精品解析：湖南省永州市冷水滩区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年下期义务教育期末质量检测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，需根据每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A项：方程，只含有一个未知数，但未知数的最高次数是1，它是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B项：方程，可以变形为，它含有两个未知数x和y，不满足一元二次方程“只含有一个未知数”这一条件，所以不是一元二次方程，不符合题意； C项：方程，只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义，所以是一元二次方程，符合题意； D项：方程，含有两个未知数x和y，不满足一元二次方程“只含有一个未知数”这一条件，所以不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 下列图形中是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键； 分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解： A、，是有理数，故符合题意； B、，是无理数，故不符合题意； C、，是无理数，故不符合题意； D、，是无理数，故不符合题意； 故选：A 4. 已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 5. 零陵区某校共有学生4000人，为了解这些学生的视力情况，对其中100名学生进行了抽查，对所得数据进行整理．若数据在4.85～5.15这一组的频率为0.45，则该校学生视力在4.85～5.15的约有（ ） A. 45人 B. 180人 C. 1600人 D. 1800人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查频率，熟练掌握频率是解题的关键；由题意可知，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：（人）． 故选：D． 6. 日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ） A. 40秒 B. 60秒 C. 80秒 D. 100秒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为 ∴一枚炮弹从发射到落地，即 ∴， 则， 解得（舍去）， ∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒， 故选：C 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，原函数为，需先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最终确定新顶点的位置，从而得到解析式． 【详解】A．，是将向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，不符合题意； B．，是将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，不符合题意； C．，是将向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，符合题意； D．，是将向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，不符合题意． 故选：C． 10. 规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，坐标与图形性质以及同角三角函数的关系，解题的关键是正确运用两平面向量互相垂直的运算法则． 根据平面向量互相垂直的运算法则得到方程．通过解该方程求得，所以由特殊角的三角函数值求得答案． 【详解】解：∵与互相垂直，且，， ∴ ， ∵是锐角， ∴， 两边同除以得： 即． ∴． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的开口方向是向______（填“上”或“下”） ． 【答案】上 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 对于二次函数，当时，二次函数开口向上，当时，二次函数开口向下，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线中， ∴该抛物线开口向上， 故答案为：上． 12. 在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应关系．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作等距离平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若关于x的方程有一个根是1，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0， 解得a=1． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了利用方差做决策，熟练掌握方差的稳定性是解题关键．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，由此即可得． 【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，且， ∴丙同学发挥最稳定， ∴派丙同学去参赛更合适， 故答案为：丙． 15. 已知在中，，，， 则________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查已知余弦求边长，熟练掌握在直角三角形中，余弦为邻边比斜边是解题的关键．根据题意可知，即可得答案． 【详解】解：根据题意，，， ∴． 故答案为：9． 16. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 18. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设当涨价a元时，单日利润为W元，则，即可求解． 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，， 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，特殊角的函数值的计算，掌握以上知识是解题的关键． （1）把方程化为，利用因式分解法解方程即可得到答案； （2）先计算特殊角的三角函数值，再合并即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ，； （2）原式 ． 20. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 4 3 2 1 频数 20 10 m 6 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数a的值为______，扇形统计图中n的值为______； （2）该校九年级学生共有3000人，若九年级学生都参加测试，估计得分超过3分的学生人数有多少人？ 【答案】（1）40，50 （2）2250人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图的综合应用，用样本估计总体． （1）计算本次抽取的学生人数通过得分成绩在3的频数除以所占百分比可得出，计算扇形统计图中n的值利用成绩分数在4的频数除以总人数再乘100%可得到结果； （2）先计算本次抽取的人数中得分超过3分的频数，再计算其频率，最终用九年级总人数乘以频率即可得到结果． 【小问1详解】 解：由成绩分数在3的频数与所占百分比可知：， ∵成绩分数在4的频数为20， ∴． 故答案为：40，50． 【小问2详解】 解：在本次抽取的学生中，得分超过3分的频数为：， ∴得分超过3分的频率为：， ∴在九年级学生中，得分超过3分的人数约有：（人）． 21. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）当时，求对应的的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【小问1详解】 由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 22. 如图，在中，是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，的面积为5，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识﹒ （1）根据“有两个角相等的两三角形相似”即可证明； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ． 23. 周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． （1）求点到地面的距离； （2）当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答． （2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答． 【小问1详解】 解：∵安全链与铅垂线夹角为， ∴ 过点作 在中，， ， ∴， ， 点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：过点作， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为． 24. “绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？ 【答案】（1） （2）728万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出5月份销售新能源汽车数量，再列式求解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为． 【小问2详解】 解：5月份销售新能源汽车（辆）， （万元）， 答：该经销商4月至6月份共盈利728万元． 25. 我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． （1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． （2）如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 【答案】（1）A （2）①证明：如图2，∵，， ， ∵， ∴， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， ， ∴， ∴， ∴点是的相似心． ② 【解析】 【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证． ②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：如图1，取格点、，连接、、、， ∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ∴，，， ，， ，， ∴， ∴， ， ∴与中的最大角，与中的最大角， ∴与不相似，与不相似， 故答案为：A． 【小问2详解】 解：①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴的值为． 【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键． 26. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81 （2）， （3）最优纵横值为 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期义务教育期末质量检测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 零陵区某校共有学生4000人，为了解这些学生的视力情况，对其中100名学生进行了抽查，对所得数据进行整理．若数据在4.85～5.15这一组的频率为0.45，则该校学生视力在4.85～5.15的约有（ ） A. 45人 B. 180人 C. 1600人 D. 1800人 6. 日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ） A. 40秒 B. 60秒 C. 80秒 D. 100秒 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 抛物线的开口方向是向______（填“上”或“下”） ． 12. 在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是______． 13. 若关于x的方程有一个根是1，则_________． 14. 九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）． 15. 已知在中，，，， 则________ 16. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 18. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____________元，才能使每日利润最大． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19. （1）解方程：； （2）计算：． 20. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 4 3 2 1 频数 20 10 m 6 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数a的值为______，扇形统计图中n的值为______； （2）该校九年级学生共有3000人，若九年级学生都参加测试，估计得分超过3分的学生人数有多少人？ 21. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）当时，求对应的的取值范围． 22. 如图，在中，是边上一点，． （1）求证：； （2）若，，的面积为5，求的面积． 23. 周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链． （1）求点到地面的距离； （2）当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，） 24. “绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？ 25. 我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． （1）如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． （2）如图2，在中，，，是内一点，且． ①求证：点是的相似心； ②求的值． 26. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $