2026届高考数学一轮复习讲义 第2讲-充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 课前必备知识 课标要求 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能初步判断给定的两个条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识梳理 1．充分条件与必要条件 (1)充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q¿ p p是q的必要不充分条件 p¿ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p¿ q且q¿ p (2)从集合的角度 若p，q以集合的形式出现，记条件p，q对应的集合分别为P，Q，一般有： 若P⊆Q，则p是q的　充分　条件； 若Q⊆P，则p是q的　必要　条件； 若PQ，则p是q的　充分不必要　条件； 若PQ，则p是q的　必要不充分　条件； 若P＝Q，则p是q的　充要　条件． 2．全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． (2)全称量词命题：含有全称量词的命题． (3)全称量词命题的符号表示：“对M中的任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 3．存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． (2)存在量词命题：含有存在量词的命题． (3)存在量词命题的符号表示：“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). 常用结论 1．若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 课前训练 1．(2024·黑龙江哈尔滨三模)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定(　　) A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0 B．∃x>0，使得x2－x＋3>0 C．∀x>0，都有x2－x＋3>0 D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0 解析：B　命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B. 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题， 对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题．故选B. 3．(2025·山东潍坊期中)若“∃x∈R，sin x<a”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a≥－1 D．a>－1 解析：D　∃x∈R，sin x<a，只需sin x的最小值小于a即可，由于sin x的最小值为－1，故a>－1.故选D. 4．(教材母题必修复习参考题1T5改编)已知a，b都是实数，则“a>b>0”是“|a|>|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　a>b>0时，一定有|a|>|b|，充分性成立， 当a＝－2，b＝－1时，满足|a|>|b|，但a>b>0不成立，则必要性不成立， 所以“a>b>0”是“|a|>|b|”的充分不必要条件．故选A. 5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝3b B．a∥b C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b| 解析：A　由＝可得a，b同向．故只有A中，a＝3b时a，b同向，而B、C、D只能确定a，b共线，故选A. 课堂核心考点 考点1　充分、必要条件的判断 【例1】 (1)(2025·浙江调研)已知复数z1，z2，则“z＝z”是“|z1|＝|z2|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的 　　　　　　条件． (3)已知Sn是数列{an}的前n项和，则“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(1)A　z＝z⇔z－z＝0⇔(z1－z2)(z1＋z2)＝0⇔z1＝z2或z1＝－z2⇒|z1|＝|z2|. 因为|z1|＝|z2|¿z1＝z2或z1＝－z2，例如取z1＝＋i，z2＝i，此时|z1|＝|z2|，但z1＝z2或z1＝－z2不成立，故选A. (2) 充要　函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)，k∈Z， 所以函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称等价于x0＝，k∈Z. 因为sin 2x0＝0等价于2x0＝kπ，k∈Z，即x0＝，k∈Z. 所以“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的充要条件． (3)B　若Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)，则Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1＝2an(n≥2)， 根据等比数列的定义，{an}是公比为2的等比数列不一定成立； 若{an}是公比为2的等比数列，则an＋1＝2an(n≥2)，即Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)， 所以Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)成立． 所以“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，故选B. 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及参数范围的推断问题． 变式探究 1．(2024·高三全国专题练习)对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A. 2．(2024·江苏调研)“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　由<1，得a>1或a<0.所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故选A. 3．(2024·江苏南通模拟预测)在△ABC中，已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　若b＝，由正弦定理得＝， 即＝，所以sin C＝. 又因为c>b，所以C＝45°或C＝135°， 则“b＝”是“C＝45°”成立的必要不充分条件．故选B. 考点2　充分、必要条件的应用 【例2】 (1)函数f(x)＝kx－2ln x在[1，＋∞)上单调递增的一个充要条件是(　　) A．k>1 B．k>2 C．k≥2 D．k>3 (2)已知命题“∀x∈R，x2＋2mx－2m＋3>0”为真命题，记实数m的取值为集合A.设集合B＝{x|a－2<x<a＋1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　． 解析：(1)C　由题得f′(x)＝k－，因为函数f(x)＝kx－2ln x在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， 所以k≥，而y＝在区间[1，＋∞)上单调递减，所以k≥2. 所以选项A是必要不充分条件，选项B、D是充分不必要条件，故选C. (2) [－1，0]　依题意，关于x的不等式x2＋2mx－2m＋3>0恒成立， 于是得Δ＝4m2－4(－2m＋3)<0，解得－3<m<1， 所以实数m的取值集合A＝{m|－3<m<1}． 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⫋A. 所以或 得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围为[－1，0]. 充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现为：(1)寻找充分(或必要)条件，关键是依据充分、必要条件的含义推理判定．(2)求参变量的取值范围．求解的一般步骤为：(ⅰ)将p，q等价化简；(ⅱ)将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系．(3)列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围． 变式探究 4．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β垂直于同一个平面 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一条直线 解析：D　对于A，α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，只有α内所有直线与β平行才能得出α∥β，A错误； 对于B，α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α与β相交，B错误； 对于C，α，β平行于同一条直线，得到α∥β或α与β相交，C错误； 对于D，因为垂直于同一条直线的两平面平行，故α，β垂直于同一条直线⇒α∥β，D正确．故选D. 5．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为____________________. 解析：(－∞，－]∪[，＋∞)　函数y＝x2－x＋1图象的对称轴为x＝，开口向上， 所以函数y＝x2－x＋1在[，2]上单调递增， 当x＝时，ymin＝； 当x＝2时，ymax＝2. 所以A＝[，2]. B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}， 由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件， 所以1－m2≤，m2≥， 解得m≤－或m≥. 所以实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞). 考点3　含有量词的命题的否定及应用 【例3】 (1)命题“∃x>0，|x|＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x<0，|x|＋x<0 B．∀x>0，|x|＋x<0 C．∀x>0，|x|＋x≤0 D．∀x<0，|x|＋x≤0 (2)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋2≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，那么实数a的取值范围为　　　　　　　． (3)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为　　　　　. 解析：(1)B　命题“∃x>0，|x|＋x≥0”为存在量词命题， 该命题的否定为“∀x>0，|x|＋x<0”．故选B. (2)(－∞，2)　因为命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题， 所以命题“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题． 因为集合A＝{x|0≤x≤a}，当a<0时，集合A＝∅，符合A∩B＝∅； 当a≥0时，因为m2＋2≥2，所以由对∀m∈R，A∩B＝∅，可得m2＋2>a对任意的m∈R恒成立，所以0≤a<2. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2). (3)(－∞，0]　因为若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)， 所以f(x1)min≥g(x2)min. 因为f(x)＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1，x∈[2，4]，所以f(x)min＝f(2)， 因为g(x)＝log2x＋m，x∈[8，16]， 所以g(x)min＝g(8)，所以f(2)≥g(8)， 即3≥3＋m，所以m≤0，即m∈(－∞，0]. (1)全称(存在)量词命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． (3)应用含有量词的命题求参数的策略：①对于全称量词命题∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))为真的问题实质上就是不等式恒成立问题，通常转化为求f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min).②对于存在量词命题∃x∈M，a>f(x)(或a<f(x))为真的问题实质上就是不等式能成立问题，通常转化为求f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max). 变式探究 6．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x<x2 D．∀x∈(0，＋∞)，()x>log x 解析：AC　当a＝1时，y＝2x＋a·2－x＝2x＋2－x，易知定义域为R，且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以y＝2x＋2－x为偶函数，A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋， 当sin (x＋)＝－1时，y＝0，B为假命题； 当x＝3时，23＝8<9＝32，C为真命题； 当x＝时，由y＝()x的图象与性质知，()∈(0，1)， 又log ＝1，所以()<log ，D为假命题． 故选AC. 7．若命题“∃x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　. 解析：(－∞，6]　因为命题“∃x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题， 所以命题“∀x>1，x2－ax＋a＋3≥0”是真命题， 即∀x>1，x2＋3≥a(x－1)， 所以a≤＝ ＝x－1＋＋2. 因为(x－1)＋≥2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号， 所以a≤6，即a∈(－∞，6]. 8．(2024·四川模拟预测)已知命题“∀x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，e－2] B．(－∞，e4－] C．[e－2，＋∞) D．[e4－，＋∞) 解析：A　因为命题“∀x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题， 所以∀x∈[1，4]，m≤ex－. 令f(x)＝ex－，x∈[1，4]，y＝ex与y＝－在[1，4]上均为增函数， 故f(x)为增函数． 当x＝1时，f(x)有最小值e－2，即m≤e－2，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 课前必备知识 课标要求 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能初步判断给定的两个条件的关系.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识梳理 1．充分条件与必要条件 (1)充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q¿ p p是q的必要不充分条件 p¿ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p¿ q且q¿ p (2)从集合的角度 若p，q以集合的形式出现，记条件p，q对应的集合分别为P，Q，一般有： 若P⊆Q，则p是q的　充分　条件； 若Q⊆P，则p是q的　必要　条件； 若PQ，则p是q的　充分不必要　条件； 若PQ，则p是q的　必要不充分　条件； 若P＝Q，则p是q的　充要　条件． 2．全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． (2)全称量词命题：含有全称量词的命题． (3)全称量词命题的符号表示：“对M中的任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 3．存在量词与存在量词命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． (2)存在量词命题：含有存在量词的命题． (3)存在量词命题的符号表示：“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). 常用结论 1．若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 课前训练 1．(2024·黑龙江哈尔滨三模)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定(　　) A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0 B．∃x>0，使得x2－x＋3>0 C．∀x>0，都有x2－x＋3>0 D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 3．(2025·山东潍坊期中)若“∃x∈R，sin x<a”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a≥－1 D．a>－1 4．(教材母题必修复习参考题1T5改编)已知a，b都是实数，则“a>b>0”是“|a|>|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝3b B．a∥b C．a＝－b D．a∥b且|a|＝|b| 课堂核心考点 考点1　充分、必要条件的判断 【例1】 (1)(2025·浙江调研)已知复数z1，z2，则“z＝z”是“|z1|＝|z2|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)“函数y＝tan x的图象关于(x0，0)中心对称”是“sin 2x0＝0”的 　　　　　　条件． (3)已知Sn是数列{an}的前n项和，则“Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn对n≥2恒成立”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及参数范围的推断问题． 变式探究 1．(2024·高三全国专题练习)对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(2024·江苏调研)“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2024·江苏南通模拟预测)在△ABC中，已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点2　充分、必要条件的应用 【例2】 (1)函数f(x)＝kx－2ln x在[1，＋∞)上单调递增的一个充要条件是(　　) A．k>1 B．k>2 C．k≥2 D．k>3 (2)已知命题“∀x∈R，x2＋2mx－2m＋3>0”为真命题，记实数m的取值为集合A.设集合B＝{x|a－2<x<a＋1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为　　　　　　． 充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现为：(1)寻找充分(或必要)条件，关键是依据充分、必要条件的含义推理判定．(2)求参变量的取值范围．求解的一般步骤为：(ⅰ)将p，q等价化简；(ⅱ)将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系．(3)列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围． 变式探究 4．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β垂直于同一个平面 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一条直线 5．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为____________________. 考点3　含有量词的命题的否定及应用 【例3】 (1)命题“∃x>0，|x|＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x<0，|x|＋x<0 B．∀x>0，|x|＋x<0 C．∀x>0，|x|＋x≤0 D．∀x<0，|x|＋x≤0 (2)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋2≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，A∩B≠∅”为假命题，那么实数a的取值范围为　　　　　　　． (3)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若对∀x1∈[2，4]，∃x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为　　　　　. (1)全称(存在)量词命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． (3)应用含有量词的命题求参数的策略：①对于全称量词命题∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))为真的问题实质上就是不等式恒成立问题，通常转化为求f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min).②对于存在量词命题∃x∈M，a>f(x)(或a<f(x))为真的问题实质上就是不等式能成立问题，通常转化为求f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max). 变式探究 6．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x<x2 D．∀x∈(0，＋∞)，()x>log x 7．若命题“∃x>1，x2－ax＋a＋3<0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　. 8．(2024·四川模拟预测)已知命题“∀x∈[1，4]，ex－－m≥0”为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，e－2] B．(－∞，e4－] C．[e－2，＋∞) D．[e4－，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $