精品解析：广西南宁市邕宁民族中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级数学 （时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：A． 3. 函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ，根据二次函数的顶点式形式，直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故选：D 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的两个实数根，掌握“当时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的两个实数根． 故选：B． 5. 如图，已知是 的圆周角，，则圆心角 是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得=2=，故选D 6. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用韦达定理即可求解． 【详解】解：由韦达定理可知， 故选：B． 7. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可． 【详解】解：第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为， 则列出的方程是． 故选：D． 8. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 9. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最大值为 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案． 【详解】解：， 顶点坐标为，函数图象开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为， 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若，则， 综上可知，选项D结论正确，选项A，B，C结论错误， 故选：D． 10. 如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，， 【详解】解：连结接、、，，，，设半径为， ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径． 11. 如图，以半径为2的正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，顶点A，D在x轴上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：连接OC． ∵∠COD=60°，OC=OD， ∴△COD是等边三角形， ∴OC=OD=2． 设BC交y轴于G，则∠GOC=30°． 在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=2， ∴GC=1，OG=． ∴C（1，-）． 故选C． 12. 如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知，，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④． 【详解】解：根据图象可知，， ， ，故①正确； 根据，可得，故②正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，，即，故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，即，故④错误． 综上所述，其中正确的有2个． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标的纵横坐标互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的平移规律代入运算，即可得出平移后的函数解析式． 【详解】解：由题意根据函数平移的规律左加右减，上加下减可得， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，主要是函数平移的规律左加右减，上加下减． 15. 如图，在中，是的直径，，垂足为，，，则的半径是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，先由垂径定理得，设的半径为，再由勾股定理得到，然后解方程求出即可．熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的半径为5． 故答案为：5． 16. 如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为________米． 【答案】20 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面的宽． 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：20． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法： （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【小问1详解】 解： 解： ， ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在平面直角坐标系中，点，将绕点A逆时针旋转得到． （1）画出，并写出点和点的坐标； （2）求点B在旋转过程中运动的路径长（结果保留）； （3）如果将扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】（1）如图， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转： （1）画出旋转后的图形，根据图形可得旋转后点的坐标； （2）根据圆的周长即可计算； （3）根据圆的周长即可计算． 【小问1详解】 解：将绕点A逆时针旋转，则； 【小问2详解】 解：， 点B在旋转过程中运动的路径为以为圆心，的长为半径的圆的， 故路径长度为； 【小问3详解】 解：由（2）知圆锥底面圆的周长为， ∴半径为． 19. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为米 （2） 不能围成面积为平方米的花圃． 理由如下： 根据题意，得，整理，得． ∵， ∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【解析】 【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件，解得AD的长； （2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃． 【详解】（1）设的长为米，则，根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为米， ∴， ∴， ∴，即的长为米； （2）略 【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题的关键． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，过点A的直线l与相切于点A，在直线l上取一点D，使得． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵直线l与相切于点A， ∴． ∴． ∵点C在上， ∴是的半径． ∴直线是的切线． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由得，结合依据题干有，又因为直线l与相切于点A，点C在上，是的半径则有所求结论． （2）利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径， （3）根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径， 则． 在中，， ∴． 解得． ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴． ∴． ∴． 故图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确做出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题： （1）请直接写出与的关系式_____； （2）当销售单价为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）当时，有最大值，最大值为3200． （3）售单价应为60元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据销售利润每千克的利润销售量列出函数解析式即可； （2）用配方法化简函数式求出的最大值即可． （3）令时，求出的解，再根据题意解答即可． 【小问1详解】 解：， 与的关系式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，即 ，抛物线开口向下， ∵， 当时，有最大值，最大值为3200． 【小问3详解】 解：令，则， 解得， 依题意，， 故不符合题意，舍去， 所以销售单价应为60元． 22. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． 【小问1详解】 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图： 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 23. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），喷出水的最大射程为 （2）点B的坐标为 （3） 【解析】 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【小问1详解】 解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． 【小问2详解】 解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． 【小问3详解】 解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根为0 5. 如图，已知是 的圆周角，，则圆心角 是（　　　） A. B. C. D. 6. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 7. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最大值为 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 若，则 10. 如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11. 如图，以半径为2的正六边形ABCDEF的中心O为原点建立平面直角坐标系，顶点A，D在x轴上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 点关于原点对称的点的坐标是___________． 14. 把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数解析式为________． 15. 如图，在中，是的直径，，垂足为，，，则的半径是________． 16. 如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为________米． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，点，将绕点A逆时针旋转得到． （1）画出，并写出点和点的坐标； （2）求点B在旋转过程中运动的路径长（结果保留）； （3）如果将扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？ 19. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？ （2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 20. 如图，是的外接圆，是的直径，过点A的直线l与相切于点A，在直线l上取一点D，使得． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题： （1）请直接写出与的关系式_____； （2）当销售单价为何值时，销售利润的值最大，最大值为多少？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 22. [问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决] （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 23. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $