专题01 数的开方（必备知识+13题型+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题01 数的开方（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根和平方根的意义 能准确判断算术平方根和平方根的联系和区别，并会求算术平方根和平方根 基础必考点，常出现在选择题和填空题 无理数的定义 会判断无理数的几种形式并且会进行无理数估算 中考常考题型，尽量不能出错 实数的认识 会对实数进行分类，以及对实数相关概念性质进行准确的识别和判断正误 高频易错点，容易忽视…… 实数的运算法则 能对实数的运算法则熟悉，并熟练按照实数混合运算法则进行实数的运算 中考必考计算题型，通常在一些题目的解题过程中作为关键计算，要算对算准 实数的实际应用 掌握实数概念，结合题目条件有效并灵活对题目进行分析以及运算求解 这类题型相对考查背景比较广泛，并且考查内容也比较灵活，需要学生具备阅读理解以及涉及知识的综合应用能力 知识点01 算术平方根的定义 ◎如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. ·示例：读作“的算术平方根”，叫做被开方数. ·易错点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 知识点02 平方根的定义 ◎ 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. ·示例：读作“的平方根”，叫做被开方数. ·易错点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.一个正数的平方根有两个，根号前有“”，要与算术平方根进行区分. 知识点03 平方根的性质 ◎ ·示例：；. ·易错点：一个负数的平方还是正数，所以有. 知识点04 算术平方根小数点位数移动规律 ◎被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. ·示例：，，，. ·易错点：注意小数点移动的数位以及方向. 知识点05 立方根的定义 ◎如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. ·示例：叫做的立方根.. ·易错点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，是根指数. 开立方和立方互为逆运算.同时注意，. 知识点06 立方根的性质 ◎；；. ◎正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ·示例：. ·易错点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点07 立方根小数点位数移动规律 ◎被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. ·示例：，，，. ·易错点：注意小数点移动的数位以及方向. 知识点08 无理数 ◎有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. ·示例：常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. ·易错点：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如，所以是有理数，而不是无理数． 知识点09 实数的定义与分类 ◎实数的定义：有理数和无理数统称实数． ◎实数的分类： ①按定义分：实数 ②按与0的大小关系分： 实数 ·示例：是负整数也是负有理数. ·易错点：实数的分类先判定是否大于0，决定其正负性，再看其属性是整数还是分数，是有理数还是无理数. 知识点10 实数的性质 ◎在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． ◎实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． ◎实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． ◎乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． ·示例：，则. ·易错点：注意实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离，其具有非负性． 知识点11 实数与数轴 ◎实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． ◎在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． ◎利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． ·示例：判断题：任意一个实数都可以用数轴上的点表示（√）. ·易错点：利用数轴进行实数大小比较时注意带有绝对值的实数，要先去绝对值再进行比较. 知识点12 估算无理数的大小 ◎估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． ·示例：，所以在和之间. ·易错点：. 知识点13 实数的运算 ◎实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． ◎在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． ·示例：有理数的运算律在实数范围内仍然适用．. ·易错点：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型一 平方根的概念以及求平方根 解｜题｜技｜巧 ★ ； ． ★一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【典例1】的平方根是（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．注意，求的平方根实际上就是求4的平方根，据此求得答案． 【详解】解：，4的平方根是， 那么的平方根是； 故选：D． 【变式1】的平方根是 ，的算术平方根是 ，16的算术平方根的平方根是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握求平方根和算术平方根的法则． 利用求一个数的平方根和求一个数的算术平方根的法则进行求解即可． 【详解】解：； ； ， ； 故答案为：，，． 【典例2】一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数的值． 【答案】，正数值为4 【分析】本题考查了平方根的性质，理解平方根的含义是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，再根据平方根的定义求出这个正数即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴这两个数分别为：，， ∵， ∴这个正数的值为． 【变式2】如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根，解一元一次方程，解题的关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的定义列出方程，然后求解，再利用平方根的定义求出这个数即可． 【详解】解：根据平方根的定义得，， 解得， ∴． 题型二 算术平方根的非负性应用 解｜题｜技｜巧 ★遇见形如，只需令即可求解． 【典例1】已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】若，求的值 【答案】0 【分析】本题主要考查偶数次方、绝对值和算术平方根的非负性，掌握非负数相加等于0，那么每个数都等于0是解题的关键． 根据非负数的性质可得，，的值，进而即可求解． 【详解】∵，且，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：的值为0． 【变式2】已知：与互为相反数，求的算术平方根 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，算术平方根，解题的关键是掌握二次根式的非负性． 利用二次根式的非负性得出，然后求其算术平方根即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得， ∴， ∴的算术平方根为1． 题型三 立方根概念以及求立方根 解｜题｜技｜巧 ★；；. ★正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【典例1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式1】的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 【变式2】已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 题型四 利用平方根和立方根解方程 解｜题｜技｜巧 ★；. 【典例1】用平方根或立方根解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先移项，然后再开平方即可； （2）先移项得出，再方程两边同除以8得出，再开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以8得：， 开立方得：， 解得：． 【变式1】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）（3）（4）变形后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： 或. 【点睛】本题考查平方根的定义解方程问题，掌握平方根定义进行开平方是解题的关键． 【变式2】求下列各式中x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了运用平方根、立方根解方程，掌握平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）先求得，然后再根据平方根求解即可； （2），然后再根据立方根求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或． （2）解：， ， ， ， ， ． 题型五 与平方根和立方根有关的规律 解｜题｜技｜巧 ★规律题型先算出前面几项的结果，进一步通过计算结果进行观察和归纳，注意代入后面几项验证可行性． 【典例1】若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C. 【变式1】请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律，即可求解． 【详解】解：由题意得 规律为：， ， ， 故答案为：，． 【变式2】观察下列等式∶； ； ； ； 根据以上规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由已知等式可得，进而利用规律逐个转化进行计算即可求解，找出等式的规律是解题的关键． 【详解】解：∵； ； ； ； ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 题型六 算术平方根与立方根的应用 解｜题｜技｜巧 ★；；. ★ ； . 【典例1】若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【答案】的平方根是，立方根是． 【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根的非负性求出的值，进而得到的值，再根据算术平方根的定义及立方根的定义求出的值，代入计算，最后利用平方根与立方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 【变式1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 【变式2】已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 题型七 无理数的定义与判断 解｜题｜技｜巧 ★常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. ★无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果. 【典例1】在下列实数中：，0，，，，π，，…（每两个4之间1的个数依次加1），无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根、立方根，先化简，再结合无限不循环小数即为无理数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ，，（每两个4之间1的个数依次加1），都是无理数， ∴无理数的个数是3个， 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（       ） A．无限不循环小数是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无限小数都是无理数 D．是无理数，但是分数，也就是有理数 【答案】A 【分析】本题考查无理数的概念，解题关键是准确理解无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数．对各个选项进行分析判断即可． 【详解】A．无限不循环小数是无理数，正确，故本选项符合题意； B．带根号的数都是无理数，错误，如是有理数，故本选项不符合题意； C．无限小数都是无理数，错误，如无限循环小数是有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，但是分数，也就是有理数，错误，也是无理数不是分数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 【答案】⑥⑨；①④；①④⑤⑥⑨；②③⑦⑧⑩ 【分析】本题重点考查​实数的分类与定义​，​准确理解并区分整数、负分数、有理数和正无理数的概念，特别是对需要化简的表达式（如带根号或绝对值的式子）进行正确运算是解题的关键​． 根据整数，负分数，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 有理数有：①④⑤⑥⑨； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 题型八 无理数的大小估算 解｜题｜技｜巧 ★估算无理数的大小，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定无理数在哪两个整数之间. 【典例1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出，即可估算的值． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D. 【变式1】已知数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上向右移动个单位长度到达点B，点B表示的数为m，若 （a为整数），则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据数轴的平移规律：右加左减，求出m的值，再估算出m的取值范围，进而可知a的值． 【详解】解：根据题意可知，点B表示的数． ， ， ∴， ∴， ∵ （a为整数）， ∴． 故答案为：2． 【变式2】m、n为两个连续的整数，且，则 【答案】17 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是先根据题意算出的取值范围． 先估算出的取值范围，得出、的值，进而可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：17． 【变式3】比较大小： （填空“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．先估算的近似值，代入表达式计算出结果，再与比较大小即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 题型九 无理数的整数与小数部分 解｜题｜技｜巧 ★按照无理数的估算原则即可得出整数部分，而小数部分则由原数减去整数部分即可得到. 【典例1】规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 原式， 故答案为： 【变式1】下列说法正确的个数为（    ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②若的整数部分是，则； ③有公共顶点且相等的角是对顶角； ④的平方根是； ⑤，（相邻两个之间依次多一个）都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，无理数的大小估算、对顶角的定义以及无理数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据垂线的性质，无理数的大小估算、对顶角的定义以及无理数、平方根的定义等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此正确； ，则，若的整数部分是，则，因此不正确； 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，因此不正确； 的平方根，即的平方根，是，因此不正确； ，（相邻两个之间依次多一个）因此正确． 综上所述，正确的有，共个， 故选：B． 【变式2】根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案；（2）利用再求出小数部分和整数部分即可解得． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是. （2）解： 的小数部分， ， ，得整数部分， 【点睛】本题考查了用“夹逼法”求算术平方根的整数部分和小数部分，并进行算术平方根的运算，掌握求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． 【变式3】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4，． (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）估算出，可确定的整数部分，进而可确定的小数部分 （2）估算出，则，据此可确定的小数部分和整数部分，进而可得x、y的值，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴的整数部分是4， ∴的小数部分是， 故答案为：4，． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分是10，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：． 题型十 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 ★在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根，根据数轴得到a、b的正负号是解题的关键． 由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【变式1】（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键． （1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）由数轴知，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴． 【变式2】找出下列各数中的无理数，并在数轴上用点将它们表示出来： 【答案】无理数有． 【分析】先根据无理数的定义判断出给定数中的无理数，然后再将这些无理数在数轴上表示出来． 【详解】判断无理数： ，2是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； ，是无限不循环小数，所以属于无理数； ，因为是无限不循环小数，所以属于无理数； ∴无理数有． 在数轴上表示无理数： ∵，，， ∴这些无理数在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查了无理数的定义以及无理数在数轴上的表示，掌握“无理数是无限不循环的小数，并且能根据无理数的近似值在数轴上找到对应的点”是解题的关键． 【变式3】在一根长条纸带上画有一根数轴，现对折纸带，回答问题： (1)若对应的点与2对应的点重合，则对应的点与数与______对应的点重合． (2)若对应的点与3对应的点重合，则7对应的点与哪个数对应的点重合？对应的点哪个数对应的点重合？ 【答案】(1) (2)11， 【分析】借助数轴和对称求解实数. 【详解】（1）解：因为对应的点与2对应的点重合，和2互为相反数， 所以这两点关于原点对称， 所以对应的点与数对应的点重合． 故答案为： （2）解：因为对应的点与3对应的点重合，所以这两点关于1对称， 因此1对应的点到7的距离和到所求的数对应的点距离相等. 所以7对应的点与对应的点重合. 同理可得：对应的点与对应的点重合. 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的相关知识，解决问题的关键是熟练掌握利用数轴以及对称求解实数． 题型十一 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 ★先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． ★灵活的运用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【典例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算 (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义，乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据立方根定义和算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，包括二次根式的化简，求一个数的立方根，绝对值的化简等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）利用二次根式的化简，求一个数的立方根，绝对值的化简等运算法则进行计算即可； （2）利用二次根式的化简，求一个数的立方根等运算法则进行计算即可； （3）利用一个数的乘方，二次根式的除法，求一个数的立方根等运算法则进行计算即可； （4）利用二次根式的化简，求一个数的立方根，有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型十二 实数的新定义问题 解｜题｜技｜巧 ★结合新定义的运算规则进行计算.注意一些题可能要求分类讨论． 【典例1】对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可． 【详解】解：①因为，，，故； 故①不符合题意； ②举反例，当时，，而，不相等， 故②符合题意； ③由题意知，，当时，，所以不可以是3； 当时，，所以可以是4； 当时，，所以可以是5； 当时，，所以可以是6； 当时，，所以不可以是7； 同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个， 故③不符合题意； ④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16； 然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255； ， 故④不符合题意． 故选：B． 【变式1】对于任意的正数、定义运算“※”为计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对新定义运算的理解与运用，以及二次根式的加减运算．熟练掌握新定义运算的规则和二次根式的加减法则是解题的关键． 本题给出了一种新定义的运算“※”，需要根据该运算规则，先分别计算出与的值，再将这两个值相加得到最终结果．解题思路是先依据新运算规则判断与的大小关系，然后选择对应的运算公式进行计算． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式2】一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 【答案】 1346、1364、1328 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，先求出，再分两种情况：当时，若为“事实数”，则，且；当时，若为“事实数”，则，且；分别计算即可得解，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：（，，，其中a、b、c均为整数）． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下4种情况： ①当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ②当时，则．此时，． ③当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ④当时，则．此时，． 当时，若为“事实数”，则，且． ∴，． 经分析，此时b、c的值可能存在以下三种情况： ⑤当时，则（不合题意，舍去）． ⑥当时，则．此时，（不符合题意，故舍去）． ⑦当时，则．此时，． 综上：的值有1346、1364、1328． 当，． 当，． 当，． ∴的最大值为， 故答案为：1346、1364、1328；． 【变式3】定义新运算“”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，解题的关键是理解新定义运算，掌握有理数混合运算的法则． 先判断两个数的大小，再根据新定义下的运算进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型十三 实数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 ★这种题相对比较灵活审题就及其重要了． 【典例1】在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【变式1】如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律．先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又； ∴． 故选：D． 【变式2】如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于和的方程是解题的关键．根据题中所给定义，建立关于和的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ，． 故选：A ． 2．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 3．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根有意义的条件，解决此题的关键是掌握算术平方根的基本性质：有意义，则．根据算术平方根有意义的条件得出，求出的值，从而得出的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4．比较大小，填“”或“”号， ， ， 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数的大小比较的应用，根据根式的性质把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：，，． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)10 (2)2 【分析】本题主要考查了实数运算，涉及乘方、立方根、算术平方根、绝对值，正确掌握相关性质和运算法则是解题关键． （1）先利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质及有理数的乘方法则化简，再进行加减即可． （2）先利用平方，算术平方根和立方根、绝对值的性质分别化简，再进行加减得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和． 【详解】由题意规律可得：． ∵ ∴， ∵， ∴ ． ． ． …… ∴． 故． 令 ②-①，得 ∴= 故答案为：． 【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 7．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根与立方根的应用和以及无理数的估算，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键， （1）分别根据平方根的意义和立方根的运算即可得到答案； （2）先通过估算得到的值，再代入求得的值，从而求得答案． 【详解】（1）解：由题意知和互为相反数， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：； （2）解：， ， 的整数部分， ， 的平方根为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 2．定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，立方根定义，准确计算．根据立方根定义和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选：D． 5．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 6．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根和平方根的意义 能准确判断算术平方根和平方根的联系和区别，并会求算术平方根和平方根 基础必考点，常出现在选择题和填空题 无理数的定义 会判断无理数的几种形式并且会进行无理数估算 中考常考题型，尽量不能出错 实数的认识 会对实数进行分类，以及对实数相关概念性质进行准确的识别和判断正误 高频易错点，容易忽视…… 实数的运算法则 能对实数的运算法则熟悉，并熟练按照实数混合运算法则进行实数的运算 中考必考计算题型，通常在一些题目的解题过程中作为关键计算，要算对算准 实数的实际应用 掌握实数概念，结合题目条件有效并灵活对题目进行分析以及运算求解 这类题型相对考查背景比较广泛，并且考查内容也比较灵活，需要学生具备阅读理解以及涉及知识的综合应用能力 知识点01 算术平方根的定义 ◎如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. ·示例：读作“的算术平方根”，叫做被开方数. ·易错点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 知识点02 平方根的定义 ◎ 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. ·示例：读作“的平方根”，叫做被开方数. ·易错点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.一个正数的平方根有两个，根号前有“”，要与算术平方根进行区分. 知识点03 平方根的性质 ◎ ·示例：；. ·易错点：一个负数的平方还是正数，所以有. 知识点04 算术平方根小数点位数移动规律 ◎被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. ·示例：，，，. ·易错点：注意小数点移动的数位以及方向. 知识点05 立方根的定义 ◎如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. ·示例：叫做的立方根.. ·易错点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，是根指数. 开立方和立方互为逆运算.同时注意，. 知识点06 立方根的性质 ◎；；. ◎正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ·示例：. ·易错点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点07 立方根小数点位数移动规律 ◎被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. ·示例：，，，. ·易错点：注意小数点移动的数位以及方向. 知识点08 无理数 ◎有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. ·示例：常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. ·易错点：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如，所以是有理数，而不是无理数． 知识点09 实数的定义与分类 ◎实数的定义：有理数和无理数统称实数． ◎实数的分类： ①按定义分：实数 ②按与0的大小关系分： 实数 ·示例：是负整数也是负有理数. ·易错点：实数的分类先判定是否大于0，决定其正负性，再看其属性是整数还是分数，是有理数还是无理数. 知识点10 实数的性质 ◎在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． ◎实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． ◎实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． ◎乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． ·示例：，则. ·易错点：注意实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离，其具有非负性． 知识点11 实数与数轴 ◎实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． ◎在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． ◎利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． ·示例：判断题：任意一个实数都可以用数轴上的点表示（√）. ·易错点：利用数轴进行实数大小比较时注意带有绝对值的实数，要先去绝对值再进行比较. 知识点12 估算无理数的大小 ◎估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． ·示例：，所以在和之间. ·易错点：. 知识点13 实数的运算 ◎实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． ◎在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． ·示例：有理数的运算律在实数范围内仍然适用．. ·易错点：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 题型一 平方根的概念以及求平方根 解｜题｜技｜巧 ★ ； ． ★一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【典例1】的平方根是（    ）． A．4 B． C．2 D． 【变式1】的平方根是 ，的算术平方根是 ，16的算术平方根的平方根是 【典例2】一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数的值． 【变式2】如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 题型二 算术平方根的非负性应用 解｜题｜技｜巧 ★遇见形如，只需令即可求解． 【典例1】已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1】若，求的值 【变式2】已知：与互为相反数，求的算术平方根 题型三 立方根概念以及求立方根 解｜题｜技｜巧 ★；；. ★正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【典例1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】的立方根是 ，的立方根是 ． 【变式2】已知的立方根是3，则 ． 题型四 利用平方根和立方根解方程 解｜题｜技｜巧 ★；. 【典例1】用平方根或立方根解方程： (1)； (2)． 【变式1】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】求下列各式中x的值 (1)； (2)． 题型五 与平方根和立方根有关的规律 解｜题｜技｜巧 ★规律题型先算出前面几项的结果，进一步通过计算结果进行观察和归纳，注意代入后面几项验证可行性． 【典例1】若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 【变式2】观察下列等式∶； ； ； ； 根据以上规律，计算 ． 【变式3】观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 题型六 算术平方根与立方根的应用 解｜题｜技｜巧 ★；；. ★ ； . 【典例1】若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【变式1】已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【变式2】已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 题型七 无理数的定义与判断 解｜题｜技｜巧 ★常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. ★无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果. 【典例1】在下列实数中：，0，，，，π，，…（每两个4之间1的个数依次加1），无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列说法正确的是（       ） A．无限不循环小数是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无限小数都是无理数 D．是无理数，但是分数，也就是有理数 【变式2】在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 题型八 无理数的大小估算 解｜题｜技｜巧 ★估算无理数的大小，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定无理数在哪两个整数之间. 【典例1】估计的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式1】已知数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上向右移动个单位长度到达点B，点B表示的数为m，若 （a为整数），则 ． 【变式2】m、n为两个连续的整数，且，则 【变式3】比较大小： （填空“”，“”，“”）． 题型九 无理数的整数与小数部分 解｜题｜技｜巧 ★按照无理数的估算原则即可得出整数部分，而小数部分则由原数减去整数部分即可得到. 【典例1】规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 【变式1】下列说法正确的个数为（    ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②若的整数部分是，则； ③有公共顶点且相等的角是对顶角； ④的平方根是； ⑤，（相邻两个之间依次多一个）都是无理数． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】根据材料解答： ，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________； (2)若的小数部分为的整数部分为n，求的值． 【变式3】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 题型十 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 ★在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简： 【变式1】（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2） 如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【变式2】找出下列各数中的无理数，并在数轴上用点将它们表示出来： 【变式3】在一根长条纸带上画有一根数轴，现对折纸带，回答问题： (1)若对应的点与2对应的点重合，则对应的点与数与______对应的点重合． (2)若对应的点与3对应的点重合，则7对应的点与哪个数对应的点重合？对应的点哪个数对应的点重合？ 题型十一 实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 ★先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． ★灵活的运用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【典例1】计算： (1) (2) 【变式1】计算 (1) (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十二 实数的新定义问题 解｜题｜技｜巧 ★结合新定义的运算规则进行计算.注意一些题可能要求分类讨论． 【典例1】对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】对于任意的正数、定义运算“※”为计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m前两位数字之和为4，后两位数字之和为10，称这样的四位数m为“事实数”；把四位数m的前两位上的数字和后两位上的数字整体轮换后得到新的四位数，称此时的是m的“伴随数”，并规定，例如：，∵，，∴1234不是“事实数”；，∵，，3128是“事实数”．则，．已知：，（，，，其中a、b、c均为整数），当为“事实数”时，求出所有的值： ，的最大值： ． 【变式3】定义新运算“”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为 ． 题型十三 实数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 ★这种题相对比较灵活审题就及其重要了． 【典例1】在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．无法确定 4．比较大小，填“”或“”号， ， ， 5．计算： (1)． (2)． 6．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 7．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，m是的整数部分， (1)求x和y的值； (2)求的平方根． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 3．计算： ． 4．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 5．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 6．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $