第11章 整式的乘除 单元复习（专题复习全章知识点总结+15种题型举一反三） 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第11章 整式的乘除全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 （一）幂的运算（基础核心） 同底数幂的乘法：（为正整数，底数） 逆用：（用于凑指数求值） 幂的乘方：（为正整数，底数） 逆用：（用于统一指数比较大小） 积的乘方：（为正整数，底数） 逆用：（用于简化计算） 同底数幂的除法：（，为正整数且） 零指数幂：（，注意底数不能为0） （二）整式的乘法 1. 单项式× 单项式：系数相乘、同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 2. 单项式× 多项式：（分配律，不重不漏）。 3. 多项式× 多项式：（逐项相乘后合并同类项）。 （三）乘法公式（重点应用） 平方差公式： 特征：两数和× 两数差，结果为“相同项平方 - 相反项平方”。 完全平方公式： 注意：中间项为“”，符号与左边括号内符号一致，避免漏写中间项。 （四）整式的除法 1. 单项式÷ 单项式：系数相除、同底数幂相除，单独字母连同指数作为商的因式。 2. 多项式÷ 单项式：（逐项相除后合并同类项）。 （五）因式分解（核心技能，与整式乘法互逆） 1. 定义：将多项式化为几个整式的积的形式（区别于整式乘法）。 2. 方法： 提公因式法：先提各项最大公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂）。 公式法：平方差公式（）、完全平方公式（）。 分组分解法：分组后提公因式或用公式（如）。 添拆项法：特殊多项式添/拆项后凑完全平方或平方差（如）。 二、重难点突破 1. 重点： 幂的运算逆用（如用求值）； 乘法公式的灵活应用（整体代换、符号调整）； 因式分解的彻底性（提公因式后需检查是否能继续用公式）。 2. 难点： 乘法公式与几何图形的结合（用面积验证公式、求图形边长/面积）； 复杂多项式的因式分解（分组、添拆项）； 整式运算与实际问题的结合（如面积、销售额计算）。 三、高频易错点警示 1. 幂的运算： 混淆法则（如误算为，误算为）； 符号错误（如误算为，误算为）。 2. 整式乘法： 单项式× 多项式漏乘项（如误算为）； 多项式× 多项式符号处理错误（如误算为）。 3. 乘法公式： 完全平方公式漏写中间项（如误算为）； 平方差公式应用条件判断错误（如误用平方差公式）。 4. 因式分解： 提公因式不彻底（如误分解为，未提尽）； 分解不彻底（如误分解为，未继续分解）。 第2部分常考题型分类解析 【题型1】同底数幂的运算 1. 知识点 同底数幂乘法法则：（，为正整数）； 同底数幂除法法则：（，）； 零指数幂：（）。 2. 考点 直接运用法则计算（如、）； 含零指数幂的混合运算（如）。 3. 易错点 底数不同时强行用法则（如误算为，需用积的乘方）； 指数计算错误（如误算为）。 4. 解题技巧 先判断底数是否相同，不同时看能否转化（如，）； 零指数幂需先确认底数≠ 0，再直接得1。 【例题1】．（2024-2025•滨城区期末）计算x2•x3的结果是（　　） A．x2 B．x3 C．x5 D．x6 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 【解答】解：x2•x3， ＝x2+3， ＝x5． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记运算性质是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•新野县期末）已知2x＝3，则2x+4的值是（　　） A．8 B．24 C．40 D．48 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用法则，将2x+4变形为2x×24 然后把2x＝3代入计算即可解． 【解答】解：∵2x＝3， ∴2x+4 ＝2x×24， ＝3×24 ＝3×16 ＝48． 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•绵阳期末）下列运算中，正确的是（　　） A．4a2÷4a＝1 B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a6 D．（ab）3＝ab3 【答案】C 【分析】根据单项式除法、幂的乘方、同底数幂的积、积的乘方逐项判断即可． 【解答】解：A．4a2÷4a＝a，选项计算错误，不符合题意； B． （a2）3＝a6，选项计算错误，不符合题意； C．a2•a4＝a6，选项计算正确，符合题意； D． （ab）3＝a3b3，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•侯马市期末）若ax＝2，ay＝3，则ax﹣2y的值为（　　） A．﹣7 B．﹣4 C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：由条件可知， 故选：D． 【点评】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是关键． 【题型2】幂的乘方与积的乘方运算 1. 知识点 幂的乘方：； 积的乘方：。 2. 考点 直接运算（如、）； 逆用公式简化计算（如，）。 3. 易错点 幂的乘方漏乘指数（如误算为）； 积的乘方漏乘因式（如误算为，漏算系数3的平方）。 4. 解题技巧 幂的乘方：底数不变，指数相乘（重点在“乘”）； 积的乘方：每一个因式分别乘方，再将结果相乘（系数、字母都要乘方）。 【例题2】．（2024-2025•兰州校级期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】A 【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定． 【解答】解：因为a＝8131＝（34）31＝3124， b＝2741＝（33）41＝3123， c＝961＝（32）61＝3122， 因为124＞123＞122， 所以a＞b＞c． 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•合阳县期末）计算（﹣2a3b）2的结果是（　　） A．4a6b2 B．﹣4a5b3 C．﹣2a6b2 D．2a5b3 【答案】A 【分析】先算积的乘方，再算幂的乘方即可． 【解答】解：原式＝（﹣2）2×（a3）2×b2＝4a6b2． 故选：A． 【点评】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，要区分不同运算法则并准确运用． 【变式题2-2】．（2024-2025•岳池县期末）已知am的值为3，则a2m的值为（　　） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据幂的乘方运算即可解答本题． 【解答】解：∵am＝3， ∴a2m＝（am）2＝32＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方运算法则的逆运算，掌握其性质是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•射洪市期末）计算的结果为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【答案】D 【分析】根据积和乘方运算法则，逆用积的乘方公式即可求解． 【解答】解：原式 ＝[﹣3×（）]99×（） ＝1×（） ， 故选：D． 【点评】本题主要考查积的乘方公式，正确进行公式的变形是解题的关键． 【题型3】单项式与单项式的乘除运算 1. 知识点 乘法：系数相乘、同底数幂相乘、单独字母连指数保留； 除法：系数相除、同底数幂相除、单独字母连指数保留。 2. 考点 直接运算（如、）； 含符号的运算（如）。 3. 易错点 系数符号错误（如负号相乘漏判正负，误算为-6）； 单独字母漏保留（如误算为，漏写）。 4. 解题技巧 分三步：先算系数（符号+绝对值运算），再算同底数幂（乘加除减），最后保留单独字母； 结果化为最简（系数为假分数时化为带分数，或保持假分数）。 【例题3】．（2024-2025•永寿县校级一模）若2x•（　　）＝﹣6x3y，则括号内应填的代数式是（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣3x2y D．﹣3y 【答案】C 【分析】设空白部分的代数式为M，则M＝﹣6x3y÷2x，根据单项式除单项式的运算法则，即可得出答案． 【解答】解：设空白部分的代数式为M，则M＝﹣6x3y÷2x＝﹣3x2y． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘单项式的知识，属于基础题，掌握运算法则是关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•海淀区校级开学）若4a2bn•mb4a3＝﹣8a5b7，则mn＝　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】根据单项式乘以单项式得4a2bn•mb4a3＝4ma5bn+4，由4ma5bn+4＝﹣8a5b7可求出m，n的值，再代入计算即可． 【解答】解：4a2bn•mb4a3＝4ma2+3bn+4＝4ma5bn+4， ∴4ma5bn+4＝﹣8a5b7， ∴， 解得， ∴mn＝（﹣2）3＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题主要考查单项式乘以单项式，正确进行计算是解题关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•西安校级月考）计算：28x4y2÷7x4y＝　4y　 ． 【答案】4y． 【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝28x4y2÷7x4y＝4y， 故答案为：4y． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•沂南县期末）计算：﹣x3y5÷（xy2）2＝　﹣9xy　 ． 【答案】﹣9xy． 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣9xy， 故答案为：﹣9xy． 【点评】本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则． 【题型4】单项式与多项式的乘法运算 1. 知识点 分配律：（单项式乘多项式的每一项）。 2. 考点 直接展开（如）； 含符号的展开（如）。 3. 易错点 漏乘多项式的某一项（如误算为，漏乘）； 符号错误（如误算为，中间项符号错）。 4. 解题技巧 用单项式依次乘多项式的每一项，不重不漏； 每一项相乘时先判断符号（“负负得正，正负得负”），再计算系数和幂。 【例题4】．（2024-2025•镇平县期末）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 【答案】A 【分析】从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出a、b． 【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣9，ab＝14， ∴a，b的值可能分别是﹣2，﹣7， 故选：A． 【点评】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•金寨县期末）若（x﹣5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，则m、n的值分别是（　　） A．m＝﹣7，n＝3 B．m＝7，n＝﹣3 C．m＝﹣7，n＝﹣3 D．m＝7，n＝3 【答案】C 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出关于m，n的等式求出答案． 【解答】解：∵（x﹣5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15， ∴2x2﹣（10+n）x+5n＝2x2+mx﹣15， 故， 解得：． 故选：C． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握多项式乘法运算法则是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•甘州区校级期末）一个长方形的面积为（6ab2﹣4a2b），它的长为2ab，则它的宽为（　　） A．3b﹣2a2 B．3b2+2a C．3b2﹣2a D．3b﹣2a 【答案】D 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：由题意可得：一个长方形的面积为（6ab2﹣4a2b），长为2ab， ∴宽为：（6ab2﹣4a2b）÷2ab， ∴经计算得：宽为3b﹣2a， 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•龙文区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 【答案】C 【分析】根据题意得到（x3﹣3x2+6x）÷x，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【解答】解：根据题意可知，（x3﹣3x2+6x）÷x＝x2﹣3x+6． 故选：C． 【点评】此题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键． 【题型5】平方差公式的直接应用 1. 知识点 平方差公式：（特征：两数和× 两数差）。 2. 考点 直接用公式计算（如）； 调整符号后用公式（如）。 3. 易错点 误用于非“和× 差”形式（如误用平方差公式，应为完全平方）； 结果符号错误（如误算为，应为）。 4. 解题技巧 先判断式子是否符合“相同项”和“相反项”（如中，是相同项，是相反项）； 结果写为“相同项的平方 - 相反项的平方”，注意符号。 【例题5】．（2024-2025•锦江区校级期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（a﹣2b） B．（2a+b）（2a﹣b） C．（b﹣2a）（2a﹣b） D．（a﹣2b）（2b﹣a） 【答案】B 【分析】根据平方差公式的特点逐项验证即可． 【解答】解：A、第一个因式是两数2a、b的和，第二个因式不是2a、b这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数2a、b的和，第二个因式是2a、b这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数b、2a的差，第二个因式不是b、2a的和，而是2a、b这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数a、2b的差，第二个因式是2b、a的差，不是a、2b这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•唐山校级二模）因式分解“16m2﹣Δ”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“Δ”是（　　） A．16 B．﹣16n2 C．25n2 D．﹣25n2 【答案】C 【分析】根据对应项相等即可求解． 【解答】解：因式分解“16m2﹣Δ”得（4m+5n）（4m﹣5n）， ∵（4m+5n）（4m﹣5n）＝（4m）2﹣（5n）2＝16m2﹣25n2， ∴“Δ”是25n2， 故选：C． 【点评】此题考查了平方差公式，用平方差公式展开，解题的关键是熟悉平方差公式． 【变式题5-2】．（2024-2025•渭城区校级月考）用乘法公式进行简便运算： （1）1012+992； （2）30002﹣2998×3002． 【答案】（1）20002； （2）4． 【分析】（1）将原式变形为（100+1）2+（100﹣1）2，利用完全平方公式展开计算； （2）将原式变形为30002﹣（3000﹣2）×（3000+2），利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）1012+992 ＝（100+1）2+（100﹣1）2 ＝1002+2×1×100+12+1002﹣2×1×100+12 ＝10000+200+1+10000﹣200+1 ＝20002． （2）30002﹣2998×3002 ＝30002﹣（3000﹣2）×（3000+2） ＝30002﹣（30002﹣4） ＝30002﹣30002+4 ＝4． 【点评】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•竞秀区期末）观察： 观察下列各式：（7+2）2﹣22＝11×7；（7+4）2﹣42＝15×7；（7+6）2﹣62＝19×7…… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）（7+10）2﹣102的结果是7的　27　 倍； （2）设偶数为2n，试说明比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【答案】（1）27； （2）证明过程见解析部分； （3）证明过程见解析部分． 【分析】（1）仿照示例，应用平方差公式进行化简，即可得到结果； （2）根据题意，化简（2n+7）2﹣（2n）2，即可得到结果； （3）根据题意，化简（k+3）2﹣k2，即可得到结果． 【解答】（1）解：∵（7+10）2﹣102＝27×7， （7+10）2﹣102的结果是7的27倍， 故答案为：27； （2）证明：根据题意，设偶数为2n，则比2n大7的数为2n+7， 由题意得：（2n+7）2﹣（2n）2＝（2n+7﹣2n）（2n+7+2n）＝7（4n+7）， ∵4n+7为整数， ∴7（4n+7）能被7整除， ∴比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除； （3）证明：∵比整数k大3的数为 k+3， ∴（k+3）2﹣k2＝（k+3﹣k）（k+3+k）＝3（2k+3）＝6k+9， ∵6k+9＝6k+6+3＝6（k+1）+3， ∴6k+9被6整除的余数是3， ∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 【点评】本题考查了整式运算，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【题型6】完全平方公式的直接应用 1. 知识点 完全平方和：； 完全平方差：。 2. 考点 直接用公式计算（如、）； 含系数的完全平方（如）。 3. 易错点 漏写中间项（如误算为，漏）； 中间项符号错误（如误算为，中间项应为）。 4. 解题技巧 记忆公式结构：“首平方，尾平方，首尾积的2倍放中央，符号随括号内”； 含系数时，“首”“尾”包括系数（如，）。 【例题6】．（2024-2025•宣城期末）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　±16　 ． 【答案】±16． 【分析】根据完全平方公式的特征求解． 【解答】解：∵4y2﹣my+16＝（2y±4）2， ∴m＝±16， 故答案为：±16． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•乌兰察布期末）已知x+y＝3，且（x+3）（y+3）＝20． （1）求xy的值； （2）求x2+5xy+y2的值． 【答案】（1）2； （2）15． 【分析】（1）把原式展开变形得到（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20，把x+y＝3代入即可求出xy的值； （2）把原式变形为x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy，整体代入求值即可． 【解答】解：（1）（x+3）（y+3） ＝xy+3x+3y+9 ＝xy+3（x+y）+9 ∵（x+3）（y+3）＝20， ∴xy+3（x+y）+9＝20， ∵x+y＝3， ∴xy+3×3+9＝20 ∴xy＝2． （2）x2+5xy+y2 ＝（x+y）2+3xy ＝9+6 ＝15． 【点评】此题考查了完全平方公式，对完全平方公式进行正确的变形是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•舒兰市校级期末）图形是一种重要的数学语言，它直接形象，能有效的表达一些代数中得到的数量关系．而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图①所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图②所示的正方形． （1）利用不同的代数式表示图②的面积S，写出你从中获得的等式为　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ； （2）填空： ①已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝　5　 ； ②已知x满足（11﹣x）（8﹣x）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝　13　 ； （3）学校计划在如图③的两块正方形草地间种花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分（即直角三角形ABC）的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）①5；②13； （3）6． 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图②的面积即可； （2）①根据（a+b）2＝a2+2ab+b2代入计算即可； ②设a＝11﹣x，b＝8﹣x，则a﹣b＝3，ab＝（11﹣x）（8﹣x）＝2，由题意得（11﹣x）2+（x﹣8）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab代入计算即可； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCGF的边长为b，由题意得S1+S2＝a2+b2＝25，a+b＝7，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2代入求出ab即可． 【解答】解：（1）图②整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图②四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）①∵a+b＝3，ab＝2，而（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴9＝a2+2×2+b2， ∴a2+b2＝9﹣4＝5，、 故答案为：5； ②设a＝11﹣x，b＝8﹣x，则a﹣b＝3，ab＝（11﹣x）（8﹣x）＝2， 所以（11﹣x）2+（x﹣8）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+4＝13， 故答案为：13； （3）如图③，设正方形ACDE的边长为a，正方形BCGF的边长为b，则S1+S2＝a2+b2＝25，a+b＝AC+BC＝AG＝7， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴49＝25+2ab， 解得ah＝12， 即阴影部分的面积为ab＝6． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•温州月考）如图①，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为b宽为a的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类），且2a＞b． （1）我们发现利用图①中的三种纸片各若干张拼出的长方形可以解释某些等式，如图②可以解释为a2+3ab+2b2＝ 　（a+2b）（a+b）　 ； （2）若现在有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（所拼图中不能有缝隙和重叠），则拼成的正方形边长最长是 　a+3b　 ． （3）取2张A类纸片放入C类纸片内，拼成的图案如图③所示，请直接写出图中所标注线段x，y的长：x＝ 　b﹣a　 ，y＝ 　2a﹣b　 ；（均用关于a，b的代数式表示） （4）若用3张A类纸片放入C类纸片内，拼成的图案如图④所示．已知图④中阴影部分的面积比图③中阴影部分的面积大2ab﹣6，求A类纸片的面积． 【答案】（1）（a+2b）（a+b）；（2）a+3b；（3）b﹣a；2a﹣b；（4）2． 【分析】（1）用两种方法分别表示图②中长方形的面积，即可得出答案； （2）由题意得，纸片的总面积为3a2+6ab+10b2，再利用完全平方公式变形即可得出答案； （3）结合图形列式计算即可； （4）先求出图③和图④中阴影部分的面积，根据题意列出等式，求出a2的值，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可知，图②中的长方形的长为：a+2b，宽为：a+b， ∴长方形的面积为：（a+2b）（a+b）， 又∵长方形面积也可以表示为各个小正方形与长方形的面积之和， ∴长方形的面积为：a2+3ab+2b2， 则有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）． 故答案为：（a+2b）（a+b）； （2）根据题意可知，纸片的总面积为：3a2+6ab+10b2， ∵3a2+6ab+10b2＝（a2+6ab+9b2）+2a2+b2＝（a+3b）2+2a2+b2， ∴拼成的正方形边长最长是a+3b． 故答案为：a+3b； （3）由图可知，a+x＝b，b+y＝2a， 解得：x＝b﹣a，y＝2a﹣b． 故答案为：b﹣a；2a﹣b； （4）根据题意可知，图④中阴影部分的面积为：（b﹣a）2， 图③中阴影部分的面积为：（2a﹣b）2， ∴（b﹣a）2﹣（2a﹣b）2＝2ab﹣6， b2﹣2ab+a2﹣4a2+4ab﹣b2＝2ab﹣6， 解得：a2＝2， ∴A类纸片的面积为2． 【点评】本题考查了列代数式，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型7】不含某一项的整式乘法问题（提升） 1. 知识点 多项式× 多项式展开后合并同类项； “不含某一项”即该项目的系数为0。 2. 考点 已知不含的一次项，求关系（如不含一次项，求）； 含多个字母的整式乘法中“不含某一项”问题。 3. 易错点 展开后同类项合并错误，导致系数判断失误； 忽略“不含某一项”的本质是“系数为0”，直接求字母值。 4. 解题技巧 第一步：按多项式× 多项式法则完整展开； 第二步：合并同类项，找到目标项（如一次项）； 第三步：令目标项的系数=0，列方程求解字母值。 【例题7】．（2024-2025•雨花区期末）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　） A．﹣5 B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】先根据多项式乘以多项式法则求出（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m，根据已知得出m﹣5＝0，求出即可． 【解答】解：（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m， ∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项， ∴m﹣5＝0， 解得：m＝5， 故选：D． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•齐河县校级月考）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于 　﹣6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）＝2x4+（﹣a﹣2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20不含x2项， ∴a+6＝0， 解得a＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 【变式题7-2】．（2024-2025•安岳县期末）已知2m+2的算术平方根是2，2m+n﹣8的立方根是﹣2． （1）求5m﹣10n的平方根； （2）若代数式（nx+a）（mx2+x+b）中不含x2项和x项，且ay＝16b，求y的值． 【答案】（1）±5； （2）y＝4． 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根可求出m，n的值，再根据平方根的性质求解即可得； （2）先将m＝1，n＝﹣2代入计算多项式乘多项式，再根据不含x2项和x项可得含x2项和x项的系数等于0，据此求出a，b的值，代入计算即可得． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴2m+2＝22， ∴m＝1， ∵2m+n﹣8的立方根是﹣2， ∴2m+n﹣8＝（﹣2）3，即2×1+n﹣8＝﹣8， ∴n＝﹣2， ∴5m﹣10n＝5×1﹣10×（﹣2）＝25， ∴5m﹣10n的平方根为． （2）由（1）已得：m＝1，n＝﹣2， ∴（nx+a）（mx2+x+b）＝（﹣2x+a）（x2+x+b） ＝﹣2x3﹣2x2﹣2bx+ax2+ax+ab ＝﹣2x3+（a﹣2）x2+（a﹣2b）x+ab， 由题意可得： ∴a﹣2＝0，a﹣2b＝0， ∴a＝2，b＝1， ∵ay＝16b， ∴2y＝161＝24， ∴y＝4． 【点评】本题考查了算术平方根与平方根、立方根、多项式乘多项式等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•昆都仑区校级月考）（1）已知2x+3y﹣3＝0，求4x•8y的值； （2）若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项，求a和b的值． 【答案】（1）8；（2）a＝2，b＝﹣2． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算求解即可； （2）根据多项式乘多项，再根据不含某项，让该项的系数为0，列式求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，2x+3y＝3， ∵4x•8y＝22x•23y＝22x+3y， ∴22x+3y ＝23 ＝8； （2）多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项， ∴（x+1）（ax2+bx+2） ＝ax3+bx2+2x+ax2+bx+2 ＝ax3+（a+b）x2+（2+b）x+2， ∴a+b＝0，2+b＝0， 解得a＝2，b＝﹣2． 【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法的，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 【题型8】乘法公式的整体代入求值（提升） 1. 知识点 完全平方公式变形：； 平方差公式变形：。 2. 考点 已知和，求（如，，求）； 已知和，求； 已知和，求。 3. 易错点 公式变形记错（如误算为）； 整体代入时符号错误（如，误代入为）。 4. 解题技巧 先根据已知条件，确定需要哪个公式变形（如已知和与积，用）； 将已知的“整体”（如、）直接代入变形公式，避免单独求。 【例题8】．（2024-2025•衡东县期末）已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于 　2　 ． 【答案】2． 【分析】取已知条件中的两个等式的差，结合完全平方公式即可得到4ab＝8，即可求得ab的值． 【解答】解：∵（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7， ∴a2+2ab+b2＝15①，a2﹣2ab+b2＝7②， ①﹣②得：4ab＝8， 解得：ab＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•黔江区期末）若x﹣y＝3，xy＝5，则x2+y2＝　19　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解． 【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝32＝9， ∴x2+y2﹣2×5＝9， ∴x2+y2＝19． 故答案为：19． 【点评】本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•江宁区校级月考）若x+y＝﹣1，x2﹣y2＝3，则x﹣y的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【分析】根据公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），代入数据进行计算即可得出结果． 【解答】解：∵x+y＝﹣1， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3， ∴x﹣y＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查平方差公式的应用，结合题目给出的条件，代入计算是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•沙坪坝区校级开学）已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】先根据已知条件得到关于a、b的等式，再通过变形求出a+b的值． 【解答】解：已知a2＝2b+7，b2＝2a+7， 将两式相减可得：a2﹣b2＝（2b+7）﹣（2a+7）， 去括号得：a2﹣b2＝2b+7﹣2a﹣7， 合并同类项得：a2﹣b2＝2b﹣2a， 则（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）． 因为a≠b，所以a﹣b≠0，等式（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）两边同时除以（a﹣b）， 可得：a+b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题综合考查了平方差公式、整式的加减，解决本题的关键是运用平方差公式分解因式． 【题型9】多项式除以单项式及化简求值（提升） 1. 知识点 多项式÷ 单项式：（逐项相除）； 化简求值：先化简整式（乘除后合并同类项），再代入数值计算。 2. 考点 直接除法（如）； 先乘后除再求值（如先算，再除以，代入）。 3. 易错点 多项式某一项除以单项式时漏项（如误算为，漏）； 代入数值前未化简，导致计算复杂出错。 4. 解题技巧 多项式的每一项都要除以单项式，包括常数项（如）； 化简时先算乘除，再合并同类项，最后代入数值（代入前检查分母是否为0）。 【例题9】．（2019秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解． 【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x）， ＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）， ＝4x2﹣y2﹣4y2+x2， ＝5x2﹣5y2， 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15． 【点评】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•安岳县期末）先化简，再求值：，其中x＝3，． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据整式的除法的运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝4（x﹣y）2﹣4（x2+y2） ＝4（x2﹣2xy+y2）﹣4（x2+y2） ＝﹣8xy， 当x＝3，时， ﹣8xy． 【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•礼泉县期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣8xy，12． 【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【解答】解：原式＝4（x2﹣2xy+y2）+（﹣4x2﹣4y2） ＝4x2﹣8xy+4y2﹣4x2﹣4y2 ＝﹣8xy， 当时，原式． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•富平县期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当a＝2，b＝2 时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】（1）（21a2+17ab+2b2）平方米； （2）（3a2+2ab﹣b2）平方米，16平方米． 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可列式求解； （2）根据厨房的用地面积＝（3a﹣b）（a+b），利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解． 【解答】解：（1）（4a+2b+3a﹣b）（3a+2b） ＝21a2+14ab+3ab+2b2 ＝（21a2+17ab+2b2）平方米， 答：这块长方形土地的总面积是（21a2+17ab+2b2）平方米． （2）（3a﹣b）[（3a+2b）﹣（2a+b）]＝（3a2+2ab﹣b2）平方米， 当a＝2，b＝2时，原式＝3×22+2×2×2﹣22＝16平方米， 答：厨房的用地面积为16平方米． 【点评】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是根据题意列式求解． 【题型10】提公因式法因式分解（提升） 1. 知识点 公因式：多项式各项的“系数最大公约数 + 相同字母最低次幂”； 提公因式法：。 2. 考点 直接提公因式（如）； 提负公因式（如）； 公因式为多项式（如）。 3. 易错点 公因式找不全（如误提，应为）； 提公因式后漏项（如误分解为，漏）。 4. 解题技巧 找公因式分两步：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂； 提负公因式时，括号内各项要变号（如）。 【例题10】．（2024-2025•庐阳区校级期末）下列因式分解正确的是（　　） A．6ax﹣3ax2＝3（2ax﹣ax2） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y） C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣2y）2 D．ay2﹣a＝a（y+1）（y﹣1） 【答案】D 【分析】根据提取公因式法、公式法逐项分析判断即可． 【解答】解：A、6ax﹣3ax2＝3ax（2﹣x），故此选项不符合题意； B、x（x﹣y）+y（y﹣x）＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，故此选项不符合题意； C、x2+2xy﹣4y2≠（x﹣2y）2，故此选项不符合题意； D、ay2﹣a＝a（y2﹣1）＝a（y+1）（y﹣1），故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握运用提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•环翠区期末）将下列各式分解因式： （1）（5x+3y）2﹣（3x+5y）2； （2）； （3）（a2﹣6）2﹣6（a2﹣6）+9； （4）a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2． 【答案】（1）16（x+y）（x﹣y）； （2）； （3）（a+3）2（a﹣3）2； （4）（a﹣b）3（a+b）． 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，然后提公因式求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则展开，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）（5x+3y）2﹣（3x+5y）2 ＝（5x+3y+3x+5y）（5x+3y﹣3x﹣5y） ＝（8x+8y）（2x﹣2y） ＝16（x+y）（x﹣y）； （2） ； （3）（a2﹣6）2﹣6（a2﹣6）+9 ＝（a2﹣6﹣3）2 ＝（a2﹣9）2 ＝[（a+3）（a﹣3）]2 ＝（a+3）2（a﹣3）2； （4）a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2 ＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2 ＝（a﹣b）2（a2﹣b2） ＝（a﹣b）2（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）3（a+b）． 【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法等． 【变式题10-2】．（2024-2025•齐河县校级月考）因式分解： （1）ma2﹣3ma﹣4m； （2）（x2+4）2﹣16x2； （3）﹣4x3+16x2﹣16x； （4）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）提公因式后利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用平方差及完全平方公式因式分解即可； （3）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （4）将原式变形，提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝m（a2﹣3a﹣4） ＝m（a+1）（a﹣4）； （2）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x） ＝（x+2）2（x﹣2）2； （3）原式＝﹣4x（x2﹣4x+4） ＝﹣4x（x﹣2）2； （4）原式＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•汾阳市期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1因式分解． 解：把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y． 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为　（x﹣1）4　 ． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式（x2+6x+2）（x2+6x+16）+49因式分解； ②已知m+n＝5，mn＝1，求（m2+1）（n2+1）的值． 【答案】（1）（x﹣1）4； （2）①（x+3）4，②25． 【分析】（1）将（x2﹣2x+1）2继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“x2+6x”看成一个整体，令x2+6x＝y，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得（mn）2＝1，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝23，则根据（m2+1）（n2+1）＝（mn）2+m2+n2+1即可求解． 【解答】解：（1）把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y． 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4． 故答案为：（x﹣1）4； （2）①把“x2+6x”看成一个整体，令x2+6x＝y． 原式＝（y+2）（y+16）+49 ＝y2+18y+32+49 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2+6x+9）2 ＝[（x+3）2]2 ＝（x+3）4； ②由条件可知（mn）2＝1，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2＝23， 则（m2+1）（n2+1）＝（mn）2+m2+n2+1 ＝12+23+1 ＝25． 【点评】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型11】公式法（平方差/完全平方）因式分解（提升） 1. 知识点 平方差公式逆用：（两项，符号相反，均为平方形式）； 完全平方公式逆用：（三项，首末平方，中间为2倍积）。 2. 考点 平方差分解（如）； 完全平方分解（如）； 先提公因式再用公式（如）。 3. 易错点 非平方形式误用公式（如误用完全平方公式，中间项符号不符）； 分解不彻底（如误分解为，未继续分解）。 4. 解题技巧 先看是否有公因式，先提公因式再用公式； 平方差：判断是否为“”，再写； 完全平方：判断“首平方 + 尾平方 + 2× 首× 尾”或“首平方 + 尾平方 - 2× 首× 尾”，再写。 【例题11】．（2024-2025•汝州市期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣22 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 再如，求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：原式＝2（x2+2x﹣3） ＝2[（x2+2x+1）﹣4]＝2[（x+1）2﹣4] ＝2（x+1）2﹣8 可知，当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把x2﹣4x﹣5因式分解． （2）多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）原式＝x2﹣4x+4﹣9 ＝（x﹣2）2﹣9 ＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3） ＝（x+1）（x﹣5）； （2）当x＝﹣1时，有最大值，最大值为5． 【分析】（1）用配方法化为（x﹣2）2﹣9，再用平方差公式，即可求解； （2）用配方法化为﹣2（x+1）2+5，即可求解． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣4x+4﹣9 ＝（x﹣2）2﹣9 ＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3） ＝（x+1）（x﹣5）； （2）当x＝﹣1时，有最大值，最大值为5，理由如下： ﹣2x2﹣4x+3 ＝﹣2（x2+2x）+3 ＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3 ＝﹣2（x+1）2+2+3 ＝﹣2（x+1）2+5， ∵﹣2（x+1）2≤0， ∴﹣2（x+1）2+5≤5， ∴当x＝﹣1时，有最大值，最大值为5． 【点评】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，非负数的性质，理解题意、掌握配方法是解题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•泸西县期末）阅读材料：分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程如下： x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）． 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式x2﹣6x+9﹣y2； （2）已知△ABC的三边的长分别为a，b，c，且满足a2+ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】（1）（x﹣3﹣y）（x﹣3+y）； （2）△ABC是等腰三角形 【分析】（1）利用因式分解的方法， （2）等腰三角形的判定解答． 【解答】解：（1）x2﹣6x+9﹣y2 ＝（x﹣3）2﹣y2 ＝（x﹣3﹣y）（x﹣3+y）； （2）∵△ABC的三边长a，b，c满足a2+ac﹣ab﹣bc＝0， ∴a（a+c）﹣b（a+c）＝0， ∴（a﹣b）（a+c）＝0， ∵a+c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b． ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握因式分解的方法，等腰三角形的判定方法． 【变式题11-2】．（2024-2025•中江县期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣2x＝y． 原式＝（y﹣1）（y+3）+4 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 任务： （1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣1）4　 ． （2）请你用“换元法”对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解 （3）由平方的非负性可知（x2+6x）（x2+6x+18）+85有最小值，请求出最小值． 【答案】（1）不彻底，（x﹣1）4； （2）（x﹣2）4； （3）4． 【分析】（1）将（x2﹣2x+1）2继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）设x2﹣4x＝y，由（1）同理进行因式分解，即可求解； （3）设x2+6x＝y，进行配方，由平方的非负性，即可求解． 【解答】解：（1）不彻底， 设x2﹣2x＝y． 将（x2﹣2x+1）2继续用完全平方公式进行分解可得： 原式＝（y﹣1）（y+3）+4 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4； 故答案为：（x﹣1）4； （2）设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+3）（y+5）+1 ＝y2+8y+16 ＝（y+4）2 ＝（x2﹣4x+4）2 ＝（x﹣2）4； （3）设x2+6x＝y， 原式＝y（y+18）+85 ＝y2+18y+85 ＝（y+9）2+4 ＝（x2+6x+9）2+4 ＝（x+3）4+4≥4， ∴最小值为4． 【点评】本题考查了因式分解及其应用；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•射洪市期末）阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2+4x＝y，则原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） 故原式＝（x2+4x+4）2（第四步）． ＝（x+2）4（第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解； （3）灵活运用： 请你将多项式x（x+3）（x﹣1）（x﹣4）+36进行因式分解． 【答案】（1）C； （2）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2； （3）（x+2）2（x﹣3）2． 【分析】（1）根据完全平方公式即可解答； （2）设 x2﹣2x＝y，则，原式＝y（y﹣2）﹣3，再因式分解即可得到答案； （3）先将原式变形为（x2﹣x）（x2﹣x﹣12）+36，设x2﹣x＝y，则原式＝y（y﹣12）+36＝（y﹣6）2，进而得到原式＝（x+2）2（x﹣3）2． 【解答】解：（1）运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）设x2﹣2x＝y， ∴（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3 ＝y（y﹣2）﹣3 ＝y2﹣2y﹣3 ＝（y﹣3）（y+1） ＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1） ＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2； （3）x（x+3）（x﹣1）（x﹣4）+36 ＝x（x﹣1）（x+3）（x﹣4）+36 ＝（x2﹣x）（x2﹣x﹣12）+36， 设x2﹣x＝y ∴原式＝y（y﹣12）+36 ＝y2﹣12y+36 ＝（y﹣6）2 ＝（x2﹣x﹣6）2 ＝（x+2）2（x﹣3）2． 【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【题型12】分组分解法因式分解（培优） 1. 知识点 分组分解法：将多项式分组，使每组能提公因式或用公式，再提整体公因式。 常见分组：二二分组（如）、一三分组（如）。 2. 考点 二二分组分解（如）； 一三分组分解（如）。 3. 易错点 分组方式错误，导致组内无法提公因式或用公式（如误分为）； 分组后漏提整体公因式（如误写为，未合并为）。 4. 解题技巧 分组原则：“分组后能提公因式或用公式”，优先将能凑公式的项分一组； 分组后检查每组结果是否有整体公因式，若有则继续提，直至不能分解。 【例题12】．（2024-2025•陕州区期末）阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝　（x﹣9）（2+y）　 ； （2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（x﹣9）（2+y）； （2）（a﹣b）（a+b+c）； （3）等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）按照已知条件中的方法，把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后提取各组中的公因式，最后再次提取公因式即可； （2）把多项式的前两项和后两项分别分成一组，然后第一组提取各组中的公因式分解因式，第二组利用平方差公式分解因式，最后再次提取公因式即可； （3）先把已知条件中的等式左边的2b2拆成b2+b2，然后把多项式的前三项和后三项分别分成一组，利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c之间的关系即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x﹣18）+（xy﹣9y） ＝2（x﹣9）+y（x﹣9） ＝（x﹣9）（2+y）， 故答案为：（x﹣9）（2+y）； （2）原式＝（ac﹣bc）+（a2﹣b2） ＝c（a﹣b）+（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b+c）； （3）这个三角形是等边三角形，理由如下： a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0， （a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0， （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、分组分解因式法和公式法分解因式． 【变式题12-1】．（2024-2025•葫芦岛期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式2xy+x2﹣1+y2时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 2xy+x2﹣1+y2＝（x2+2xy+y2）﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）． 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： （1）分解因式：a2+b2﹣n2+2ab； （2）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+b2+c2+29﹣4a﹣6b﹣8c＝0，求△ABC的周长． 【答案】（1）（a+b+n）（a+b﹣n）； （2）9． 【分析】（1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，求出a＝2，b＝3，c＝4，进而可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝（a2+b2+2ab）﹣n2 ＝（a+b）2﹣n2 ＝（a+b+n）（a+b﹣n）． （2）a2+b2+c2+29﹣4a﹣6b﹣8c ＝（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣8c+16） ＝（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2， 由条件可得（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0， ∴a＝2，b＝3，c＝4， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+3+4＝9． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． 【变式题12-2】．（2024-2025•陕西期末）将x2﹣xy+xz﹣yz因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（x2﹣xy）+（xz﹣yz） ＝x（x﹣y）+z（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+z） 解法二：原式＝（x2+xz）﹣（xy+yz） ＝x（x+z）﹣y（x+z） ＝（x+z）（x﹣y） 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： （1）请用分组分解法将a3﹣3a2+6a﹣18因式分解； （2）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式a2+4ab+4b2+2a+4b+1因式分解，再求值． 【答案】（1）（a2+6）（a﹣3）； （2）（a+2b+1）2，25． 【分析】（1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）将原式变形为a2+4ab+4b2+2a+4b+1，将a+2b看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：a+2b＝4，即可求解． 【解答】解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18 ＝a2（a﹣3）+6（a﹣3） ＝（a2+6）（a﹣3）； （2）a2+4ab+4b2+2a+4b+1 ＝a2+4ab+4b2+2a+4b+1 ＝（a+2b）2+2（a+2b）+1 ＝（a+2b+1）2， 根据图形中各边关系得：2[（a+3b）+（a+b）]＝16，即a+2b＝4， ∴原式＝（a+2b+1）2＝（4+1）2＝25． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•城关区校级期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： am+bm+an+bn ＝（am+bm）+（an+bn） ＝m（a+b）+n（a+b） ＝（a+b）（m+n） x2+2x+1﹣4 ＝（x2﹣2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：（1）因式分解：81﹣4x2+12xy﹣9y2． 【拓展延伸】：（2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝20a+24b﹣244，求等腰△ABC的面积． 【答案】（1）（9+2x﹣3y）（9﹣2x+3y）． （2）48或． 【分析】（1）将式子分成“1+3”两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出a＝10，b＝12，因为三角形为等腰三角形，求出c＝10或c＝12，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【解答】解：（1）81﹣4x2+12xy﹣9y2 ＝81﹣（4x2﹣12xy+9y2） ＝81﹣（2x﹣3y）2 ＝（9+2x﹣3y）（9﹣2x+3y）； （2）因为a2+b2＝20a+24b﹣244， 所以a2+b2﹣20a﹣24b+244＝0， 即（a﹣10）2+（b﹣12）2＝0， 所以a＝10，b＝12， 因为a，b，c为等腰△ABC的三边长， 所以c＝10或c＝12， c＝10时，△ABC底边上的高是：8， 面积是：48， c＝12时，△ABC底边上的高是：， 面积是：． 答：等腰△ABC的面积是48或． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用示例的分组分解法将式子分解因式． 【题型13】因式分解的综合应用（含添拆项）（培优） 1. 知识点 添拆项法：通过添/拆项，将多项式凑成完全平方或平方差（如）； 因式分解彻底性：分解到每一个因式不能再分解为止。 2. 考点 添项分解（如）； 拆项分解（如）； 复杂多项式综合分解（如，拆3为4-1后分组）。 3. 易错点 添拆项后符号错误（如添后漏减）； 添拆项后无法继续分解，未调整分组方式。 4. 解题技巧 添项：缺中间项补中间项（如平方和补2倍积），缺常数项补常数项； 拆项：将多项式某一项拆为两项，使分组后能提公因式（如将拆为）； 分解后检查：每一个因式是否为“整式”且“不能再分解”。 【例题13】．（2024-2025•汝州市校级月考）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．结合以上材料解决下面的问题： （1）分解因式x2+4x﹣5； （2）求代数式x2+4x﹣5的最小值； （3）当a、b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）（x+5）（x﹣1）； （2）﹣9； （3）a＝﹣2，b＝﹣2时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值为2020． 【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法和平方差公式，即可解题； （2）根据（1）的步骤，结合（x+2）2≥0与不等式性质求解，即可解题； （3）解法与（2）类似，将多项式配方后可得结论． 【解答】解：（1）x2+4x﹣5 ＝x2+4x+4﹣9 ＝（x+2）2﹣9 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）； （2）x2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣9＝（x+2）2﹣9， ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2﹣9≥﹣9， ∴当x＝﹣2时，代数式x2+4x﹣5的最小值为﹣9； （3）a2﹣2ab+2b2+4b+2024 ＝a2﹣2ab+b2+b2+4b+4+2020 ＝（a﹣b）2+（b+2）2+2020． ∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0， ∴（a﹣b）2+（b+2）2+2020≥2020， 当a﹣b＝0，b+2＝0时， 即a＝﹣2，b＝﹣2时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值为2020． 【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式因式分解的应用，以及非负数的性质，不等式性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题13-1】．（2024-2025•河津市期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如a2±2ab+b2的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用．例如，我们可以用配方法将多项式x+2x﹣3因式分解：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（a+3）（x﹣1）． 任务一： （1）运用配方法将多项式x2﹣6x﹣7因式分解； （2）用配方法说明多项式x2+6x+12的值一定是一个正数． 任务二：“创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式（x+y）2+4（x+y）﹣5因式分解时，将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原多项式可化为A2+4A﹣5，然后用配方法将多项式A2+4A﹣5因式分解，再把A ＝x+y代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式（x+y）2+4（x+y）﹣5因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为　③　 ．（填序号即可） ①分类讨论 ②数形结合 ③整体思想 【答案】（1）（x+1）（x﹣7）； （2）x2+6x+12的值一定是一个正数； （3）（x+y+5）（x+y﹣1）； （4）③． 【分析】（1）用配方法将多项式分解因式即可x2﹣6x﹣7＝（x﹣3）2﹣16＝（x+1）（x﹣7）； （2）x2+6x+12＝（x+3）2+3＞0，所以x2+6x+12的值一定是一个正数； （3）令x+y＝A，（x+y）2+4（x+y）﹣5＝（A+2）2﹣9＝（x+y+5）（x+y﹣1）； （4）很显然解题过程中渗透的数学思想为整体思想． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7 ＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7）； （2）x2+6x+12 ＝x2+6x+9+3 ＝（x+3）2+3， 因为（x+3）2≥0， 所以（x+3）2+3＞0， 所以x2+6x+12的值一定是一个正数． （3）令x+y＝A， （x+y）2+4（x+y）﹣5 ＝A2+4A﹣5 ＝A2+4A+4﹣4﹣5 ＝（A+2）2﹣9 ＝（A+2+3）（A+2﹣3） ＝（A+5）（A﹣1） ＝（x+y+5）（x+y﹣1）； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为整体思想． 故答案为：③． 【点评】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式计算． 【变式题13-2】．（2024-2025•昌黎县期末）对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2＝x2+2ax+a2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x2+4x+3分解因式； （2）多项式x2+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时x的值是多少？ 【答案】（1）（x+3）（x+1）；（2）当x＝﹣5时，多项式x2+10x+28有最小值，最小值是3． 【分析】（1）仿照例题的做法解答即可； （2）利用例题的做法先将原式变形为x2+10x+28＝（x+5）2+3，再根据完全平方式的非负性解答． 【解答】解：（1）x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣4+3 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1）； （2）x2+10x+28＝x2+10x+25+3＝（x+5）2+3， ∵（x+5）2≥0， ∴当（x+5）2＝0时，多项式x2+10x+28有最小值， ∴当x＝﹣5时，多项式x2+10x+28有最小值，最小值是3． 【点评】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． 【变式题13-3】．（2024-2025•张店区校级月考）阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，拆项法，十字相乘法等等． （1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： ①ax+by+bx+ay②2xy+y2﹣1+x2 ＝（ax+bx）+（ay+by）＝x2+2xy+y2﹣1 ＝x（a+b）+y（a+b）＝（x+y）2﹣1 ＝（a+b）（x+y）＝（x+y+1）（x+y﹣1） （2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3 ＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣22 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b； （2）分解因式：a2+4ab﹣5b2； （3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，请求出它取最小值时x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）仿照题中的方法，利用分组分解法，分别将各项分解即可； （2）仿照题中的方法，利用拆项法，分别将各项分解即可； （3）仿照题中的方法，拆项法，得到多项式的最小值． 【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b ＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b+1）； （2）a2+4ab﹣5b2 ＝a2+4ab+4b2﹣9b2 ＝（a+2b）2﹣（3b）2 ＝（a+2b+3b）（a+2b﹣3b） ＝（a+5b）（a﹣b）； （3）x2﹣6x+1 ＝x2﹣6x+9﹣8 ＝（x﹣3）2﹣8 ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8， ∴当x＝3时，取最小值为﹣8． 【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【题型14】整式乘除与几何图形结合（培优） 1. 知识点 用整式表示图形边长、面积（如正方形面积，长方形面积）； 用面积验证乘法公式（如大正方形面积）； 整式运算求图形面积差、周长（如剪去小正方形后的剩余面积）。 2. 考点 用面积验证公式（如用图中阴影面积验证平方差公式）； 已知图形边长的整式表达式，求面积或周长（如正方形面积，求边长和周长）； 拼接图形的面积计算（如4个小长方形拼成大正方形，求阴影面积）。 3. 易错点 无法将图形边长与整式对应（如混淆长方形的长和宽对应的整式）； 面积计算时漏算或多算部分区域（如拼接后的重叠面积）。 4. 解题技巧 第一步：标注图形各边的整式表达式（如正方形边长为，小正方形边长为）； 第二步：用“整体面积 - 部分面积”或“各部分面积和”表示目标面积； 第三步：结合整式运算（如因式分解、乘法公式）简化计算，验证公式或求未知量。 【例题14】．（2024-2025•长沙期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：　（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2　 ； （2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝22，求a2+b2+c2的值． 【答案】（1）（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2； （2）图形见解答； （3）20． 【分析】（1）由图中大矩形的面积＝中间的各图片的面积的和，就可得出代数式； （2）面积为2a2+5ab+2b2，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解； （3）根据正方形面积＝（a+b+c）2，正方形面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式，根据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），进行计算即可求解． 【解答】解：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2． 故答案为：（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2； （2）说明：答案不唯一，画图正确，不论画在什么位置， （3）由图4可得，正方形面积＝（a+b+c）2，正方形面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc） ＝82﹣2×22 ＝64﹣44 ＝20． 【点评】此题考查的是因式分解的应用与几何的综合题．此题的立意较新颖，注意对此类问题的深入理解． 【变式题14-1】．（2024-2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b的正方形纸片，3号纸片是长为a、宽为b的长方形纸片． （1）由边长分别为a，b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为（a+b），即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ； （2）如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是　（a+b）（a+3b）　 ； （3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求a，b的值． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）（a+b）（a+3b）； （3）a＝8；b＝3． 【分析】（1）根据面积相等的两次计算可得结论； （2）根据多项式a2+4ab+3b2的几何背景是边长为（a+b），（a+3b）的长方形的面积解答； （3）根据阴影面积＝总面积﹣两个三角形的面积求解即可． 【解答】解：（1）根据图形可知（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）根据所拼图形的面积把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是（a+b）（a+3b）， 故答案为：（a+b）（a+3b）； （3）图形的总面积为：a2+ab+b2， 三角形面积分别为：， ∴S阴影， ∴a＝8（负数舍去）， ∵ab＝24， ∴b＝3． 【点评】本题考查此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意画出相应的图形，利用数形结合思想是解本题的关键． 【变式题14-2】．（2024-2025•南海区期末）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为　　 ． （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值． （3）观察图3， ①从图3中得到（a+2b+c）2＝　a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab　 ． ②根据得到的结论，解决问题： 已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值． 【答案】（1）； （2）3； （3）①a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab；②26． 【分析】（1）ab＝[（2a+b）2﹣（4a2+b2）]÷4，将数据代入求出ab，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积＝底×高÷2，即ab，代入数据计算即可； （2）设2025﹣y＝a，y﹣2024＝b，由（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2可得2ab＝﹣2，ab＝﹣1，所以（2025﹣y）2+（y﹣2024）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入数据计算即可； （3）①根据图形可得（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab； ②由a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13得4ab+2ac+4bc＝（a+2b+c）2﹣（a2+4b2+c2）＝12，（4ab+2ac+4bc）2＝122＝16a2b2+4a2c2+16b2c2+16a2bc+16abc2+32ab2c，因为，代入求出4a2b2+a2c2+4b2c2的结果． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， ab＝[（2a+b）2﹣（4a2+b2）]÷4 ＝[62﹣24]÷4 ＝12÷4 ＝3， 图中阴影部分的面积为：ab； 故答案为：． （2）因为（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 设2025﹣y＝a，y﹣2024＝b， 所以2ab＝﹣2，ab＝﹣1， 所以a+b＝1， （2025﹣y）2+（y﹣2024）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝1+2 ＝3． （3）①（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab， 故答案为：a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab； ②因为a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，， 所以4ab+2ac+4bc ＝（a+2b+c）2﹣（a2+4b2+c2） ＝52﹣13 ＝12， 因为，a+2b+c＝5， （4ab+2ac+4bc）2 ＝16a2b2+4a2c2+16b2c2+16a2bc+16abc2+32ab2c ＝16a2b2+4a2c2+16b2c2 ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8a+16b+8c ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8（a+2b+c） ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8×5 ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+40 ＝122， 所以4a2b2+a2c2+4b2c2 ＝（122﹣40）÷4 ＝104÷4 ＝26． 【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． 【变式题14-3】．（2024-2025•市南区期末）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式．要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”．如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为　（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq　 ；如图2，若a＝p，b＝q时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为　（a+b）2＝a2+b2+2ab　 ； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”，如图3，棱长为a+b的正方体被分割成8块，则有　a3+b3+3a2b+3ab2　 ＝（a+b）3； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足a+b＝5，a2+b2＝15，求的值． 【答案】（1）（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq，（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）a3+b3+3a2b+3ab2； （3）． 【分析】（1）根据图形面积即可得解； （2）根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解； （3）参考上述结论计算求解即可． 【解答】解：（1）由图形等面积可得：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq，（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq，（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2））正方体的体积为（a+b）3， 由图可知正方体被分割成8部分， 其中1个边长为a的小正方体， 1个边长为b的小正方体，3个底面边长为a，高为b的长方体， 3个底面边长为b，高为a的长方体， 所以（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2． 故答案为：a3+b3+3a2b+3ab2． （3）因为a2+2ab+b2＝（a+b）2， 因为a+b＝5，a2+b2＝15， 所以ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]÷2＝[25﹣15]÷2＝5， 因为a3+b3+3a2b+3ab2＝（a+b）3， 所以a3+b3 ＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2 ＝（a+b）3﹣3ab（a+b） ＝53﹣3×5×5 ＝50， 因为a2+2ab+b2＝（a+b）2， 所以（a3）2+2a3b3+（b3）2＝（a3+b3）2， 所以a6+b6 ＝（a3+b3）2﹣2a3b3 ＝502﹣2×53 ＝2500﹣250 ＝2250， ． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景、认识立体图形，熟练掌握相关知识是正确解答此题的关键． 【题型15】整式相关的新定义问题（培优） 1. 知识点 新定义概念：如“和平数”（能表示为两个连续偶数的平方差的正整数）、“智慧数”（能表示为两个正整数的平方差的正整数）； 整式运算与新定义结合：用整式运算验证新定义、求符合新定义的数。 2. 考点 验证某数是否为新定义数（如判断36是否为“神秘数”）； 求符合新定义的数（如求介于1到350之间的最大“和平数”）； 新定义运算（如定义，求）。 3. 易错点 误解新定义的条件（如“连续偶数”误为“连续整数”）； 用新定义计算时，整式运算错误（如平方差公式应用错误）。 4. 解题技巧 第一步：精读新定义，明确定义的条件（如“两个连续偶数”“平方差”）； 第二步：将新定义转化为整式运算（如“和平数”）； 第三步：根据整式运算结果，结合题目要求求解（如求的最大整数）。 【例题15】．（2024-2025•长子县期末）我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y是整式），所以M为“完全式”．若S＝x2+4y2﹣8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答． 【解答】解：S＝x2﹣8x+16+4y2+12y+9+k﹣25＝（x﹣4）2+（2y+3）2+k﹣25， ∵S＝x2+4y2﹣8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”， ∴k﹣25＝0， 解得：k＝25， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【变式题15-1】．（2024-2025•市中区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论：①a12＝96；②a1+a2+…+a8是8的倍数；③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7；④m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n﹣1都是“和谐数”，则7m﹣5n﹣3也是“和谐数”．则上述结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据“和谐数”的定义，观察规律，即可得到a12的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn整理为（m﹣n）2﹣49，由“和谐数”的定义即可得出m﹣n的值； ④92﹣（m﹣n）2是“和谐数”，由②知“和谐数”都是8的倍数，可设92﹣（m﹣n）2＝8k，则m﹣n可为1，当m＝5，n＝4时计算得7m﹣5n﹣3不是8的倍数，故不是“和谐数”． 【解答】解：①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n﹣1， 即an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，∴a12＝（2×12+1）2﹣（2×12﹣1）2＝96 故①正确；②根据①找出的规律知：an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n， ∴a1+a2+…+a8＝8×1+8×2+…+8×8 ＝8×（1+2+…+8）＝8×36：∴a1+a2+…+a8是8的倍数；故②正确； ③（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn＝m2﹣49+n2﹣2mn ＝（m﹣n）2﹣49 ＝（m﹣n）2﹣72 由“和谐数”的定义得m﹣n可为9，故③错误； ④∵92﹣（m﹣n）2是“和谐数”， 可设92﹣（m﹣n）2＝8k， 得（m﹣n）2＝81﹣8k， 可取k＝10，得m﹣n＝1， 则92﹣（m﹣n）2＝80＝212﹣192，符合“和谐数”的定义， 假设m＝5，n＝4，此时7m﹣5n﹣3＝12不是8的倍数， ∴7m﹣5n﹣3不是“和谐数”故④错误． 故选B． 【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，新定义下数字规律的探索，设参消元的知识，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，灵活应用公式进行计算． 【变式题15-2】．（2024-2025•平谷区期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，所以16，24，32都是“双奇差数”． （1）在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是　②　 ；（填序号） （2）若m、n为正整数，且m＞n，若（m﹣5）（m+5）+n2﹣2mn是“双奇差数”，求m﹣n的值； （3）根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为2k+1和2k﹣1，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】（1）②； （2）m﹣n＝7； （3）①“双奇差数”都能被8整除；②任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． 【分析】（1）40＝112﹣92，其余两数不能写成两个奇数的平方差，据此解答； （2）m﹣5）（m+5）+n2﹣2mn＝（m﹣n）2﹣25，因为m、n为正整数，且m＞n，且双奇数差是8的倍数，所以（m﹣n）2﹣25可以是8、16、24、……，有（m﹣n）2﹣25＝24满足题意，所以m﹣n＝7； （3）①（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，因为k为正整数，“双奇差数”都能被8整除； ②设四个连续奇数为2k﹣3、2k﹣1、2k+1、2k+3，分别求出连续的3个“双奇差数”，发现两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． 【解答】解：（1）40＝112﹣92， 46、68不能表示为两个连续奇数的平方差． 故答案为：②． （2）因为m、n为正整数，且m＞n， （m﹣5）（m+5）+n2﹣2mn ＝m2﹣25+n2﹣2mn ＝（m﹣n）2﹣25， 因为（m﹣5）（m+5）+n2﹣2mn是“双奇差数”， 所以（m﹣n）2﹣25是“双奇差数”， 所以（m﹣n）2﹣25是8的倍数， 满足条件的有（m﹣n）2﹣25＝24， 此时（m﹣n）2＝49， 所以m﹣n＝7． （3）①（2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1） ＝8k， 因为k为正整数， 所以8k能被8整除， 因此：“双奇差数”都能被8整除． ②设四个连续奇数为2k﹣3、2k﹣1、2k+1、2k+3， （2k﹣1）2﹣（2k﹣3）2 ＝（2k﹣1+2k﹣3）（2k﹣1﹣2k+3） ＝2（4k﹣4） ＝8k﹣8， （2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1） ＝8k， （2k+3）2﹣（2k+1）2 ＝（2k+3+2k+1）（2k+3﹣2k﹣1） ＝2（4k+4） ＝8k+8， 8k﹣（8k﹣8）＝8k+8﹣8k＝8， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练运用“双奇差”数的定义解决问题． 【变式题15-3】．（2024-2025•丰泽区校级期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当m＝384时，因为8＝4×2，所以384是“好数”，此时n＝834，则． （1）写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的F（m）值； （2）已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若F（t）+k能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 【答案】（1）984，1；121，﹣1； （2）342，284，684． 【分析】（1）要找出最大和最小的“好数”，需根据“好数”的定义确定各个数位上的数字．然后根据F（m）的定义计算其值． （2）先设出三位自然数t的百位、十位、个位数字，根据“好数”定义和F（m）的定义表示出F（t）和k，再根据F（t）+k能被8整除来确定满足条件的数． 【解答】解：（1）因为是三位自然数且各个数位上的数字均不为零，要使“好数”最大，百位数字应尽量大．百位最大是9． 根据“好数”定义，十位数字等于个位数字的2倍，个位数字最大只能是4，此时十位数字是8．所以最大的好数m＝984 交换m的百位数字和十位数字后得到n＝894． 根据F（m），则F（984）1． 要使“好数”最小，百位数字应尽量小，百位最小是1．个位数字最小是1，根据“好数”定义，十位数字是2． 所以最小的好数m＝121． 交换m的百位数字和十位数字后得到n＝211． 根据F（m），则F（121）1． （2）设三位自然数t的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为2b，那么t＝100a+20b+b＝100a+21b． 交换t的百位数字和十位数字后得到n＝100×2b+10a+b＝200b+10a+b＝10a+201b． 根据F（m），则F（t）a﹣2b． t的各个数位上的数字和k＝a+2b+b＝a+3b． 所以F（t）+k＝（a﹣2b）+（a+3b）＝2a+b． 因为F（t）+k能被8整除，即2a+b能被8整除． 当2a+b＝8时： 若b＝2，则2a+2＝8，2a＝6，a＝3，此时t＝342． 若b＝4，则2a+4＝8，2a＝4，a＝2，此时t＝284． 当2a+b＝16时： 若b＝4，则2a+4＝16，2a＝12，a＝6，此时t＝684． 【点评】本题考查新定义下的实数运算和列代数式，解题的关键是抓住“好数”的特征． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A B D C C 一．选择题（共5小题） 1．若2a＝5，2b＝3，则2a﹣b的值为（　　） A． B．2 C．4 D．15 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法进行计算即可求解． 【解答】解：∵2a＝5，2b＝3， ∴2a﹣b， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是解题的关键． 2．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）•（3a）＝6a D．a6÷a2＝a3 【答案】B 【分析】分别根据幂的乘方法则、单项式乘法、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答即可． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，a5≠a6，计算错误，不符合题意； B、（a2）3＝a6，计算正确，符合题意； C、（2a）（3a）＝6a2，6a2≠6a，计算错误，不符合题意； D、a6÷a2＝a4，a4≠a3，计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 3．下列运算正确的是（　　） A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．3mn﹣m＝3n C．（m﹣1）2＝m2﹣1 D．m2n•m＝m3n 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的应用，合并同类项的方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可． 【解答】解：∵（﹣m3）2＝m6， ∴选项A不符合题意； ∵3mn﹣m≠3n， ∴选项B不符合题意； ∵（m﹣1）2＝m2﹣2m+1， ∴选项C不符合题意； ∵m2n•m＝m3n， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，合并同类项的方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；（3）①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）． 4．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，可得a2﹣b2＝48，从图示可知阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED，由此即可求解． 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴a2﹣b2＝48， 根据图示可得，AE＝a﹣b， ∴，， ∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED ＝24， 故选：C． 【点评】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 5．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B＝10，则x＝2； ②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1； ③若A×B＝0，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5． 上面说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①直接列方程求解即可； ②列绝对值方程即可直接求解； ③由A×B＝0，可得x2+2x+2＝0或x2﹣2x+2＝0，再验证这两个方程是否有实数根； ④列代数式，再化简，直接代数验证即可． 【解答】解：①∵A+B＝10， ∴x2+x+1+x2﹣x+1＝10， 2x2＝8， 解得：x＝±2，故①错误； ②∵|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6， ∴|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）﹣2|+|x2+x+1﹣（x2﹣x+1）+4|＝6， 整理得：|2x﹣2|+|2x+4|＝6， 当x＜﹣2时，2﹣2x﹣2x﹣4＝6，解得x＝﹣2（舍）， 当﹣2≤x≤1时，2﹣2x+2x+4＝6恒成立， 当x＞1时，2x﹣2+2x+4＝6，解得x＝1（舍）， 故②正确； ③∵A×B＝0， ∴（x2+x+1）（x2﹣x+1）＝0， 则x2+x+1＝0或x2﹣x+1＝0，两个方程无解， ∴关于x的方程无实数根， ∴③正确； ④∵ ＝1， 又∵为整数，x为正整数， ∴x＝1，2，4，5， 故④正确． 综上所述，正确的有②③④，共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，含绝对值一元一次方程，根的判别式相关知识点，能够正确解方程是本题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．若x+y＝5，xy＝6，则（x﹣y）2﹣2x﹣2y＝ 　﹣9　 ． 【答案】﹣9． 【分析】利用完全平方公式变形后代入已知数值计算即可． 【解答】解：∵x+y＝5，xy＝6， ∴（x﹣y）2﹣2x﹣2y ＝（x+y）2﹣4xy﹣2（x+y） ＝52﹣4×6﹣2×5 ＝25﹣24﹣10 ＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． 7．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于 　2　 ． 【答案】2． 【分析】取已知条件中的两个等式的差，结合完全平方公式即可得到4ab＝8，即可求得ab的值． 【解答】解：∵（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7， ∴a2+2ab+b2＝15①，a2﹣2ab+b2＝7②， ①﹣②得：4ab＝8， 解得：ab＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 8．若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，则2m+n＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】利用多项式乘多项式法则将（x﹣1）（x+3）展开后求得m，n的值，将其代入2m+n中计算即可． 【解答】解：（x﹣1）（x+3） ＝x2+3x﹣x﹣3 ＝x2+2x﹣3 ＝x2+mx+n， 则m＝2，n＝﹣3， 那么2m+n＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 9．　　 ． 【答案】． 【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解： ＝22024×（）2024×（） ＝（）2024×（） ＝（﹣1）2024×（） ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 10．计算：　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】将分式的分母根据平方差公式变形得到，再约分即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平方差公式，解答本题的关键是掌握平方差公式的形式，这是需要我们熟练记忆的内容． 三．解答题（共10小题） 11．将下列各式分解因式： （1）（5x+3y）2﹣（3x+5y）2； （2）； （3）（a2﹣6）2﹣6（a2﹣6）+9； （4）a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2． 【答案】（1）16（x+y）（x﹣y）； （2）； （3）（a+3）2（a﹣3）2； （4）（a﹣b）3（a+b）． 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，然后提公因式求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则展开，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）（5x+3y）2﹣（3x+5y）2 ＝（5x+3y+3x+5y）（5x+3y﹣3x﹣5y） ＝（8x+8y）（2x﹣2y） ＝16（x+y）（x﹣y）； （2） ； （3）（a2﹣6）2﹣6（a2﹣6）+9 ＝（a2﹣6﹣3）2 ＝（a2﹣9）2 ＝[（a+3）（a﹣3）]2 ＝（a+3）2（a﹣3）2； （4）a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2 ＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2 ＝（a﹣b）2（a2﹣b2） ＝（a﹣b）2（a+b）（a﹣b） ＝（a﹣b）3（a+b）． 【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法等． 12．（1）已知a+b＝5，ab＝﹣24，求a2+b2，a﹣b的值； （2）阅读材料： 若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值． 解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204， 且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10． 因为（a+b）2＝a2+2ab+b2， 所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508， 即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508． 根据材料，请你解答下题： 若x满足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4046，试求（2022﹣x）（2020﹣x）的值． 【答案】（1）a2+b2＝73，a﹣b＝±11； （2）2022． 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）设2022﹣x＝a，2020﹣x＝b，得到a﹣b＝2022﹣x﹣（2020﹣x）＝2，a2+b2＝4046，然后利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）∵由题意可得：（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝﹣24， ∴a2+2×（﹣24）+b2＝25， ∴a2+b2＝73； ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝73﹣2×（﹣24）＝121， ∴a﹣b＝±11； （2）设2022﹣x＝a，2020﹣x＝b， ∴a﹣b＝2022﹣x﹣（2020﹣x）＝2， ∴（a﹣b）2＝22， ∴a2+b2﹣2ab＝2， ∵（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4046， ∴a2+b2＝4046， ∴4046﹣2ab＝2， ∴ab＝2022， 原式＝2022． 【点评】此题考查利用完全平方公式变形进行求值，解题的关键是能根据所给的材料找到解决问题的方法． 13．剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2中阴影部分面积，直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系； （2）根据（1）中的等量关系，已知a+b＝4，ab＝3，求（a﹣b）2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过分别运用整体求解和部分求和差的方式表示图2阴影部分的面积进行求解； （2）运用第（1）题结果进行求解． 【解答】解：（1）∵图2中阴影部分的面积为： （a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）由（1）题得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴当a+b＝4，ab＝3时， （a﹣b）2＝42﹣4×3＝4． 【点评】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解． 14．发现与探索； （1）根据小明的解答将下列各式因式分解： 小明的解答；a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣9+5＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣5）（a﹣1）． ①a2﹣12a+20； ②a2﹣6ab+5b2． （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4，则（a﹣3）2+4有最小值为4． ①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16． ②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值． 【答案】（1）①（a﹣10）（a﹣2）；②（a﹣5b）（a﹣b）； （2）①a2﹣12a+20 ＝a2﹣12a+36﹣36+20 ＝（a﹣6）2﹣16， ∵（a﹣6）2≥0， ∴（a﹣6）2﹣16≥﹣16， ∴a2﹣12a+20的最小值为﹣16； ②∵﹣（a+1）2≤0， ∴﹣（a+1）2+8≤8， ∴﹣（a+1）2+8的最大值为8； ﹣a2+12a﹣8 ＝﹣（a2﹣12a+8） ＝﹣（a2﹣12a+36﹣36+8） ＝﹣（a﹣6）2+36﹣8 ＝﹣（a﹣6）2+28， ∵﹣（a﹣6）2≤0， ∴﹣（a﹣6）2+28≤28， ∴﹣a2+12a﹣8的最大值为28． 【分析】（1）①将a2﹣12a+20变形为a2﹣12a+36﹣36+20，然后利用完全平方公式将其变形为（a﹣6）2﹣42，再利用平方差公式分解因式即可； ②将a2﹣6ab+5b2变形为a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2，然后利用完全平方公式将其变形为（a﹣3b）2﹣（2b）2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①将a2﹣12a+20变形为a2﹣12a+36﹣36+20，然后利用完全平方公式将其变形为（a﹣6）2﹣16，再利用不等式的性质即可得出结论； ②利用不等式的性质即可解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8；将﹣a2+12a﹣8变形为﹣（a2﹣12a+36﹣36+8），然后利用完全平方公式将其变形为﹣（a﹣6）2+28，再利用不等式的性质即可求出其最大值． 【解答】解：（1）①a2﹣12a+20 ＝a2﹣12a+36﹣36+20 ＝（a﹣6）2﹣42 ＝（a﹣10）（a﹣2）； ②a2﹣6ab+5b2 ＝a2﹣6ab+9b2﹣9b2+5b2 ＝（a﹣3b）2﹣（2b）2 ＝（a﹣5b）（a﹣b）； （2）①a2﹣12a+20 ＝a2﹣12a+36﹣36+20 ＝（a﹣6）2﹣16， ∵（a﹣6）2≥0， ∴（a﹣6）2﹣16≥﹣16， ∴a2﹣12a+20的最小值为﹣16； ②∵﹣（a+1）2≤0， ∴﹣（a+1）2+8≤8， ∴﹣（a+1）2+8的最大值为8； ﹣a2+12a﹣8 ＝﹣（a2﹣12a+8） ＝﹣（a2﹣12a+36﹣36+8） ＝﹣（a﹣6）2+36﹣8 ＝﹣（a﹣6）2+28， ∵﹣（a﹣6）2≤0， ∴﹣（a﹣6）2+28≤28， ∴﹣a2+12a﹣8的最大值为28． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键． 15．数形结合思想的应用： （1）探究：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图1阴影部分面积与图2的面积，能验证的乘法公式是 　B　 （请选择正确的一个）． A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用：解答下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，则x﹣2y的值为 　3　 ； ②计算：2025×2023﹣20242＝ 　﹣1　 ； （3）拓展：计算1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【答案】（1）B； （2）①3；②﹣1； （3）5050． 【分析】（1）读懂题意，根据题意解答； （2）利用平方差公式计算； （3）利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）根据题意可得，a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）， 能验证的乘法公式选择B； 故选：B； （2）①∵x2﹣4y2＝12， ∴（x﹣2y）（x+2y）＝12， ∵x+2y＝4， ∴4（x﹣2y）＝12， ∴x﹣2y＝3， 故答案为：3； ②2025×2023﹣20242 ＝（2024+1）（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣12﹣20242 ＝﹣1； 故答案为：﹣1； （3）1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12 ＝（100﹣99）（100+99）+（98﹣97）（98+97）+...+（4﹣3）（4+3）+（2﹣1）（2+1） ＝199+195+191+...+7+3 ＝5050， 【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的应用． 16．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式：　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2025； （3）计算：． 【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）1； （3）2026． 【分析】（1）求出图1、2阴影部分面积即可求解； （2）利用（1）中公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）即可求解； （3）利用（1）中公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）即可求解． 【解答】解：（1）图1阴影部分面积为a2﹣b2，图2阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）， 则述操作可以得到一个公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）得：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1） ＝20242﹣20242+1 ＝1； （3） ＝2026． 【点评】本题考查了平方差公式几何背景的应用，熟练掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键． 17．淇淇准备完成题目：化简x（■x+6）﹣（3x+1）2，发现系数■印刷不清楚． （1）淇淇猜测系数■＝2，请你根据猜测计算最后的结果； （2）老师发现后，说淇淇猜得不对，标准答案是个常数，据此求■表示的数． 【答案】（1）﹣7x2﹣1；（2）9． 【分析】（1）先运算完全平方公式，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． （2）先运算完全平方公式，单项式乘多项式，再合并同类项，因为标准答案是个常数，进行列式计算，得出■＝9，即可作答． 【解答】解：（1）若系数■＝2， 原式＝x（2x+6）﹣（3x+1）2 ＝2x2+6x﹣9x2﹣6x﹣1 ＝﹣7x2﹣1； （2）原式＝■x2+6x﹣9x2﹣6x﹣1 ＝（■﹣9）x2﹣1 ∵标准答案是个常数， ∴■﹣9＝0， 即：■＝9． 【点评】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．计算：a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：原式＝a2+2a﹣a2+1＝2a+1． 【点评】此题考查了平方差公式，以及单项式乘以多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 19．定义如下：存在数a，b，使得等式成立，则称数a，b为一对“互助数”，记为（a，b）．比如：（0，0）是一对“互助数”． （1）若（1，b）是一对“互助数”，则b的值为　﹣4　 ； （2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式的值； （3）若（m，n）是一对“互助数”，求代数式m﹣4n﹣（9m﹣2n﹣2）的值． 【答案】（1）﹣4； （2）﹣135； （3）2． 【分析】（1）根据“互助数”的定义得出关于b的方程，然后解方程即可； （2）根据“互助数”的定义得出关于x的方程，然后解方程求出x 的值，最后代入代数式计算即可； （3）根据“互助数”的定义，得到n＝﹣4m，最后代入化简后的代数式计算即可． 【解答】解：（1）由“互助数”定义可知：， ∴b＝﹣4； 故答案为：﹣4； （2）由“互助数”定义可知：， ∴x＝8， 当x＝8时，； （3）由“互助数”定义可知：， ∴n＝﹣4m， ∴m﹣4n﹣（9m﹣2n﹣2） ＝m﹣4n﹣9m+2n+2 ＝﹣8m﹣2n+2 ＝﹣2（4m+n）+2 ＝﹣2（4m﹣4m）+2 ＝2． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、“互助数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为（3a+2b）m，宽为（2a+b）m；另一块长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a﹣b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 【答案】（1）计划种植草坪的面积为（6a2+9ab）m2；（2）种植草坪应投入的资金是243000元． 【分析】（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价＝单价×数量计算即可求解． 【解答】解：（1）两块空地总面积：（3a+2b）×（2a+b）+（a+b）×（a﹣b）， ＝6a2+7ab+2b2+a2﹣b2 ＝7a2+7ab+b2， 栽花面积：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 草坪面积：7a2+7ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝6a2+9ab． （2）a＝30，b＝10，草坪价格为30元/m2， 应投入的资金＝（6a2+9ab）×30＝（6×302+9×30×10）×30＝243000元． 【点评】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 （一）幂的运算（基础核心） 同底数幂的乘法：（为正整数，底数） 逆用：（用于凑指数求值） 幂的乘方：（为正整数，底数） 逆用：（用于统一指数比较大小） 积的乘方：（为正整数，底数） 逆用：（用于简化计算） 同底数幂的除法：（，为正整数且） 零指数幂：（，注意底数不能为0） （二）整式的乘法 1. 单项式× 单项式：系数相乘、同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式。 2. 单项式× 多项式：（分配律，不重不漏）。 3. 多项式× 多项式：（逐项相乘后合并同类项）。 （三）乘法公式（重点应用） 平方差公式： 特征：两数和× 两数差，结果为“相同项平方 - 相反项平方”。 完全平方公式： 注意：中间项为“”，符号与左边括号内符号一致，避免漏写中间项。 （四）整式的除法 1. 单项式÷ 单项式：系数相除、同底数幂相除，单独字母连同指数作为商的因式。 2. 多项式÷ 单项式：（逐项相除后合并同类项）。 （五）因式分解（核心技能，与整式乘法互逆） 1. 定义：将多项式化为几个整式的积的形式（区别于整式乘法）。 2. 方法： 提公因式法：先提各项最大公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂）。 公式法：平方差公式（）、完全平方公式（）。 分组分解法：分组后提公因式或用公式（如）。 添拆项法：特殊多项式添/拆项后凑完全平方或平方差（如）。 二、重难点突破 1. 重点： 幂的运算逆用（如用求值）； 乘法公式的灵活应用（整体代换、符号调整）； 因式分解的彻底性（提公因式后需检查是否能继续用公式）。 2. 难点： 乘法公式与几何图形的结合（用面积验证公式、求图形边长/面积）； 复杂多项式的因式分解（分组、添拆项）； 整式运算与实际问题的结合（如面积、销售额计算）。 三、高频易错点警示 1. 幂的运算： 混淆法则（如误算为，误算为）； 符号错误（如误算为，误算为）。 2. 整式乘法： 单项式× 多项式漏乘项（如误算为）； 多项式× 多项式符号处理错误（如误算为）。 3. 乘法公式： 完全平方公式漏写中间项（如误算为）； 平方差公式应用条件判断错误（如误用平方差公式）。 4. 因式分解： 提公因式不彻底（如误分解为，未提尽）； 分解不彻底（如误分解为，未继续分解）。 第2部分常考题型分类解析 【题型1】同底数幂的运算 1. 知识点 同底数幂乘法法则：（，为正整数）； 同底数幂除法法则：（，）； 零指数幂：（）。 2. 考点 直接运用法则计算（如、）； 含零指数幂的混合运算（如）。 3. 易错点 底数不同时强行用法则（如误算为，需用积的乘方）； 指数计算错误（如误算为）。 4. 解题技巧 先判断底数是否相同，不同时看能否转化（如，）； 零指数幂需先确认底数≠ 0，再直接得1。 【例题1】．（2024-2025•滨城区期末）计算x2•x3的结果是（　　） A．x2 B．x3 C．x5 D．x6 【变式题1-1】．（2024-2025•新野县期末）已知2x＝3，则2x+4的值是（　　） A．8 B．24 C．40 D．48 【变式题1-2】．（2024-2025•绵阳期末）下列运算中，正确的是（　　） A．4a2÷4a＝1 B．（a2）3＝a5 C．a2•a4＝a6 D．（ab）3＝ab3 【变式题1-3】．（2024-2025•侯马市期末）若ax＝2，ay＝3，则ax﹣2y的值为（　　） A．﹣7 B．﹣4 C． D． 【题型2】幂的乘方与积的乘方运算 1. 知识点 幂的乘方：； 积的乘方：。 2. 考点 直接运算（如、）； 逆用公式简化计算（如，）。 3. 易错点 幂的乘方漏乘指数（如误算为）； 积的乘方漏乘因式（如误算为，漏算系数3的平方）。 4. 解题技巧 幂的乘方：底数不变，指数相乘（重点在“乘”）； 积的乘方：每一个因式分别乘方，再将结果相乘（系数、字母都要乘方）。 【例题2】．（2024-2025•兰州校级期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【变式题2-1】．（2024-2025•合阳县期末）计算（﹣2a3b）2的结果是（　　） A．4a6b2 B．﹣4a5b3 C．﹣2a6b2 D．2a5b3 【变式题2-2】．（2024-2025•岳池县期末）已知am的值为3，则a2m的值为（　　） A．3 B．5 C．6 D．9 【变式题2-3】．（2024-2025•射洪市期末）计算的结果为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【题型3】单项式与单项式的乘除运算 1. 知识点 乘法：系数相乘、同底数幂相乘、单独字母连指数保留； 除法：系数相除、同底数幂相除、单独字母连指数保留。 2. 考点 直接运算（如、）； 含符号的运算（如）。 3. 易错点 系数符号错误（如负号相乘漏判正负，误算为-6）； 单独字母漏保留（如误算为，漏写）。 4. 解题技巧 分三步：先算系数（符号+绝对值运算），再算同底数幂（乘加除减），最后保留单独字母； 结果化为最简（系数为假分数时化为带分数，或保持假分数）。 【例题3】．（2024-2025•永寿县校级一模）若2x•（　　）＝﹣6x3y，则括号内应填的代数式是（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣3x2y D．﹣3y 【变式题3-1】．（2024-2025•海淀区校级开学）若4a2bn•mb4a3＝﹣8a5b7，则mn＝　 　 ． 【变式题3-2】．（2024-2025•西安校级月考）计算：28x4y2÷7x4y＝　 　 ． 【变式题3-3】．（2024-2025•沂南县期末）计算：﹣x3y5÷（xy2）2＝　 　 ． 【题型4】单项式与多项式的乘法运算 1. 知识点 分配律：（单项式乘多项式的每一项）。 2. 考点 直接展开（如）； 含符号的展开（如）。 3. 易错点 漏乘多项式的某一项（如误算为，漏乘）； 符号错误（如误算为，中间项符号错）。 4. 解题技巧 用单项式依次乘多项式的每一项，不重不漏； 每一项相乘时先判断符号（“负负得正，正负得负”），再计算系数和幂。 【例题4】．（2024-2025•镇平县期末）观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣9x+14，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣2，﹣7 B．﹣2，7 C．2，﹣7 D．2，7 【变式题4-1】．（2024-2025•金寨县期末）若（x﹣5）（2x﹣n）＝2x2+mx﹣15，则m、n的值分别是（　　） A．m＝﹣7，n＝3 B．m＝7，n＝﹣3 C．m＝﹣7，n＝﹣3 D．m＝7，n＝3 【变式题4-2】．（2024-2025•甘州区校级期末）一个长方形的面积为（6ab2﹣4a2b），它的长为2ab，则它的宽为（　　） A．3b﹣2a2 B．3b2+2a C．3b2﹣2a D．3b﹣2a 【变式题4-3】．（2024-2025•龙文区校级期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（　　） A．（x2﹣2x+6） B．（x2﹣3x2+6） C．（x2﹣3x+6） D．（x2﹣3x﹣6） 【题型5】平方差公式的直接应用 1. 知识点 平方差公式：（特征：两数和× 两数差）。 2. 考点 直接用公式计算（如）； 调整符号后用公式（如）。 3. 易错点 误用于非“和× 差”形式（如误用平方差公式，应为完全平方）； 结果符号错误（如误算为，应为）。 4. 解题技巧 先判断式子是否符合“相同项”和“相反项”（如中，是相同项，是相反项）； 结果写为“相同项的平方 - 相反项的平方”，注意符号。 【例题5】．（2024-2025•锦江区校级期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（a﹣2b） B．（2a+b）（2a﹣b） C．（b﹣2a）（2a﹣b） D．（a﹣2b）（2b﹣a） 【变式题5-1】．（2024-2025•唐山校级二模）因式分解“16m2﹣Δ”得（4m+5n）（4m﹣5n），则“Δ”是（　　） A．16 B．﹣16n2 C．25n2 D．﹣25n2 【变式题5-2】．（2024-2025•渭城区校级月考）用乘法公式进行简便运算： （1）1012+992； （2）30002﹣2998×3002． 【变式题5-3】．（2024-2025•竞秀区期末）观察： 观察下列各式：（7+2）2﹣22＝11×7；（7+4）2﹣42＝15×7；（7+6）2﹣62＝19×7…… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）（7+10）2﹣102的结果是7的　 　 倍； （2）设偶数为2n，试说明比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【题型6】完全平方公式的直接应用 1. 知识点 完全平方和：； 完全平方差：。 2. 考点 直接用公式计算（如、）； 含系数的完全平方（如）。 3. 易错点 漏写中间项（如误算为，漏）； 中间项符号错误（如误算为，中间项应为）。 4. 解题技巧 记忆公式结构：“首平方，尾平方，首尾积的2倍放中央，符号随括号内”； 含系数时，“首”“尾”包括系数（如，）。 【例题6】．（2024-2025•宣城期末）若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　 　 ． 【变式题6-1】．（2024-2025•乌兰察布期末）已知x+y＝3，且（x+3）（y+3）＝20． （1）求xy的值； （2）求x2+5xy+y2的值． 【变式题6-2】．（2024-2025•舒兰市校级期末）图形是一种重要的数学语言，它直接形象，能有效的表达一些代数中得到的数量关系．而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图①所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图②所示的正方形． （1）利用不同的代数式表示图②的面积S，写出你从中获得的等式为　 　 ； （2）填空： ①已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2＝　 　 ； ②已知x满足（11﹣x）（8﹣x）＝2，则（11﹣x）2+（x﹣8）2＝　 　 ； （3）学校计划在如图③的两块正方形草地间种花，两块草地分别是以AC、BC为边的正方形，且两正方形的面积和S1+S2＝25，点C是线段AG上的点，若AG＝7，求用来种花的阴影部分（即直角三角形ABC）的面积． 【变式题6-3】．（2024-2025•温州月考）如图①，有足够多的边长为a的小正方形纸片（A类）、长为b宽为a的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类），且2a＞b． （1）我们发现利用图①中的三种纸片各若干张拼出的长方形可以解释某些等式，如图②可以解释为a2+3ab+2b2＝ 　 　 ； （2）若现在有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（所拼图中不能有缝隙和重叠），则拼成的正方形边长最长是 　 　 ． （3）取2张A类纸片放入C类纸片内，拼成的图案如图③所示，请直接写出图中所标注线段x，y的长：x＝ 　 　 ，y＝ 　 　 ；（均用关于a，b的代数式表示） （4）若用3张A类纸片放入C类纸片内，拼成的图案如图④所示．已知图④中阴影部分的面积比图③中阴影部分的面积大2ab﹣6，求A类纸片的面积． 【题型7】不含某一项的整式乘法问题（提升） 1. 知识点 多项式× 多项式展开后合并同类项； “不含某一项”即该项目的系数为0。 2. 考点 已知不含的一次项，求关系（如不含一次项，求）； 含多个字母的整式乘法中“不含某一项”问题。 3. 易错点 展开后同类项合并错误，导致系数判断失误； 忽略“不含某一项”的本质是“系数为0”，直接求字母值。 4. 解题技巧 第一步：按多项式× 多项式法则完整展开； 第二步：合并同类项，找到目标项（如一次项）； 第三步：令目标项的系数=0，列方程求解字母值。 【例题7】．（2024-2025•雨花区期末）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　） A．﹣5 B．0 C．1 D．5 【变式题7-1】．（2024-2025•齐河县校级月考）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于 　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•安岳县期末）已知2m+2的算术平方根是2，2m+n﹣8的立方根是﹣2． （1）求5m﹣10n的平方根； （2）若代数式（nx+a）（mx2+x+b）中不含x2项和x项，且ay＝16b，求y的值． 【变式题7-3】．（2024-2025•昆都仑区校级月考）（1）已知2x+3y﹣3＝0，求4x•8y的值； （2）若多项式x+1与ax2+bx+2的积不含x2项和x项，求a和b的值． 【题型8】乘法公式的整体代入求值（提升） 1. 知识点 完全平方公式变形：； 平方差公式变形：。 2. 考点 已知和，求（如，，求）； 已知和，求； 已知和，求。 3. 易错点 公式变形记错（如误算为）； 整体代入时符号错误（如，误代入为）。 4. 解题技巧 先根据已知条件，确定需要哪个公式变形（如已知和与积，用）； 将已知的“整体”（如、）直接代入变形公式，避免单独求。 【例题8】．（2024-2025•衡东县期末）已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于 　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•黔江区期末）若x﹣y＝3，xy＝5，则x2+y2＝　 　 ． 【变式题8-2】．（2024-2025•江宁区校级月考）若x+y＝﹣1，x2﹣y2＝3，则x﹣y的值为　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•沙坪坝区校级开学）已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　 　 ． 【题型9】多项式除以单项式及化简求值（提升） 1. 知识点 多项式÷ 单项式：（逐项相除）； 化简求值：先化简整式（乘除后合并同类项），再代入数值计算。 2. 考点 直接除法（如）； 先乘后除再求值（如先算，再除以，代入）。 3. 易错点 多项式某一项除以单项式时漏项（如误算为，漏）； 代入数值前未化简，导致计算复杂出错。 4. 解题技巧 多项式的每一项都要除以单项式，包括常数项（如）； 化简时先算乘除，再合并同类项，最后代入数值（代入前检查分母是否为0）。 【例题9】．（2019秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2． 【变式题9-1】．（2024-2025•安岳县期末）先化简，再求值：，其中x＝3，． 【变式题9-2】．（2024-2025•礼泉县期末）先化简，再求值：，其中． 【变式题9-3】．（2024-2025•富平县期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当a＝2，b＝2 时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【题型10】提公因式法因式分解（提升） 1. 知识点 公因式：多项式各项的“系数最大公约数 + 相同字母最低次幂”； 提公因式法：。 2. 考点 直接提公因式（如）； 提负公因式（如）； 公因式为多项式（如）。 3. 易错点 公因式找不全（如误提，应为）； 提公因式后漏项（如误分解为，漏）。 4. 解题技巧 找公因式分两步：先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂； 提负公因式时，括号内各项要变号（如）。 【例题10】．（2024-2025•庐阳区校级期末）下列因式分解正确的是（　　） A．6ax﹣3ax2＝3（2ax﹣ax2） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y） C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣2y）2 D．ay2﹣a＝a（y+1）（y﹣1） 【变式题10-1】．（2024-2025•环翠区期末）将下列各式分解因式： （1）（5x+3y）2﹣（3x+5y）2； （2）； （3）（a2﹣6）2﹣6（a2﹣6）+9； （4）a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2． 【变式题10-2】．（2024-2025•齐河县校级月考）因式分解： （1）ma2﹣3ma﹣4m； （2）（x2+4）2﹣16x2； （3）﹣4x3+16x2﹣16x； （4）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【变式题10-3】．（2024-2025•汾阳市期末）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1因式分解． 解：把“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝y． 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为　 　 ． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式（x2+6x+2）（x2+6x+16）+49因式分解； ②已知m+n＝5，mn＝1，求（m2+1）（n2+1）的值． 【题型11】公式法（平方差/完全平方）因式分解（提升） 1. 知识点 平方差公式逆用：（两项，符号相反，均为平方形式）； 完全平方公式逆用：（三项，首末平方，中间为2倍积）。 2. 考点 平方差分解（如）； 完全平方分解（如）； 先提公因式再用公式（如）。 3. 易错点 非平方形式误用公式（如误用完全平方公式，中间项符号不符）； 分解不彻底（如误分解为，未继续分解）。 4. 解题技巧 先看是否有公因式，先提公因式再用公式； 平方差：判断是否为“”，再写； 完全平方：判断“首平方 + 尾平方 + 2× 首× 尾”或“首平方 + 尾平方 - 2× 首× 尾”，再写。 【例题11】．（2024-2025•汝州市期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣22 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 再如，求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：原式＝2（x2+2x﹣3） ＝2[（x2+2x+1）﹣4]＝2[（x+1）2﹣4] ＝2（x+1）2﹣8 可知，当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把x2﹣4x﹣5因式分解． （2）多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【变式题11-1】．（2024-2025•泸西县期末）阅读材料：分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程如下： x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）． 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式x2﹣6x+9﹣y2； （2）已知△ABC的三边的长分别为a，b，c，且满足a2+ac﹣ab﹣bc＝0，试判断△ABC的形状． 【变式题11-2】．（2024-2025•中江县期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣2x＝y． 原式＝（y﹣1）（y+3）+4 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 任务： （1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　 ． （2）请你用“换元法”对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解 （3）由平方的非负性可知（x2+6x）（x2+6x+18）+85有最小值，请求出最小值． 【变式题11-3】．（2024-2025•射洪市期末）阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2+4x＝y，则原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） 故原式＝（x2+4x+4）2（第四步）． ＝（x+2）4（第五步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）尝试应用： 请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解； （3）灵活运用： 请你将多项式x（x+3）（x﹣1）（x﹣4）+36进行因式分解． 【题型12】分组分解法因式分解（培优） 1. 知识点 分组分解法：将多项式分组，使每组能提公因式或用公式，再提整体公因式。 常见分组：二二分组（如）、一三分组（如）。 2. 考点 二二分组分解（如）； 一三分组分解（如）。 3. 易错点 分组方式错误，导致组内无法提公因式或用公式（如误分为）； 分组后漏提整体公因式（如误写为，未合并为）。 4. 解题技巧 分组原则：“分组后能提公因式或用公式”，优先将能凑公式的项分一组； 分组后检查每组结果是否有整体公因式，若有则继续提，直至不能分解。 【例题12】．（2024-2025•陕州区期末）阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝　 　 ； （2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式题12-1】．（2024-2025•葫芦岛期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式2xy+x2﹣1+y2时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 2xy+x2﹣1+y2＝（x2+2xy+y2）﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）． 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： （1）分解因式：a2+b2﹣n2+2ab； （2）已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+b2+c2+29﹣4a﹣6b﹣8c＝0，求△ABC的周长． 【变式题12-2】．（2024-2025•陕西期末）将x2﹣xy+xz﹣yz因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（x2﹣xy）+（xz﹣yz） ＝x（x﹣y）+z（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+z） 解法二：原式＝（x2+xz）﹣（xy+yz） ＝x（x+z）﹣y（x+z） ＝（x+z）（x﹣y） 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： （1）请用分组分解法将a3﹣3a2+6a﹣18因式分解； （2）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式a2+4ab+4b2+2a+4b+1因式分解，再求值． 【变式题12-3】．（2024-2025•城关区校级期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+2”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： am+bm+an+bn ＝（am+bm）+（an+bn） ＝m（a+b）+n（a+b） ＝（a+b）（m+n） x2+2x+1﹣4 ＝（x2﹣2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】：（1）因式分解：81﹣4x2+12xy﹣9y2． 【拓展延伸】：（2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝20a+24b﹣244，求等腰△ABC的面积． 【题型13】因式分解的综合应用（含添拆项）（培优） 1. 知识点 添拆项法：通过添/拆项，将多项式凑成完全平方或平方差（如）； 因式分解彻底性：分解到每一个因式不能再分解为止。 2. 考点 添项分解（如）； 拆项分解（如）； 复杂多项式综合分解（如，拆3为4-1后分组）。 3. 易错点 添拆项后符号错误（如添后漏减）； 添拆项后无法继续分解，未调整分组方式。 4. 解题技巧 添项：缺中间项补中间项（如平方和补2倍积），缺常数项补常数项； 拆项：将多项式某一项拆为两项，使分组后能提公因式（如将拆为）； 分解后检查：每一个因式是否为“整式”且“不能再分解”。 【例题13】．（2024-2025•汝州市校级月考）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．结合以上材料解决下面的问题： （1）分解因式x2+4x﹣5； （2）求代数式x2+4x﹣5的最小值； （3）当a、b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值？最小值是多少？ 【变式题13-1】．（2024-2025•河津市期末）阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如a2±2ab+b2的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用．例如，我们可以用配方法将多项式x+2x﹣3因式分解：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（a+3）（x﹣1）． 任务一： （1）运用配方法将多项式x2﹣6x﹣7因式分解； （2）用配方法说明多项式x2+6x+12的值一定是一个正数． 任务二：“创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式（x+y）2+4（x+y）﹣5因式分解时，将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原多项式可化为A2+4A﹣5，然后用配方法将多项式A2+4A﹣5因式分解，再把A ＝x+y代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式（x+y）2+4（x+y）﹣5因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为　 　 ．（填序号即可） ①分类讨论 ②数形结合 ③整体思想 【变式题13-2】．（2024-2025•昌黎县期末）对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2＝x2+2ax+a2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x2+4x+3分解因式； （2）多项式x2+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时x的值是多少？ 【变式题13-3】．（2024-2025•张店区校级月考）阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，拆项法，十字相乘法等等． （1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： ①ax+by+bx+ay②2xy+y2﹣1+x2 ＝（ax+bx）+（ay+by）＝x2+2xy+y2﹣1 ＝x（a+b）+y（a+b）＝（x+y）2﹣1 ＝（a+b）（x+y）＝（x+y+1）（x+y﹣1） （2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3 ＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣22 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b； （2）分解因式：a2+4ab﹣5b2； （3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，请求出它取最小值时x的值． 【题型14】整式乘除与几何图形结合（培优） 1. 知识点 用整式表示图形边长、面积（如正方形面积，长方形面积）； 用面积验证乘法公式（如大正方形面积）； 整式运算求图形面积差、周长（如剪去小正方形后的剩余面积）。 2. 考点 用面积验证公式（如用图中阴影面积验证平方差公式）； 已知图形边长的整式表达式，求面积或周长（如正方形面积，求边长和周长）； 拼接图形的面积计算（如4个小长方形拼成大正方形，求阴影面积）。 3. 易错点 无法将图形边长与整式对应（如混淆长方形的长和宽对应的整式）； 面积计算时漏算或多算部分区域（如拼接后的重叠面积）。 4. 解题技巧 第一步：标注图形各边的整式表达式（如正方形边长为，小正方形边长为）； 第二步：用“整体面积 - 部分面积”或“各部分面积和”表示目标面积； 第三步：结合整式运算（如因式分解、乘法公式）简化计算，验证公式或求未知量。 【例题14】．（2024-2025•长沙期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　 ； （2）如图3，现有a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽； （3）如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝22，求a2+b2+c2的值． 【变式题14-1】．（2024-2025•赤峰模拟）中国著名数学家华罗庚曾说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化．我们学习的多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．如图1，现在有三种类型的纸片，1号纸片是边长为a的正方形纸片，2号纸片是边长为b的正方形纸片，3号纸片是长为a、宽为b的长方形纸片． （1）由边长分别为a，b的两个小正方形和两个长为a、宽为b的长方形拼成如图2所示的大正方形，可知大正方形的边长为（a+b），即可求得大正方形的面积．由此可得到一个乘法公式：　 　 ； （2）如图3，根据所拼图形的面积，可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是　 　 ； （3）用一张1号纸片，一张2号纸片，一张3号纸片可以拼接成如图4所示的图形．若阴影部分的面积为32，3号纸片的面积为24，求a，b的值． 【变式题14-2】．（2024-2025•南海区期末）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为　 　 ． （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值． （3）观察图3， ①从图3中得到（a+2b+c）2＝　 　 ． ②根据得到的结论，解决问题： 已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值． 【变式题14-3】．（2024-2025•市南区期末）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式．要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”．如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为　 　 ；如图2，若a＝p，b＝q时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为　 　 ； （2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”，如图3，棱长为a+b的正方体被分割成8块，则有　 　 ＝（a+b）3； （3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足a+b＝5，a2+b2＝15，求的值． 【题型15】整式相关的新定义问题（培优） 1. 知识点 新定义概念：如“和平数”（能表示为两个连续偶数的平方差的正整数）、“智慧数”（能表示为两个正整数的平方差的正整数）； 整式运算与新定义结合：用整式运算验证新定义、求符合新定义的数。 2. 考点 验证某数是否为新定义数（如判断36是否为“神秘数”）； 求符合新定义的数（如求介于1到350之间的最大“和平数”）； 新定义运算（如定义，求）。 3. 易错点 误解新定义的条件（如“连续偶数”误为“连续整数”）； 用新定义计算时，整式运算错误（如平方差公式应用错误）。 4. 解题技巧 第一步：精读新定义，明确定义的条件（如“两个连续偶数”“平方差”）； 第二步：将新定义转化为整式运算（如“和平数”）； 第三步：根据整式运算结果，结合题目要求求解（如求的最大整数）。 【例题15】．（2024-2025•长子县期末）我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因为M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y是整式），所以M为“完全式”．若S＝x2+4y2﹣8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式题15-1】．（2024-2025•市中区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论：①a12＝96；②a1+a2+…+a8是8的倍数；③m，n为正整数，且m＞n，若（m+7）（m﹣7）+n2﹣2mn是“和谐数”，则m﹣n＝7；④m，n为正整数，且m＞n，若92﹣（m﹣n）2和m+n﹣1都是“和谐数”，则7m﹣5n﹣3也是“和谐数”．则上述结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题15-2】．（2024-2025•平谷区期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，所以16，24，32都是“双奇差数”． （1）在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是　 　 ；（填序号） （2）若m、n为正整数，且m＞n，若（m﹣5）（m+5）+n2﹣2mn是“双奇差数”，求m﹣n的值； （3）根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为2k+1和2k﹣1，其中k为正整数． ①求证：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证． 【变式题15-3】．（2024-2025•丰泽区校级期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一柴具有某种特性的数充满好奇，例如：定义：对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“好数”，当三位自然数m为“好数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个新的三位自然数n，规定，例如：当m＝384时，因为8＝4×2，所以384是“好数”，此时n＝834，则． （1）写出最大的好数和最小的好数，并分别求出它们的F（m）值； （2）已知一个三位自然数t是“好数”，t的各个数位上的数字和记为k，若F（t）+k能被8整除，求所有满足条件的三位自然数t． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．若2a＝5，2b＝3，则2a﹣b的值为（　　） A． B．2 C．4 D．15 2．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）•（3a）＝6a D．a6÷a2＝a3 3．下列运算正确的是（　　） A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．3mn﹣m＝3n C．（m﹣1）2＝m2﹣1 D．m2n•m＝m3n 4．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 5．已知两个多项式A＝x2+x+1，B＝x2﹣x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B＝10，则x＝2； ②|A﹣B﹣2|+|A﹣B+4|＝6，则x需要满足的条件是﹣2≤x≤1； ③若A×B＝0，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数（x≠3），且为整数，则x＝1，2，4，5． 上面说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 6．若x+y＝5，xy＝6，则（x﹣y）2﹣2x﹣2y＝ 　 　 ． 7．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于 　 　 ． 8．若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，则2m+n＝　 　 ． 9．　 　 ． 10．计算：　 　 ． 三．解答题（共10小题） 11．将下列各式分解因式： （1）（5x+3y）2﹣（3x+5y）2； （2）； （3）（a2﹣6）2﹣6（a2﹣6）+9； （4）a2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2． 12．（1）已知a+b＝5，ab＝﹣24，求a2+b2，a﹣b的值； （2）阅读材料： 若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值． 解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204， 且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10． 因为（a+b）2＝a2+2ab+b2， 所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508， 即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508． 根据材料，请你解答下题： 若x满足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4046，试求（2022﹣x）（2020﹣x）的值． 13．剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2中阴影部分面积，直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系； （2）根据（1）中的等量关系，已知a+b＝4，ab＝3，求（a﹣b）2的值． 14．发现与探索； （1）根据小明的解答将下列各式因式分解： 小明的解答；a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣9+5＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣5）（a﹣1）． ①a2﹣12a+20； ②a2﹣6ab+5b2． （2）根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4，则（a﹣3）2+4有最小值为4． ①说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16． ②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值． 15．数形结合思想的应用： （1）探究：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图1阴影部分面积与图2的面积，能验证的乘法公式是 　 　 （请选择正确的一个）． A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C、a2+ab＝a（a+b） （2）应用：解答下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，则x﹣2y的值为 　 　 ； ②计算：2025×2023﹣20242＝ 　 　 ； （3）拓展：计算1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 16．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式：　 　 ； （2）利用你得到的公式，计算：20242﹣2023×2025； （3）计算：． 17．淇淇准备完成题目：化简x（■x+6）﹣（3x+1）2，发现系数■印刷不清楚． （1）淇淇猜测系数■＝2，请你根据猜测计算最后的结果； （2）老师发现后，说淇淇猜得不对，标准答案是个常数，据此求■表示的数． 18．计算：a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）． 19．定义如下：存在数a，b，使得等式成立，则称数a，b为一对“互助数”，记为（a，b）．比如：（0，0）是一对“互助数”． （1）若（1，b）是一对“互助数”，则b的值为　 　 ； （2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式的值； （3）若（m，n）是一对“互助数”，求代数式m﹣4n﹣（9m﹣2n﹣2）的值． 20．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为（3a+2b）m，宽为（2a+b）m；另一块长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a﹣b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $