专题01 平方与重难点题型专训（4个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题01 平方根与算术平方根重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 求代数式的平方根 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 题型五 利用平方根解方程 题型六 求一个数的平方根 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 平方根的应用 题型十一 算术平方根的实际应用 拓展训练一 与平方根有关的化简问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 2．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）平方根等于它本身的数是 ． 知识点二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）“9的平方根”这句话用数学符号表示为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川巴中·课后作业）平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 ．倒数等于本身的数是 ． 知识点三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）的平方根是（    ） A．2 B． C． D．1 2．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）（1） ；    （2） ； （3） ；    （4） ． 知识点四、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·课后作业）若实数有算术平方根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·四川内江·模拟预测）1的平方根是 ， ， ． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（2025八年级上·河南新乡·模拟预测）下列各数有平方根的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）下列有关平方根的叙述，正确的个数是（    ） ①如果a存在平方根，那么a>0；②如果a有两个不同的平方根，那么a>0；③如果a没有平方根，那么a<0；④如果a>0，那么a的平方根也大于0 ． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知，则的平方根是 ． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 4．（2025八年级上·河南新乡·模拟预测）已知是的平方根，是的立方根，求的四次方根的值． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（2025八年级上·四川宜宾·模拟预测）计算：（   ） A． B．2 C． D． 1．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）的值是 ，它的算术平方根是 ． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是 ； ． 4．（23-24八年级上·四川资阳·期末）若，的平方根是，求的算术平方根． 【经典例题三 求一个数的平方根】 【例3】（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则的值为（  ） A． B． C． D． 1．（2025八年级上·四川眉山·模拟预测）符号代表一个代数式能使分式运算（或0）成立，则代表的代数式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·四川内江·模拟预测）若，则= . 3．（2025八年级上·河南驻马店·模拟预测）已知的立方根为3，且，则的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【经典例题四 已知一个数的平方根，求这个数】 【例4】（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0或1 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0或1 2．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，，，若，则 ， ． 4．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【经典例题五 利用平方根解方程】 【例5】（24-25八年级上·四川内江·期中）如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 1．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）按顺序排列的若干个数：，，，……，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）若 ，则x的值为 ． 3．（24-25八年级上·四川乐山·开学考试）如图是一个数值转换机，若输出的值为3，则输入正数a的值应是 ． 4．解下列方程： (1) (2) 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）9的平方根是（   ） A．9 B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）下列说法正确的个数为（    ） ①没有平方根； ②36的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④49的算术平方根是7． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）的平方根是 ． 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）（1）解方程组 （2）已知的立方根是，b是16的算术平方根，求的平方根． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例7（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）】，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知实数，满足，则的值是（    ） A．4 B．2 C．16 D．64 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若，则 ． 3．（2024八年级上·吉林长春·模拟预测）若实数 满足 ，则代数式 的值是 . 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）已知|，求的值． 【经典例题八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例8】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）的小数部分是 . 3．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 4．（2025八年级上·四川眉山·模拟预测）通过《实数》一章的学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： （1）的整数部分为__________，小数部分为__________． （2）已知的整数部分，的整数部分为，求的立方根． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3小 C．只有3个正整数n满足15.5 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 2．（24-25八年级上·四川资阳·期中）已知，，则是的 倍． 3．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 4．（2025八年级上·四川宜宾·模拟预测）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【经典例题十 平方根的应用】 【例10】（2024八年级上·四川攀枝花·模拟预测） 某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为．求篮球场的长和宽． 1．（2025八年级上·四川宜宾·模拟预测）一个正数x，的平方根分别是3a+2与4-a,则这个正数x的值为（  ） A．3 B．7 C．9 D．49 2．（23-24八年级上·四川眉山·期中）一个正数的两个平方根是5a＋1和a﹣7，则a＝ ． 3．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【经典例题十一 算术平方根的实际应用】 【例11】（23-24八年级上·四川乐山·期末）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来表示．若一个物体从125米高的塔顶自由下落，则落到地面需要几秒？ 4．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体． (1)求这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)若这个长方体的表面积是，则它的长是__________，宽是__________，高是__________． 【拓展训练一 与平方根有关的化简问题】 1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)化简：． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 3．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）以下是某同学作业中的一道解题过程： 化简 (1)请你认真检查该同学的解题过程，在标出的①②③④的几项中出现错误的是______，写出正确的解答过程． (2)若的值为4，请你求出此时A的值． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）已知一个正数的两个平方根是与，求的值； （2）若，求xy的平方根． 2．（2025八年级上·四川资阳·模拟预测）已知，，满足，求代数式的值． 3．（2025八年级上·福建漳州·模拟预测）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ． 3．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）观察：因为，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述式子的规律后解答下面问题： (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如，，按此规定______； (2)如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的平方根． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）填空： ＝0.01，＝ ，＝1，＝10，＝ ，… （2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ①已知 ≈3.16，则 ≈ ； ②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ． （3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26，≈12.6，则m＝ ． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 1．（2025八年级上·四川资阳·模拟预测）2025的算术平方根是（    ） A．35 B．45 C．55 D．5 2．（23-24八年级上·四川巴中·期中）估计面积等于11的正方形的边长a的值（结果精确到）是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川内江·期末）若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．1或 D． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 6．（2025八年级上·四川眉山·模拟预测）64的平方根是 ， ． 7．（2025八年级上·四川乐山·模拟预测）若，则的立方根为 ． 8．（2024八年级上·福建厦门·模拟预测）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 9．（24-25八年级上·山西长治·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 10．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ． 11．（24-25八年级上·四川乐山·期中）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知一个数m的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方． 13．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 14．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 15．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根与算术平方根重难点题型专训 （4个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 求代数式的平方根 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 题型五 利用平方根解方程 题型六 求一个数的平方根 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 平方根的应用 题型十一 算术平方根的实际应用 拓展训练一 与平方根有关的化简问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一、平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：16的平方根是：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）平方根等于它本身的数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：平方根等于它本身的数是0， 故答案为：0． 知识点二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）“9的平方根”这句话用数学符号表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根,根据平方根的意义和表示方法进行判断即可． 【详解】“9的平方根”即平方等于9的数，记作， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川巴中·课后作业）平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 ．倒数等于本身的数是 ． 【答案】 0 0和 【分析】根据平方根、立方根和倒数的定义即可解答． 【详解】解：平方根等于本身的数是0，立方根等于本身的数是0，，倒数等于本身的数是， 故答案为：0，0和，． 【点睛】本题主要考查平方根、立方根和倒数的定义等知识点，牢记一些特殊数的平方根、立方根和倒数是解答本题的关键． 知识点三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）的平方根是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的计算，掌握其概念和计算方法是解题的关键．先计算，再根据求一个正数的平方根的方法即可求解． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：C ． 2．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）（1） ；    （2） ； （3） ；    （4） ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根； （1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）根据实数的性质，绝对值的意义，即可求解； （3）根据平方根的定义即可求解； （4）根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：．     （2）； 故答案为：． （3）；     故答案为：． （4）． 故答案为：． 知识点四、算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·课后作业）若实数有算术平方根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，算术平方根的被开方数是非负的，即，求不等式解集即可． 【详解】解：若实数 有算术平方根，则被开方数 必须满足非负性， 即： 因此， 的取值范围是 ． 故选： D． 2．（2024八年级上·四川内江·模拟预测）1的平方根是 ， ， ． 【答案】 0.3 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，根据平方根，算术平方根和立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：1的平方根是， ， ， 故答案为：，0.3，． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（2025八年级上·河南新乡·模拟预测）下列各数有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，负数没有平方根，零的平方根是零即可解答． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∴， ∴没有平方根， 故项不符合题意； ∵， ∴没有平方根， 故项不符合题意； ∵， ∴没有平方根， 故项不符合题意； ∵， ∴的平方根为， 即有平方根， 故项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，负数没有平方根，零的平方根是零，掌握平方根的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）下列有关平方根的叙述，正确的个数是（    ） ①如果a存在平方根，那么a>0；②如果a有两个不同的平方根，那么a>0；③如果a没有平方根，那么a<0；④如果a>0，那么a的平方根也大于0 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平方根的定义得到非负数有平方根，正数的平方根互为相反数，0的平方根为0，然后分别进行判断即可． 【详解】若a≥0，a有平方根，所以①不正确，不符合题意； 正数有两个平方根，且互为相反数，所以②正确，符合题意； 0的平方根为0，所以③正确，符合题意； 正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以④不正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作（a＞0），0的平方根为0． 2．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据根式的非负性可求出，的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵，且根号下不能为负， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 4．（2025八年级上·河南新乡·模拟预测）已知是的平方根，是的立方根，求的四次方根的值． 【答案】 【分析】根据平方根与立方根的定义列出二元一次方程组，进而求得的值，代入代数式，进而求其四次方根即可求解． 【详解】解：∵是的平方根，是的立方根， ∴， 解得： ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平方根与立方根的定义，解二元一次方程组，求次方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（2025八年级上·四川宜宾·模拟预测）计算：（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的计算方法计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 1．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键，需注意平方根与算术平方根的区别．根据算术平方根的定义化简即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）的值是 ，它的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根，根据，进行作答即可． 【详解】解：依题意，，的算术平方根是， 故答案为：，2． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是 ； ． 【答案】 3 【分析】根据平方根以及立方根的计算法则即可解答； 【详解】的平方根是：； ； 故答案为：；3． 【点睛】该题主要考查了算术平方根、平方根及立方根，解答的关键是熟悉这些概念，注意正负号． 4．（23-24八年级上·四川资阳·期末）若，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根的定义．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，根据平方根的定义求得，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为2． 【经典例题三 求一个数的平方根】 【例3】（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=13﹣2×6=1， 则a﹣b=±±1． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及平方根，解答本题的关键是掌握完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2． 1．（2025八年级上·四川眉山·模拟预测）符号代表一个代数式能使分式运算（或0）成立，则代表的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质化简，再根据平方根的定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选D； 【点睛】本题考查分式方程的运算及平方根的定义，解题的关键是化简得到． 2．（2025八年级上·四川内江·模拟预测）若，则= . 【答案】； 【分析】根据平方根的性质解答即可 【详解】∵ ∴=4 ∴x= 故答案是： 【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的意义是关键． 3．（2025八年级上·河南驻马店·模拟预测）已知的立方根为3，且，则的平方根是 ． 【答案】±7 【详解】解：∵的立方根为3， ∴c=27， 又∵， ∴a-4=0，b-3=0， 解得：a=4，b=3， ∴a+6b+c=4+18+27=49， ∴的平方根是±7． 故答案为：±7． 4．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 【经典例题四 已知一个数的平方根，求这个数】 【例4】（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0或1 B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1 C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0 D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0或1 【答案】D 【分析】根据相反数、倒数、平方和算术平方根进行判断即可． 【详解】解：A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，原命题是假命题，不符合题意； B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1或-1，原命题是假命题，不符合题意； C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0和1，原命题是假命题，不符合题意； D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0和1，是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，解题的关键是求出a的值．一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根的定义和相反数，得出，求出，即得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴． 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，，，若，则 ， ． 【答案】 214000 -0.1289 【分析】根据，，结果是原来的100倍，被开方数是原来的10000倍，即可求出x，根据，．代入即可求解． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴-0.1289 故答案为：214000，-0.1289． 【点睛】此题考查了平方根和立方根的计算，解题的关键知道平方根和立方根的性质． 4．（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义． （1）根据的平方根为，的立方根为，计算即可； （2）将，代入得，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的立方根为， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入得， ∴的平方根为． 【经典例题五 利用平方根解方程】 【例5】（24-25八年级上·四川内江·期中）如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 1．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）按顺序排列的若干个数：，，，……，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用题干的规定：设，则，，，……，得到，，，……，，（是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，， ， 利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则， ， ， ， ， ， ……， ∴，，，……，，（是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，， ， ∵， ∴， 若， ∴， ∴， ∴， ∴说法①正确； 若，则，， ∴， ∵， ∴， ∴说法②错误； ∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得，经检验，a的值是方程的解， 即， ∴说法③错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）若 ，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题关键是掌握平方根的求法； 先系数化为1，再开平方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川乐山·开学考试）如图是一个数值转换机，若输出的值为3，则输入正数a的值应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序图，利用平方根解方程．根据题意确定等式方程是解题的关键． 由题意知，，且，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，且， 解得，或（舍去）， 故答案为：3． 4．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，加减消元法解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 或， 解得：或； （2）解： ，得③， ②③，得，解得： 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． 【经典例题六 求一个数的平方根】 【例6】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）9的平方根是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的平方根；根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：9的平方根是， 故选：D． 1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）下列说法正确的个数为（    ） ①没有平方根； ②36的平方根是； ③立方根等于它本身的数是0，1； ④49的算术平方根是7． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断各说法的正误． 【详解】①负数没有平方根，正确； ②36的平方根是，正确； ③立方根等于本身的数包括0、1、，原说法缺少，错误； ④49的算术平方根是7，正确． 综上，正确的有①、②、④，共3个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根定义．根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是的算术平方根是 4 ， ， ， c是的整数部分， ， ， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期末）（1）解方程组 （2）已知的立方根是，b是16的算术平方根，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，立方根，平方根，算术平方根的综合应用； 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组解为：， （2）∵的立方根是，b是16的算术平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为. 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例7（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）】，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得，，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知实数，满足，则的值是（    ） A．4 B．2 C．16 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， 解得， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：5． 3．（2024八年级上·吉林长春·模拟预测）若实数 满足 ，则代数式 的值是 . 【答案】15 【详解】由题意得：x－3=0，y－=0， 解得：x=3，y=， ∴xy2=3×5=15. 故答案为15. 点睛：两个非负数之和为0，那么这两个数必然都为0. 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）已知|，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，非负数的性质．根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．掌握算术平方根及非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴， 【经典例题八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例8】（24-25八年级上·山西长治·阶段练习）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，及， 又∵，且n为整数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键． 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴到之间有2个数， ∴， ∵， ∴到之间有5个数， ∴， ∵， ∴到之间有7个数， ∴， 同理：， …… ， ， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）的小数部分是 . 【答案】-3 【详解】∵9<13<16, ∴3<<4, ∴的整数部分是3，小数部分是-3. 故答案为：-3. 3．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，根据得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（2025八年级上·四川眉山·模拟预测）通过《实数》一章的学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： （1）的整数部分为__________，小数部分为__________． （2）已知的整数部分，的整数部分为，求的立方根． 【答案】（1）5；；（2）2 【分析】（1）由于25<33<36，故可得出的整数部分，从而也可得出其小数部分； （2）由于9<10<16，故可得出的整数部分，即a的值；同理可确定出的整数部分，进而确定出的整数部分，即b的值，最后即可求得a+b的立方根． 【详解】（1）∵25<33<36， ∴5<<6， 即的整数部分为5，小数部分为-5． 故答案为：5； （2）∵9<10<16， ∴， ∴的整数部分； ∵， ∴的整数部分． ∴， ∴8的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根的估值问题，求立方根，关键是确定根号下的数位于哪两个相邻正整数之间，即可确定该算术平方根的整数部分． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例9】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的被开方数小数点的移动的位数与算术平方根的小数点移动的位数间的规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A． B．235的算术平方根比15.3小 C．只有3个正整数n满足15.5 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可． 【详解】A．根据表格中的信息知：，故选项不正确； B．根据表格中的信息知：， ∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确； C．根据表格中的信息知：， ∴正整数或242或243， ∴只有3个正整数n满足，故选项正确； D．根据表格中的信息无法得知的值， ∴不能推断出将比256增大3.19，故选项不正确． 故选C． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期中）已知，，则是的 倍． 【答案】100 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的移位规律是解本题的关键．根据算术平方根的定义可知：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动1位，从而可以解答． 【详解】解：，， 是8.73的10倍， 是的100倍． 故答案为：100． 3．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．      1     2               3    …   …   …   …  … 【答案】20 【分析】本题主要考查数字的变化规律类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为=， ∴第27行最后一个数为， 则第28行从左至右第22个数是， 故答案为：20． 4．（2025八年级上·四川宜宾·模拟预测）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【经典例题十 平方根的应用】 【例10】（2024八年级上·四川攀枝花·模拟预测） 某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为．求篮球场的长和宽． 【答案】篮球场的长为，宽为 【分析】本题主要考查了平方根的应用，利用平方根解方程，设篮球场的长为，则宽为．根据篮球场的面积为，列出方程，利用平方根定义解方程即可． 【详解】解：设篮球场的长为，则宽为．根据题意得： ． 解方程得到，由于，则， 因此，篮球场的长为：，宽为． 篮球场的长为，宽为． 1．（2025八年级上·四川宜宾·模拟预测）一个正数x，的平方根分别是3a+2与4-a,则这个正数x的值为（  ） A．3 B．7 C．9 D．49 【答案】D 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个正数x． 【详解】解：由题意得，3a＋2＋4−a＝0， 解得：a＝−3， 则3a＋2＝−7， 故这个正数x为（−7）2＝49． 【点睛】本题考查了平方根的知识，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 2．（23-24八年级上·四川眉山·期中）一个正数的两个平方根是5a＋1和a﹣7，则a＝ ． 【答案】1 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得平方根的和为0，解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别为5a＋1和a﹣7， 所以5a＋1＋a﹣7＝0， 解得a＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查平方根的定义、解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握正数的两个平方根之间的关系． 3．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 【经典例题十一 算术平方根的实际应用】 【例11】（23-24八年级上·四川乐山·期末）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【答案】小兴同学的想法不可行，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行． 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来表示．若一个物体从125米高的塔顶自由下落，则落到地面需要几秒？ 【答案】落到地面需要5秒． 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，把代入，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 答：落到地面需要5秒． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体． (1)求这个长方体的长、宽、高分别是多少？ (2)若这个长方体的表面积是，则它的长是__________，宽是__________，高是__________． 【答案】(1)这个长方体的长为，宽为，高为 (2)，， 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，掌握长方体的底面积和表面积计算方法是解决问题的关键． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的表面积等于列方程求得答案即可． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则，， ∴长方体的长为，宽为，高为． （2）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则，， 长方体的长为，宽为，高为， 故答案为：，，． 【拓展训练一 与平方根有关的化简问题】 1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)化简：． 【答案】(1)，； (2)7 【分析】本题考查了实数的性质，平方根，熟练掌握平方根和绝对值的性质是解题的关键． （1）一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此列出，即可求出a和x的值； （2）把a、x的值代入，根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， ∴； （2）∵， ∴ ． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的算术平方根； （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，根据立方根的定义得到，则，据此求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）先由数轴得到，据此计算立方根，算术平方根和绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为； （2）由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，立方根的概念，求算术平方根，实数的性质，实数与数轴等等，熟知相关知识是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）以下是某同学作业中的一道解题过程： 化简 (1)请你认真检查该同学的解题过程，在标出的①②③④的几项中出现错误的是______，写出正确的解答过程． (2)若的值为4，请你求出此时A的值． 【答案】(1)①，详见解析 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算．熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先运算完全平方公式，单项式乘多项式，再进行加减运算即可得出结论； （2）先根据，得到的值，再利用整体思想，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在标出①②③④的几项中出现错误的是①； 故答案为：①； 正确的过程为： ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）已知一个正数的两个平方根是与，求的值； （2）若，求xy的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方根的性质，算术平方根的性质，求一个数的平方根： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，代入代数式求出代数式的值，进而求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴的平方根为． 2．（2025八年级上·四川资阳·模拟预测）已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 3．（2025八年级上·福建漳州·模拟预测）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【详解】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解：， ，， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 ． 【答案】． 【分析】先计算阴影部分的面积，也就是新组成的三角形的面积，根据面积就可求得新正方形的边长． 【详解】解：∵阴影部分的面积为5 ∴新拼成的正方形的面积为5 ∴边长为，故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形面积计算，熟练掌握正方形的面积等于边长的平方就可解出此题． 3．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段练习）观察：因为，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请你观察上述式子的规律后解答下面问题： (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如，，按此规定______； (2)如果的小数部分为a，的小数部分为b，求的平方根． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先求出的小数部分为，的小数部分为，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分为9， ∴的小数部分为， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】此题考查了无理数的估算、算术平方根和平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）（1）填空： ＝0.01，＝ ，＝1，＝10，＝ ，… （2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ①已知 ≈3.16，则 ≈ ； ②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ． （3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26，≈12.6，则m＝ ． 【答案】（1）0.1，100；（2）①31.6；②36800；（3）2000． 【分析】（1）直接根据算术平方根的定义填空即可； （2）①首先确定，然后根据的近似值求解即可； ②由两个近似值确定扩大的倍数，然后结合①的思想进行反推求解即可； （3）仿照②的求解过程即可得出结论． 【详解】解：（1）；； 故答案为：0.1；100； （2）①∵，， ∴； 故答案为：31.6； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：36800； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：2000． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和立方根，以及拓展应用，理解算术平方根以及立方根的定义与性质是解题关键． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 【答案】（1），；（2），，，，，；规律：，，，（其中是正整数）；（3）． 【分析】（1）仿照题干信息，直接求，的平方根即可； （2）从开始，逐次往后推导，即可得出，，，，，，…的值，从而根据每一个的结论总结规律即可； （3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可． 【详解】（1）∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的平方根是． （2）， ， ， ， ， ，…， 规律是：每四个相邻次方为一个循环， 用式子表示为：，，，（其中是正整数）． （3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的定义是解题关键． 1．（2025八年级上·四川资阳·模拟预测）2025的算术平方根是（    ） A．35 B．45 C．55 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义直接求解即可． 【详解】解：2025的算术平方根是， 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川巴中·期中）估计面积等于11的正方形的边长a的值（结果精确到）是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估计算术平方根的取值范围，根据，可得，再由正方形面积计算公式可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵面积等于11的正方形的边长为， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川内江·期末）若一个正数有两个不同的平方根为和，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．1或 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、解一元一次方程、相反数的性质，根据一个正数有两个的平方根，且互为相反数列方程求解． 【详解】解：∵一个正数有两个不同的平方根为和， ∴，解得， 故选：A． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根，平方根，乘方，根据立方根，平方根求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性． 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 6．（2025八年级上·四川眉山·模拟预测）64的平方根是 ， ． 【答案】 10 【分析】本题主要考查算术平方根，平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的区别与联系成为解题的关键． 直接根据算术平方根，平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的平方根，． 故答案为：，10． 7．（2025八年级上·四川乐山·模拟预测）若，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，求一个数的立方根，掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性和算术平方根的非负性可求出和的值，代入中，求出结果，最后求其立方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 8．（2024八年级上·福建厦门·模拟预测）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西长治·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】121 【分析】本题主要考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：121． 10．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ． 【答案】 10 13 【分析】本题考查了无理数的估算．估算得出常数a的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：10，13． 11．（24-25八年级上·四川乐山·期中）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2)2 (3) (4) 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根的计算，根据算术平方根、平方根、立方根的意义进行解答即可． （1）根据算术平方根的意义计算即可； （2）根据立方根的意义计算即可； （3）根据平方根的意义计算即可； （4）根据立方根的意义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知一个数m的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求，，，的值． (2)求的平方． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可得出、的值，根据立方根的定义即可得出的值，估算出，即可得出的值； （2）先求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：∵一个数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴， ∴的平方为． 13．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题主要考查了平方根以及算术平方根，正确得出m，n的值是解题关键． （1）直接利用算术平方根以及平方的性质分析得出答案； （2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴的算术平方根为． 14．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 15．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； 故答案为：2，； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； 故答案为：1，13，； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 学科网（北京）股份有限公司 $$