专题04 勾股定理（期末复习讲义，4知识点+13题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学勾股定理复习讲义通过表格对比与分层梳理构建知识体系，系统呈现勾股定理及逆定理的条件、结论、应用场景，结合考情规律表和解题步骤表格，清晰展现核心考点与重难点内在联系。 讲义亮点在于题型设计贴近实际，如折叠问题利用性质构建直角三角形，最短路径问题将立体展开为平面，培养几何直观与推理能力。练习分基础、重难、综合三层，适配不同学生，助力教师实施精准分层教学。

专题04 勾股定理（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的基本计算 1. 牢记勾股定理内容，明确定理适用条件为直角三角形 2. 能根据直角三角形的两条边，求第三条边的长度 3. 掌握“斜边最长”的判定方法，避免直角边与斜边混淆 1.命题形式：选择题、填空题为主，偶尔结合几何图形计算出解答题小问 2.难度层级：基础题，占分比约10%-15% 勾股定理的逆定理及应用 1. 理解逆定理的逻辑关系（从 “边的关系” 推 “角的关系”） 2. 能利用三边长度判定三角形是否为直角三角形，并确定直角的位置 3. 区分勾股定理（由直角得三边关系）与逆定理（由三边关系得直角）的应用场景 1. 命题形式：选择题、填空题、解答题均有涉及 2. 难度层级：中等题，常与三角形性质、四边形判定结合 勾股数的识别与应用 1.掌握勾股数的定义：正整数组(a，b，c)满足 2.熟记常见勾股数(如3，4，5；5，12，13；7，24，25及其倍数) 3.能根据勾股数的特征，快速判断一组数是否为勾股数 1. 命题形式：选择题、填空题为主 2. 难度层级：基础题，占分比约 5%-10% 勾股定理的实际应用 1. 能将实际问题转化为直角三角形模型，标注已知边与未知边 2. 掌握折叠问题的解题关键：折叠前后对应边相等、对应角相等，构建直角三角形 3. 掌握立体图形中最短路径问题的解法：将立体图形展开为平面图形，利用两点之间线段最短结合勾股定理计算 1. 命题形式：解答题为主，是中考高频考点 2. 难度层级：中等偏难题，占分比约 15%-20% 知识点01 勾股定理 1.定理内容 若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则 。 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.适用条件 仅限 ，非直角三角形不能直接套用公式。 3.公式变形 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边： 4.常见勾股数 满足的正整数组称为勾股数，熟记以下勾股数可简化计算： ❆基础组： 、 、 、 ❆倍数组：若(a，b，c)是勾股数，则(ka，kb，kc)(k为正整数)也是勾股数，如(6，8，10) 知识点02 勾股定理逆定理 1.定理内容 若三角形的三边长a、b、c满足 ，则这个三角形是直角三角形。 2.判定直角三角形的步骤 ①确定三角形的最长边，记为c; ②计算和的值； ③比较大小： 若 三角形，最长边c所对的角为直角； 若→ 三角形； 若→ 三角形。 3.勾股定理与逆定理的区别 定理 条件 结论 作用 勾股定理 三角形是直角三角形 三边满足 由直角求边的关系 逆定理 三边满足 三角形是直角三角形 由边的关系判定直角 知识点03 反证法 1、反证法的定义 从命题结论的反面出发，假设命题的 不成立，经过正确的推理，得出与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题结论成立的证明方法，叫做 。 2、反证法的理论依据 逻辑中的排中律：一个命题要么成立，要么不成立，二者必居其一，不存在第三种可能。 因此，若假设结论不成立会导致矛盾，就说明假设错误，原结论必然正确。 3、反证法的基本步骤(三步法) ① ——假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 这是反证法的关键第一步，需准确找出结论的反面(否定形式)。 ② ——从反设和已知条件出发，进行严密的逻辑推理，导出矛盾推理过程中导出的矛盾类型主要有： ❆与已知条件矛盾； ❆与定义、公理、定理(如平行线判定定理、三角形内角和定理)矛盾； ❆与反设本身矛盾； ❆推出自相矛盾的结论(如同时得出a>b且a<b)。 ③ ——由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立这一步是反证法的收尾，需明确指出“矛盾源于反设错误”，因此原结论正确。 知识点04 勾股定理实际应用 核心解题步骤 ①建模：分析实际问题，找出或构造直角三角形，明确直角边和斜边对应的实际量； ②设元：设未知线段长度为x，用含x的代数式表示直角三角形的三边； ③列式：根据勾股定理列出方程； ④求解：解方程并检验结果是否符合实际意义。 题型一 用勾股定理解直角三角形 解｜题｜技｜巧 直接利用勾股定理解直角三角形，核心是已知直角三角形的两条边，直接套用公式求第三条边，无需设未知数列方程，适用于边长关系明确的基础题型。 核心公式与适用条件 1.核心公式 设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c(斜边是直角所对的边，最长边),则：已知两条直角边，求斜边： 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边： 2.适用条件 ❆三角形必须是直角三角形(需先明确直角顶点); ❆必须已知两条边的长度(两条直角边或一条直角边+斜边)。 【典例1】（23-24八年级上·广西·期末）如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，于点D，，，．求的长． 【变式3】（24-25八年级·重庆大足·期末）如图，，求的长． 题型二 根据勾股定理列方程求解 解｜题｜思｜路 根据勾股定理列方程求解的核心是设未知线段长度为x，利用几何性质(如折叠、矩形对边相等、角平分线性质等)用含x的代数式表示直角三角形的三边，再根据(c为斜边)建立方程求解，适用于已知一条边、其余边存在数量关系的复杂题型(如折叠问题、含公共边的直角三角形问题)。 一、核心依据与适用场景 1.核心依据 ✹勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即。 ✹几何图形性质：折叠前后对应边相等、矩形对边相等、角平分线到角两边距离相等、等腰三角形三线合一等，这些是用x表示三边的关键。 2.适用场景 已知一条边，其余两条边存在和、差、倍数等数量关系； 折叠问题、含公共边的直角三角形问题、实际场景中的长度计算(如梯子下滑、航海测距)。 二、通用解题步骤 步骤1：找直角三角形 从图形或实际场景中，定位待求解的直角三角形，标记直角顶点(直角来源：矩形的角、直角三角形的角、作垂线构造的直角等)。 步骤2：设未知数 ●优先设待求线段为x； ●若待求线段关联复杂，设与已知条件紧密相关的中间线段为x。 步骤3：用含x的代数式表示三边 利用几何性质，将直角三角形的两条直角边和斜边全部用含x的式子表示： ●例：矩形折叠中，设DE=x，则AE=AD-x，由折叠性质得AE=CE，故CE=AD-x。 ●关键原则：所有边的表达式都要统一到同一个未知妄. 步骤4：列方程并求解 ●明确直角三角形的直角边和斜边，代入勾股定理公式； ●解方程(多为一元一次或一元二次方程),舍去负根(线段长度为正数)。 步骤5：验证结果 将解得的x代入三边表达式，验证是否满足“斜边最长”,且代入勾股定理公式是否成立。 【典例2】（24-25八年级·重庆江北·期末）如图，中，，平分交于点，，，则长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，于点，且，则的长为__________． 【变式2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ． 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 题型四 勾股定理与折叠问题 解｜题｜思｜路 勾股定理解决折叠问题的核心是利用折叠的轴对称性质，找出相等的线段和角，锁定折叠后形成的直角三角形，通过设未知数、列勾股定理方程求解。折叠的本质是全等变换，折痕是对应点连线的垂直平分线，这是推导线段关系的关键。 一、核心依据 1.折叠的性质 ①折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等； ②折痕是对应点连线的垂直平分线； ③折叠后常出现等腰三角形。 2.勾股定理 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²(c为斜边)。折叠问题的突破口是找到折叠后隐藏的直角三角形，通常结合矩形、正方形、直角三角形的原有直角。 二、通用解题步骤 步骤1：分析折叠过程，标记相等线段/角 ①确定折叠的对应点； ②根据折叠性质，写出所有相等的线段； ③结合平行线、等腰三角形等性质，推导额外的相等线段。 步骤2：锁定直角三角形，设未知数 ①优先选择折叠后新形成的直角三角形； ②设待求线段或与已知条件关联紧密的线段为x。 步骤3：用含x的代数式表示直角三角形的三边 ①利用相等线段的关系，将直角三角形的两条直角边和斜边全部用含c的式子表示； 关键：确保三边表达式都统一到同一个未知数x，无其他未知量。 步骤4：列勾股定理方程并求解 ①明确直角三角形的直角边和斜边，代入公式 ②解方程(多为一元一次方程)，舍去负根(线段长度为正数)。 步骤5：验证结果 ①检查解得的线段长度是否符合图形实际(如长度不超过原图形的边长); ②代入勾股定理逆推，验证三边关系是否成立。 【典例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【变式2】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 题型五 弦图为背景的计算题 【典例5】（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【变式1】（24-25八年级·云南红河·期末）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【变式2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 题型六 勾股定理的应用 【典例6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【变式2】（24-25八年级·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 题型七 判断能否构成直角三角形 解｜题｜思｜路 判断三条线段能否构成直角三角形的核心是利用勾股定理的逆定理，结合“最长边判定”和“边长平方关系验证”两步完成，适用于已知三边长度的所有情况。 一、核心依据：勾股定理的逆定理 若一个三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足则这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 二、通用解题步骤 步骤1：排序确定最长边 将三条线段的长度按从小到大的顺序排列，记为，确定c为候选斜边(直角三角形中斜边最长，这是前提条件)。 步骤2：计算两条短边的平方和与最长边的平方 分别计算和的值，注意计算准确，避免平方运算错误。 步骤3：比较平方关系，得出结论 ·若→能构成直角三角形，最长边c对直角； •若→能构成三角形，但不是直角三角形，是锐角三角形； •若→能构成三角形，但不是直角三角形，是钝角三角形； ·补充：若三条线段不满足“任意两边之和大于第三边”，则不能构成三角形，更谈不上直角三角形。 【典例7】（25-26八年级上·重庆·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，12 题型八 在网格中判断直角三角形 【典例8】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)求的周长； (2)求及的面积． 【变式2】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 解｜题｜技｜巧 利用勾股定理的逆定理解题的核心是通过三角形三边的平方关系，判定三角形是否为直角三角形，进而解决角度判定、边长计算、几何证明等问题，适用于已知三边长度(或三边表达式)的几何题型。 一、核心依据：勾股定理的逆定理 1.定理内容 若一个三角形的三边长分别为a、b、c(c为最长边)，且满足 则这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角(记为)。 2.定理本质 勾股定理是“由直角得边的关系”,逆定理是“由边的关系得直角”,二者是互逆的逻辑关系。 二、通用解题步骤 步骤1：确定三角形的三边长，排序找最长边 若已知三边具体长度，直接将三边按从小到大排序，记为a≤b≤c，c为候选斜边(直角三角形中斜边最 长，这是判定的前提)； 若已知三边的代数式，先化简代数式，再通过作差法或赋值法确定最长边。 步骤2：计算两条短边的平方和与最长边的平方 分别计算a²+b²和c²的值； 若边长含根式或代数式，注意平方运算的准确性。 步骤3：比较平方关系，判定三角形形状 平方关系 三角形形状 关键结论 直角三角形 最长边c所对的角为直角 锐角三角形 三角形三个角均为锐角 钝角三角形 最长边c所对的角为钝角 步骤4：结合结论解决具体问题 ·若判定为直角三角形，可利用直角的性质进行后续计算（如求高、求面积、证明垂直关系等）； ·若判定为非直角三角形，可根据形状分析边角关系。 【典例9】（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求： (1)的度数． (2)连接，求的长． 【变式1】（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 【典例10】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【变式2】（23-24八年级·贵州黔东南·期末）如图，有一块凹四边形的绿地，经测量知：，，，，， (1)求的长，并判断的形状； (2)求这块绿地的面积． 题型十一 勾股数问题 易｜错｜点｜拨 勾股数是指满足的三个正整数，解题中常因对勾股数的定义、性质理解不清而出错，以下是高频易错点及纠正方法： 一、概念理解类易错点 1.混淆“勾股数”与“满足勾股定理的数”,忽略“正整数”条件 错误表现 ①认为是勾股数(满足(,但不是整数); ②认为0.3,0.4,0.5是勾股数(满足,但不是正整数)。 纠正方法 勾股数的核心前提是三个数均为正整数，小数、分数、无理数即使满足勾股定理关系，也不能称为勾股数。 2.颠倒勾股数的“边的关系”，误认“只要是勾股数的倍数就无序” 错误表现 认为5,3,4不是勾股数（实际是勾股数，只是未按从小到大排序）。 纠正方法 勾股数的判定只看平方关系，与顺序无关，排序后满足即可，如3,4,5和5,3,4是同一组勾股数。 【典例11】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 题型十二 勾股定理在生活的应用 【典例12】（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【变式2】（24-25八年级·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 题型十三 勾股定理中的最短路程问题 【典例13】（24-25八年级·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 5．（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是上一点，且，，求证：． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M、E，边的垂直平分线分别交于点N、F，的周长为10．若，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D．4 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则的长为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，垂直于的平分线于点D，连接，若点D正好在线段的垂直平分线上，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理的基本计算 1. 牢记勾股定理内容，明确定理适用条件为直角三角形 2. 能根据直角三角形的两条边，求第三条边的长度 3. 掌握“斜边最长”的判定方法，避免直角边与斜边混淆 1.命题形式：选择题、填空题为主，偶尔结合几何图形计算出解答题小问 2.难度层级：基础题，占分比约10%-15% 勾股定理的逆定理及应用 1. 理解逆定理的逻辑关系（从 “边的关系” 推 “角的关系”） 2. 能利用三边长度判定三角形是否为直角三角形，并确定直角的位置 3. 区分勾股定理（由直角得三边关系）与逆定理（由三边关系得直角）的应用场景 1. 命题形式：选择题、填空题、解答题均有涉及 2. 难度层级：中等题，常与三角形性质、四边形判定结合 勾股数的识别与应用 1.掌握勾股数的定义：正整数组(a，b，c)满足 2.熟记常见勾股数(如3，4，5；5，12，13；7，24，25及其倍数) 3.能根据勾股数的特征，快速判断一组数是否为勾股数 1. 命题形式：选择题、填空题为主 2. 难度层级：基础题，占分比约 5%-10% 勾股定理的实际应用 1. 能将实际问题转化为直角三角形模型，标注已知边与未知边 2. 掌握折叠问题的解题关键：折叠前后对应边相等、对应角相等，构建直角三角形 3. 掌握立体图形中最短路径问题的解法：将立体图形展开为平面图形，利用两点之间线段最短结合勾股定理计算 1. 命题形式：解答题为主，是中考高频考点 2. 难度层级：中等偏难题，占分比约 15%-20% 知识点01 勾股定理 1.定理内容 若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则。 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.适用条件 仅限直角三角形，非直角三角形不能直接套用公式。 3.公式变形 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边： 4.常见勾股数 满足的正整数组称为勾股数，熟记以下勾股数可简化计算： ❆基础组：(3，4，5)、(5，12，13)、(7，24，25)、(8，15，17) ❆倍数组：若(a，b，c)是勾股数，则(ka，kb，kc)(k为正整数)也是勾股数，如(6，8，10) 知识点02 勾股定理逆定理 1.定理内容 若三角形的三边长a、b、c满足，则这个三角形是直角三角形。 2.判定直角三角形的步骤 ①确定三角形的最长边，记为c; ②计算和的值； ③比较大小： 若直角三角形，最长边c所对的角为直角； 若→锐角三角形； 若→钝角三角形。 3.勾股定理与逆定理的区别 定理 条件 结论 作用 勾股定理 三角形是直角三角形 三边满足 由直角求边的关系 逆定理 三边满足 三角形是直角三角形 由边的关系判定直角 知识点03 反证法 1、反证法的定义 从命题结论的反面出发，假设命题的结论不成立，经过正确的推理，得出与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果，从而证明原命题结论成立的证明方法，叫做反证法。 2、反证法的理论依据 逻辑中的排中律：一个命题要么成立，要么不成立，二者必居其一，不存在第三种可能。 因此，若假设结论不成立会导致矛盾，就说明假设错误，原结论必然正确。 3、反证法的基本步骤(三步法) ①反设——假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 这是反证法的关键第一步，需准确找出结论的反面(否定形式)。 ②归谬——从反设和已知条件出发，进行严密的逻辑推理，导出矛盾推理过程中导出的矛盾类型主要有： ❆与已知条件矛盾； ❆与定义、公理、定理(如平行线判定定理、三角形内角和定理)矛盾； ❆与反设本身矛盾； ❆推出自相矛盾的结论(如同时得出a>b且a<b)。 ③结论——由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立这一步是反证法的收尾，需明确指出“矛盾源于反设错误”，因此原结论正确。 知识点04 勾股定理实际应用 核心解题步骤 ①建模：分析实际问题，找出或构造直角三角形，明确直角边和斜边对应的实际量； ②设元：设未知线段长度为x，用含x的代数式表示直角三角形的三边； ③列式：根据勾股定理列出方程； ④求解：解方程并检验结果是否符合实际意义。 题型一 用勾股定理解直角三角形 解｜题｜技｜巧 直接利用勾股定理解直角三角形，核心是已知直角三角形的两条边，直接套用公式求第三条边，无需设未知数列方程，适用于边长关系明确的基础题型。 核心公式与适用条件 1.核心公式 设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c(斜边是直角所对的边，最长边),则：已知两条直角边，求斜边： 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边： 2.适用条件 ❆三角形必须是直角三角形(需先明确直角顶点); ❆必须已知两条边的长度(两条直角边或一条直角边+斜边)。 【典例1】（23-24八年级上·广西·期末）如图， 则的长为(   ) A．5 B．13 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．首先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，长为，长为，长为，则正方形的面积是 ． 【答案】169 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决正方形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求得，然后求出正方形的面积即可． 【详解】解：在直角中，由勾股定理得， 在直角中，． ∴正方形的面积为． 故答案为：169． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，于点D，，，．求的长． 【答案】AB的长为25 【分析】本题主要考查的是直角三角形中勾股定理的应用，利用勾股定理求对应边长是解题的关键． 分别在和中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：因为，所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 所以． 【变式3】（24-25八年级·重庆大足·期末）如图，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的简单计算，解题的关键是找到直角三角形的两条直角边和斜边，应用公式进行计算．利用勾股定理求相关边的长即可． 【详解】解：∵， 在中，， 在中，， ． 题型二 根据勾股定理列方程求解 解｜题｜思｜路 根据勾股定理列方程求解的核心是设未知线段长度为x，利用几何性质(如折叠、矩形对边相等、角平分线性质等)用含x的代数式表示直角三角形的三边，再根据(c为斜边)建立方程求解，适用于已知一条边、其余边存在数量关系的复杂题型(如折叠问题、含公共边的直角三角形问题)。 一、核心依据与适用场景 1.核心依据 ✹勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即。 ✹几何图形性质：折叠前后对应边相等、矩形对边相等、角平分线到角两边距离相等、等腰三角形三线合一等，这些是用x表示三边的关键。 2.适用场景 已知一条边，其余两条边存在和、差、倍数等数量关系； 折叠问题、含公共边的直角三角形问题、实际场景中的长度计算(如梯子下滑、航海测距)。 二、通用解题步骤 步骤1：找直角三角形 从图形或实际场景中，定位待求解的直角三角形，标记直角顶点(直角来源：矩形的角、直角三角形的角、作垂线构造的直角等)。 步骤2：设未知数 ●优先设待求线段为x； ●若待求线段关联复杂，设与已知条件紧密相关的中间线段为x。 步骤3：用含x的代数式表示三边 利用几何性质，将直角三角形的两条直角边和斜边全部用含x的式子表示： ●例：矩形折叠中，设DE=x，则AE=AD-x，由折叠性质得AE=CE，故CE=AD-x。 ●关键原则：所有边的表达式都要统一到同一个未知妄. 步骤4：列方程并求解 ●明确直角三角形的直角边和斜边，代入勾股定理公式； ●解方程(多为一元一次或一元二次方程),舍去负根(线段长度为正数)。 步骤5：验证结果 将解得的x代入三边表达式，验证是否满足“斜边最长”,且代入勾股定理公式是否成立。 【典例2】（24-25八年级·重庆江北·期末）如图，中，，平分交于点，，，则长为 ． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用角平分线的性质得到，再结合勾股定理求出，设，根据和的关系列方程求解．本题主要考查了角平分线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和勾股定理，通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点． 平分，，， ． 在中，，， ∴． ，，， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，即． 解得，即长为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，于点，且，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，关键是在中，求得，然后，利用等腰三角形性质，得到，，最后，在中，利用勾股定理建立关于的方程，求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 在中，，， 由勾股定理可知， ，， 同理，在中，由勾股定理可知， ， ， 代入得， ， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题求解的关键是在和中，利用勾股定理构建方程求解，在中注意的边长关系． 【变式2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，分别是和的角平分线，交于点D，于点H，若，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点．过P作于E，求出，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x的值，即可得到的长． 【详解】解：过P作于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴， 故答案为：5． 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例3】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，根据勾股定理求出的长，根据阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积，再减去大半圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：6． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积、半圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，，即可得到的值． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：10． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由正方形的性质得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4． 题型四 勾股定理与折叠问题 解｜题｜思｜路 勾股定理解决折叠问题的核心是利用折叠的轴对称性质，找出相等的线段和角，锁定折叠后形成的直角三角形，通过设未知数、列勾股定理方程求解。折叠的本质是全等变换，折痕是对应点连线的垂直平分线，这是推导线段关系的关键。 一、核心依据 1.折叠的性质 ①折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等； ②折痕是对应点连线的垂直平分线； ③折叠后常出现等腰三角形。 2.勾股定理 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²(c为斜边)。折叠问题的突破口是找到折叠后隐藏的直角三角形，通常结合矩形、正方形、直角三角形的原有直角。 二、通用解题步骤 步骤1：分析折叠过程，标记相等线段/角 ①确定折叠的对应点； ②根据折叠性质，写出所有相等的线段； ③结合平行线、等腰三角形等性质，推导额外的相等线段。 步骤2：锁定直角三角形，设未知数 ①优先选择折叠后新形成的直角三角形； ②设待求线段或与已知条件关联紧密的线段为x。 步骤3：用含x的代数式表示直角三角形的三边 ①利用相等线段的关系，将直角三角形的两条直角边和斜边全部用含c的式子表示； 关键：确保三边表达式都统一到同一个未知数x，无其他未知量。 步骤4：列勾股定理方程并求解 ①明确直角三角形的直角边和斜边，代入公式 ②解方程(多为一元一次方程)，舍去负根(线段长度为正数)。 步骤5：验证结果 ①检查解得的线段长度是否符合图形实际(如长度不超过原图形的边长); ②代入勾股定理逆推，验证三边关系是否成立。 【典例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 题型五 弦图为背景的计算题 【典例5】（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， 设， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故选： 【变式1】（24-25八年级·云南红河·期末）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 题型六 勾股定理的应用 【典例6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为，长方形的另一条边长为． (1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由． (2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为、高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ 【答案】(1)能安全通过，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解. （1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过. （2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度. 【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下： 如图①，为卡车的宽度． 过点分别作的垂线交半圆于两点， 连接，过点作于点E， 则， 所以． 因为， 所以在中，由勾股定理，得，所以， 所以． 因为，所以这辆卡车能安全通过桥洞． （2）解：如图②，为卡车的宽度，为道路的中点． 过点E作于点F，交半圆于点B， 连接，过点作，交的延长线于点G． 根据题意可知，，所以． 在中，根据勾股定理，得， 所以． 故此桥洞的宽至少应增加到． 题型七 判断能否构成直角三角形 解｜题｜思｜路 判断三条线段能否构成直角三角形的核心是利用勾股定理的逆定理，结合“最长边判定”和“边长平方关系验证”两步完成，适用于已知三边长度的所有情况。 一、核心依据：勾股定理的逆定理 若一个三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足则这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 二、通用解题步骤 步骤1：排序确定最长边 将三条线段的长度按从小到大的顺序排列，记为，确定c为候选斜边(直角三角形中斜边最长，这是前提条件)。 步骤2：计算两条短边的平方和与最长边的平方 分别计算和的值，注意计算准确，避免平方运算错误。 步骤3：比较平方关系，得出结论 ·若→能构成直角三角形，最长边c对直角； •若→能构成三角形，但不是直角三角形，是锐角三角形； •若→能构成三角形，但不是直角三角形，是钝角三角形； ·补充：若三条线段不满足“任意两边之和大于第三边”，则不能构成三角形，更谈不上直角三角形。 【典例7】（25-26八年级上·重庆·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵ 三角形内角和为， 选项A：设，，，则，解得， ∴，，，无角，不能判断为直角三角形； 选项B：设，，，则，满足勾股定理，能判断为直角三角形； 选项C：，，所以，满足勾股定理，能判断为直角三角形； 选项D：，，所以，满足勾股定理，能判断为直角三角形． 综上，不能判断是直角三角形的条件是A． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 题型八 在网格中判断直角三角形 【典例8】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)求的周长； (2)求及的面积． 【答案】(1)的周长为5+3 (2)，的面积为5 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，证明三角形是直角三角形是解题的关键； （1）根据勾股定理分别求出三角形三边长即可推出结果； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，即可推出结果． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， 的周长； （2）解：， 是直角三角形，且， ． 【变式2】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 ． 【答案】/45度 【分析】该题考查了勾股定理，轴对称和等腰直角三角形的性质和判定，作点关于线段的对称点，连接，由对称可得，即，说明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即． 故答案为：． 题型九 利用勾股定理的逆定理求解 解｜题｜技｜巧 利用勾股定理的逆定理解题的核心是通过三角形三边的平方关系，判定三角形是否为直角三角形，进而解决角度判定、边长计算、几何证明等问题，适用于已知三边长度(或三边表达式)的几何题型。 一、核心依据：勾股定理的逆定理 1.定理内容 若一个三角形的三边长分别为a、b、c(c为最长边)，且满足 则这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角(记为)。 2.定理本质 勾股定理是“由直角得边的关系”,逆定理是“由边的关系得直角”,二者是互逆的逻辑关系。 二、通用解题步骤 步骤1：确定三角形的三边长，排序找最长边 若已知三边具体长度，直接将三边按从小到大排序，记为a≤b≤c，c为候选斜边(直角三角形中斜边最 长，这是判定的前提)； 若已知三边的代数式，先化简代数式，再通过作差法或赋值法确定最长边。 步骤2：计算两条短边的平方和与最长边的平方 分别计算a²+b²和c²的值； 若边长含根式或代数式，注意平方运算的准确性。 步骤3：比较平方关系，判定三角形形状 平方关系 三角形形状 关键结论 直角三角形 最长边c所对的角为直角 锐角三角形 三角形三个角均为锐角 钝角三角形 最长边c所对的角为钝角 步骤4：结合结论解决具体问题 ·若判定为直角三角形，可利用直角的性质进行后续计算（如求高、求面积、证明垂直关系等）； ·若判定为非直角三角形，可根据形状分析边角关系。 【典例9】（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求： (1)的度数． (2)连接，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)的长是 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据勾股定理，求得，利用勾股定理的逆定理证得，根据即可求解； （2）作，交的延长线于点，连接，根据勾股定理求得，在根据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵在，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴的度数是． （2）解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的长是． 【变式1】（24-25八年级·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 【变式2】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．在 中，先利用三角形内角和得出，再利用勾股定理得出，进而勾股定理的逆定理得出，即可得出的度数． 【详解】解： ， ， 在 中， ， ， ． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 【典例10】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的人行道的长为千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （2）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是为从小区到马路边的公交站处的最近人行道； （2）解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的人行道的长为千米． 【变式1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式2】（23-24八年级·贵州黔东南·期末）如图，有一块凹四边形的绿地，经测量知：，，，，， (1)求的长，并判断的形状； (2)求这块绿地的面积． 【答案】(1)，直角三角形 (2)这块空地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式． （1）根据勾股定理，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可； （2）根据这块绿地的面积的面积的面积，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 题型十一 勾股数问题 易｜错｜点｜拨 勾股数是指满足的三个正整数，解题中常因对勾股数的定义、性质理解不清而出错，以下是高频易错点及纠正方法： 一、概念理解类易错点 1.混淆“勾股数”与“满足勾股定理的数”,忽略“正整数”条件 错误表现 ①认为是勾股数(满足(,但不是整数); ②认为0.3,0.4,0.5是勾股数(满足,但不是正整数)。 纠正方法 勾股数的核心前提是三个数均为正整数，小数、分数、无理数即使满足勾股定理关系，也不能称为勾股数。 2.颠倒勾股数的“边的关系”，误认“只要是勾股数的倍数就无序” 错误表现 认为5,3,4不是勾股数（实际是勾股数，只是未按从小到大排序）。 纠正方法 勾股数的判定只看平方关系，与顺序无关，排序后满足即可，如3,4,5和5,3,4是同一组勾股数。 【典例11】（24-25八年级上·广东河源·期末）若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（   ） A．13 B． C．或13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数，解题的关键是明确勾股数是整数．根据勾股数的定义，需满足（其中c为斜边），且均为正整数。题目中给出为勾股数，需分情况讨论a的位置（直角边或斜边）． 【详解】解：分类讨论： ， 是直角边． 若a为直角边，则解得， 勾股数需为整数，故不符合题意，舍去； 若a为斜边，则，解得； 故答案为：A． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61 (2)和 【分析】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． （1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一组勾股数：11、60、61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一． 【详解】（1）解：∵， ∴下一组勾股数为：11、60、61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵， ， ∴， 又∵，且为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：和． 题型十二 勾股定理在生活的应用 【典例12】（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 在中，先利用勾股定理求出，再结合题意求出，然后在中利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，， ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 【变式2】（24-25八年级·重庆合川·期末）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 题型十三 勾股定理中的最短路程问题 【典例13】（24-25八年级·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它的斜边长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理直接计算斜边长即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是3和4， ∴它的斜边长为 故选：B 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 3．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点E表示的实数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在，由勾股定理可得： ∴， ∵A点表示， ∴点E表示的实数是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 5．（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，，是上一点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明即可． 【详解】证明：在中，，，， ， ， 是直角三角形，且， ． 又， ， ， 是直角三角形，即． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M、E，边的垂直平分线分别交于点N、F，的周长为10．若，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，完全平方公式的变形求值，掌握以上知识是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质，可得，再结合，可得，再根据勾股定理可得，再结合的周长为10，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积为 故选：C 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，掌握割补法得出图形面积之间的关系是解题关键． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，垂直于的平分线于点D，连接，若点D正好在线段的垂直平分线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】的延长线交的延长线于点，过点作于点，证明和可得，进而求出，在推理得到，即可得到,再利用勾股定理解答即可． 【详解】如图，的延长线交的延长线于点，过点作于点，于点， 平分， ，， 点在线段的垂直平分线上， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 5．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 3．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 4．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $