专题02 立方根重难点题型专训（3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 计算器——平方根和立方根 题型六 立方根的实际应用 题型七 算术平方根和立方根的综合应用 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）计算：（   ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）的立方根是 ． 知识点二、立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（2025八年级上·四川遂宁·专题练习）立方根等于本身的数是（    ） A． B．0 C． D．或0 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）绝对值最小的有理数是 ；平方根是它本身的数是 ；立方根是它本身的数是 ； 的相反数等于它的绝对值． 知识点三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·期末）的相反数是（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）化简： ． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）在下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）下列说法正确的是（     ） A．立方根是负数的数一定是负数 B．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的平方根与立方根不能相等 2．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）9的平方根是 ，－27的立方根是 ，的算术平方根是 ． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）的平方根是 ；的立方根是 ． 4．（24-25八年级上·四川内江·期中）阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知，则的值是 ． 3．（2025·陕西汉中·模拟预测）下列数：（每两个相邻1之间多一个0），其中是无理数的有 个． 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（24-25八年级上·四川宜宾·课后作业）-，则a的值为(   ) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川资阳·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值为 3．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）某个正数的平方根是x与y，3x﹣y的立方根是2，则这个正数是 ． 4．（24-25八年级上·山西长治·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 3．（2024·四川简阳·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 4．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【经典例题五 计算器——平方根和立方根】 【例5】（24-25八年级上·四川遂宁·课后作业）用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）利用教材中的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）利用计算器计算： ．（结果精确到0.01） 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知.则 4．（24-25八年级上·四川遂宁·单元测试）用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【经典例题六 立方根的实际应用】 【例6】（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）已知与互为相反数，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【经典例题七 算术平方根和立方根的综合应用】 【例7】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 1．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）已知，那么的立方根是(　　) A．-1 B．1 C．3 D．7 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知的算术平方根为，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列哪一个数与方程的解最接近（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）方程的解是 ． 3．（24-25八年级上·河南许昌·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根是，解关于x的方程：． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）根据下表回答下列问题： a … 1 1000 1000000 ··· … 1 10 100 … (1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知则a的值为_____． (2)若a为实数，比较与a的大小． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）观察下列一组等式： 第①个等式： 第②个等式： 第③个等式： 第④个等式： 根据你观察到的规律，完成以下问题： (1)第⑤个等式为______； (2)用n的式子表示第个等式为______； (3)若等式是符合上面规律的等式，的立方根是，求a的值． 3．（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根． 解答：∵＜59319＜，∴是两位整数； ∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9； 又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， ∴的十位数字是3； ∴＝39； 【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为 ． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 1．（24-25八年级上·四川内江·期末）下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 3．（24-25八年级上·广西崇左·期中）已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（　　） A．0或10 B．0或﹣10 C．±10 D．0 4．（24-25八年级上·四川资阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．（25-26八年级上·河南驻马店·随堂练习）的倒数是 ． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，，则的值是 ． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）观察规律，，，则 ． 9．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ． 11．（24-25八年级上·四川眉山·期中）解方程： (1) (2) 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 13．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 14．（24-25八年级上·四川乐山·单元测试）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式为，其中表示车速（单位：千米/时），表示刹车后轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数． (1)在某次交通事故调查中，测量米，，肇事汽车的车速大约是多少？ (2)根据以上信息，如果某车在高速公路上以100千米/时的速度行驶，突然，司机发现前方50米出现了可疑物，采取紧急刹车，问车是否会碰到可疑物？（已知人的眼睛从发现目标到由大脑向手脚下达指令需要秒钟，） 15．（24-25八年级上·四川资阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 计算器——平方根和立方根 题型六 立方根的实际应用 题型七 算术平方根和立方根的综合应用 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一、立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）计算：（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据求一个数的立方根的方法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．先明确立方根的概念，即如果一个数的立方等于，那么叫做的立方根．然后找到哪个数的立方等于即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 故答案为：． 知识点二、立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（2025八年级上·四川遂宁·专题练习）立方根等于本身的数是（    ） A． B．0 C． D．或0 【答案】D 【分析】根据立方根的定义即可解答． 【详解】解：∵1的立方根是1，的立方根是，0的立方根是0， ∴立方根是它本身有3个，分别是，0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握如果，则a是x的立方根． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）绝对值最小的有理数是 ；平方根是它本身的数是 ；立方根是它本身的数是 ； 的相反数等于它的绝对值． 【答案】 0 0 0，±1 非正数 【分析】根据绝对值、平方根、立方根、相反数的定义和性质求解即可． 【详解】解：绝对值最小的有理数是0；平方根是它本身的数是0；立方根是它本身的数是0，±1；非正数的相反数等于它的绝对值． 故答案为：0；0；0，±1；非正数． 【点睛】本题考查了绝对值、平方根、立方根、相反数的定义和性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 知识点三、开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·期末）的相反数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根运算及相反数的概念，先计算的值，再求其相反数． 【详解】因为，所以 的相反数为 故答案选：B． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期中）化简： ． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先求出算术平分根和立方根，再计算减法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）在下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根、立方根、绝对值的性质逐项分析即可解答． 【详解】解：A.，故选项A不正确； B. ，故选项B不正确； C. ，故选项C不正确； D.，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的知识，掌握算术平方根、立方根、绝对值的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）下列说法正确的是（     ） A．立方根是负数的数一定是负数 B．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的平方根与立方根不能相等 【答案】A 【分析】根据平方根和立方根的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、立方根是负数的数一定是负数，故A符合题意； B、一个数的立方根有且只有一个，故B不符合题意； C、负数有立方根，它一定没有平方根，故C不符合题意； D、一个数的平方根与立方根不能相等（0除外），故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川攀枝花·阶段练习）9的平方根是 ，－27的立方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再根据结果判断即可． 【详解】9的平方根是， －27的立方根是， ∵， ∴的算术平方根是． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，关键是根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值解答． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）的平方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义求出即可． 【详解】解：36的平方根是±6，，-27的立方根是-3； 故答案为：±6；-3． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力． 4．（24-25八年级上·四川内江·期中）阅读下列材料，并解决问题 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是9 ∴的个位数是9， 如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3， 所以． 请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）． 【答案】67 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键． 利用题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是两位数， ∵的个位数是， ∴的个位数是， 如果划去后面的三位得到数， 而，，由此确定的十位数是， ∴，即的立方根是． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根等知识点，正确理解相关定义是解题的关键．根据立方根、算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A.，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，平方根及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据立方根，平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，故此选项符合题意； B、∵，∴原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川巴中·期中）已知，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平方根与立方根，根据平方根、立方根定义，求出、的值，再分类计算的值即可．解题的关键是根据平方根、立方根定义，求出、的值． 【详解】解：，， ，， 当，时，， 当，时，， 的值为或， 故答案为：或． 3．（2025·陕西汉中·模拟预测）下列数：（每两个相邻1之间多一个0），其中是无理数的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：， 根据题意可知， （每两个相邻1之间多一个0）是无理数，共个， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据零指数幂、绝对值、立方根的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（24-25八年级上·四川宜宾·课后作业）-，则a的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解. 【详解】∵=-, ∴a=-. 故选B. 【点睛】考查了根式的化简，解题关键是运用了. 1．（24-25八年级上·四川资阳·期中）若，，则约为（   ） A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326 【答案】C 【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·单元测试）某个正数的平方根是x与y，3x﹣y的立方根是2，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】由于一个正数有两个平方根，并且它们是一对相反数，由此即可列出方程x+y=0，再根据立方根的定义得出3x-y=8，进而解方程组即可． 【详解】解：根据题意可得： 解得： 所以这个正数是4， 故答案为4 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 4．（24-25八年级上·山西长治·期中）小颖和小聪对话如下： ：这个题我不会解，快来帮帮我！题目：某正数的两个不同的平方根为和的立方根为．求的算术平方根． ：我的思路是：先求出的值，再代入求出的值，最后就可以求出的算术平方根啦！ 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12，见解析 【分析】此题考查了平方根和立方根知识的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 先运用平方根和立方根知识求得m，n的值，再求得的值，最后运用算术平方根知识进行求解． 【详解】解：由题目，可知． ． 把代入，得． ． 的算术平方根为12． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当被开立方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位．由此即可得出答案． 【详解】A．=，由题意不能得出其近似值； B．，由题意不能得出其近似值； C．，由题意不能得出其近似值； D．≈－1.710×10－1=－0.1710． 故选D． 【点睛】本题考查了立方根的知识，并考查了学生的转化思想，需要利用已知数据来表示未知数据；也要掌握：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律； 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，根据表格中的规律在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据表格中的规律可知，在立方根运算中，被开方数的小数点每向左移动三位，相应的立方根的小数点就向左移动一位， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 3．（2024·四川简阳·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．       1    …………     1   1    …………   1   2   1     1   3   3   1     当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键．由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 【详解】解：由规律可得：， 令，，， ∴， ∵x的值为8 ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 4．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【经典例题五 计算器——平方根和立方根】 【例5】（24-25八年级上·四川遂宁·课后作业）用计算器计算的值大约为（   ） A．3.0482 B．3.0495 C．3.0513 D．3.0525 【答案】B 【分析】此题主要考查了用计算器求数的立方根，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， 故答案为：B． 1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）利用教材中的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器—基础知识，直接利用计算器计算即可，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 【详解】解：根据按键顺序可得，， 故选：． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·课后作业）利用计算器计算： ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知.则 【答案】37.77 【分析】根据：如果立方根的小数点向左移动一位，则相应的被开方数的小数点向左移动3位，据此求解即可. 【详解】∵， ∴. 故答案为37.77. 【点睛】本题考查了立方根的性质，如果被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，那么相应的立方根的小数点每向右（或向左）移动一位，反之也成立. 4．（24-25八年级上·四川遂宁·单元测试）用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了计算器的使用，解题关键是准确掌握对计算器的使用方法． （1）借助计算器分别计算需要的数据，并保留到要求精确的位数即可； （2）借助计算器分别计算需要的数据，并保留到要求精确的位数即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题六 立方根的实际应用】 【例6】（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】C 【分析】根据立方根的性质得到x﹣3＝2x+1，求出x的值代入计算即可． 【详解】解：∵x为实数，且＝0， ∴x﹣3＝2x+1， 解得：x＝﹣4， ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9， ∴＝±3， 故选：C． 【点睛】此题考查了求一个数的平方根，以及立方根的性质：互为相反数的立方根也互为相反数． 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 2．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】首先根据与互为相反数，可得+=0，进而得出，然后用含的代数式表示，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴+=0， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及相反数，根据相反数的概念求得与之间的关系是解题关键． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，设正方体容器的棱长为，由题意可得长方体容器和正方体容器的体积相等，根据正方体的体积等于棱长的立方，长方体的体积等于长、宽、高相乘列等式，再开立方计算即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，由题意得： ， ， ∴， 答：正方体容器的棱长为． 【经典例题七 算术平方根和立方根的综合应用】 【例7】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是8， ∴这个数是， ∴的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键． 1．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）已知，那么的立方根是(　　) A．-1 B．1 C．3 D．7 【答案】B 【分析】根据非负数的性质，得出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】：∵， ∴， ∴，， ∴a=-4，b=3， ∴=1， ∴的立方根为1， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ． 【答案】8 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得． 【详解】由数轴的定义得：， 则， 所以， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知的算术平方根为，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根及解二元一次方程组，结合已知条件列出正确的方程组是解答本题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义列出二元一次方程组，解出方程组，得到答案． （2）将，的值代入原式中计算后根据平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由已知条件得： 的算术平方根为，的立方根为， ， 解得． （2），， ， 的平方根为或． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米 (2)8厘米 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由立方根的含义可得答案； （2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）下列哪一个数与方程的解最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算,其中“夹逼法”是估算的一般方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断被开方数距离哪个整数的被开方数近,就接近哪个整数,由此即可求解． 【详解】解:∵方程的根是, ∴,, ∵,可知距离更近, ∴的解最接近． 故选:B． 2．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用立方根解方程，移项后，利用立方根的定义，进行求解即可，熟练掌握立方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南许昌·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根是，解关于x的方程：． 【答案】或 【分析】先根据平方根、立方根的定义求出a和b，再代入方程，利用平方根的性质求解． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得， 的立方根是， ， 解得， 将，代入，得： ， 整理得：， 两边开平方，得：， 或． 【点睛】本题考查平方根、立方根、利用平方根解方程等，解题的关键是掌握平方根、立方根的定义． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）根据下表回答下列问题： a … 1 1000 1000000 ··· … 1 10 100 … (1)填表，利用表中的规律，解决问题：已知则a的值为_____． (2)若a为实数，比较与a的大小． 【答案】(1)，0.1，729000000 (2)或时，；或时，；当或0时， 【分析】（1）由表格得出规律，进行填表以及结合求出a的值即可； （2）分类讨论的范围，比较大小即可． 此题考查了立方根，实数的大小比较，弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵ 则a的值为； 故答案为：，0.1，729000000； （2）解：依题意，或时，； 或时，； 当或0时，． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）观察下列一组等式： 第①个等式： 第②个等式： 第③个等式： 第④个等式： 根据你观察到的规律，完成以下问题： (1)第⑤个等式为______； (2)用n的式子表示第个等式为______； (3)若等式是符合上面规律的等式，的立方根是，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）根据题中所给的式子得到规律：第个等式：，即可得； （2）根据所找出的规律即可得； （3）由（2）知，，即可得，根据的立方根是得，即可得． 【详解】（1）解：第①个等式：， 第②个等式：， 第③个等式：， 第④个等式：， 得到的规律：第个等式：， 则第⑤个等式为：， 故答案为：； （2） 解：由（1）得，用n的式子表示第个等式为：， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵的立方根是， ∴， ． 【点睛】本题考查了数字类变化规律，立方根，解题的关键是理解题意，发现式子的变化特点，掌握立方根． 3．（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）【实践探究】 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下： 表1： x … 0.0064 0.64 64 6400 640000 … … 0.08 0.8 8 800 80 … 表2： x … 0.000064 0.064 64 64000 64000000 … … 0.04 0.4 4 40 400 … 【探索发现】 （1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动 位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动 位；若被开方数的小数点向右或向左移动 位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动 位． 【规律应用】 （2）请运用上述规律，解答下列问题： ①已知，则 ， ； ②若，求a， b的值． （参考数据：） （3）运用上述规律，你能根据的值求出的值吗？ 请说明理由． 【答案】（1）2，1；3，1；（2）①17.32，0.1442，②，；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据变化总结算术平方根和立方根的规律即可； （2）①根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可； ②根据（1）中的算术平方根和立方根的规律可得，，即可求解； （3）根据根据（1）中的算术平方根和立方根的规律求解即可． 【详解】解：（1）由表格可得，若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；若被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：2，1；3，1； （2）①∵， ∴，， 故答案为：17.32，0.1442； ②∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：200，0.8879； （3）∵， ∴，， ∴不能求出的值． 【点睛】本题考查数字规律型、算术平方根的定义、立方根的定义，根据题意总结一个数的算术平方根、立方根的小数点与被开方数的小数点的移动变化规律是解题的关键． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根． 解答：∵＜59319＜，∴是两位整数； ∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9； 又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4， ∴的十位数字是3； ∴＝39； 【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为 ． 【答案】-13 【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】∵＋59049＝0， ∴， ∵＜19683＜， ∴是两位整数； ∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去19683的后面三位683得到19， 而2＜＜3， ∴的十位数字是2； ∴＝27； ∴， 解得x=-13， 故答案为：-13． 【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 1．（24-25八年级上·四川内江·期末）下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：选项A：，结果为整数，属于有理数． 选项B：是整数，属于有理数． 选项C：是分数形式，属于有理数． 选项D：是三次根号，因，，故介于和之间，且无法化简为整数或分数，属于无理数． 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的运用，熟练掌握一些特殊的数字的特殊性质，如：，0．牢记这些数的特性可以快捷的解决这类问题． 利用立方根的特殊性质即可求解． 【详解】解：立方根都等于它本身的数是0，1，． 故选：D． 3．（24-25八年级上·广西崇左·期中）已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（　　） A．0或10 B．0或﹣10 C．±10 D．0 【答案】A 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：（﹣）2＝25， ∴25的平方根是±5， ﹣125的立方根是﹣5， ∴a＝±5，b＝﹣5， 当a＝5时， 原式＝5﹣（﹣5）＝10， 当a＝﹣5时， 原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0， 故选：A． 【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型． 4．（24-25八年级上·四川资阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 5．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 6．（25-26八年级上·河南驻马店·随堂练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的运算，倒数的定义，解题的关键是掌握立方根的运算法则．根据立方根的运算直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若，，则的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，即，若满足，那么a就叫做b的立方根，即，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）观察规律，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川内江·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 【答案】5 【分析】本题考查科学计算器的使用、求有理数的立方和立方根，要注意表示求64的立方根．根据科学计算器的使用计算． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ． 【答案】 【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为， 所用面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系． 11．（24-25八年级上·四川眉山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用， （1）先两边同时除以，再直接开平方求解得到两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解； （2）移项后开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：或 （2）解： ∴ ∴ 解得： 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【答案】(1)a 的值为 1 ，b 的值为 4 (2)m 的值为 9 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，求解一个数的平方根； （1）根据平方根与立方根的含义可得，再进一步求解即可； （2）先计算，再由平方根的含义可得答案． 【详解】（1） ∵和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为 2 ∴ 解得： ∴a 的值为 1 ，b 的值为 4； （2）∵， ∴， ∴m 的值为 9． 13．（2025八年级上·河南驻马店·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 14．（24-25八年级上·四川乐山·单元测试）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式为，其中表示车速（单位：千米/时），表示刹车后轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数． (1)在某次交通事故调查中，测量米，，肇事汽车的车速大约是多少？ (2)根据以上信息，如果某车在高速公路上以100千米/时的速度行驶，突然，司机发现前方50米出现了可疑物，采取紧急刹车，问车是否会碰到可疑物？（已知人的眼睛从发现目标到由大脑向手脚下达指令需要秒钟，） 【答案】(1)肇事汽车车速大约是． (2)车不会碰到可疑物． 【分析】本题考查的是算术平方根的实际应用，理解题意是关键． （1）把米，代入，再计算即可； （2）把，代入，先计算，再加上秒钟的路程与50米比较即可． 【详解】（1）解：将米，代入中， ． 答：肇事汽车车速大约是． （2）解：由题意可得： ， 解得：（米）， （米）， ∴， ∴车不会碰到可疑物． 15．（24-25八年级上·四川资阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 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