1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 【变式1】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】分解因式： (1)． (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法因式分解和综合运用公式法分解因式，熟练掌握综合提公因式和公式法因式分解和综合运用公式法分解因式是解题的关键． （1）综合运用提公因式因式分解即可； （2）先提公因式，再运用平方差公式因式分解即可； （3）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （4）先用完全平方公式因式分解，再用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型二十 因式分解的应用 解｜题｜技｜巧 ★先观察问题中的多项式是否具备可因式分解的结构（如公因式、平方差、完全平方形式），优先通过提公因式法、公式法将其分解为整式积；再根据求值、化简或解方程等目的，利用分解后的整式积特性（如整体代入、零乘积原理）解题，且需确保因式分解彻底以简化运算． 【典例1】如图，长方体的高为x，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【详解】解：由，， ∴长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 【变式1】阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 【变式2】已知，，，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查利用完全平方公式，因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 通过已知条件可求得，，的值，将代数式适当变形，将，，的值代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ． 【变式3】（1）已知，，求的值． （2）求证：不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及平方数的非负性，熟练掌握因式分解的方法和平方数的非负性是解题的关键． （1）先对所求式子进行变形，利用已知条件将高次幂转化为低次幂，再通过平方差公式求出的值，进而得出结果． （2）对多项式进行因式分解，然后根据平方数的非负性以及系数的正负来判断多项式的值的范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：， ，， ． ∴不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 题型二十一 十字相乘法因式分解 解｜题｜技｜巧 ★先将二次项系数拆为两数乘积、常数项拆为两数乘积，找出两组数交叉相乘的和等于一次项系数的配对；再按配对的因数写出两个一次二项式相乘的形式，分解后可展开验证，确保与原式一致． 【典例1】某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【变式1】类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式2】小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 题型二十二 公因式 解｜题｜技｜巧 ★找公因式时，先取各项系数的最大公约数，再取各项共有的相同字母（或多项式）的最低次幂，两者相乘即得公因式；首项系数为负时需先提负号并变各项符号，公因式可能是多项式（需整体看待），且提完后要检查剩余部分，确保公因式提取彻底． 【典例1】将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 【变式1】多项式与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求公因式，因式分解． 先分别将与因式分解，再求公因式即可． 【详解】，， ∴多项式与的公因式是， 故答案为：． 【变式2】已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没有把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误； C、因式分解的对象是多项式，而是单项式，故C错误； D、是因式分解，故D正确； 故选：D． 2．利用平方差公式计算，结果为 ． 【答案】600 【分析】本题考查因式分解在有理数混合运算的应用．正确使用因式分解使运算简便是解题的关键． 先提公因式15，得，再将因式用平方差公式分解，然后再计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】1584 【分析】本题考查了因式分解的应用，整体思想求代数式的值等知识，正确分解因式是解题的关键；提取公因式得，再整体代入即可求解． 【详解】解： ， ∵x、y满足方程组 ∴原式． 4．（1）计算：；            （2）因式分解：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查整式运算，因式分解，掌握多项式乘多项式的运算法则以及完全平方公式的结构是解题关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：（1）； ； （2） ． 5．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 6．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先运用整式的运算法则化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 7．若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟练掌握完全平方公式变形是解题的关键． （1）将原式变形为，代值计算即可； （2）将原式变形为，代值计算即可； （3）先将原式利用完全平方公式展开后，合并同类项，再变形为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 【答案】 1 【分析】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解； （2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 4．已知，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了代数式的恒等变形与非负数的性质，熟练掌握​配方法及“几个非负数的和为零，则每个数均为零”的结论​​是解题的关键．通过将原等式右边移项，并将常数项9拆分为2、3、4，巧妙地将原式配成三个完全平方式之和等于零的形式，从而利用非负数的性质求出a、b、c的值． 【详解】解：将原等式整理为 ， ∴，，， ∴，，， ∴． 5．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 (1)仿照上面的竖式运算方法计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求a（用含x的代数式表示）； （ii）长方形B的面积和另一个一边长为的长方形C的面积相等，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查多项式乘以多项式与图形面积问题，熟练掌握竖式计算，是解题的关键： （1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）（i）根据长方形的周长公式，求出即可， （ii）再求出面积，然后分解多项式即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2） ∴； （3）解：（i）长方形的周长是长方形周长的倍， ， 解得：， （ii）长方形的面积为：， ∴长方形C已知边长的邻边长为． 6．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）算式改写为，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）因为， 所以． 所以． 因为， 当时， 所以，． 所以． 7．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)不是“合和数”，是“合和数”，理由见解析 (2)满足条件的有：，，， 【分析】本题考查的是新定义题，主要考查了列代数式，以及数的分解，正确地读懂题目信息是前提，解题的关键是用字母，表示出，． （1）根据“合和数”的定义直接判定即可； （2）设的十位数字为，个位数字为，则，，得出，，当能被整除时，设值为，对或进行讨论． 【详解】（1）解：， 和十位数字相同，但个位数字， 不是“合和数”． ，和十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”． （2）解：设的十位数字为，个位数字为， 的个位数字不为，且是一个四位“和合数”， ，， 则，， ，． （是整数）． ， ， 是整数， 或， 当时， 或， 当时，或，当时，或， 或， 当时， 或， 当时，或，当时，或， 或． 综上，满足条件的有：，，，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂的乘、除，幂的乘方，积的乘方） 掌握幂的各项运算法则，能准确进行幂的乘法、乘方、除法运算，解决相关计算与化简问题 基础运算题型，常出现在选择题、填空题，是整式运算的基石，易错点在于符号和指数的运算规则混淆 单项式乘单项式、单项式乘多项式 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则，能熟练进行整式乘法的基础运算，明确每一步的运算依据 基础运算题型，多在计算题中出现，属于整式乘法的入门考点，需注意系数与同底数幂的分别运算 多项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式 掌握多项式乘多项式的运算法则，熟练运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，能准确识别公式应用的条件并解决化简、求值问题 中考高频考点，公式应用常出现在计算题、化简求值题中，平方差和完全平方公式是易错点，易出现符号错误和公式结构混淆 单项式除以单项式、多项式除以单项式 掌握整式除法的运算法则，能熟练进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，解决相关计算与化简问题 基础运算题型，常与整式乘法结合考查，出现在选择题、填空题或计算题中，需注意除法运算中的系数、同底数幂及余式（多项式除法）的处理 因式分解的概念 掌握因式分解的定义，能区分因式分解与整式乘法的区别，判断变形是否为因式分解 基础概念题型，常出现在选择题，考查对因式分解概念的理解，易与整式乘法混淆 提公因式法因式分解 掌握提公因式法的步骤，能准确找出多项式各项的公因式并完成分解，避免漏项或公因式提取不彻底 基础运算题型，多在计算题、化简题中出现，是因式分解的入门考点，易错点为公因式提取不完整 公式法因式分解（平方差、完全平方公式） 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，能熟练运用公式对多项式进行因式分解，确保分解彻底 中考高频考点，常出现在计算题、化简求值题中，易错点为公式结构识别错误、符号错误及分解不彻底 十字相乘法因式分解 掌握十字相乘法的步骤，能识别可适用的二次三项式，准确分解二次项系数和常数项的因数并完成因式分解 重要方法题型，常出现在因式分解的计算题或综合化简题中，易错点为二次项系数、常数项的因数分解搭配错误 题型一 同底数幂的乘法及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★运用同底数幂的乘法时，遵循 “底数不变，指数相加” 计算； ★逆用时，将指数和拆分为两个指数之和，转化为同底数幂相乘的形式求解． 【典例1】若，则 ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 题型二 幂的乘方运算及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★进行幂的乘方运算时，紧扣 “底数不变，指数相乘” 的法则计算； ★逆用时，将指数的乘积拆分为两个指数的倍数关系，转化为幂的乘方形式求解． 【典例1】规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）． 【变式1】已知，，求的值 【变式2】计算： 题型三 积的乘方运算及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★进行积的乘方运算时，将积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘（注意系数与单独字母的乘方）； ★逆用时，把同指数的多个幂相乘，提取指数转化为这些幂的底数之积的乘方形式． 【典例1】计算的结果为（   ） A．0 B．0.1 C． D．0.2 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 题型四 同底数幂的除法及其逆用 解｜题｜技｜巧 ★进行同底数幂的除法时，紧扣 “底数不变、指数相减” 法则（注意底数不为 0）计算； ★逆用时，将指数差拆为两个指数相减，转化为同底数幂相除的形式求解（同样需保证底数不为 0）． 【典例1】若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】已知，则的值为（    ） A．25 B．5 C．10 D．2 【变式2】计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型五 单项式乘以单项式 解｜题｜技｜巧 ★先将系数相乘（注意符号），再对同底数幂按 “底数不变、指数相加” 计算，最后把只在一个单项式中的字母连同其指数作为积的因式． 【典例1】计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算： (1) (2) 题型六 单项式乘以多项式 解｜题｜技｜巧 ★用单项式依次乘多项式的每一项（注意保留每一项的符号），每一步按单项式乘单项式法则算，最后将所得积相加． 【典例1】下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算： ． 【变式2】计算：． 题型七 多项式乘以多项式 解｜题｜技｜巧 ★按顺序用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项（带符号运算避免漏项），每步按单项式乘单项式法则计算，最后合并所得积中的同类项． 【典例1】若，则 ． 【变式1】计算： 【变式2】有这样一道题，求代数式的值：，其中．小明做题时不小心把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确的，请问这是怎么回事？请通过计算说明理由． 题型八 整式乘法求字母的值 解｜题｜技｜巧 ★先按整式乘法法则将式子展开并合并同类项，再根据等式两边同类项系数相等（或不含某类项时其系数为 0）列方程，求解即可得到字母的值． 【典例1】若，则 ． 【变式1】一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【变式2】已知单项式和的积与是同类项，求的值． 题型九 整式乘法的应用 解｜题｜技｜巧 ★解题时先将实际问题（如面积计算、长度关系推导）转化为整式乘法模型，再按对应法则运算； ★注意带符号计算防符号错误，不遗漏多项式相乘的项，且运算后需合并同类项确保结果简洁． 【典例1】将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （    ） A． B． C． D． 【变式1】陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米） (1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简） (2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？ 【变式2】当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：． (1)由图2可得等式：________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： ①已知，求的值； ②已知且，求的值． 题型十 多项式乘法的规律问题 解｜题｜技｜巧 ★解题时先按多项式乘法法则算出前几个具体展开式，对比分析系数、项数或字母指数的变化规律； ★注意展开时不遗漏项、准确处理符号，且规律需用后续例子验证是否通用． 【典例1】请同学们仔细观察下列各式： ； ； ； …… 根据上面各式的规律，请计算 （结果保留幂的形式）． 【变式1】观察下列各式 ； ； ； …… (1)根据以上规律，计算：______； (2)你能否由此归纳出一般性规律：______； (3)根据（2）的规律请你求出：的值． 【变式2】已知与所表示的数互为相反数，求的值． 题型十一 不含某项与某项取值无关求字母的值 解｜题｜技｜巧 ★先将式子展开并合并同类项，令不含的项或与取值无关项的系数等于 0 列方程求解；注意合并同类项需准确，且 “不含某项” 与 “某项取值无关” 本质均是该类项系数为 0，勿混淆条件． 【典例1】要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【变式1】已知的展开式中不含项和项． (1)求m，n的值； (2)先化简，再求值： 【变式2】【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 题型十二 平方差公式运算 解｜题｜技｜巧 ★解题时先识别两个二项式中的 “相同项” 与 “互为相反数的项” 确定公式中的a和b，复杂式子可通过整体代换适配公式；注意需满足 “一项相同、一项互为相反数” 的适用条件，运算中留意符号，结果要化简． 【典例1】计算：（    ） A．2018 B．2028 C．2038 D．2048 【变式1】下列整式乘以整式能用平方差公式计算的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2】已知实数a，b满足，，则的值是 ． 题型十三 平方差公式的应用 解｜题｜技｜巧 ★解题时先通过图形的整体与部分面积关系，用两种方式表示同一面积（一种含平方差形式），再借面积相等关联平方差公式；注意准确对应图形边长与公式中的a、b，确保图形拆分或组合合理，避免边长混淆导致公式应用错误． 【典例1】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【变式1】【探究】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________； (2)【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． (3)计算：的个位数字． 【变式2】【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的公式是 ； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 ； 【拓展应用】直接用你发现的公式计算： 题型十四 完全平方公式的运算 解｜题｜技｜巧 ★先识别式子是否符合 “二项式平方” 结构，确定公式中的a、b（复杂式子可将多项式整体看作a或b），再按公式展开，重点关注中间项 “±2ab” 的符号（a、b同号为正，异号为负）；注意避免遗漏中间项或算错中间项系数（勿将2ab简化为ab），运算后需合并同类项，确保结果为最简形式． 【典例1】要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【变式1】已知实数满足，则 ． 【变式2】先化简后求值： (1)，其中； (2)，其中，． 题型十五 完全平方公式的应用 解｜题｜技｜巧 ★先确定图形（如正方形）的边长与完全平方公式中的对应关系，比如大正方形边长对应或；再用“整体面积”（如、）和“部分面积和”（如、）两种方式表示同一图形面积，借面积相等建立与公式的关联；若边长是多项式，可将其整体看作或，适配公式完成推导或计算． 【典例1】我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 【变式1】对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【变式2】阅读下列文字： 我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： (1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：______________； (2)小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值； (3)已知：，求的值． 题型十六 单项式除以单项式 解｜题｜技｜巧 ★解题时先将系数相除（算准符号与商值），再对同底数幂按 “底数不变、指数相减” 计算，最后把被除式中独有的字母连同其指数作为商的因式；需注意除式的底数不能为 0，系数相除若得分数要化为最简形式，运算后需确认商是无同类项的最简整式． 【典例1】如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（  ） A． B． C． D． 【变式1】化简的结果为 ． 【变式2】若，求的值． 题型十七 多项式除以单项式 解｜题｜技｜巧 ★解题时将多项式的每一项分别除以单项式，每一步按 “系数相除、同底数幂指数相减、保留被除式独有的字母” 的单项式除法法则计算，最后把所得商相加；注意运算时要带着多项式每一项的符号计算以防符号错误，不能遗漏常数项等任何一项，且除式的底数必须不为 0 以保证运算有意义． 【典例1】已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】化简下列各式： (1)； (2)． 【变式2】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求所捂的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 题型十八 因式分解 解｜题｜技｜巧 ★先看结果是否将多项式转化为几个整式相乘的形式，这是判断是否为因式分解的核心依据；再检查相乘的整式是否还能继续分解，确保因式分解达到彻底的程度（即每个因式均不能再分解为更简单的整式积）． 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 题型十九 公式法进行因式分解 解｜题｜技｜巧 ★先判断多项式是否符合平方差、完全平方等公式的结构特征，复杂式子可通过整体代换确定公式中的“a”“b”；再逆用对应公式进行分解，分解后需检查每个因式是否还能进一步分解，确保因式分解彻底． 【典例1】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】分解因式： (1)． (2) (3) (4) 题型二十 因式分解的应用 解｜题｜技｜巧 ★先观察问题中的多项式是否具备可因式分解的结构（如公因式、平方差、完全平方形式），优先通过提公因式法、公式法将其分解为整式积；再根据求值、化简或解方程等目的，利用分解后的整式积特性（如整体代入、零乘积原理）解题，且需确保因式分解彻底以简化运算． 【典例1】如图，长方体的高为x，，则 ． 【变式1】阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【变式2】已知，，，求代数式的值． 【变式3】（1）已知，，求的值． （2）求证：不论x取何实数，多项式的值都不会是正数． 题型二十一 十字相乘法因式分解 解｜题｜技｜巧 ★先将二次项系数拆为两数乘积、常数项拆为两数乘积，找出两组数交叉相乘的和等于一次项系数的配对；再按配对的因数写出两个一次二项式相乘的形式，分解后可展开验证，确保与原式一致． 【典例1】某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式1】类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【变式2】小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 题型二十二 公因式 解｜题｜技｜巧 ★找公因式时，先取各项系数的最大公约数，再取各项共有的相同字母（或多项式）的最低次幂，两者相乘即得公因式；首项系数为负时需先提负号并变各项符号，公因式可能是多项式（需整体看待），且提完后要检查剩余部分，确保公因式提取彻底． 【典例1】将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】多项式与的公因式是 ． 【变式2】已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．利用平方差公式计算，结果为 ． 3．已知x、y满足方程组，求的值． 4．（1）计算：；            （2）因式分解：． 5．（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 6． 先化简再求值：，其中，． 7．若，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 2．因式分解： ． 3．若，且，则的值为 ． 4．已知，求的值． 5．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④． 【理解应用】 (1)仿照上面的竖式运算方法计算：； (2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式； (3)如图，一个长为，宽为的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B，且长方形B的周长是长方形A的周长的3倍． （i）求a（用含x的代数式表示）； （ii）长方形B的面积和另一个一边长为的长方形C的面积相等，求长方形C已知边长的邻边长． 6．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】（1）由此可得______； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算______； （3）计算______； （4）若，求的值． 7．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $