专题03 全等三角形（必备知识+17题型+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题03 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 命题与定义 掌握定义与命题的概念，并解决相关概念题型且能判断正误 基础概念题型，常出现在选择题 全等三角形的概念与性质 掌握全等三角形定义、对应元素，并能找对应关系，用性质求边、角的值 中考常考题型，一般在小题 全等三角形的判定 熟记 SSS/SAS/ASA/AAS/HL， 能按已知条件选择定理 高频易错点，容易忽略全等的条件 等腰三角形的概念与性质 掌握等腰三角形的定义（有两边相等的三角形）、边角性质（等边对等角）及 “三线合一” 性质，能运用性质解决边、角计算和证明问题 中考重点题型，性质应用常出现在选择、填空及解答题基础部分，高频且难度中等偏基础 等腰三角形的判定 熟记等腰三角形的判定定理（等角对等边），能根据已知角或边的关系判定三角形为等腰三角形，解决相关证明和计算 中考常考题型，多与全等、平行线等定理结合，是易错点，需注意判定条件的准确应用 等边三角形的性质 掌握等边三角形定义（三边相等）、边角性质（三角均为 60°、三边相等），能运用性质解决角度计算、线段证明及几何综合问题 多在几何综合题中结合旋转、全等考查，难度中等，是几何变换类题的高频考点 互逆命题 掌握互逆命题的定义，能判断两个命题是否为互逆命题；会写出一个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假 基础概念题型，常出现在选择题、填空题，考查对概念的理解及逆命题的书写与真假判断 互逆定理 掌握互逆定理的定义，能判断两个定理是否为互逆定理；明确互逆定理的成立条件（逆命题为真命题），并结合具体定理（如勾股定理与其逆定理）理解应用 常结合具体定理（如勾股定理、等腰三角形的性质与判定等）考查，多为概念理解题，难度基础，易忽略 “逆命题需为真” 的关键条件 垂直平分线的性质 掌握垂直平分线定义及 “线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 的性质，能运用性质解决线段相等、点的位置判定及辅助线构造问题 基础高频考点，常出现在选择、填空题，也用于几何证明的辅助线设计，属于几何基础工具类考点 角平分线的性质 掌握角平分线定义及 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 的性质，能运用性质解决距离相等证明、角度计算及全等结合类问题 基础高频易错点，多在选择、填空及证明题中出现，易忽略 “距离是垂线段” 的条件，需精准应用 知识点01 命题、定理与证明 ◎命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 ◎命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 ◎命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: ★真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。 ★假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 ◎定理 ★基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 ★证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 知识点02 判定全等三角形（边边边） ◎判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 ◎判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 ◎判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 ◎判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 ◎判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点03 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 知识点04 角平分线 ◎角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 ◎角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 知识点05 线段垂直平分线 ◎定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 ◎线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 ◎线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 知识点06 等腰三角形的概念与性质 ◎等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． ◎等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． ◎等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点07 等边三角形的概念与性质 ◎等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. ◎等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° ◎等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点08 互逆命题与互逆定理 ◎互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 ◎互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理。 知识点09 尺规作图 ◎作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. ◎作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. ◎作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. ◎过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. ◎作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 判断命题与命题真假 解｜题｜技｜巧 ★只需找到一个满足条件，但不满足结论的例子，即可证明命题为假． 示例：“相等的角是对顶角” 是假命题，反例为 “两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角”． 【典例1】下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 题型二 补全证明过程 解｜题｜技｜巧 ★从已知条件出发，逐步推导中间结论（如先证三角形全等，再得对应边 / 角相等），直到接近最终求证结论。每一步需标注依据（如 “∵ 已知 / SSS 判定定理，∴ …”）． ★若正向推导受阻，可从求证结论出发，逆向思考：“要证明这个结论，需要先证明什么条件？” 再看该条件是否可由已知或中间结论推导得出． 【典例1】如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明： ， （等量代换）． ． 【变式1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式2】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 题型三 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 ★紧扣全等三角形 “完全重合” 的本质，明确对应边与对应角的关系，以此判断三角形是否全等或推导边、角的等量关系. 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【变式1】如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ． 【变式2】如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 题型四 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ★解题时先精准定位全等三角形的对应边与对应角，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，推导所求边或角的等量关系． 【典例1】如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A． B． C． D． 题型五 全等三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ★先分析已知的边、角条件，找准三角形间的对应关系，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS（直角三角形加HL）判定定理，证明三角形全等． 【典例1】如图，可直接用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，．求证：． 【变式2】如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：．    【变式3】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 题型六 等腰三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ★先识别等腰三角形的相等边（腰）或相等角（底角），再运用“等边对等角”或“三线合一”性质，推导所求边、角的等量关系或垂直、平分关系 . 【典例1】如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为 cm 【变式2】如图，在中，，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连接，，若，，则 ． 【变式3】如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 题型七 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ★先通过已知条件（如平行线、对顶角、全等结论等）找到同一三角形中的相等角，再依据 “等角对等边” 定理判定该三角形为等腰三角形. 【典例1】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【变式2】已知：如图，在中，，．求证：（用两种不同的方法来证明） 【变式3】如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 题型八 互逆命题 解｜题｜技｜巧 ★先拆分原命题的 “条件” 与 “结论” 并互换得到逆命题，再通过逻辑推理或举反例判断逆命题的真假. 【典例1】下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．三角形的外角和为 【变式1】请写出命题“若，则”的逆命题： ． 【变式2】下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是 ．（请填写序号） 题型九 互逆定理 解｜题｜技｜巧 ★先拆分原定理的条件与结论并互换得到逆命题，再验证逆命题是否为真（真则为互逆定理，假则不是），且常结合具体定理（如勾股定理与其逆定理）辅助判断. 【典例1】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 【变式2】下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 题型十 线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 ★先找或构造线段垂直平分线上的点，再利用 “线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 的性质，推导线段等量关系以解决证明或计算问题． 【典例1】到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ）． A．三角形两边垂直平分线交点 B．三角形两个内角平分线交点 C．三角形两条中线交点 D．三角形两条高线所在直线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可． 【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【变式1】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，AI平分，BI平分，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若，则的大小为 （用含α的代数式表示）． 题型十一 线段垂直平分线的判定 解｜题｜技｜巧 ★先找到到某线段两端距离相等的两个点，再依据 “到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，判定这两点的连线就是该线段的垂直平分线． 【典例1】如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【变式1】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上． 【变式2】课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明： 题型十二 角平分线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 ★利用角平分线性质时，先找角平分线上的点并作角两边的垂线段，借 “垂线段相等” 推等量关系；用判定时，先证某点到角两边的垂线段相等，再依此判定该点在角平分线上（核心是紧扣 “垂线段” 这一关键条件）． 【典例1】如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为 ． 【变式1】如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为 ． 【变式2】如图，在正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点P，使点P到边的距离相等． 题型十三 角平分线的实际应用 解｜题｜技｜巧 ★先将实际问题中 “到角两边距离相等” 的需求转化为几何条件，再借助角平分线的性质或判定，确定符合要求的点的位置（如选址、路径规划等），核心是紧扣 “垂线段距离相等” 这一关键关联． 【典例1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【变式1】如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【变式2】探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 题型十四 全等三角形之倍长中线 解｜题｜技｜巧 ★遇中线时延长中线至两倍（使延长段等于原中线），利用 SAS 构造全等三角形，将分散的边或角集中，转化为可直接利用的等量关系． 【典例1】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【变式1】我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【变式2】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 题型十五 全等三角形之一线三垂直 解｜题｜技｜巧 ★先识别 “一线三垂直” 模型（一条直线上有三个垂直关系，形成两个直角三角形），再利用直角相等、余角（或对顶角）相等及已知边相等，用 AAS 或 ASA 证明直角三角形全等，实现分散边、角的集中转化． 【典例1】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式1】(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2) 如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【变式2】已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 题型十六 全等三角形之动点问题 解｜题｜技｜巧 ★先分析动点的运动轨迹、速度等要素，确定不同时刻的图形状态，再抓住公共边、已知等角 / 等边等不变量，结合全等判定定理列出等量关系，求解动点位置或运动时间． 【典例1】如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【变式1】如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（   ） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 【变式2】如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 题型十七 全等三角形之旋转手拉手 解｜题｜技｜巧 ★如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 【典例1】 【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【变式1】问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 3．如图，已知，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 5．已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 6．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 3．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 4．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 5．如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 6．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． (3)如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 命题与定义 掌握定义与命题的概念，并解决相关概念题型且能判断正误 基础概念题型，常出现在选择题 全等三角形的概念与性质 掌握全等三角形定义、对应元素，并能找对应关系，用性质求边、角的值 中考常考题型，一般在小题 全等三角形的判定 熟记 SSS/SAS/ASA/AAS/HL， 能按已知条件选择定理 高频易错点，容易忽略全等的条件 等腰三角形的概念与性质 掌握等腰三角形的定义（有两边相等的三角形）、边角性质（等边对等角）及 “三线合一” 性质，能运用性质解决边、角计算和证明问题 中考重点题型，性质应用常出现在选择、填空及解答题基础部分，高频且难度中等偏基础 等腰三角形的判定 熟记等腰三角形的判定定理（等角对等边），能根据已知角或边的关系判定三角形为等腰三角形，解决相关证明和计算 中考常考题型，多与全等、平行线等定理结合，是易错点，需注意判定条件的准确应用 等边三角形的性质 掌握等边三角形定义（三边相等）、边角性质（三角均为 60°、三边相等），能运用性质解决角度计算、线段证明及几何综合问题 多在几何综合题中结合旋转、全等考查，难度中等，是几何变换类题的高频考点 互逆命题 掌握互逆命题的定义，能判断两个命题是否为互逆命题；会写出一个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假 基础概念题型，常出现在选择题、填空题，考查对概念的理解及逆命题的书写与真假判断 互逆定理 掌握互逆定理的定义，能判断两个定理是否为互逆定理；明确互逆定理的成立条件（逆命题为真命题），并结合具体定理（如勾股定理与其逆定理）理解应用 常结合具体定理（如勾股定理、等腰三角形的性质与判定等）考查，多为概念理解题，难度基础，易忽略 “逆命题需为真” 的关键条件 垂直平分线的性质 掌握垂直平分线定义及 “线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 的性质，能运用性质解决线段相等、点的位置判定及辅助线构造问题 基础高频考点，常出现在选择、填空题，也用于几何证明的辅助线设计，属于几何基础工具类考点 角平分线的性质 掌握角平分线定义及 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 的性质，能运用性质解决距离相等证明、角度计算及全等结合类问题 基础高频易错点，多在选择、填空及证明题中出现，易忽略 “距离是垂线段” 的条件，需精准应用 知识点01 命题、定理与证明 ◎命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 ◎命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 ◎命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: ★真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。 ★假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 ◎定理 ★基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 五、证明及证明的一般步骤 ★证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 知识点02 判定全等三角形（边边边） ◎判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 ◎判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 ◎判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 ◎判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 ◎判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点03 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 知识点04 角平分线 ◎角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 ◎角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 知识点05 线段垂直平分线 ◎定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 ◎线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 ◎线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 知识点06 等腰三角形的概念与性质 ◎等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． ◎等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． ◎等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点07 等边三角形的概念与性质 ◎等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. ◎等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° ◎等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点08 互逆命题与互逆定理 ◎互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 ◎互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做 另一个定理的逆定理。 知识点09 尺规作图 ◎作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. ◎作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. ◎作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. ◎过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. ◎作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 判断命题与命题真假 解｜题｜技｜巧 ★只需找到一个满足条件，但不满足结论的例子，即可证明命题为假． 示例：“相等的角是对顶角” 是假命题，反例为 “两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角”． 【典例1】下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B. 【变式1】下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查命题真假的判断，解题的关键是熟知平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义．根据平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两个互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故B不符合题意； C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，原命题是假命题，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 题型二 补全证明过程 解｜题｜技｜巧 ★从已知条件出发，逐步推导中间结论（如先证三角形全等，再得对应边 / 角相等），直到接近最终求证结论。每一步需标注依据（如 “∵ 已知 / SSS 判定定理，∴ …”）． ★若正向推导受阻，可从求证结论出发，逆向思考：“要证明这个结论，需要先证明什么条件？” 再看该条件是否可由已知或中间结论推导得出． 【典例1】如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明： ， （等量代换）． ． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 【变式1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式2】推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 题型三 全等三角形的概念 解｜题｜技｜巧 ★紧扣全等三角形 “完全重合” 的本质，明确对应边与对应角的关系，以此判断三角形是否全等或推导边、角的等量关系. 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 【变式1】如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 【变式2】如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 题型四 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ★解题时先精准定位全等三角形的对应边与对应角，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，推导所求边或角的等量关系． 【典例1】如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形全等的性质，根据性质得到是解题的关键． 由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】，， 又， ， ． 故选：A． 【变式1】如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等即可解答． 【详解】解：∵，和，和是对应顶点， ∴． 故选：C． 【变式2】已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 根据两个三角形全等，找到对应边与、与，其夹角为对应角，从而得出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ， 故选：． 题型五 全等三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ★先分析已知的边、角条件，找准三角形间的对应关系，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS（直角三角形加HL）判定定理，证明三角形全等． 【典例1】如图，可直接用“”判定和全等的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 【变式2】如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形的内角和定理，根据对顶角相等，结合三角形的内角和定理推出，利用即可得证． 【详解】证明：∵和相交于点O， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 在和中   ； ∴． 【变式3】如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 题型六 等腰三角形的性质 解｜题｜技｜巧 ★先识别等腰三角形的相等边（腰）或相等角（底角），再运用“等边对等角”或“三线合一”性质，推导所求边、角的等量关系或垂直、平分关系 . 【典例1】如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为 cm 【答案】19或20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，解题的关键在于分情况讨论． 因为已知两边长度为和，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，另一边长为， ∴当腰长为时， ∵，∴，，能构成三角形， ∴周长为（）， 当腰为时， ∵， ∴，，能构成三角形， ∴周长为（）． 故答案为：19或20． 【变式2】如图，在中，，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连接，，若，，则 ． 【答案】58 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，再求出，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：58． 【变式3】如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 【答案】1 【分析】根据题干条件和三角形的内角和等于，推断出，判定，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证明． 题型七 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 ★先通过已知条件（如平行线、对顶角、全等结论等）找到同一三角形中的相等角，再依据 “等角对等边” 定理判定该三角形为等腰三角形. 【典例1】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 【变式1】如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，角平分线有关计算．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的关键． 根据、分别平分、的外角，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 同理可得 ，， ， ， 故答案为：． 【变式2】已知：如图，在中，，．求证：（用两种不同的方法来证明） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． 方法一：在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到，，则可证明，得到，据此可证明； 方法二：如图所示，延长到D使得，连接，证明，得到，再证明是等边三角形，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，在上截取，连接， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 方法二：如图所示，延长到D使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状． （1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到； （2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． （2）证明：， ， 即， ， 为等边三角形． 题型八 互逆命题 解｜题｜技｜巧 ★先拆分原命题的 “条件” 与 “结论” 并互换得到逆命题，再通过逻辑推理或举反例判断逆命题的真假. 【典例1】下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．直角都相等 C．同位角相等，两直线平行 D．三角形的外角和为 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假和平行线的判定与性质，多边形的外角和，不等式等知识点，熟记性质与定义是解题的基础，会举反例判断假命题是解题的关键． 先写出各命题的逆命题，再分别根据平行线的判定与性质，多边形的外角和，不等式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：若，则，错误，是假命题，当时满足，但不满足，故本选项不符合题意； B、逆命题为：相等的角都是直角，错误，是假命题，故本选项不符合题意； C、逆命题为：两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，故本选项符合题意； D、外角和为的图形是三角形，错误，是假命题，任意多边形外角和都是，故本选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】请写出命题“若，则”的逆命题： ． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 【变式2】下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是 ．（请填写序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题；其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题；其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题，它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④， 故答案为：②④． 题型九 互逆定理 解｜题｜技｜巧 ★先拆分原定理的条件与结论并互换得到逆命题，再验证逆命题是否为真（真则为互逆定理，假则不是），且常结合具体定理（如勾股定理与其逆定理）辅助判断. 【典例1】下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A中、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是两个三角形全等的三边分别相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； B中、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； C中、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是两个全等的直角三角形斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； D中、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题， 则原定理没有逆定理，符合题意； 故选：D． 【变式2】下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由见解析 (2)说法正确，理由见解析 (3)说法错误，理由见解析 (4)说法错误，理由见解析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 题型十 线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 ★先找或构造线段垂直平分线上的点，再利用 “线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 的性质，推导线段等量关系以解决证明或计算问题． 【典例1】到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ）． A．三角形两边垂直平分线交点 B．三角形两个内角平分线交点 C．三角形两条中线交点 D．三角形两条高线所在直线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可． 【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【变式1】如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 【变式2】如图，在中，AI平分，BI平分，点O是AC，BC的垂直平分线的交点，连接AO，BO．若，则的大小为 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出. 【详解】解：连接并延长至D， ∵点O是的垂直平分线的交点， ， ， ∵是的一个外角， ， 同理，， ， ， ， 平分，平分， ， ， . 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 题型十一 线段垂直平分线的判定 解｜题｜技｜巧 ★先找到到某线段两端距离相等的两个点，再依据 “到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，判定这两点的连线就是该线段的垂直平分线． 【典例1】如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选：A． 【变式1】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握“到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明得，根据线段的垂直平分线的判定证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ， 点在的垂直平分线上． 【变式2】课本再现： 前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？ 事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理． 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上．证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明． 连接点P与的中点O，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线． 【详解】连接点P与的中点O， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点在线段的垂直平分线上． 题型十二 角平分线的性质与判定 解｜题｜技｜巧 ★利用角平分线性质时，先找角平分线上的点并作角两边的垂线段，借 “垂线段相等” 推等量关系；用判定时，先证某点到角两边的垂线段相等，再依此判定该点在角平分线上（核心是紧扣 “垂线段” 这一关键条件）． 【典例1】如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 【变式1】如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到的面积的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：过点作于， ∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 同理可证:， ∴， ∴， 解得，， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点P，使点P到边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图－轴对称变换、角平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质、角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）延长交直线于点F，取的中点P，则点P即为所求． 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）如图，延长交直线于点F，取的中点P， 则为等腰三角形， ∴为的平分线， ∴点P到边的距离相等， ∴点P即为所求． 题型十三 角平分线的实际应用 解｜题｜技｜巧 ★先将实际问题中 “到角两边距离相等” 的需求转化为几何条件，再借助角平分线的性质或判定，确定符合要求的点的位置（如选址、路径规划等），核心是紧扣 “垂线段距离相等” 这一关键关联． 【典例1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 【变式1】如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 【变式2】探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 题型十四 全等三角形之倍长中线 解｜题｜技｜巧 ★遇中线时延长中线至两倍（使延长段等于原中线），利用 SAS 构造全等三角形，将分散的边或角集中，转化为可直接利用的等量关系． 【典例1】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 【变式1】我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】(1)是 (2)见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）证明： 延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 题型十五 全等三角形之一线三垂直 解｜题｜技｜巧 ★先识别 “一线三垂直” 模型（一条直线上有三个垂直关系，形成两个直角三角形），再利用直角相等、余角（或对顶角）相等及已知边相等，用 AAS 或 ASA 证明直角三角形全等，实现分散边、角的集中转化． 【典例1】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：； (2) 如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】（1）证明即可根据三角形全等的性质得到结论； （2）证明即可根据三角形全等的性质得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ． ． 又 ， ． （2）解：．理由如下： ， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等证明角相等是解题关键． 【变式2】已知：如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长交于点．求证：为的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质得， ， 由旋转的性质得， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， 是的中点． 题型十六 全等三角形之动点问题 解｜题｜技｜巧 ★先分析动点的运动轨迹、速度等要素，确定不同时刻的图形状态，再抓住公共边、已知等角 / 等边等不变量，结合全等判定定理列出等量关系，求解动点位置或运动时间． 【典例1】如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【详解】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 【变式1】如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（   ） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：，， 若，， 根据证得， ，即； 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为2或9秒时．与全等． 故选：A． 【变式2】如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用： （1）证明即可； （2）根据的三边关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ； （2）解：∵（当且仅当共线时取等号）， 即． 故答案为：． 题型十七 全等三角形之旋转手拉手 解｜题｜技｜巧 ★如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 【典例1】 【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 【变式1】问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 【答案】（）；；（）四边形的周长为；（）满足条件的建设费用元． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）先求出，进而得，再依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出答案； （）延长到，使，连接，证明是等边三角形，得，，再根据是等边三角形得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出四边形的周长； （）过点作交于点，连接，则和都是等腰直角三角形，进而得，，，，由此得，继而依据“”判定和全等得米，，则，再求出平方米，即可得出种植草坪的费用，据此可得满足条件的建设费用． 【详解】解：（）在中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，的度数为， 故答案为：；； （）延长到，使，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形的周长为； （）过点作交于点，连接，如图所示， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴（米），， ∴，即， ∴（平方米）， ∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元， ∴在内部种植草坪的费用为：（元）， 又∵在区域内安装健身器材需元， ∴满条件的建设费用为（元）， 答：满足条件的建设费用元． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 2．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，找出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可得，然后根据周角等于求出，再根据三角形的内角和定理求出，从而得解． 【详解】解：如下图， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，由旋转的性质可得，由线段中点的定义证明，进而可证明为等边三角形，则． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 5．已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二元一次方程组的解法，根据等边三角形的性质可得，再进一步求解即可． 【详解】解：等边三角形， ， ， ，， 故答案为：4． 6．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，点P是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点，已知，，点为上一点，若满足，则的长度为 ． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．利用角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形，通过全等三角形的对应边相等来求解的长度． 【详解】解：过点作于点． ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，． 故答案为：或． 3．在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵在中，，， ， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 4．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2）解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． （3）解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 5．如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到结论； （2）过点O分别作于点M，于点N，证明，可得，从而可得结论； （3）过点D作于点H．由等边和等腰可知，，证明，可得，证明，可得，再进一步利用割补法可得结论. 【详解】证明：（1）连接． ，点O是的中点， ， ， ， 在等边中，， 在和中， ， ， 平分； （2）过点O分别作于点M，于点N ， ，点O是的中点， 则， ，点F是的中点， 则， ， ， ∵， 在和中， ， ， ， ∴平分； （3）过点D作于点H． 由等边和等腰可知， ， 即， 又， ， ， ， ， ， ，点F是的中点， ，， 在和中， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键. 6．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． (3)如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）证明即可求证； （）由“同源三角形”的定义和可得，由得，再根据和三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求解； 本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和是“同源三角形”， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与相交于点， ∵和是“同源三角形”， ∴， ∵， ∴， 由（）可知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 由（）可知， ∴，， ∵的中点分别为， ∴， 在和中， ∴， ∴． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $