第12章 全等三角形（复习讲义）数学华东师大版2024八年级上册

第12章 全等三角形（复习讲义） 课程标准： 1. 几何直观与空间观念：能识别基本几何图形（三角形、等腰三角形等）及其相互关系，能根据条件进行直观想象，理解几何变换（如翻折）。 2. 抽象能力：能区分“定义”、“命题”、“定理”、“条件”、“结论”等抽象概念。 3. 推理能力：发展逻辑推理能力，尤其是演绎推理。掌握用符号语言表达推理过程，体验从合情推理到演绎推理的过程。 4. 模型观念：了解几何模型（如全等模型、等腰三角形模型）的构建与应用。 5. 应用意识：能将所学几何知识（如全等三角形判定、等腰三角形性质）应用于解决简单的实际问题和几何证明中。 中考考查的考点总结： 考点1：命题的组成与结构 考点2：真命题与假命题的判断 考点3：定理与定义的关系 考点4：全等三角形五大判定定理的应用 考点5：全等三角形综合证明 考点6：全等三角形几何问题中的桥梁作用 考点7：等腰三角形性质“三线合一” 考点8：等腰三角形判定方法 考点9：等边三角形的性质与判定 考点10：结合全等三角形的综合题 考点11：逆命题的构造 考点12：逆命题的真假判断 考点13：互逆定理的识别 章节 常考结论 易错点 12.1 命题、定义、定理与证明 1. 原命题为真，逆命题不一定为真 2. 定义具有确定性，定理需证明 3. 反例是证伪命题的有效方法 1. 混淆充分条件与必要条件 2. 证明过程逻辑跳跃 3. 忽略反例的构造方法 12.2 三角形全等的判定 1. SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定法 2. 全等三角形对应元素相等 3. 重叠部分对应关系分析 1. 误用SSA判定 2. 对应顶点书写错误 3. 公共边/角识别遗漏 12.3 等腰三角形 1. 等边对等角性质 2. 三线合一判定 3. 等边三角形各角60° 1. 腰/底边分类讨论缺失 2. 高线/中线/角平分线混淆 3. 外角性质应用错误 12.4 逆命题和逆定理 1. 互逆命题的真假独立性 2. 勾股定理及其逆定理 3. 等价命题的转换方法 1. 逆命题构造错误 2. 混淆互逆与互否关系 3. 定理逆命题验证缺失 题型一 命题 【例1】下列命题：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③邻补角的角平分线互相垂直；④的算术平方根是a．其中真命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【变式1-2】如图，．求证：． 题型二 全等三角形的判定——SAS 【例2】如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【变式2-1】有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，，，则两点之间的距离为 ． 【变式2-2】如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 题型三 全等三角形的判定——ASA 【例3】 如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 【变式3-1】如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 【变式3-2】如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 题型四 全等三角形的判定——AAS 【例4】如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式4-1】如图，在中，、分别是和边上的高，与相交于，若，，则 ． 【变式4-2】如图，点F，C在上，，，，求证：． 题型五 全等三角形的判定——SSS 【例5】如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【变式5-1】如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 【变式5-2】如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 题型六 全等三角形的判定——HL 【例6】如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在和中，，，，若，则 ． 【变式6-2】某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 题型七 等腰三角形的性质与判定 【例7】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式7-1】在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，以为顶点的等腰三角形的底角的度数为 °．（用含n的式子表示） 【变式7-2】如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型八 等边三角形的性质与判定 【例8】如图，以正五边形的边为一边，向内作，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，，，．现在将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为 ． 【变式8-2】如图所示，在中，是边上一点，，过点作交于点，点是上一点，连接，，，且平分，求证：垂直平分．    题型九 线段垂直平分线的性质与判定 【例9】如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【变式9-2】如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 题型十 角平分线的性质与判定 【例10】如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式10-1】如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ． 【变式10-2】（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 题型十一 全等模型——一线三等角 【例11】如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【变式11-1】如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【变式11-2】（1）问题发现：在图①中，在和中，，，，点、、在同一直线上，连接．与全等吗？请证明你的结论． （2）拓展探究：图②中，在和中，，，，、、在同一直线上，为中边上的高且平分，连接． ①求与的数量关系和的度数． ②直接写出线段、、之间的数量关系． 题型十二 全等模型——手拉手 【例12】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【变式12-1】如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 【变式12-2】问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 题型十三 全等模型——倍长中线法 【例13】如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【变式13-2】如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 题型十四 全等中的动点问题 【例14】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若在某一时刻，以A，C，P三点构成的三角形与以B，P，Q三点构成的三角形全等，则点的运动速度为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式14-1】如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【变式14-2】如图，点A、D、C、F在一条直线上，且．求证：． 基础巩固通关测 1．如图，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（      ） A． B． C． D． 2．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，垂足分别为M，N，点G，H分别在边上，．若，则的值为（  ） A．12 B．8 C． D．10 4．“和为钝角的两个角都是锐角”是 （填写“真”或“假”）命题． 5．如图，已知，若，，则的长为 ． 6．如图，已知于A，于B，且，则 ． 7．如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 8．如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：． 9．综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： (1)求证：是等腰直角三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 10．如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 能力提升进阶练 1．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 3．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 5．如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为 6．如图，是等边三角形的角平分线，点是边的中点，点是上一动点，连接，已知，则最小值为 ． 7．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 8．综合与实践 已知是等边三角形，过点A 作． (1)如图1说明：是的平分线． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 9．本学期，我们学习了利用尺规作线段的垂直平分线以及作角的平分线． (1)如图1，甲、乙、丙三人分别用不同的方法作线段的垂直平分线，其中作法正确的是________；（写出所有正确的结果） (2)借助无刻度的直尺和圆规，用2种不同的方法，在图2中作的平分线． 10．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形（复习讲义） 课程标准： 1. 几何直观与空间观念：能识别基本几何图形（三角形、等腰三角形等）及其相互关系，能根据条件进行直观想象，理解几何变换（如翻折）。 2. 抽象能力：能区分“定义”、“命题”、“定理”、“条件”、“结论”等抽象概念。 3. 推理能力：发展逻辑推理能力，尤其是演绎推理。掌握用符号语言表达推理过程，体验从合情推理到演绎推理的过程。 4. 模型观念：了解几何模型（如全等模型、等腰三角形模型）的构建与应用。 5. 应用意识：能将所学几何知识（如全等三角形判定、等腰三角形性质）应用于解决简单的实际问题和几何证明中。 中考考查的考点总结： 考点1：命题的组成与结构 考点2：真命题与假命题的判断 考点3：定理与定义的关系 考点4：全等三角形五大判定定理的应用 考点5：全等三角形综合证明 考点6：全等三角形几何问题中的桥梁作用 考点7：等腰三角形性质“三线合一” 考点8：等腰三角形判定方法 考点9：等边三角形的性质与判定 考点10：结合全等三角形的综合题 考点11：逆命题的构造 考点12：逆命题的真假判断 考点13：互逆定理的识别 章节 常考结论 易错点 12.1 命题、定义、定理与证明 1. 原命题为真，逆命题不一定为真 2. 定义具有确定性，定理需证明 3. 反例是证伪命题的有效方法 1. 混淆充分条件与必要条件 2. 证明过程逻辑跳跃 3. 忽略反例的构造方法 12.2 三角形全等的判定 1. SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定法 2. 全等三角形对应元素相等 3. 重叠部分对应关系分析 1. 误用SSA判定 2. 对应顶点书写错误 3. 公共边/角识别遗漏 12.3 等腰三角形 1. 等边对等角性质 2. 三线合一判定 3. 等边三角形各角60° 1. 腰/底边分类讨论缺失 2. 高线/中线/角平分线混淆 3. 外角性质应用错误 12.4 逆命题和逆定理 1. 互逆命题的真假独立性 2. 勾股定理及其逆定理 3. 等价命题的转换方法 1. 逆命题构造错误 2. 混淆互逆与互否关系 3. 定理逆命题验证缺失 题型一 命题 【例1】下列命题：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③邻补角的角平分线互相垂直；④的算术平方根是a．其中真命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了命题的真假，平行和垂直的性质，邻补角，角平分线，算术平方根，解题的关键是掌握以上知识点．根据平行和垂直的性质，邻补角，角平分线，算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：命题①：平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若点在直线上，则不存在与之平行的直线．命题未明确点是否在直线外，故错误． 命题②：平面几何中，无论点在直线上还是线外，过该点均存在且仅有一条直线与已知直线垂直（垂线唯一性），题目没说明在平面内，故错误． 命题③：邻补角和为，其角平分线分别将邻补角分为两个的角，故两平分线夹角为，即互相垂直，正确． 命题④：算术平方根非负，故的算术平方根为，当时不等于，错误． 综上，真命题为③，共1个． 故选：B． 【变式1-1】写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可． 【详解】解：根据题意可知：题设是，结论是， 故答案为：，． 【变式1-2】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线的定义，全等三角形的判定与性质．先根据垂直定义得，即，再根据判定和全等，根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． 题型二 全等三角形的判定——SAS 【例2】如图，将两根钢条 、的中点O连在一起，使 、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出的长等于内槽宽；那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 【变式2-1】有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，，，则两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 【详解】解：在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】如图，线段与相交于点，点分别在上，线段过点，猜想线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，即可解答． 【详解】解：． ， ， ， 在与中，， ， ． 题型三 全等三角形的判定——ASA 【例3】 如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的判定与性质，三角形中线的性质，延长交于点N，根据条件证明，可得，进而得到，再根据为中点，即可求解． 【详解】解：延长交于点N，如图，   ∵平分，垂直的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故选：A． 【变式3-1】如图，在中，是高和的交点，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式3-2】如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 题型四 全等三角形的判定——AAS 【例4】如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，由点是边的中点，得到，由平行线的性质得到，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-1】如图，在中，、分别是和边上的高，与相交于，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．根据同角的余角相等可得，然后利用即可证出，从而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵和分别是边和边上的高， ∴ ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故答案为：． 【变式4-2】如图，点F，C在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型五 全等三角形的判定——SSS 【例5】如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】 即 在和中， 故选C． 【变式5-1】如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件推断全等的依据即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型六 全等三角形的判定——HL 【例6】如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 【变式6-1】如图，在和中，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查直角三角形全等的判定：，还有直角三角形两锐角互余的性质．根据“”可以证明，则，根据余角的性质即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 根据得出，，再根据平分线得出，等量代换得出即可证明． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下， ， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 题型七 等腰三角形的性质与判定 【例7】如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交AB于点，交AC于点，若，，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据三角形周长公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为． 故选：C 【变式7-1】在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，以为顶点的等腰三角形的底角的度数为 °．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质． 根据题意得出，的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个等腰三角形的底角的度数，进而求出以为顶点的等腰三角形的底角的度数． 【详解】解：∵在中， ∴第个等腰三角形的底角：， ∵是的外角， ∴第个等腰三角形的底角：； ∵，是的外角， ∴第个等腰三角形的底角：， 同理可得，第个等腰三角形的底角：， ∴第个等腰三角形的底角的度数为：， ∴以为顶点的等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 【变式7-2】如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 题型八 等边三角形的性质与判定 【例8】如图，以正五边形的边为一边，向内作，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和、正多边形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握多边形的内角和、正多边形的性质是解题的关键； 根据多边形的内角和、正多边形的性质得出每个角度数，然后在证出为等边三角形，再利用角的和差计算即可． 【详解】∵正五边形的内角和为， ， ∵，， ∴为等边三角形， 故选：B． 【变式8-1】如图，在中，，，．现在将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，连接，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．由题意可得是等边三角形，进一步可得是等边三角形即可得出的长度． 【详解】解：中，，，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ． 是旋转而成， ，． ． 是等边三角形． ． 故答案为：． 【变式8-2】如图所示，在中，是边上一点，，过点作交于点，点是上一点，连接，，，且平分，求证：垂直平分．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，由等角对等边可得出，即可得出点在线段CD的垂直平分线上，再由即可得出垂直平分． 【详解】证明： 平分 点在线段CD的垂直平分线上 点在线段的垂直平分线上 垂直平分 题型九 线段垂直平分线的性质与判定 【例9】如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 【变式9-1】如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连结，设，根据线段垂直平分线的性质可逐步求得，，，再计算，即可求得答案． 【详解】解：连结， 设，则，， 垂直平分， ，， ，， ， ， 的周长为． 故答案为：32． 【变式9-2】如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 题型十 角平分线的性质与判定 【例10】如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式10-1】如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线，，相交于点，平分，已知，，的面积为2.5，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积为， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 【变式10-2】（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）利用平角得定义即可求解； （2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： 当点E在上时，点D在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； 当点E在上时，点D在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； 当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 题型十一 全等模型——一线三等角 【例11】如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识；由，，得，因为，所以，而，即可根据“”证明，得，因为，所以，于是得到问题的答案，推导出，进而证明是解题的关键． 【详解】解：于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【变式11-1】如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式11-2】（1）问题发现：在图①中，在和中，，，，点、、在同一直线上，连接．与全等吗？请证明你的结论． （2）拓展探究：图②中，在和中，，，，、、在同一直线上，为中边上的高且平分，连接． ①求与的数量关系和的度数． ②直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2）①，；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，确定每一问中的两个全等三角形是解本题的关键． （1）先由证出，由证明即可； （2）①先证明，，再结合全等三角形的性质与等腰三角形的性质可得； ②由，，可得，由为中边上的高且平分，可得，可得，结合全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：①，，， 与都是等腰三角形， ， 在和中，， ， ∴，， 是等腰三角形，， ∴， ∵点、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵为中边上的高且平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十二 全等模型——手拉手 【例12】如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（    ） A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，①正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，⑤正确；同理得：，即可得出②正确；根据，，可知，可知④错误；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知③正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，①正确； ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，⑤正确； 同理得：， ∴，②正确； ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； 综上，正确的有①②③⑤； 故选：A． 【变式12-1】如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴即③错误； ∵， ∴， ∴，即，则④正确． 综上，正确结论的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式12-2】问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十三 全等模型——倍长中线法 【例13】如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 在与中， ， ， ， 在中，， 即，， 故选：C． 【变式13-1】课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 【变式13-2】如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1或或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）由题意分和两种情况列出代数式即可； （2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答； （3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当点到点时，； 当点到点时，； 当时，在上，则， ； 当时，点在上， ， ． 的长为或； （2）证明：， ， ， ， ， ． （3）解：当点到点时，， 当点P到点C时，， 当点Q到点B时，， 当点Q到点A时，， 当时，点P在边上，点Q在边上，， 此时，则有， ， ，解得：； 当时，点P、Q都在边上时，， 此时， ， ，解得：； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上，， 此时， ， ，解得：． 综上，当与全等时，的值为1或或8． 题型十四 全等中的动点问题 【例14】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若在某一时刻，以A，C，P三点构成的三角形与以B，P，Q三点构成的三角形全等，则点的运动速度为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题中的全等，熟记全等三角形的性质定理是解题关键．根据，分类讨论、即可求解． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 由题意得：， ∵， ∴当时，， 即：， 解得：； 当时，， ∴，解得：， ∴ 解得：； 故选D． 【变式14-1】如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想是解题关键． 分两种情况进行讨论，①，②，根据题意得出和即可求解． 【详解】解： 四边形是长方形， ，， ， 或， 或． ①如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； ②如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； 当或时，与全等． 故答案为：或． 【变式14-2】如图，点A、D、C、F在一条直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 基础巩固通关测 1．如图，已知，添加下列条件后，仍不能判断的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判，熟记相关定理结论是解题关键； 【详解】解：∵， 若，则根据可判定，故A不符合题意； 若，则根据可判定，故B不符合题意； 若，则根据可判定，故C不符合题意； 不是两个三角形的对应边，故不可判定，故D符合题意； 故选：D． 2．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选：． 3．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，点T在射线上，过点T作，垂足分别为M，N，点G，H分别在边上，．若，则的值为（  ） A．12 B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件分别证明，，得出对应边相等，利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据尺柜作图的操作可得，为的角平分线，且， ∴，， ∵，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．“和为钝角的两个角都是锐角”是 （填写“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据锐角、钝角的概念判断即可． 【详解】解：，即与的和是，而、都是钝角， ∴“和为钝角的两个角都是锐角”是假命题， 故答案为：假． 5．如图，已知，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．直接根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，已知于A，于B，且，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 7．如图，有如下四个论断：①，②，③，④． (1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） (2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 8．如图，已知在和中，点在边上，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．直接利用证明即可． 【详解】证明：在和中，， ∴． 9．综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： (1)求证：是等腰直角三角形； (2)“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先运用证明可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】的长度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 能力提升进阶练 1．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查命题真假的判断，根据平行公理、垂线性质、立方根、无理数定义及实数与数轴的关系，需逐一分析各命题的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不符合题意； ③4是64的立方根，故③不符合题意； ④带根号的数不一定都是无理数，故④不符合题意； ⑤实数和数轴上的点一一对应，正确，故⑤符合题意； ∴符合题意的有⑤，共个， 故选：B． 2．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 3．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④；根据，即可判断②；假设平分，则可求出，即可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， 又即， ∴， ∴， 又， ∴，故②错误； 若平分， 则， 又， ∴， 又， ∴， 而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误； 故选∶B 4．如图，已知点在直线外，按以下步骤作图：①在直线上任取一点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点，连接；②以点为圆心，以的长为半径作弧；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点，作直线．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键；由作图可得：，，可证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定，即可求解． 【详解】解：连接，由作图可得：，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 5．如图，在中，，D是上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点B落在点处，连接，若，且平分，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的定义、等边对等角、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，由角平分线的定义可得，由等边对等角结合三角形内角和定理计算可得，最后再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，是等边三角形的角平分线，点是边的中点，点是上一动点，连接，已知，则最小值为 ． 【答案】6 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解．本题主要考查等边三角形的性质（三线合一）与轴对称 - 最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： ． 7．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出，由角平分线的定义得到，判定，推出． 【详解】解：已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：， ， 和是的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 故答案为：，. 8．综合与实践 已知是等边三角形，过点A 作． (1)如图1说明：是的平分线． (2)如图2，当点D在线段上（不与点A，B重合）时，连接，以为边在上方作等边，连接，求证：． (3)如图3，当点D在的延长线上时，连接，以为边在右边作等边，连接，作关于直线对称的图形，连接，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，证明即可得出结论； （2）证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ∵， ， 是的平分线； （2）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ． （3）解：由（2）同理可证：， ，． 与关于直线对称，是等边三角形， ，是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ． ， ∴设，则， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 所以的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 9．本学期，我们学习了利用尺规作线段的垂直平分线以及作角的平分线． (1)如图1，甲、乙、丙三人分别用不同的方法作线段的垂直平分线，其中作法正确的是________；（写出所有正确的结果） (2)借助无刻度的直尺和圆规，用2种不同的方法，在图2中作的平分线． 【答案】(1)甲，乙，丙 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）由甲和丙的作图痕迹可知，所作均为线段的垂直平分线；将图乙中两处弧线交点分别记为，，设直线交于点，连接，，，，证明，进而可证明，则可得，，根据，可知，即直线为线段的垂直平分线，从而可得答案； （2）方法一：利用尺规作图作出射线即可；方法二：以为圆心，适当长为半径作弧交交的两边于点，，作，，交于点，作射线即可． 【详解】（1）解：由甲和丙的作图痕迹可知，所作均为线段的垂直平分线， 故甲、丙符合题意； 如图乙，将两处弧线交点分别记为，，设直线交于点，连接，，，， 可得，， ， ， ． ， ， ，， ， ， 直线为线段的垂直平分线， 故乙符合题意． 综上所述，作法正确的是甲、乙、丙． 故答案为：甲，乙，丙； （2）解：如图2中，射线，即为所求． 10．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】(1)与，与，与 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，    ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，    设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 68 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $$